數(shù)學(xué)自我小測(cè)：均值不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精自我小測(cè)1．函數(shù)f（x）＝x＋eq\f（4，x）＋3在（－∞，－2］上（）A．無(wú)最大值，有最小值7B．無(wú)最大值,有最小值－1C．有最大值7，有最小值－1D．有最大值－1,無(wú)最小值2．設(shè)a>0，b〉0，若eq\r(3）是3a與3b的等比中項(xiàng)，則eq\f（1，a）＋eq\f（1，b)的最小值為（）A．8B．4C．1D．eq\f（1，4）3．點(diǎn)P（x，y)是直線(xiàn)x＋3y－2＝0上的動(dòng)點(diǎn)，則代數(shù)式3x＋27y有(）A．最大值8B．最小值8C．最小值6D．最大值64．若a，b，c＞0，且a(a＋b＋c）＋bc＝4－2eq\r（3），則2a＋b＋c的最小值為（）A．eq\r(3)－1B．eq\r（3）＋1C．2eq\r(3）＋2D．2eq\r（3)－25．設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿(mǎn)足x2－3xy＋4y2－z＝0．則當(dāng)eq\f(z，xy）取得最小值時(shí)，x＋2y－z的最大值為（)A．0B．eq\f(9,8）C．2D．eq\f（9,4）6．一批救災(zāi)物資隨26輛汽車(chē)從某市以v千米/時(shí)的速度勻速直達(dá)災(zāi)區(qū)，已知兩地公路線(xiàn)長(zhǎng)400千米，為了安全起見(jiàn),兩輛汽車(chē)的間距不得小于eq\b\lc\（\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(\f(v，20)））2千米，那么這批物資全部到達(dá)7．設(shè)a≥0,b≥0，且a2＋eq\f（b2，2）＝1,則aeq\r(1＋b2)的最大值為_(kāi)_______．8．已知直線(xiàn)x＋y＝1經(jīng)過(guò)第一象限內(nèi)的點(diǎn)Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,a）,\f（1,b)）），則a＋4b的最小值是________．9．某游泳館出售冬季游泳卡，每張240元，其使用規(guī)定：不記名，每卡每次只限一人,每天只限一次．某班有48名同學(xué)，老師打算組織同學(xué)們集體去游泳，除需購(gòu)買(mǎi)若干張游泳卡外，每次游泳還需包一輛汽車(chē)，無(wú)論乘坐多少名同學(xué)，每次的包車(chē)費(fèi)均為40元．(1）若使每個(gè)同學(xué)游8次，每人最少應(yīng)交多少元錢(qián)？（2)若使每個(gè)同學(xué)游4次，每人最少應(yīng)交多少元錢(qián)？10．用一塊鋼錠燒鑄一個(gè)厚度均勻,且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器（如圖所示),設(shè)容器高為h米，蓋子邊長(zhǎng)為a米．（1)求a關(guān)于h的解析式；（2）設(shè)容器的容積為V立方米，則當(dāng)h為何值時(shí)，V最大?并求出V的最大值．(求解本題時(shí)，不計(jì)容器厚度)

參考答案1．解析：∵x≤－2，∴f(x)＝x＋eq\f(4,x）＋3＝－eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（(－x)＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（4,x))）)）＋3≤－2eq\r（（－x）\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(4，x））)）＋3＝－1,當(dāng)且僅當(dāng)－x＝－eq\f(4,x），即x＝－2時(shí)，等號(hào)成立．∴f（x)有最大值－1，無(wú)最小值，故選D．答案：D2．解析：eq\r（3）是3a與3b的等比中項(xiàng)3a·3b＝33a＋b＝3a＋b＝1．∵a〉0，b>0，∴eq\r(ab)≤eq\f（a＋b，2）＝eq\f(1，2)ab≤eq\f（1，4）．∴eq\f（1，a)＋eq\f（1，b)＝eq\f(a＋b，ab)＝eq\f(1，ab）≥eq\f(1,\f(1，4))＝4．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2）時(shí)，等號(hào)成立．答案：B3．解析：∵點(diǎn)P（x，y)在直線(xiàn)x＋3y－2＝0上，∴x＋3y＝2．∴3x＋27y＝3x＋33y≥2eq\r（3x·33y)＝2eq\r（3x＋3y）＝2eq\r（32)＝6．當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y，即x＝1，y＝eq\f(1，3)時(shí)，等號(hào)成立．∴代數(shù)式3x＋27y有最小值6．答案：C4．解析：因?yàn)閍，b，c＞0，且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2eq\r(3）,所以a2＋ab＋ac＋bc＝4－2eq\r（3)，所以4－2eq\r（3）＝a2＋ab＋ac＋bc＝eq\f(1,4）(4a2＋4ab＋4ac＋2bc＋2bc)≤eq\f(1,4)(4a2＋4ab＋4ac＋2bc＋b2＋c2)．當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)，等號(hào)成立．所以(2eq\r(3）－2)2≤(2a＋b＋c）2，則2a＋b＋c≥2eq\r(3）－2．答案:D5．解析：由x2－3xy＋4y2－z＝0得x2＋4y2－3xy＝z，eq\f(z，xy）＝eq\f(x2＋4y2,xy)－3≥eq\f（2\r(x2·4y2）,xy)－3＝eq\f(4xy，xy）－3＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝4y2即x＝2y時(shí)，eq\f（z，xy）有最小值1，將x＝2y代入原式得z＝2y2，所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y,當(dāng)y＝1時(shí)有最大值2．故選C．答案：C6．解析：從第一輛車(chē)出發(fā)到最后一輛車(chē)到達(dá)目的地共需要的時(shí)間y＝eq\f（400,v)＋eq\f(25×\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（v，20)））2，v）＝eq\f（400，v)＋eq\f(25v,400）≥2eq\r(\f（400，v）×\f（25v，400)）＝10．當(dāng)且僅當(dāng)v＝80時(shí)，等號(hào)成立．答案：107．解析：由a2＋eq\f(b2，2）＝1，知2a2＋b2＝2，即2a2＋（1＋b2)＝3．因?yàn)?a2＋(1＋b2）≥2eq\r(2a2·(1＋b2)),所以aeq\r(1＋b2）≤eq\f(3，2\r（2)）＝eq\f（3\r(2），4）．當(dāng)且僅當(dāng)2a2＝1＋b2,即a＝eq\f(\r（3）,2）,b＝eq\f（\r（2）,2）時(shí),等號(hào)成立．答案：eq\f(3，4）eq\r(2）8．答案：99．解：(1）設(shè)每批去x名同學(xué)，共需去eq\f(48×8,x）批，總開(kāi)支又分為：①買(mǎi)卡所需費(fèi)用240x,②包車(chē)所需費(fèi)用eq\f（48×8,x)×40．∴y＝240x＋eq\f（48×8,x)×40（0＜x≤48，x∈Z）．∴y＝240eq\b\lc\(\rc\）(eq\a\vs4\al\co1(x＋\f(64,x）））≥240×2eq\r(x×\f（64,x））＝3840，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f（64，x),即x＝8時(shí)，等號(hào)成立．故每人最少應(yīng)交eq\f（3840,48)＝80(元）．2)設(shè)每批去x名同學(xué)，共需去eq\f(48×4，x）批，總開(kāi)支又分為:①買(mǎi)卡所需費(fèi)用240x,②包車(chē)所需費(fèi)用eq\f（48×4,x)×40．∴y＝240x＋eq\f（48×4，x）×40（0＜x≤48，x∈Z）．∴y＝240eq\b\lc\(\rc\)（eq\a\vs4\al\co1(x＋\f(32,x)））≥240×2eq\r(x×\f(32，x）)≈2715，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(32,x)，即x≈5．66時(shí)，等號(hào)成立．但0＜x≤48，x∈Z，當(dāng)x1＝5時(shí)，y1＝240×eq\b\lc\（\rc\)（eq\a\vs4\al\co1(5＋\f（32,5)））＝2736；當(dāng)x2＝6時(shí)y2＝240×eq\b\lc\（\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(6＋\f（32,6)）)＝2720．∵y1＞y2，∴當(dāng)x＝6時(shí)，y有最小值，即ymin＝2720．故每人最少應(yīng)交eq\f（2720,48)≈56．67(元)．10．解：（1)設(shè)h′是正四棱錐的斜高,由題設(shè),得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a2＋4·\f(1，2）h′a＝2，,h2＋\f（1，4)a2＝h′2，））)消去h′，解得a＝eq\f（1，\r(h2＋1))（a＞0)．（2）由V＝eq\f(1,3)a2h＝eq\f(h,3