專題40 中考最值難點(diǎn)突破費(fèi)馬點(diǎn)問題（原卷版）

專題40中考最值難點(diǎn)突破費(fèi)馬點(diǎn)問題（原卷版）

模塊一典例剖析+針對(duì)訓(xùn)練

費(fèi)馬點(diǎn)問題解題技巧：旋轉(zhuǎn)變換．

類型一費(fèi)馬點(diǎn)模型

典例1（2020秋?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期中）如圖（1），P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝

120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的和最小，稱為△ABC的費(fèi)馬距離．

（1）若點(diǎn)P是等邊三角形三條高的交點(diǎn)，點(diǎn)P（填是或不是）該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．

（2）如圖（2），分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)．求證：P點(diǎn)

為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．

（3）若圖（2）中，AB＝5，AC＝4，BC＝a，BD＝b，則△ABC的費(fèi)馬距離＝．

針對(duì)訓(xùn)練

1．（2021春?濱海縣期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B

點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．

（1）求證：△AMB≌△ENB；

（2）當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，2AM的值最小，并說明理由；

（3）當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，2AM+BM的值最小，并說明理由．

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2．（2021春?歷下區(qū)期末）【操作發(fā)現(xiàn)】

（1）如圖1，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．

①請(qǐng)按要求畫圖：將ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′；

②連接BB′，此時(shí)∠ABB′＝°；

【問題解決】

在某次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明同學(xué)遇到了如下問題：

（2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)P在內(nèi)部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的長(zhǎng)．

經(jīng)過同學(xué)們的觀察、分析、思考、交流，對(duì)上述問題形成了如下想法：將△APC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋

轉(zhuǎn)60°，得到△ABP′，連接PP′，尋找PA、PB、PC三邊之間的數(shù)量關(guān)系．…請(qǐng)參考他們的想法，

完成該問題的解答過程；

【學(xué)以致用】

（3）如圖3，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝5，PC＝2，∠BPC

＝135°，求PB；2

【思維拓展】

（4）注意：從以下①②中，你任意選擇一道題解答即可．

①等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，若BC＝4，則AP+BP+CP的最小值

＝；

②如圖4，若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，PA＝3，PB，PC，求∠APB的度數(shù)．

=3=15

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3．（2019春?金水區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)．

（1）如圖1，連接PB，PC，將△BCP沿射線CA方向平移，得到△DAE，點(diǎn)B，C，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為

點(diǎn)D，A，E，連接CE．如果BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，則CE＝．

（2）如圖2，連接PA，PB，PC，當(dāng)AC＝BC＝8時(shí)，求PA+PB+PC的最小值．

類型二費(fèi)馬點(diǎn)模型變式

典例2（2021春?碑林區(qū)校級(jí)期中）[問題發(fā)現(xiàn)]如圖①，在△OAB中，OB＝3，若將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)120°得△OA′B′，連接BB'．則BB'＝．

[問題探究]如圖②，已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊△BCD，P為△ABC

內(nèi)一點(diǎn)，將線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，3P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q．求PA+PB+PC的最小值．

[實(shí)際應(yīng)用]如圖③，在長(zhǎng)方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800，點(diǎn)P是長(zhǎng)方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且S△PAD

＝2S△PBC，點(diǎn)Q為△ADP內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P和一點(diǎn)Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存

在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并求出此時(shí)PQ的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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針對(duì)訓(xùn)練

1．（2021?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）【問題情境】

如圖1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，則△ABC的外接圓的半徑值為．

【問題解決】3

如圖2，點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．

【問題解決】

如圖3，正方形ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為3cm的隔離區(qū)域設(shè)計(jì)圖，CE為大門，點(diǎn)E在邊BC上，CEcm，

點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)設(shè)立的一個(gè)活動(dòng)3崗哨，到B、E的張角為120°，即∠BPE＝120°，點(diǎn)=A、3D為

另兩個(gè)固定崗哨．現(xiàn)需在隔離區(qū)域內(nèi)部設(shè)置一個(gè)補(bǔ)水供給點(diǎn)Q，使得Q到A、D、P三個(gè)崗哨的距離和

最小，試求QA+QD+QP的最小值．（保留根號(hào)或結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)1.7，10.52＝110.25）．

3≈

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模塊二2023中考押題預(yù)測(cè)

一．選擇題

1．（2017秋?義烏市月考）已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫

△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)（Fermatpoint）．已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB＝∠APC＝

∠BPC＝120°時(shí)，P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則

PD+PE+PF＝（）2

A．2B．1C．6D．3

2．（2022春3?山亭區(qū)期中）如圖+，在3△ABC中，∠CAB＝65°，將△ABC在平3面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′

的位置，使CC′∥AB，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（）

A．40°B．30°C．50°D．65°

二．填空題

3．（2019秋?開福區(qū)校級(jí)月考）法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出：在△ABC內(nèi)存在一點(diǎn)P，使它到三角形頂點(diǎn)的距離之

和最小．人們稱這個(gè)點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為費(fèi)馬距離．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在銳角△ABC中，費(fèi)

馬點(diǎn)P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如圖，點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且PA＝3，PC＝4，

∠ABC＝60°，則費(fèi)馬距離為．

4．（2019秋?梁溪區(qū)期末）如圖，已知正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為1，

則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為．+3

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5．（2021?丹東）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果△ABC是銳角（或

直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°．（例如：等邊三

角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．若AB＝AC，BC＝2，P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則PA+PB+PC

＝；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，P為=△AB7C的費(fèi)馬點(diǎn)3，則PA+PB+PC＝．

6．（2022秋?洪山區(qū)校級(jí)期3中）如圖，以等邊△ABC的一邊BC為底邊作等腰△BCD，已知AB＝3，

，且∠BDC＝120°，在△BCD內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，則PB+PC+PD的最小值為??=?．?=

3

7．（2022秋?大冶市期末）如圖，D是等邊三角形ABC外一點(diǎn)，連接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，

則當(dāng)線段AD的長(zhǎng)度最小時(shí)，

①∠BDC＝；②AD的最小值是．

三．解答題

8．（2009?湖州）自選題：若P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做

△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，則PB的值為；

（2）如圖，在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′連接BB′．求證：BB′過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB′

＝PA+PB+PC．

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9．問題探究：

（1）如圖1，已知，在四邊形ABCD中，AB＝BC，AD＝DC，則對(duì)角線AC、BD的位置關(guān)系是．

（2）如圖2，已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離

之和的最小值為2，求AC的長(zhǎng)．

問題解決：

（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣6，0），B（6，0），C（0，

4），延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D，使CDAC，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E．設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)E出

1

發(fā)，3先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿G=A2到達(dá)A點(diǎn)．若點(diǎn)P在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度為定值v，在y軸上運(yùn)動(dòng)速

度為2v，試確定點(diǎn)G的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短，并求此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)．

10．（2017?利辛縣一模）如圖（1），P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則

點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)P是等邊三角形三條中線的交點(diǎn)，點(diǎn)P（填是或不是）該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．

（2）如果點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°．求證：△ABP∽△BCP；

（3）已知銳角△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD交于P點(diǎn)．如圖（2）

①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點(diǎn)為