2025屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)特訓(xùn)：概率 （含答案）

2025屆新高考一輪復(fù)習(xí)特訓(xùn)概率

一、選擇題

1.學(xué)校先舉辦了一次田徑運(yùn)動(dòng)會(huì),某班有8名同學(xué)參賽，又舉辦了一次球類運(yùn)動(dòng)會(huì)，這個(gè)

班有12名同學(xué)參賽，兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)都參賽的有3人,兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)中，這個(gè)班總共參賽的同學(xué)

有（）

A.20人B.17人C.15人D.12人

2.抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A：至少有兩件次品，則A的對立事件為（）

A.至多兩件次品B.至多一件次品C.至多兩件正品D.至少兩件正品

3.擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)，事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件3表示“小于5的點(diǎn)

數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗(yàn)中事件A+月發(fā)生的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

3236

4.在調(diào)查運(yùn)動(dòng)員是否服用過興奮劑的時(shí)候，給出兩個(gè)問題作答，無關(guān)緊要的問題是：

“你的身份證號碼的尾數(shù)是奇數(shù)嗎？”敏感的問題是：“你服用過興奮劑嗎？”然后要求

被調(diào)查的運(yùn)動(dòng)員擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個(gè)問題，否則回答第二個(gè)問

題.由于回答哪一個(gè)問題只有被測試者自己知道，所以應(yīng)答者一般樂意如實(shí)地回答問題.

如我們把這種方法用于300個(gè)被調(diào)查的運(yùn)動(dòng)員，得到80個(gè)“是”的回答，則這群人中服

用過興奮劑的百分率大約為（）

A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%

5.端午節(jié)放假，甲回老家過節(jié)的概率為工，乙，丙回老家過節(jié)的概率分別為4，

345

假定三人的行動(dòng)相互之間沒有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少1人回老家過節(jié)的概率為（）

A.—59B.-3C.-1D.—1

605260

6.兩名同學(xué)分3本不同的書，其中一人沒有分到書，另一人分得3本書的概率為（）

A.lB.lC.-D.-

2436

7.以下事件是隨機(jī)事件的是（）

A.標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100。€：,必會(huì)沸騰

B.走到十字路口，遇到紅燈

C.長和寬分別為a,6的矩形，其面積為必

D.實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根

8.將95,96,97,98,99這5個(gè)數(shù)據(jù)作為總體，從這5個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取2個(gè)數(shù)據(jù)作為一個(gè)

樣本，則該樣本的平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過1的概率為（）

A.-12B.-C.-3D.24

5555

二、多項(xiàng)選擇題

9.對空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件4=｛兩炮彈都擊中飛機(jī)

｝，事件B=｛兩炮彈都沒擊中飛機(jī)｝，事件C=｛恰有一炮彈擊中飛機(jī)｝，事件D=｛至少有

一炮彈擊中飛機(jī)｝，則下列關(guān)系正確的是（）

A.AD^0B.BD=0C.AB=BDD.AC=D

10.有6個(gè)相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩

次，每次取1個(gè)球用x表示第一次取到的小球的標(biāo)號，用y表示第二次取到的小球的

標(biāo)號，記事件A：%+y為偶數(shù)，B-.孫為偶數(shù)，C：%〉2,則（）

A.p（B）=|B.A與3相互獨(dú)立

C.A與C相互獨(dú)立D.B與C相互獨(dú)立

11.下列命題中為真命題的是（）

A.若事件A與事件3互對立事件，則事件A與事件3為互斥事件

B.若事件A與事件5為互斥事件，則事件A與事件3互為對立事件

C.若事件A與事件B互為對立事件，則事件A+B為必然事件

D.若事件A+§為必然事件，則事件A與事件3為互斥事件

三、填空題

12.從1,2,3,6這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù)，則所取2個(gè)數(shù)的乘積為6的概率

是..

13.為開展某教育宣講活動(dòng)，某單位從甲、乙、丙、丁四名宣講員中隨機(jī)選取兩名進(jìn)行宣

講，則恰好選中甲和丙的概率是.

14.已知事件A,B,C兩兩互斥，5.P（A）=0.3,P（豆）=0.6,P（C）=0.2,則

P（ALB_C）=.

四,解答題

15.小王某天乘坐火車從重慶到上海去辦事，若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車正點(diǎn)到達(dá)

的概率分別為0.8,0.7,0.9,假設(shè)這三列火車之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響.求：

(1)這三列火車恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率；

(2)這三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率；

(3)這三列火車恰有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率.

16.某校高二期中考試后，教務(wù)處計(jì)劃對全年級數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)解題思路,從男、女生

中各隨機(jī)抽取100名學(xué)生，分別制成了男生和女生數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖，如圖所示.

(1)若所得分?jǐn)?shù)大于等于80分認(rèn)定為優(yōu)秀，求男、女生優(yōu)秀人數(shù)各有多少人？

(2)在(1)中的優(yōu)秀學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人，從這5人中任意任取2人，求

至少有1名男生的概率.

17.ChatGPT是AI技術(shù)驅(qū)動(dòng)的自然語言處理工具，引領(lǐng)了人工智能的新一輪創(chuàng)新浪潮.

某數(shù)學(xué)興趣小組為了解使用ChatGPT人群中年齡與是否喜歡該程序的關(guān)系，從某社區(qū)使

用過該程序的人群中隨機(jī)抽取了200名居民進(jìn)行調(diào)查，并依據(jù)年齡樣本數(shù)據(jù)繪制了如下

⑴根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)年齡樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)：

(2)將年齡不超過(1)中75%分位數(shù)的居民視為青年居民，否則視為非青年居民.

(i)完成下列2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為年齡與是否喜歡該程序有關(guān)

聯(lián)？

青年非青年合計(jì)

喜歡20

不喜歡60

合計(jì)200

(ii)按照等比例分層抽樣的方式從樣本中隨機(jī)抽取8名居民.若從選定的這8名居民

中隨機(jī)抽取4名居民做進(jìn)一步調(diào)查，求這4名居民中至少有3人為青年居民的概率.

參考公式：/=7-------------------------------其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(》+d)

參考數(shù)據(jù):

P(必明0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

18.某數(shù)學(xué)興趣小組共有5名學(xué)生，其中有3名男生Ar4、4，2名女生與、生，現(xiàn)從

中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加比賽.

(1)問共有多少個(gè)基本事件(列舉說明)？

⑵抽取的學(xué)生恰有一男生一女生的概率是多少？

19.已知甲、乙兩袋中各裝有4個(gè)質(zhì)地和大小完全相同的小球,甲袋中有紅球2個(gè)、白

球1個(gè)、藍(lán)球1個(gè),乙袋中有紅球1個(gè)、白球1個(gè)、藍(lán)球2個(gè).

(1)從兩袋中隨機(jī)各取一球，求取到的兩球顏色相同的概率；

(2)從甲袋中隨機(jī)取兩球，從乙袋中隨機(jī)取一球，求取到至少一個(gè)紅球的概率.

參考答案

1.答案：B

解析：設(shè)參加田徑運(yùn)動(dòng)的同學(xué)構(gòu)成集合A,參加球類運(yùn)動(dòng)會(huì)的同學(xué)構(gòu)成集合民

則參加田徑運(yùn)動(dòng)同學(xué)人數(shù)cardA=8，

參加球類運(yùn)動(dòng)會(huì)的同學(xué)人數(shù)cardB=12,

兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)都參賽的同學(xué)人數(shù)card(A5)=3,

則兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)中，這個(gè)班總共參賽的同學(xué)人數(shù)為

card(AB)=cardA+cardB-card(A5)=8+12-3=17.

故選：B.

2.答案：B

解析：事件A不包含沒有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所

以事件A的對立事件為至多一件次品.故B正確.

3.答案：C

17

解析：由已知得：P(A)=-,P(B)=-,

事件5表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，

則事件后表示“出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)”

故事件A與事件》互斥，

_122

P(A+B)=P(A)+(l-P(B))=-+(l-j)=-

故選：C.

4.答案：B

解析：因?yàn)閽佊矌懦霈F(xiàn)正面朝上的概率為工，大約有150人回答第一個(gè)問題，

2

又身份證號碼的尾數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)是等可能的，

在回答第一個(gè)問題的150人中大約有一半人，即75人回答了“是”，

共有80個(gè)“是”的回答，故回答服用過興奮劑的人有5人，

因此我們估計(jì)這群人中，服用過興奮劑的百分率大約為且處3.33%.

150

故選：B

5.答案：B

解析：端午節(jié)放假，甲回老家過節(jié)的概率為工，乙，丙回老家過節(jié)的概率分別為工，

34

1

5,

假定三人的行動(dòng)相互之間沒有影響，

這段時(shí)間內(nèi)至少1人回老家過節(jié)的對立事件是這段時(shí)間沒有人回老家過節(jié)，

二這段時(shí)間內(nèi)至少1人回老家過節(jié)的概率為：p==

故選：B.

6.答案：B

解析：兩名同學(xué)分3本不同的書，記為a,b,c,

基本事件有（0,3），（la,2）,（lb,2）,（lc,2）,（2,1a）,（2,仍），（2,1c），（3,0），共8

個(gè)，其中一人沒有分到書，另一人分到3本書的基本事件有2個(gè)，二一人沒有分到

書，另一人分得3本書的概率p=2=L

84

故選:B

7.答案：B

解析：A.標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100°C必會(huì)沸騰，是必然事件，故本選項(xiàng)不符合題

思；

B.走到十字路口，遇到紅燈，是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)符合題意；

C.長和寬分別為a,5的矩形，其面積為彷，是必然事件，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.實(shí)系數(shù)一元一次方程必有一實(shí)根，是必然事件，故本選項(xiàng)不符合題意故選B.

8.答案：D

解析：依題意可知,總體平均數(shù)為97,

從這5個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取2個(gè)數(shù)據(jù)作為一個(gè)樣本，情況如下：

選到95,96,則樣本平均數(shù)為95.5，所以|95.5-97|=1.5,

選到95,97,則樣本平均數(shù)為96,所以|96-97|=1,

選到95,98,則樣本平均數(shù)為96.5，所以|96.5-97|=0.5,

選到95,99,則樣本平均數(shù)為97,所以|97-97|=0,

選到96,97,則樣本平均數(shù)為96.5，所以|96.5-97|=0.5,

選到96,98,則樣本平均數(shù)為97,所以|97-97|=0,

選到96,99,則樣本平均數(shù)為97.5，所以|97.5-97|=0.5,

選到97,98,則樣本平均數(shù)為97.5，所以|97.5-97|=0.5,

選到97,99,則樣本平均數(shù)為98,所以|98-97|=1,

選到98,99,則樣本平均數(shù)為98.5，所以|98.5-97|=1.5,

所以該樣本的平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過1的概率為*=±

105

故選：D.

9.答案：ABD

解析：由題意得，事件C=｛第一枚擊中第二枚未中或第一枚未擊中第二枚擊中｝，事件

D=｛恰有一枚擊中或兩枚都擊中｝,

對于A中，由事件A=｛兩炮彈都擊中飛機(jī)｝,｛至少有一炮彈擊中飛機(jī)｝，得

AD=A,正確；

對于B中,由事件5=｛兩炮彈都沒擊中飛機(jī)｝,￡>=｛至少有一炮彈擊中飛機(jī)｝，得事件B

與事件。是互斥事件，所以30=0,正確；

對于C中，由事件4=｛兩炮彈都擊中飛機(jī)｝,3=｛兩炮彈都沒擊中飛機(jī)｝,。=｛至少有一

炮彈擊中飛機(jī)｝,

得A3不是必然事件，說。為必然事件，所以A323。，不正確；

對于D中，事件A=｛兩炮彈都擊中飛機(jī)｝,C=｛恰有一炮彈擊中飛機(jī)｝｛至少有一炮

彈擊中飛機(jī)｝,

得AC=｛至少有一炮彈擊中飛機(jī)｝，所以AC=￡>,正確.

故選:ABD.

10.答案：ACD

解析：對A：尸⑻++溶啜/故人正確;

對B：P（A）=|x|+|x|弓J，。（明=|x|<￡

4

則P(A)?「(§)==■|/「(■)，故A與3不相互獨(dú)立，故B錯(cuò)誤;

對C：P（C）=-=-尸岡=衿+衿嗤三

63

則P(A)?P(C)=gx|=g=P(AC)，故A與C相互獨(dú)立，故C正確;

對D：Pg=|xl+|x|心1

2

則故3與C相互獨(dú)立，故D正確;

故選：ACD.

11.答案：AC

解析：對立事件首先是互斥事件,A為真命題；

互斥事件不定是對立事件,B為假命題；

事件A,B為對立事件，則在一次試驗(yàn)中A,B一定有一個(gè)發(fā)生,C為真命題；

事件A+3表示事件A,B至少有一個(gè)發(fā)生,A,3不一定互斥,D為假命題.

故選AC.

12.答案：1

3

解析：從1,2,3,6這4個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)共有C；=6種取法，其中乘積為6的有

1,6和2,3兩種取法，因此所求概率為尸=2=L

63

13.答案：1

6

解析：從甲、乙、丙、丁四名宣講員選取兩名有如下情況：

甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6種情況，

則恰好選中甲和丙的概率為工.

6

故答案為：1.

6

14.答案：0.9

解析：由題意得P(B)=1-P(B)=0.4,則P(A_5C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.9.

故答案為：09

15.答案：⑴0.398

(2)0.994

(3)0.092

解析：(1)由題意得,恰好有兩列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率為

P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)?P(C)+P(A)P(耳)P(C)+P(A)?P(B)P(C)

=0.2x0.7x0.9+0.8x0.3x0.9+0.8x0.7x0.1=0.398?

(2)由題意得，三列火車至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率為

1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1—0.2x0.3x0.1=0.994.

(3)由題意得，恰有一列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率為

P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

=0.8x0.3x0.1+0.2x0.7x0.14-0.2x0.3x0.9=0.092.

16.答案：(1)男30人，女45人

(2)—

10

解析：(1)由題可得，男生優(yōu)秀人數(shù)為100x(0.01+0.02)x10=30人，

女生優(yōu)秀人數(shù)為100x(0.015+0.03)x10=45人；

(2)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是」_=J_,

30+4515

所以樣本中包含男生人數(shù)為30x1=2人，女生人數(shù)為45x，=3人.

1515

設(shè)兩名男生為a,4，三名女生為耳,與，.

則從5人中任意選取2人構(gòu)成的所有基本事件為：

｛44｝,｛4目｝,｛4也｝，｛4，聞，｛4,4｝，｛4也｝，｛4，&｝，｛4也｝，｛與，聞，但也｝共

io個(gè)，

記事件C：“選取的2人中至少有一名男生”，

則事件C包含的基本事件有：

｛44｝,｛44｝，｛4，與｝，｛4聞，｛4,4｝，｛4，耳｝,｛4，四｝共7個(gè).

所以尸(c)=：

17.答案：(1)45

⑵（i）列聯(lián)表見解析;有；（ii）—

14

解析：（1）由頻率分布直方圖可知，

年齡在40歲以下的居民所占比例為10義（0.01+0.025+0,03）=0.65,

年齡在50歲以下的居民所占比例為0.65+10x0.02=0.85，

所以75%分位數(shù)位于［40,50）內(nèi)，

0.75-0.65

由40+10x=45,

0.85-0.65

所以，樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為45;

（2）（i）由題知,2x2列聯(lián)表為:

青年非青年合計(jì)

喜歡9020110

不喜歡603090

合計(jì)15050200

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得:

200(90x30-60x20)2

-6.061>3.841.

150x50x110x90

所以，有95%的把握認(rèn)為年齡與是否喜歡該程序有關(guān)聯(lián);

（ii）按照分層抽樣，青年居民應(yīng)抽取8x3=6人，非青年居民應(yīng)抽取2人.

4

設(shè)從中隨機(jī)抽取的4名居民中為青年居民的人數(shù)為X,

P”=3)=與C3clH4

p(x=4)=#=a,

'，C；14

所以「（X23）=P（X=3）+P（X=4）=