浙江省浙大附中玉泉校區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

浙江省浙大附中玉泉校區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題：本題共8小題，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1．直線3x?y+1=0A．π6 B．π3 C．2π32．已知數(shù)列an為等差數(shù)列，a3=6，aA．1 B．3 C．2 D．43．幾何體ABCD?A1B1C1D1是平行六面體，底面A．14 B．19 C．22 D．234．已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為15，到y(tǒng)軸的距離為12A．3 B．6 C．9 D．125．已知R上可導(dǎo)函數(shù)fx的圖象如圖所示，f'x是fA．?∞,?2∪C．?1,0∪1,+∞6．跑步是一項常見的有氧運動，能增強人體新陳代謝和基礎(chǔ)代謝率，是治療和預(yù)防“三高”的有效手段.趙老師最近給自己制定了一個180千米的跑步健身計劃，計劃前面5天中每天跑4千米，以后每天比前一天多跑0.4千米，則他要完成該計劃至少需要（）A．23天 B．24天 C．25天 D．26天7．已知數(shù)列an滿足an=2?pn?2,n≤6pn?6A．1,74 B．1,107 C．8．已知點Mx1,y1在直線l1:y=x+2，點NA．722 B．1122 二、多選題：本題共4小題，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的是（）A．若空間向量a,b，滿足aB．若非零向量a,b,cC．若OA,OB,OC是空間的一組基底，且D．若向量a+b,10．若方程x2A．若1<t<3，則C為橢圓B．若C為橢圓，且焦點在y軸上，則2<t<3C．曲線C可能是圓D．若C為雙曲線，則t<111．已知直線l1A．若l1⊥B．若l1//l2C．原點到直線l1的最大距離為D．若l1,l2的傾斜角分別為α12．如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為A．當(dāng)P在表面A1B1CB．當(dāng)P在線段BB1中點時，平面EFPC．當(dāng)P在底面ABCD上運動，且滿足PG∥平面B1CD1D．使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點P的軌跡長度為π+4三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．雙曲線x2?my2=1(m>0)14．已知直線過點A1,?1,?1，且方向向量為1,0,?1，則點P1,1,1到直線l的距離為15．已知數(shù)列{an}滿足a1=1，16．若對任意的x1、x2∈m,+∞，且當(dāng)x1<四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．已知O為坐標(biāo)原點，動點P到兩個定點O(0,0),A(3,0)的距離的比12（1）求由線C的方程；（2）若直線l過點B(0,2)，曲線C截l所得弦長等于2318．已知函數(shù)f(x)=（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上的值域.19．已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1（1）求數(shù)列an（2）求數(shù)列2n+1?an的前n20．如圖，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC∩BD=O,AD=BD=2,∠ADB=90°，在等腰直角△BPD中，∠BPD=90（1）求證：OM//平面BCP；（2）求二面角C?BP?A的正弦值．21．已知函數(shù)f(x)=ln（1）求函數(shù)f(x)的極值點和零點；（2）若f(x)<kx?122．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）直線l：y=kx+mm≠0與橢圓C交于M，N兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)k為何值，OM2+

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】由已知得y=3故直線斜率k=由于傾斜的范圍是[0，則傾斜角為π3故答案為：B.

【分析】先將直線方程化為斜截式，可求斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系可得答案.2．【答案】C【解析】【解答】因為數(shù)列an為等差數(shù)列，a3=6所以a1+2d=6，解得：a1=2，故答案為：C.【分析】利用等差數(shù)列的通項公式即可求解.3．【答案】D【解析】【解答】因為底面ABCD是矩形，所以AB?又因為∠A所以AA1?因為AC所以AC故答案為：D【分析】將AC1用4．【答案】B【解析】【解答】設(shè)Ax則x0+p故答案為：B

【分析】利用拋物線定義代入即可求解.5．【答案】C【解析】【解答】由圖象知f'(x)>0的解集為(?∞,?1)∪(1,+∞xf'(x)>0?所以x>1或?1<x<0，解集即為?1,0∪故答案為：C【分析】由函數(shù)圖象得出f'(x)>0和6．【答案】C【解析】【解答】設(shè)需要n天完成計劃，由題意易知每天跑步的里程為{an}所以an所以Sn=20+(n?5)(4.4+0.4n+2)因為f(x)=x2+11x?880當(dāng)n=24時，242+11×24?880<0，當(dāng)n=25時，故滿足條件的最小n=25.故答案為：C.

【分析】利用題中的條件，易知每天跑步的里程為等差數(shù)列，求其前n項和即可解出答案.7．【答案】D【解析】【解答】因為對任意的n∈N*都有則數(shù)列an又an所以只需2?p>0p>1a6<a故答案為：D.【分析】由數(shù)列的單調(diào)性列不等式組，解出參數(shù)，即可求解.8．【答案】D【解析】【解答】由已知x12+y1x2?52+y所以x1過點A作AC⊥l1，垂足為因為直線l1的方程為x?y+2=0，A所以AC=又直線l1:y=x+2與直線l2所以MN=2?01+1所以四邊形AMNC為平行四邊形，所以AM=所以x1又CN+NB≥所以當(dāng)點N為線段CB與直線l2x12+因為過點A0,4與直線l1垂直的直線的方程為聯(lián)立y=?x+4y=x+2，可得x=1所以點C的坐標(biāo)為1,3，所以CB=所以x12+故答案為：D.【分析】根據(jù)兩點距離公式將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為點Mx1,y1到點A9．【答案】C,D【解析】【解答】對于A，模長相等方向可不同，顯然A錯誤；對于B，由于空間中垂直于同一直線的兩直線可以不平行，所以B錯誤；對于C，由平面的向量示可知OA,OB,OC是空間的一組基底，則A,B,C三點不共線.由OD=對于D，若向量a+b,b+c,c+a是空間一組基底，則對空間中的任何一個向量故答案為：C、D【分析】結(jié)合空間向量定義可直接判斷A錯誤；由空間的垂直關(guān)系可判斷B錯誤；由四點共面的結(jié)論可判斷C正確；由基底向量的定義化簡可判斷D正確.10．【答案】A,D【解析】【解答】解：對于A選項，當(dāng)t=2時，曲線為C表示圓，故不正確；對于B選項，當(dāng)曲線C為焦點在y軸上的橢圓時，則t?1>3?t>0，解得2<t<3，故正確；對于C選項，當(dāng)t=2時，曲線為C表示圓的方程，故正確；對于D選項，當(dāng)曲線C為雙曲線時，則(3?t)(t?1)<0，解得t<1或t>3，故錯誤；綜上，錯誤的是AD.故答案為：AD.【分析】根據(jù)題意依次討論各選項即可得答案.11．【答案】A,C【解析】【解答】對A，若l1⊥l2，則對B，若l1//l2，則a(a?2)?3×1=0且對C，因為l1:ax+3y?1=0，則l1所以原點到直線l1的距離d≤|OP|，所以d的最大值為|OP|=對D，l1,l2的傾斜角為α1,α2，若而α2=2α1，所以α1所以?a3=1，所以a=?3，與假設(shè)矛盾，所以a≠2即k2=tanα2所以12?a=2×?a當(dāng)a=6+3117>2，直線故答案為：A、C.【分析】根據(jù)直線垂直和平行得到關(guān)于a的方程，解出即可判斷A正確、B錯誤，求出l1所過定點即可求出最大值，從而判斷C正確；首先排除l2斜率不存在的情況，再利用二倍角的正切公式得到關(guān)于12．【答案】B,C,D【解析】【解答】選項A：當(dāng)P在表面A1B1C1D1所以三棱錐P?ABD的體積不變，且VP?ABD選項B：由平面在兩平行平面上的交線互相平行，取B1C1的中點N，C1D1的中點連接PN，NH，HK，KF，延長FE，NP一定與CB交于一點M，所以E，F(xiàn)，P，N四點共面，同理可證E，F(xiàn)，K，H四點共面，則過點E，F(xiàn)，P作正方體的截面，截面為正六邊形FEPNHK，邊長為2，設(shè)正六邊形對角線交點為O1，則正六邊形FEPNHK的面積為6選項C：當(dāng)P在底面ABCD上運動，以D為原點，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸、y軸和可得A12,0,2，D10,0,2，C10,2,2，B12,2,2，C0,2,0則CB1=2,0,2，設(shè)平面CB1D1的一個法向量為取a=1，可得b=?1，c=?1，所以n=因為PG∥平面B1CD，所以GP?所以GP=m?22選項D：因為直線AP與平面ABCD所成的角為45°，由AA1⊥平面ABCD，得直線AP若點P在平面DCC1D1和平面BCC若點P在平面ADD1A1內(nèi)，此時點若點P在平面ABB1A1內(nèi)，此時點若點P在平面A1B1C1因為∠PAM=45°，所以PM=AM，又因為PM=AB，所以AM=AB，所以A1所以點P的軌跡是以A1點為圓心，以2為半徑的四分之一圓，所以點P的軌跡的長度為1綜上，點P的軌跡的總長度為π+42故答案為：B、C、D．【分析】求出三棱錐P?ABD的底面積和高即可判斷A錯誤；作出截面圖形即可判斷B項正確；

建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面B1CD1的法向量，然后利用向量關(guān)系即可確定P點坐標(biāo)滿足的關(guān)系，從而可求13．【答案】y=±3【解析】【解答】根據(jù)題意，雙曲線的方程為x2則其標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2其右焦點坐標(biāo)為(2,0)，即c=2，則有1+1m=4故雙曲線的方程為x2其漸近線方程為y=±3故答案為：y=±3【分析】先將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)c=2得到關(guān)于m的方程，解出m值，再利用漸近線方程即可得到答案.14．【答案】6【解析】【解答】取直線l的方向向量為a=因為A1,?1,?1，P所以AP=0,2,2，AP=02所以點P到直線l的距離為d=AP故答案為：6.【分析】利用向量的坐標(biāo)運算及向量的單位化公式，結(jié)合點到直線的距離公式即可求解.15．【答案】1023【解析】【解答】數(shù)列{an}中a則a2=2a1+1=2×1+1=3a5=2aa7=2aa9=2a故答案為：1023。

【分析】利用已知條件結(jié)合遞推關(guān)系，再利用代入法得出數(shù)列第十項的值。16．【答案】2【解析】【解答】由題意可知，x1、x2均為正數(shù)，則m,+∞因為x1<x2，由所以，lnx令gx=lnx+2所以，函數(shù)gx在m,+由g'x=所以，函數(shù)gx=ln所以，m,+∞?2,+∞，則m≥2，即實數(shù)故答案為：2.【分析】由已知不等式變形得出lnx1+2x1<lnx2+17．【答案】（1）解：由題知，設(shè)點P(x,y)，則|PO||PA|=x即4x2+4所以曲線C是圓心為(?1,0)，半徑等于2的圓，故曲線C的方程為：(x+1)2（2）解：若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為：x=0，與C的交點坐標(biāo)為(0,?3),(0,3若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，曲線C截l所得弦長等于23，所以23=2圓心C(?1,0)到直線l的距離d=|?k+2|所以|?k+2|1+k2則直線l的方程為：y=34綜上，直線l的方程為：x=0或3x?4y+8=0.【解析】【分析】（1）直接根據(jù)條件列式，化簡整理可得曲線C的方程，進而判斷曲線類型；（2）分為兩種情況討論：若直線l的斜率不存在，直接驗證；若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，由弦長可得圓心C(?1,0)到直線l的距離d，列出方程可求得k.（1）由題知，設(shè)點P(x,y)，則|PO||PA|=x即4x2+4所以曲線C是圓心為(?1,0)，半徑等于2的圓，故曲線C的方程為：(x+1)2（2）若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為：x=0，與C的交點坐標(biāo)為(0,?3),(0,3若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，曲線C截l所得弦長等于23，所以23=2圓心C(?1,0)到直線l的距離d=|?k+2|所以|?k+2|1+k2則直線l的方程為：y=34綜上，直線l的方程為：x=0或3x?4y+8=0.18．【答案】解：（Ⅰ）由題意，函數(shù)f(x)=x3?則f(1)=12，f'所以曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y?12=2(x?1)所以曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為4x?2y?3=0．（Ⅱ）由f'(x)=3x2?x=x(3x?1)，令當(dāng)x變化時，f(x)與f'(x)的變化情況如下表：x0(0，1(2g'(x)0?0+g(x)0減極小值?增6所以函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的最小值為?154，最大值為即函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上的值域為[?1【解析】【分析】（1）根據(jù)題意首先得出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出切線斜率為k=2，從而得出曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程。

（2）根據(jù)題意令f'(x)=0，得x=0或x=13，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的最值，從而得出函數(shù)f(x)在區(qū)間19．【答案】解：（1）因為Sn=a兩式相減得an+1又a2所以an+1an故數(shù)列an的通項公式為a（2）據(jù)（1）可得(2n+1)?a所以Tn2T兩式相減得?=6+2×2化簡得Tn【解析】【分析】（1）利用Sn+1?Sn=（2）利用錯位相減求和法求得Tn20．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD的對角線互相平分，AC∩BD=O，∴O為BD的中點，又因為M為PD的中點，則OM//PB，∵OM?平面PBC，PB?平面PBC，OM//平面PBC.（2）解：因為AD=BD=2,∠ADB=90°，又O為BD的中點，又∵PO⊥AC，AC∩BD=O，AC,BD?平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.以點D為坐標(biāo)原點，以DA、DB分別為x軸、y軸，過D且與平面ABCD垂直的直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D?xyz，∵AD=BD=2，AD⊥BD，∴BC⊥BD，BC=2，AB=CD=22∵PB⊥PD，PB=PD，∴PB=PD=2，PO=1∵AD=2，AD⊥BD，DO=1，∴AO=A所以A2,0,0，P0,1,1，B0,2,0PA=2,?1,?1，PB=設(shè)平面PAB和平面PBC的法向量分別為n1=x由n1→·PA→=0n由n2→·PB→=0ncosn1,所以二面角C?BP?A的正弦值為33【解析】【分析】（1）分析可知O為BD的中點，利用中位線的性質(zhì)可得出OM//PB，再利用線面平行的判定定理可得出結(jié)論；（2）證明出PO⊥平面ABCD，然后以點D為坐標(biāo)原點，以DA、DB分別為x軸、y軸，過D且與平面ABCD垂直的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得結(jié)果.（1）∵四邊形ABCD的對角線互相平分，AC∩BD=O，∴O為BD的中點，又因為M為PD的中點，則OM//PB，∵OM?平面PBC，PB?平面PBC，OM//平面PBC.（2）因為AD=BD=2,∠ADB=90°，又O為BD的中點，又∵PO⊥AC，AC∩BD=O，AC,BD?平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.以點D為坐標(biāo)原點，以DA、DB分別為x軸、y軸，過D且與平面ABCD垂直的直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D?xyz，∵AD=BD=2，AD⊥BD，∴BC⊥BD，BC=2，AB=CD=22∵PB⊥PD，PB=PD，∴PB=PD=2，PO=1∵AD=2，AD⊥BD，DO=1，∴AO=A所以A2,0,0，P0,1,1，B0,2,0PA=2,?1,?1，PB=設(shè)平面PAB和平面PBC的法向量分別為n1=x由n1→·PA→=0n由n2→·PB→=0ncosn1,所以二面角C?BP?A的正弦值為3321．【答案】（1）解：函數(shù)fx定義域為(0,+∞)當(dāng)x∈(0,e)時當(dāng)x∈(e,+∞所以函數(shù)fx在x=e時取得極大值f(e所以函數(shù)fx的極值點只有1個，即極大值點e因為f(1)=0，當(dāng)0<x<1時，f(x)<0，當(dāng)x>1時f(x)>0，所以fx（2）解：要使fx<kx?1令g(x)=1+lnx當(dāng)x∈(0,1e)時，g當(dāng)x∈(1e,+∞)所以g(x)在x=1e時取得極大值也是最大值，要使k>g(x)恒成立，則k>e即實數(shù)k的取值范圍是(e【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)性