【-學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)(北師大版-必修5)課時作業(yè)-第二章-單元檢測(B)

其次章章末檢測(B)(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1．在△ABC中，a＝2，b＝eq\r(3)，c＝1，則最小角為()A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,3)2．△ABC的三內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別是a、b、c，設(shè)向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，則角C的大小為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(2π,3)3.在△ABC中，已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，S△ABC＝eq\r(3)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．－2B．2C．±4D．±24．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若c＝eq\r(2)，b＝eq\r(6)，B＝120°，則a等于()A.eq\r(6)B．2C.eq\r(3)D.eq\r(2)5．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，則eq\f(sinB,sinC)的值為()A.eq\f(8,5)B.eq\f(5,8)C.eq\f(5,3)D.eq\f(3,5)6．已知銳角三角形的邊長分別為2,4，x，則x的取值范圍是()A．1<x<eq\r(5)B.eq\r(5)<x<eq\r(13)C．1<x<2eq\r(5)D．2eq\r(3)<x<2eq\r(5)7．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，則cosB等于()A．－eq\f(2\r(2),3)B.eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(6),3)8．下列推斷中正確的是()A．△ABC中，a＝7，b＝14，A＝30°，有兩解B．△ABC中，a＝30，b＝25，A＝150°，有一解C．△ABC中，a＝6，b＝9，A＝45°，有兩解D．△ABC中，b＝9，c＝10，B＝60°，無解9．在△ABC中，B＝30°，AB＝eq\r(3)，AC＝1，則△ABC的面積是()A.eq\f(\r(3),4)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3)或eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4)10．在△ABC中，BC＝2，B＝eq\f(π,3)，若△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，則tanC為()A.eq\r(3)B．1C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),2)11．在△ABC中，假如sinAsinB＋sinAcosB＋cosAsinB＋cosAcosB＝2，則△ABC是()A．等邊三角形B．鈍角三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形12．△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，則角CA．60°B．45°或135°C．120°D．30°二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．在△ABC中，若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)，則B＝________.14．在△ABC中，A＝60°，AB＝5，BC＝7，則△ABC的面積為________．15．一船自西向東勻速航行，上午10時到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔64海里的M處，下午2時到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為________海里/小時．16．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.若(eq\r(3)b－c)cosA＝acosC，則cosA＝________.三、解答題(本大題共6小題，共70分)17．(10分)如圖，H、G、B三點(diǎn)在同一條直線上，在G、H兩點(diǎn)用測角儀器測得A的仰角分別為α，β，CD＝a，測角儀器的高是h，用a，h，α，β表示建筑物高度AB.18．(12分)設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，a＝2bsinA.(1)求B的大?。?2)若a＝3eq\r(3)，c＝5，求b.19．(12分)如圖所示，已知⊙O的半徑是1，點(diǎn)C在直徑AB的延長線上，BC＝1，點(diǎn)P是⊙O上半圓上的一個動點(diǎn)，以PC為邊作等邊三角形PCD，且點(diǎn)D與圓心分別在PC的兩側(cè)．(1)若∠POB＝θ，試將四邊形OPDC的面積y表示為關(guān)于θ的函數(shù)；(2)求四邊形OPDC面積的最大值．20．(12分)為了測量兩山頂M、N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A、B兩點(diǎn)進(jìn)行測量，A、B、M、N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如示意圖)．飛機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請?jiān)O(shè)計一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；②用文字和公式寫出計算M、N間的距離的步驟．21．(12分)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C對邊的邊長分別是a、b、c.已知c＝2，C＝eq\f(π,3).(1)若△ABC的面積等于eq\r(3)，求a，b.(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面積．22．(12分)如圖所示，扇形AOB，圓心角AOB等于60°，半徑為2，在弧AB上有一動點(diǎn)P，過P引平行于OB的直線和OA交于點(diǎn)C，設(shè)∠AOP＝θ，求△POC面積的最大值及此時θ的值．其次章解三角形(B)答案1．B[∵a>b>c，∴C最?。遚osC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(22＋(\r(3))2－12,2×2×\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，又∵0<C<π，∴C＝eq\f(π,6).]2．B[∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0.∴c2＝a2＋b2－ab，∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴cosC＝eq\f(1,2)，又∵0<C<π，∴C＝eq\f(π,3).]3.D[S△ABC=·|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·sinA＝eq\f(1,2)×4×1×sinA＝eq\r(3).∴sinA＝eq\f(\r(3),2).又∵0°<A<180°，∴A＝60°或120°.eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cosA＝4×1×cosA＝±2.]4．D[由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∴sinC＝eq\f(c·sinB,b)＝eq\f(\r(2)sin120°,\r(6))＝eq\f(1,2)，∵c<b，∴C為銳角．∴C＝30°，∴A＝180°－120°－30°＝30°.∴a＝c＝eq\r(2).]5．D[由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即72＝52＋AC2－10AC∴AC＝3.由正弦定理得eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5).]6．D[由題意，x應(yīng)滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22＋42－x2>0,22＋x2－42>0))解得：2eq\r(3)<x<2eq\r(5).]7．D[由正弦定理得eq\f(15,sin60°)＝eq\f(10,sinB).∴sinB＝eq\f(10·sin60°,15)＝eq\f(\r(3),3).∵a>b，A＝60°，∴B<60°.∴cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\r(1－(\f(\r(3),3))2)＝eq\f(\r(6),3).]8．B[A：a＝bsinA，有一解；B：A>90°，a>b，有一解；C：a<bsinA，無解；D：c>b>csinB，有兩解．]9．D[由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，∴12＝(eq\r(3))2＋BC2－2×eq\r(3)×BC×eq\f(\r(3),2).整理得：BC2－3BC＋2＝0.∴BC＝1或2.當(dāng)BC＝1時，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BCsinB＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),4).當(dāng)BC＝2時，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BCsinB＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×2×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2).]10．C[由S△ABC＝eq\f(1,2)BC·BAsinB＝eq\f(\r(3),2)得BA＝1，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，∴AC＝eq\r(3)，∴△ABC為直角三角形，其中A為直角，∴tanC＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(\r(3),3).]11．C[由已知，得cos(A－B)＋sin(A＋B)＝2，又|cos(A－B)|≤1，|sin(A＋B)|≤1，故cos(A－B)＝1且sin(A＋B)＝1，即A＝B且A＋B＝90°，故選C.]12．B[由a4＋b4＋c4＝2c2a2＋2b2c2，得cos2C＝eq\f(a2＋b2－c22,2ab2)＝eq\f(a4＋b4＋c4＋2a2b2－2c2a2－2b2c2,4a2b2)＝eq\f(1,2)cosC＝±eq\f(\r(2),2).∴角C為45°或135°.]13．45°解析由正弦定理，eq\f(sinA,a)＝eq\f(sinB,b).∴eq\f(sinB,b)＝eq\f(cosB,b).∴sinB＝cosB.∴B＝45°.14．10eq\r(3)解析設(shè)AC＝x，則由余弦定理得：BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，∴49＝25＋x2－5x，∴x2－5x－24＝0.∴x＝8或x＝－3(舍去)．∴S△ABC＝eq\f(1,2)×5×8×sin60°＝10eq\r(3).15．8eq\r(6)解析如圖所示，在△PMN中，eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，∴MN＝eq\f(64×\r(3),\r(2))＝32eq\r(6)，∴v＝eq\f(MN,4)＝8eq\r(6)(海里/小時)．16.eq\f(\r(3),3)解析由(eq\r(3)b－c)cosA＝acosC，得(eq\r(3)b－c)·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，即eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3),3)，由余弦定理得cosA＝eq\f(\r(3),3).17．解在△ACD中，∠DAC＝α－β，由正弦定理，得eq\f(AC,sinβ)＝eq\f(DC,sinα－β)，∴AC＝eq\f(asinβ,sinα－β)∴AB＝AE＋EB＝ACsinα＋h＝eq\f(asinβsinα,sinα－β)＋h.18．解(1)∵a＝2bsinA，∴sinA＝2sinB·sinA∴sinB＝eq\f(1,2).∵0<B<eq\f(π,2)，∴B＝30°.(2)∵a＝3eq\r(3)，c＝5，B＝30°.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝(3eq\r(3))2＋52－2×3eq\r(3)×5×cos30°＝7.∴b＝eq\r(7).19．解(1)在△POC中，由余弦定理，得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OC·cosθ＝5－4cosθ，所以y＝S△OPC＋S△PCD＝eq\f(1,2)×1×2sinθ＋eq\f(\r(3),4)×(5－4cosθ)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＋eq\f(5\r(3),4).(2)當(dāng)θ－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，即θ＝eq\f(5π,6)時，ymax＝2＋eq\f(5\r(3),4).答四邊形OPDC面積的最大值為2＋eq\f(5\r(3),4).20．解①需要測量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角α1、β1；B點(diǎn)到M、N點(diǎn)的俯角α2、β2；A、B的距離d(如圖所示)．②第一步：計算AM，由正弦定理AM＝eq\f(dsinα2,sin(α1＋α2))；其次步：計算AN.由正弦定理AN＝eq\f(dsinβ2,sin(β2－β1))；第三步：計算MN，由余弦定理MN＝eq\r(AM2＋AN2－2AM×ANcos(α1－β1)).21．解(1)由余弦定理及已知條件得a2＋b2－ab＝4.又由于△ABC的面積等于eq\r(3)，所以eq\f(1,2)absinC＝eq\r(3)，由此得ab＝4.聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,ab＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2.))(2)由正弦定理及已知條件得b＝2a聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,b＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2\r(3)