初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)論文數(shù)學(xué)是創(chuàng)造思維的體操

Page1數(shù)學(xué)是創(chuàng)建思維的體操

什么是數(shù)？

開天辟地之初，人類就起先與數(shù)打交道。數(shù)即是數(shù)目的意思。正如《漢書·律歷志上》云：“數(shù)者，一十百千萬也。”

數(shù)進(jìn)入數(shù)學(xué)體系就成為它的最基本概念之一，數(shù)的概念是隨著人類的生產(chǎn)和生活實(shí)踐的不斷發(fā)展而漸漸形成的，并且永無止境地發(fā)展著。從古至今，以自然數(shù)為開端，接著是有理數(shù)與無理數(shù)、正數(shù)與負(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)與虛數(shù)，直至復(fù)數(shù)，共同構(gòu)成數(shù)的概念不斷拓展的系列。每一次拓展都是一次創(chuàng)建思維的躍升。

什么是數(shù)學(xué)？

數(shù)學(xué)是探討現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。古時(shí)候，人類在生產(chǎn)和生活實(shí)踐中便獲得了數(shù)的概念和一些簡(jiǎn)潔幾何形體的概念。自此起先，到16世紀(jì)，創(chuàng)立了包括算術(shù)、初等代數(shù)、初等幾何和三角的初等數(shù)學(xué)。17世紀(jì)引入變量概念是數(shù)學(xué)發(fā)展史中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，這使得運(yùn)動(dòng)和辯證法進(jìn)入數(shù)學(xué)，起先探討改變中的量與量之間相互制約關(guān)系和圖形間的相互變換。近年來，由于數(shù)學(xué)在自然科學(xué)和技術(shù)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，又由于計(jì)算技術(shù)的迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)對(duì)人類相識(shí)自然和改造自然的重要作用也顯示得更加清晰了。至今，現(xiàn)代數(shù)學(xué)已經(jīng)形成了包括數(shù)理邏輯、數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、函數(shù)論、泛函分析、微分方程、概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、計(jì)算數(shù)學(xué)及邊緣學(xué)科運(yùn)籌學(xué)、限制論等在內(nèi)的浩大體系。

與數(shù)的發(fā)展一樣，數(shù)學(xué)發(fā)展史也是創(chuàng)建思維不斷發(fā)展的歷史。

數(shù)學(xué)是中小學(xué)生的主科。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是中小學(xué)生增長(zhǎng)學(xué)習(xí)實(shí)力和創(chuàng)建實(shí)力的廣袤天地。

一.驢唇怎能對(duì)得上馬嘴呢

陰錯(cuò)陽差的巧事，張冠李戴的誤會(huì)，在大千世界，這等笑話，時(shí)有發(fā)生。可是，在數(shù)學(xué)課上，莫非也會(huì)發(fā)生驢唇不對(duì)馬嘴的事情嗎？

（一）平地起風(fēng)雪

話題是從一道淺顯的代數(shù)題引發(fā)的。這是一個(gè)發(fā)生在某中學(xué)初一新生的一節(jié)數(shù)學(xué)課上的小故事?？煜抡n時(shí)，老師出了一道題：“若a為自然數(shù)，說出a以后的7個(gè)連續(xù)自然數(shù)?！币粋€(gè)小女孩舉手搶答：“a，b，c，d，e，f，g。”話音剛落，便引起哄堂大笑，老師也愕然了。女孩覺察到，自己的答案，驢唇不對(duì)馬嘴。出了笑話，落個(gè)滿臉通紅。

接著，一個(gè)男孩起來補(bǔ)正：“a＋1，a＋2，a+3，a+4，a＋5，a+6，a+7?！睜柡?，下課鈴響了。

事情平平經(jīng)常。一個(gè)女孩答錯(cuò)了題，一個(gè)男孩訂正過來，全班同學(xué)都明白了正確答案。下課，大家就都散了。

那么，這件事是否到此就算了結(jié)了呢？

請(qǐng)思索10分鐘，然后，發(fā)表你的見解。

單兵——我看是了結(jié)了。老師完成了教學(xué)任務(wù)，學(xué)生也完成了學(xué)習(xí)任務(wù)。

焦小敏——假如說沒有了結(jié)，那就是老師還得教化同學(xué)們，不要把這事當(dāng)成諷刺那位小姑娘的笑柄。

張娟——還有，班上的同學(xué)也有義務(wù)激勵(lì)那位小姑娘。

趙燕——直截了當(dāng)?shù)卣f，我認(rèn)為沒有了結(jié)。因?yàn)槿魏谓Y(jié)果都有緣由。小姑娘答成“a，b，c，d，e，f，g”這是她思維的結(jié)果。那么，她確定有個(gè)由此及彼的思維過程，其中深藏著錯(cuò)誤的緣由。老師與那個(gè)小姑娘的任務(wù)是找出緣由，避開再錯(cuò)。如若不然，再遇類似問題，或許她又答成“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚”呢。

肖冬春——我同意這種看法。換句話說，知道男孩答案正確，并不等于找到自己的錯(cuò)誤緣由。

韓小彧——前面幾位同學(xué)的發(fā)言，從不同的角度，各有各的道理。但是，又都有一個(gè)確定化的框框束縛著。這就是姑娘的答案一無所??；小男孩的答案確定正確，完美無缺。這個(gè)框框正是上面5個(gè)發(fā)言的潛在的共同前提。當(dāng)然，錯(cuò)誤答案之正確部分及正確答案之不足部分，假如真有，我現(xiàn)在還未想出。

赫峰——她提出的問題，是一條嶄新的思路，很有啟發(fā)。我發(fā)覺小姑娘的答案中有一個(gè)合理的因素，7個(gè)字母與題目要求的7個(gè)自然數(shù)合得上。

曹博——這么說來，錯(cuò)誤答案中的合理因素，可不止這一個(gè)。題目要求“a以后”，根據(jù)英語字母表由b到g都在a以后。

姚樹——題目要求“連續(xù)”，按英語字母表，從a到g是連續(xù)的，并沒斷開，也沒跳動(dòng)。

祝越——7個(gè)符號(hào)都可以表示自然數(shù)。這一點(diǎn)。也是符合題目要求的。

李河——這么說來，“a以后”、“7個(gè)”、“連續(xù)”、“自然數(shù)”4大要素都合乎題目要求，錯(cuò)在哪里呢？

探討至此，真是平地起風(fēng)云?？磥硪呀?jīng)結(jié)束的問題，卻又引出一片新話題。況且原來被公認(rèn)為確定錯(cuò)誤的答案，現(xiàn)在卻找不到一點(diǎn)馬腳了。

（二）罕見的對(duì)話

正像大家的看法一樣，當(dāng)堂聽課的主任覺察到：這件事并未結(jié)束。

下課后主任與老師探討，老師認(rèn)為“a+1”到“a+7”是唯一正確的答案，全班已懂，教學(xué)任務(wù)已告完成。主任又去問學(xué)生。大家說那個(gè)小女孩在小學(xué)時(shí)，特殊喜愛英語。主任領(lǐng)悟了：小學(xué)時(shí)只是在英語學(xué)習(xí)中才見到過a，題目好像要求寫出“a以后的7個(gè)”來，自然，a，b，c，d，e，f，g”在頭腦中出現(xiàn)了，又在口中說出了。這正是心理學(xué)上所說的副定勢(shì)起了作用。

爾后，主任將女孩找到辦公室。先確定她喜愛英語，大膽舉手的優(yōu)點(diǎn)，接著是雙方一連串的對(duì)話。

“那題明白了嗎？”

“明白了?！?/p>

“你的答案呢？”

“全錯(cuò)了。”

“一點(diǎn)對(duì)的地方也沒有？”

“沒有?！?/p>

“一丁點(diǎn)兒都沒有？”

“沒有?！?/p>

“真的嗎？”

“我沒想過?！保ò?！沒有想過就堅(jiān)決地認(rèn)為自已全錯(cuò)了?。?/p>

“現(xiàn)在想想看?！?/p>

“想不出。”

“b，c，d，e，f，g，不是在a以后嗎？”

“是”。

“字母不是說了7個(gè)嗎？”

“是”。

“7個(gè)字母，排列有序，為什么不跳著說呢。”

“題目上說……”

“你看，‘a(chǎn)以后’、‘7個(gè)’、‘連續(xù)’，都有了。這些字母又都能表示自然數(shù)。那么，哪有錯(cuò)的地方呢？”

“咦，怎么沒有錯(cuò)的地方了呢？”

最終，在主任啟發(fā)下，發(fā)覺了錯(cuò)誤：對(duì)于這些字母，沒有給出符合題意的數(shù)學(xué)含義。一句話，把英語字母轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)的任務(wù)，沒有完成。

找出錯(cuò)誤緣由，就能訂正錯(cuò)誤。簡(jiǎn)潔說，將7個(gè)英語字母給予符合題意的數(shù)學(xué)含意就是了。這樣，找到了別出心裁的答案：若a為自然數(shù)，令a＇＝a＋1，b＝a＋2，c＝a＋3，d＝a＋4，e＝a＋5，f＝a＋6，g＝a＋7，則a＇，b，c，d，e，f，g”便是正確答案。

就是這樣，正確與錯(cuò)誤之間，只有一小撇之差。

還應(yīng)指出，運(yùn)用這種敏捷變通的思維方式，求解此題，正確答案是無窮盡的。即使是“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚”，只要將其給予符合題意的數(shù)學(xué)含義，也能成為正確答案。這么看來，把“a＋1，a＋2，a＋3，a＋4，a＋5，a＋6，a＋7”看成唯一正確答案，失之于思維呆板，并且導(dǎo)致片面性和確定化。

（三）深刻的啟示

中小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，錯(cuò)誤常見，改錯(cuò)也常見。但是，這樣的改錯(cuò)方式從未見過。

這樣的改錯(cuò)方式給我們的啟示是深刻的，是多方面的。

1.在變通性的動(dòng)態(tài)思索中更深刻地駕馭數(shù)學(xué)新原理

駕馭數(shù)學(xué)概念和原理，運(yùn)用相關(guān)概念、原理解答數(shù)學(xué)問題，從而獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)問，提高思維實(shí)力，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本任務(wù)。

用符號(hào)表示數(shù)是代數(shù)學(xué)的根本特點(diǎn)。在小學(xué)算術(shù)中只用阿拉伯?dāng)?shù)字表示固定的詳細(xì)數(shù)目。而在中學(xué)代數(shù)中，就要用抽象符號(hào)表示多種多樣的數(shù)學(xué)含義。用符號(hào)表示數(shù)的課題，是代數(shù)起始課的重點(diǎn)和難點(diǎn)。上面的題，正是為了使學(xué)生駕馭這個(gè)代數(shù)原理而設(shè)計(jì)的。

兩種改錯(cuò)方式對(duì)理解原理的作用是不同的。先看一般方式：a，b，c，d，e，f，g→a＋1，a＋2，a+3，a+4，a+5，a+6，a+7

再看變通方式：

a，b，c，d，e，f，g→令a＇＝a＋1，b＝a＋2，c＝a+3，d＝c+4，e＝a+5，f＝a+6，g＝a+7→a＇，b，c，d，e，f，g