圓錐曲線軌跡全歸納（13題型提分練）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識清單

專題22圓錐曲線軌跡全歸納

更盤點?置擊看老

M目錄

題型一：定義法：圓型............................................................................1

題型二：橢圓定義型..............................................................................2

題型三：雙曲線定義型............................................................................3

題型四：拋物線定義型...........................................................................4

題型五：直接設(shè)點型..............................................................................4

題型六：相關(guān)點代入法............................................................................5

題型七：交軌法..................................................................................6

題型八：參數(shù)消參法..............................................................................7

題型九：空間型：坐標(biāo)法.........................................................................8

題型十：空間型：截面型曲線軌跡.................................................................10

題型十一：空間型：雙球圓錐型...................................................................11

題型十二：立體幾何定角型.......................................................................13

題型十三：復(fù)數(shù)中的軌跡.........................................................................14

更突圍?錯;住握分

題型一：定義法：圓型

指I點I迷I津

如果動點P的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，可直接寫出所

求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法.

平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的軌跡是圓，定點為圓心，定長為圓的半徑.

（1）若直線含參，參數(shù)在x系數(shù)出，則不包含豎直，如y=k（x-1）+1,不含想x=1

（2）若直線含參，參數(shù)在y的系數(shù)出，則不含水平，如x+m（y-1）+2=0,不含y=1

（3）若直線參數(shù)在常數(shù)位置，則為一系列平行線，如x+y+c=0與y=-x平行

1.（22-23高三?四川綿陽,階段練習(xí)）已知加eR,若過定點A的動直線4：+機-2=。和過定點8的動

直線小丁-4=-加尤+2）交于點?（尸與A,B不重合），則錯誤的是（）

A.A點的坐標(biāo)為（2,1）B.點尸的軌跡方程Y+y2-5y=0

C.R42+PB2=25D.2B4+P3的最大值為5班

2.（2022高三?全國?專題練習(xí)）設(shè)“eR,過定點A的動直線x+，孫+機=。和過定點B的動直線如-了-根+2=0

交于點尸（x,y）,則IPAI+IPBI的取值范圍是（）

A.[75,2A/5]B.[A/10,2A/5]C.[畫,4質(zhì)D.12乖,4乖1

3.（24-25高三?福建廈門?階段練習(xí)）已知。（0,0）,。0,直線4:kx-y+2%+3=0,直線

l2-.x+ky+3k+2=0,若尸為44的交點，貝U3|PO|+21P0的最小值為（）

A.3A/3B.6-30C,9-3&D.3+76

4.（22-23高三?福建莆田?階段練習(xí)，多選）已知〃zeR,若過定點A的動直線4：x-my+=。和過定點

8的動直線3丫-4=TW（X+2）交于點尸（P與A,B不重合），則下列結(jié)論中正確的是（）

A.A點的坐標(biāo)為（2,1）B.點P的軌跡方程V+j?-5y=0

C.PA2+PB2=25D.2B4+尸3的最大值為5石

5.（22-23高三?新疆烏魯木齊?階段練習(xí)）設(shè)meR,過定點A的動直線x+啊+1=0和過定點3的動直線

mx-y-2〃z+3=0交于點P（x,y）,則尸點的軌跡方程是

題型二：橢圓定義型

；指I點I迷I津：

平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓：

■的點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距

17^20^21*於后近荃奉醺薇）而百~~2POQ=60","^i￡VABC的揚筐%"2,"M泊就諦黃:G石VABC印

重心，B,C分別在射線OP,。。上運動，記M的軌跡為C-G的軌跡為G，貝U（）

A.G為部分圓，G為部分橢圓B.G為部分圓，a為線段

c.c為部分橢圓，q為線段D.G為部分橢圓，G也為部分橢圓

|Tr,1rr

2.（2024?浙江紹興?模擬預(yù)測）單位向量向量B滿足卜+0=；。2+2,若存在兩個均滿足此條件的向量

ITIT/ITr

瓦使得偽+包=4他+@x,設(shè)z,瓦,a在起點為原點時，終點分別為4穌%則s△物星的最大值（）

A.2A/3B.6C.4D.2

3.（23-24高三上?上海?模擬）設(shè)圓。1和圓。2是兩個定圓，動圓P與這兩個定圓都相切，則動圓P的圓心的

軌跡不可熊是（）

5.（23-24高三?陜西榆林?模擬）已知點N（2,0）,動點A在圓跖（尤+2區(qū)+;/=64上運動，線段AN的垂直

平分線交AM于尸點，則尸的軌跡方程為；若動點。在圓（x+球+V=1上運動,則|尸0的最大值為.

題型三：雙曲線定義型

指I點I迷I津

平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定

點做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.

1.（22-23高三?江西?階段練習(xí)）已知點4（0,20），8（2忘,0）,點尸為圓X2+/-5A/2X+V2y+12=0上一

點，則冏的最小值為（）

A.2B.4C.逑D./

55

2.（21-22高三?江蘇南通?階段練習(xí)）在矩形WA中，AA=8,A5=6,把邊AB分成〃等份，在88的

延長線上，以B'B的〃分之一為單位長度連續(xù)取點.過邊A3上各分點和點A作直線，過上8延長線上的對應(yīng)

分點和點A作直線，這兩條直線的交點為尸，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則點P滿足的方程可能是（）

22

—+^-=l(x>8,y>0)

6436v7

2222

C.————=l(x>4,y>0)D.---^-=l(x>8,y>0)

169V76436l,

3.（2018高三上?全國?專題練習(xí)）已知定點耳（-2,0）,月（2,0）,N是圓0：/+/=1上任意一點，點^關(guān)

于點N的對稱點為線段4M的中垂線與直線鳥”相交于點P,則點P的軌跡是

A.直線B.圓

C.橢圓D.雙曲線

4.（20-21高三?湖北武漢?模擬，多選）在平面直角坐標(biāo)系X0y中，動點尸與兩個定點片卜6,0）和耳（君,0）

連線的斜率之積等于g,記點P的軌跡為曲線E,直線/：y=Mx-2）與E交于A,B兩點，貝U（）

r2

A.E的方程為￥-丁=1B.E的離心率為百

C.E的漸近線與圓（尤-2j+y2=i相切D.滿足|AB|=2g的直線/有2條

5.（24-25高三?全國?模擬）過曲線C上一點P作圓/+>2=1的兩條切線，切點分別為A,8,若左“心=2,

則曲線C的方程為

題型四：拋物線定義型

;指I點I迷I津：

I平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線1（1不經(jīng)過點F）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線：

的焦點，直線I叫做拋物線的準(zhǔn)線.

1?-（21-2^缸卡?雨范.訴酶芍廠巨而反而m-直殯7；?二二匚萬礪而石祇商，一證商/祚置殯"

垂線，垂足為0,且55?/=麗,而，動點尸的軌跡為C,已知圓M過定點。（0,2）,圓心M在軌跡C

上運動，且圓M與x軸交于A、8兩點，T§：\DA\=II,\DB\=l2,則｝+%的最大值為（）

12

A.2B.3C.272D.372

2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）己知尸是直線，：x-y-2=0上的一個動點，過點P作拋物線C:y=f的兩條

切線R4,PB,切點分別為A,B,則ZX/IPB的重心G的軌跡方程為（）

3.（20-21高三?廣西南寧?模擬）拋物線：丁=人的過焦點的弦的中點的軌跡方程為（）

A.=x—1B.y~=x-萬C.=2（x—1）D.y2=2x—1

4.（2024?浙江?模擬預(yù)測，多選）已知曲線C上的點滿足：到定點（1,0）與定直線V軸的距離的差為定值加，

其中，點A,3分別為曲線C上的兩點，且點8恒在點A的右側(cè)，則（）

A.若機=!，則曲線C的圖象為一條拋物線

B.若機=1,則曲線C的方程為V=4x

C.當(dāng)機＞1時，對于任意的A（%,%）,3（孫%）,都有㈤＞國

D.當(dāng)加＜-1時,對于任意的A&,%）,3（孫%）,都有㈤

5.（24-25高三?全國?模擬）設(shè)廠（1,0）,點M在x軸上，點尸在y軸上，且旃=2痔,而J.麗，當(dāng)點尸在

，軸上運動時，點N的軌跡方程為.

題型五：直接設(shè)點型

;指I點I迷I津1

：如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，不需要特殊的技巧，易于表述：

；成含x，y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法.

（1）到線段兩端點相等的點的軌跡是該線段的垂直平分線.

（2）到角的兩邊相等的點的軌跡是該角的平分線及外角平分線.

：（3）平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的軌跡是圓，定點為圓心，定長為圓的半徑.

：求解過程：

（1）建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系

（2）設(shè)點：設(shè)軌跡上的任一點P（x,y）

；（3）列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式

：（4）代換：將軌跡所滿足的條件用含久,y的代數(shù)式表示，

：（5）檢驗：對某些特殊值應(yīng)另外補充檢驗.

1.（24-25高三上?河北保定?階段練習(xí)）已知曲線C：/+/=9（y＞0）,從C上任意一點尸向x軸作垂線段PP,

尸,為垂足，點M滿足麗=2祈尸，則點M的軌跡方程為（）

A.^2+y=l(J>0)B.y+y2=l(j>0)

2222

C.2+2L=l(y>0)D.土+匕=l(y〉O)

369936

25

2.（24-25高三?河南南陽?階段練習(xí)）動點M（羽y）與定點尸（4,0）的距離和M到定直線，：龍=1的距離的比

4

是常數(shù)則動點M的軌跡方程是（）

"Il

A.——+匚=1B.

2516259

c.工+，%2V

D.—+—=1

169167

3.（23-24高三?江蘇南通?階段練習(xí)）己知等腰VABC底邊兩端點的坐標(biāo)分別為3（4,0）,C（0,Y）,則頂點

A的軌跡方程是（）

A.y=xB.y=x（xw2）

C.y=-xD.y=-x（x^2）

4.（24-25高三上?山東濟南?開學(xué)考試，多選）在平面直角坐標(biāo)系X0V中，已知點A（-LO）,3。,0）,直線AM,

8M相交于點Af,且它們的斜率之和是2.設(shè)動點M（x,y）的軌跡為曲線C,則（）

A.曲線C關(guān)于原點對稱

B.曲線C關(guān)于某條直線對稱

C.若曲線C與直線丫=丘（左>0）無交點，則左

5.（24-25高三?江蘇常州?階段練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/：2依->+3左=0上存在動點P滿

足條件4（-3,0）,6（1,0）,且|啊=3|即時，則實數(shù)上的取值范圍為.

題型六：相關(guān)點代入法

指I點I迷I津

如果動點P的運動是由另外某一點P'的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標(biāo)滿足某已知曲線方

程），則可以設(shè)出PQ,y）,用Q,y）表示出相關(guān)點P'的坐標(biāo)，然后把P'的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點P

的軌跡方程.

第一步：設(shè)所求軌跡的點”（x，y）,曲線上的動點Q（%，%）；

第二步：找出"（x，y）與Q（%，%）的關(guān)系，由匚丁表示七,%,即

[%=g（x,y）

第三步：為）滿足已知的曲線方程，將可，為代人，消去參數(shù).對于不符合條件的點要注意取舍.

1.（22-23高三?北京?階段練習(xí)）設(shè)。為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C：—+/=1±,過”作x軸的垂線,

2

垂足為N,點尸滿足而=0麗，則點P的軌跡方程是（）

A.-+y2=lB.—+x2=1C.x2+y2=2D.x2+y2=1

22

2.（21-22高三?遼寧沈陽?模擬）設(shè)0為坐標(biāo)原點，動點N在圓C：f+尸=8上，過N作V軸的垂線，垂足

_.1____

為M,點、P滿足MP=3MN,則點尸的軌跡方程為

2222D.JJ

A.——+—=1B.——+—=1c

82282442

3.（22-23高三?四川內(nèi)江?模擬）已知面積為16的正方形A3C。的頂點A、8分別在1軸和y軸上滑動，0

為坐標(biāo)原點，OP=^-OA+\OB,則動點尸的軌跡方程是（）

42

x2j2x2j2%2y2x2y2

32944884

4.（24-25高三?河北唐山?階段練習(xí)，多選）數(shù)學(xué)著作《圓錐曲線論》中給出了圓的一種定義：平面內(nèi)，到

兩個定點A,B距離之比是常數(shù)彳（/1>0,且人1）的點M的軌跡是圓.若兩定點4（-2,0）,3（2,0）,動

點”滿足|加4|=及|M8|,則下列說法正確的是（）

A.點M的軌跡圍成區(qū)域的面積為32兀

B.點河的軌跡關(guān)于直線x-y-6=0對稱

C.點〃到原點的距離的最大值為6

D.AABM面積的最大值為8應(yīng)

5.（20-21高三?上海楊浦?模擬）已知回A3C的頂點4（-3,0）、B（6,0）,若頂點C在拋物線y=/上移動，貝幅

ABC的重心的軌跡方程為.

題型七：交軌法

指I點I迷I津

1.所求點滿足條件方程1

2.所求點滿足條件方程2

3.動點是方程1、2兩軌跡方程，則滿足兩個軌跡所組成的方程組，通過兩個方程選擇適當(dāng)?shù)?/p>

技巧消去參數(shù)得到軌跡的普通方程

4.參數(shù)法求軌跡方程，關(guān)鍵有兩點：一是選參，容易表示出動點；二是消參，消參的途徑靈

活多變.

22

I.（2024高三?全國?專題練習(xí)）設(shè)A，&是橢圓土+匕=1與X軸的兩個交點，匕鳥是橢圓上垂直于A4的

94

弦的端點，則直線46與45交點的軌跡方程為()

B.一川

94'941

c一丁一1(

"土3）D.%*土3）

94194'

2.（2014?四川?一模）過拋物線d=4y的焦點作直線/交拋物線于A,B兩點，分別過A,8作拋物線的切

線4，4,貝必與乙的交點P的軌跡方程是（）

A.y=-lB.y=-2C.y=x-\D.y=-x-l

V.2

3.（22-23高三?全國?單元測試，多選）已知A,B是橢圓E：二+丁=1的左右頂點，過點尸（1,0）且斜率不

4-

為零的直線與E交于N兩點，kAM,kBM,kAN,分別表示直線A"，BM,AN,BN的斜率，則

下列結(jié)論中正確的是（）

,,1

A.kAM,《BM=--B.kBM-kBN=

C.k1M=3kBND.直線AM與BN的交點的軌跡方程是尤=4

4.（2022高三?全國?專題練習(xí)）兩條直線無一沖一1=0和〃簧+丁一1=。的交點的軌跡方程是

5.（2022高三?全國?專題練習(xí)）由圓外一定點。（。力）向圓/+丁2=/作割線，交圓周于43兩點，求弦相

中點的軌跡

6.（2022高三?全國?專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=/上異于坐標(biāo)原點。的兩不同動點A、

B滿足求VA03得重心G（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程.

題型八：參數(shù)消參法

指I點I迷I津

有時不容易得出動點應(yīng)滿足的幾何條件，也無明顯的相關(guān)點，但卻較容易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）該動點

常常受到另一個變量（角度，斜率，比值，截距或時間等）的制約，即動點坐標(biāo)（久斤）中的久,y分別隨另一變

量的變化而變化，我們稱這個變量為參數(shù)，由此建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法，進而通過消參化

為軌跡的普通方程F（%y）=0.

（1）選擇坐標(biāo)系，設(shè)動點坐標(biāo)P（x,y）；

（2）分析軌跡的已知條件，選定參數(shù)（選擇參數(shù)時要考慮，既要有利于建立方程又要便于消去參數(shù)）；

（3）建立參數(shù)方程；

（4）消去參數(shù)得到普通方程；

（5）討論并判斷軌跡.

解題步驟：

1引入?yún)?shù)，用此參數(shù)分別表示動點的橫縱坐標(biāo)x,y；

2.消去參數(shù)，得到關(guān)于的方程，即為所求軌跡方程。

1.（20-21高三?上?？可?模面）血圖，設(shè)雙A和B去施法獲丁=20元（p>0）工森黃［以外而兩個動總己知

OA±OB,OM±AB,則點M的軌跡方程為（）

x1+y2-2px=0（原點除外）

B.x2+y2-2py=0（原點除外）

C.x2+y2+2px=0（原點除外）

D.x2+y2+2py=0（原點除外）

2.（2022?河南南陽?三模）A和笈是拋物線V=8x上除去原點以外的兩個動點，。是坐標(biāo)原點且滿足

OAOB=0^OMAB=0則動點M的軌跡方程為（）

無2v2

A.x2+y2-8%=0B.y=6x2C.x2+4y2=1D........-=1

94

3.（22-23高三下?江蘇揚州?開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，1軸正半軸上從左至右四點A、5、C、O橫

坐標(biāo)依次為〃-C、Q、4+C、2Q,y軸上點M、N縱坐標(biāo)分別為徵、-2機（m>0）,設(shè)滿足|制|+|尸。|=2〃的動點尸的軌

跡為曲線E,滿|QN|二2|QA1|的動點。的軌跡為曲線6當(dāng)動點。在y軸正半軸上時，。。交曲線E于點Po

（異于O）,且。Po與8。交點恰好在曲線廠上，則〃：c=（）

A.垃B.6C.2D.3

22

4.（2022高三?全國?專題練習(xí)）設(shè)M是橢圓C：三+&=1上的一點，P、Q、T分別為M關(guān)于y軸、原點、

124

無軸的對稱點，N為橢圓C上異于M的另一點，且QN馬PT的交點為E,當(dāng)M沿橢圓C運動時,

求動點E的軌跡方程.

題型九：空間型：坐標(biāo)法

指I點I迷I津

立體幾何內(nèi)的軌跡,，嘗嘗從以下方向切入

1.建系，利用空間坐標(biāo)系求出方程。

2.通過轉(zhuǎn)化，把空間關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面關(guān)系，把空間軌跡轉(zhuǎn)化為平面軌跡求解。

1.（2022?北京石景山?模擬）如圖，正方體ABC。的棱長為1,點〃在棱A8上，且4/=；,點

產(chǎn)是平面A8CD上的動點，且動點尸到直線46的距離與點P到點M的距離的平方差為1,則動點尸的軌

跡是（）

拋物線C.雙曲線D.橢圓

2.（24-25高三?重慶?階段練習(xí)）如圖，已知正方體A8C。-A4C。的棱長為2,M.N分別為線段BC

的中點，若點尸為正方體表面上一動點，且滿足平面MDC,則點P的軌跡長度為（）

A.2A/2B.VsC.&D.2

3.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體ABC。-44G2中，已知M，N,P分別是棱G2,

AA，BC的中點，。為平面麗上的動點，且直線。耳與直線。片的夾角為30。，則點。的軌跡長度為（）

C.2兀D.3兀

2

4.（24-25高三?吉林長春,階段練習(xí)，多選）如圖，在棱長為1的正方體A8CD-A瓦G2中，M為百G邊的

中點，點P在底面48CD內(nèi)運動（包括邊界），則下列說法正確的有（）

A.不存在點P,使得RPLAR

B.不存在點P,使得MP//AG

C.點N在棱2月上，且用N=4A?,若D、P上NP,則點尸的軌跡是圓

D.當(dāng)尸是正方形ABC。的中心時，。為線段A8上的動點，則尸。+。4的最小值為巫

2

5.（24-25高三?浙江?階段練習(xí)）如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架488、43￡F的邊長都是2,且

它們所在的平面互相垂直.長度為2的金屬桿端點N在對角線所上移動，另一個端點M在正方形ABCD內(nèi)

（含邊界）移動，且始終保持則端點M的軌跡長度為.

題型十：空間型：截面型曲線軌跡

1.（24-25高三?湖北?階段練習(xí)）動點。在棱長為3的正方體ABCD-側(cè)面小￡耳上，滿足=2|。目,

則點。的軌跡長度為（）

A.271B.yC.岳D,亭

2.（23-24高一下?湖北武漢?模擬）已知棱長為4的正方體點E是棱AB的中點，點廠是

棱CG的中點，動點P在正方形AAOR（包括邊界）內(nèi)運動，且尸耳〃平面DE尸，則尸。的長度范圍為（）

A.［屈,B.1平,2同C.］鴕,2同D.［半,M

3.（23-24高三?浙江寧波?模擬）已知正方體AB。-AAGR的棱長為3,以2為球心，內(nèi)為半徑的球面

與正方體表面的交線記為曲線E,則曲線E的長度為（）

A.3兀B.島C.拽兀D.2扃

33

4.（24-25高三上?云南昆明?階段練習(xí)，多選）如圖，在四棱錐尸-ABCZ）中，底面ABC。為直角梯形，PA1.

平面ABC。，PA=AB=AD=2CD=4,AB//CD,AB±AD,已知點Af在平面PAD上運動，點H在平面

ASCD上運動，則下列說法正確的是（）

A.若點H到CD的距離等于其到平面的距離，則點H的軌跡為拋物線的一部分

B.若NBMA=/CMD,則點Af的軌跡為圓的一部分

C.若8河與BD所成的角為30。，則點M的軌跡為橢圓的一部分

D.若CM與平面ABCD所成的角為30。，則點M的軌跡為雙曲線的一部分

5.（24-25高三上?河南?開學(xué)考試）如圖，在四棱錐尸-ABCZ）中，PAL平面ABCZ）,底面ABCD為正方形,

P4=AB=2,點瓦尸分別為CD,CP的中點，點7為^^45內(nèi)的一個動點（包括邊界），若CT〃平面AEF,

則點T的軌跡的長度為.

題型H--：空間型：雙球圓錐型

1.（2023?遼寧阜新?模擬預(yù)測）比利時數(shù)學(xué)家丹德林（GerminalDandelin）發(fā)現(xiàn)：在圓錐內(nèi)放兩個大小不同且

不相切的球使得它們與圓錐的側(cè)面相切，用與兩球都相切的平面截圓錐的側(cè)面得到的截線是橢圓.這個結(jié)

論在圓柱中也適用，如圖所示，在一個高為20,底面半徑為4的圓柱體內(nèi)放兩個球，球與圓柱底面及側(cè)面

均相切.若一個平面與兩個球均相切，則此平面截圓柱側(cè)面所得的截線為一個橢圓，則該橢圓的短軸長為

（）

A.12B.4C.275D.8

2.（19-20高三?河南?階段練習(xí)）比利時數(shù)學(xué)家Germ/7ia/Oande/M發(fā)現(xiàn)：在圓錐內(nèi)放兩個大小不同且不相切

的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、底面相切，用與兩球都相切的平面截圓錐的側(cè)面得到的截面曲線是橢

圓.這個結(jié)論在圓柱中也適用，如圖所示，在一個高為10,底面半徑為2的圓柱體內(nèi)放球，球與圓柱底面及

側(cè)面均相切.若一個平面與兩個球均相切，則此平面截圓柱邊緣所得的圖形為一個橢圓，該橢圓的離心率為

（）

2765

AB.一D

-T3T

3.（23-24高三?浙江寧波?模擬）如圖1,用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的

角度對這個問題進行研究，其中比利時數(shù)學(xué)家Germinaldandelion（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造

性.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，兩個球分別與截面切于E、F,

在截口曲線上任取一點A,過A作圓錐的母線，分別與兩個球切于C、B,由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，

AE=AC,AF=AB,于是AE+AF=AB+AC=3C,由B、C的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定

值，由橢圓定義可知，截口曲線是以E、尸為焦點的橢圓.如圖2,一個半徑為1的球放在桌面上，桌面上

方有一點光源尸，則球在桌面上的投影是橢圓，已知44是橢圓的長軸，尸4垂直于桌面且與球相切，尸4=3,

3

D.

5

4.（2024?山東日照?一模，多選）如圖是數(shù)學(xué)家GerminalDandelin用來證明一個平面截圓錐側(cè)面得到的截口

曲線是橢圓的模型（稱為"Dandelin雙球”）.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、

截面相切，截面分別與球。一球劣切于點E,F（E,尸是截口橢圓C的焦點）.設(shè)圖中球。一球O?的半徑

分別為4和1,球心距卜后，貝IJ（）

A.橢圓C的中心不在直線上

B.但川=4

C,直線。與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為出

34

.3

D.橢圓C的圖心率為w

5.（2020?吉林?模擬預(yù)測）如圖（1）,在圓錐內(nèi)放兩個大小不同且不相切的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、

底面相切，用與兩球都相切的平面截圓錐的側(cè)面得到截口曲線是橢圓.理由如下：如圖（2）,若兩個球分別

與截面相切于點瓦尸，在得到的截口曲線上任取一點A,過點A作圓錐母線，分別與兩球相切于點C8,

由球與圓的幾何性質(zhì)，得|圈=附,\AF\^\AB\,所以I物+|AF|=|Aa+|AB|=|Bq=2a,且2。＞但周,

由橢圓定義知截口曲線是橢圓，切點瓦尸為焦點.這個結(jié)論在圓柱中也適用，如圖（3）,在一個高為10,底

面半徑為2的圓柱體內(nèi)放球，球與圓柱底面及側(cè)面均相切.若一個平面與兩個球均相切，則此平面截圓柱所

得的截口曲線也為一個橢圓，則該橢圓的離心率為.

圖(1)圖(2)圖(3)

題型十二：立體幾何定角型

1.（20-21高三?浙江寧波?模擬）如圖，在棱長為1的正方體48。-42。|2中，點河是底面正方形筋。1）

的中心，點P是底面ABC。所在平面內(nèi)的一個動點，且滿足NMGP=30°,則動點P的軌跡為（）

A.圓B.拋物線C.雙曲線