同步優(yōu)化設(shè)計2024年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.2空間向量運算的坐標(biāo)表示及應(yīng)用課后篇鞏固提升含解析北師大版選擇性必修第一冊

第三章空間向量與立體幾何§3空間向量基本定理及空間向量運算的坐標(biāo)表示3.2空間向量運算的坐標(biāo)表示及應(yīng)用課后篇鞏固提升合格考達標(biāo)練1.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,已知點A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且AB=2a,則點B的坐標(biāo)為()A.(-7,10,24) B.(7,-10,-24)C.(-6,8,24) D.(-5,6,24)答案D解析∵a=(-3,4,12),且AB=2a,∴AB=(-6,8,24),∵A(1,-2,0),∴點B的坐標(biāo)是(-5,6,24),故選D.2.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),則實數(shù)λ的值為()A.-2 B.-143 C.143 D答案D解析由題意知,a-λb=(-2+λ,1-2λ,3-λ),因為a⊥(a-λb),所以a·(a-λb)=(4-2λ)+(1-2λ)+(9-3λ)=14-7λ=0,解得λ=2.3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),則|3a+b|=()A.15 B.4 C.5 D.17答案D4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中點,O為底面ABCD的中心,P為棱A1B1上隨意一點,則直線OP與AM所成的角為()A.45° B.60°C.90° D.不能確定答案C解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為2,A1P=p,易得AM=(-2,0,1),OP=(1,p-1,2),而AM·OP=-2+0+2=0,所以AM⊥OP,即所以直線OP與AM所成的角為90°.故選C.5.已知A(0,0,-x),B(1,2,2),C(x,2,2)三點,點M在平面ABC內(nèi),O是平面ABC外一點,且OM=xOA+2xOB+4OC,則AB與AC的夾角為(A.π6 B.π4 C.π3答案C解析由A,B,C,M四點共面可知x+2x+4=1,∴x=-1,∴A(0,0,1),C(-1,2,2),∴AB=(1,2,1),AC=(-1,2,1),∴cos<AB,AC>=AB·AC|AB故選C.6.已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=-2,則實數(shù)x=.

答案-8解析由已知得c+a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以(c+a)·2b=4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8.7.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=14,若(a+b)·c=7,則a與c的夾角為.

答案120°解析由題得a+b=(-1,-2,-3),所以|a+b|=14.因為(a+b)·c=7,所以a+b與c夾角的余弦值為12,即夾角為60°因為a=(1,2,3)與a+b=(-1,-2,-3)方向相反,所以可知a與c的夾角為120°.8.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:(1)a,b,c;(2)a+c與b+c所成角的余弦值.解(1)因為a∥b,所以x-2=4y=1-1,解得x=2,y=-4,這時a=(2,4,1),b又因為b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,所以c=(3,-2,2).(2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),所以a+c與b+c所成角的余弦值cosθ=5-12+3389.如圖所示,在正四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,O是AC與BD的交點,PO=1,M是PC的中點.設(shè)AB=a,AD=b,AP=c.(1)用向量a,b,c表示BM;(2)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中,求BM的坐標(biāo).解(1)∵BM=∴BM=AD+12(AP-AC)=AD+12AP(2)a=AB=(1,0,0),b=AD=(0,1,0).∵A(0,0,0),O12,12,0,P12,∴c=AP=12,12∴BM=-12a+12b+12c=-12×(1,0,0)+12×(0,1,0)+12×12,1等級考提升練10.已知a+b=(2,2,23),a-b=(0,2,0),則cos<a,b>等于()A.13 B.1C.63 D.答案C11.已知兩點A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),當(dāng)|AB|取最小值時,x的值等于()A.19 B.-87C.87 D.答案C解析AB=(1-x,2x-3,3-3x),|AB|2=(1-x)2+(2x-3)2+(3-3x)2=14x2-32x+19=14x-872+57,當(dāng)且僅當(dāng)x=87時,12.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),則AC與AB的夾角是(A.30° B.45° C.60° D.90°答案C13.(多選題)下列各組向量中共面的有()A.a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5)B.a=(1,2,-1),b=(0,2,-4),c=(0,-1,2)C.a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1)D.a=(1,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)答案ABC解析選項A中,設(shè)a=xb+yc,則1=3x+4y,2=0+2y,3=2x+5y,解得x=-1,y=1,故存在實數(shù)x=-1,y=1使得a=-b+c,因此a,b,選項D中,設(shè)a=xb+yc,則x+y=1,x=1,y=1,明顯14.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,下列計算結(jié)果肯定等于0的是()A.ADB.BC.DC·D.B答案C解析如圖,以D為原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)DA,DC,DD1的長度分別為a,b,c,則A(a,0,0),B(a,b,0),C(0,b,0),D(0,0,0),B1(a,b,c),C1(0,b,c),D1(0,0,c),∴AD1=(-a,0,c),B1C=(-a,0,-c),BD1=(-a,-b,c),AC=(-a,b,0),DC=(0,b∴AD1·B1C=a2-c2,當(dāng)a≠c時,AD1·B1C≠0;BD1·AC=a2-b2,當(dāng)a≠b時15.已知空間三點A(0,2,3),B(2,5,2),C(-2,3,6),則以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的面積為.

答案65解析由題意可得AB=(2,3,-1),AC=(-2,1,3),|AB|=4+9+1=14,|AC|=4+1+9=14,所以cos<AB,AC>=2×(-2)則以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的面積為S=14×14×316.已知點A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),O(0,0,0),點Q在直線OP上運動,當(dāng)QA·QB取得最小值時,點Q的坐標(biāo)為答案4解析設(shè)OQ=λOP=(λ,λ,2λ),則Q(λ,λ,2λ),故QA=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=(2-λ,1-λ,2-2λ),所以QA·QB=6λ2-16λ+10=6當(dāng)λ=43時,QA·此時點Q的坐標(biāo)為4317.已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以AB和AC(2)若|a|=3,且a分別與AB,AC垂直,求向量a解(1)由題中條件可知,AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),所以cos<AB,AC>=于是sin<AB,AC>=故以AB和S=|AB||AC|sin<AB,AC>=14×32=(2)設(shè)a=(x,y,z),由題意得x解得x故a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).新情境創(chuàng)新練18.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).(1)若DB∥AC,DC∥(2)是否存在實數(shù)α,β,使得AC=αAB+βBC成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,說明理由.解(1)設(shè)D(x,y,z),則DB=(-x,1-y,-z),AC=(-1,0,2),DC=(-x,-y