111空間向量及其線性運(yùn)算-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)(人教A版2019選擇性)

高中數(shù)學(xué)

人教A版（2019）

選擇性必修第一冊第一章

空間向量與立體幾何1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算山東沂水縣第四中學(xué)教材分析

第一章空間向量與立體幾何課時內(nèi)容1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算所在位置教材第2頁教材第6頁新教材內(nèi)容分析向量是既有大小也有方向的量，即用有向線段表示空間中具體存在的矢量；空間向量是平面向量的延伸，基本具有平行向量的性質(zhì)，具有加法、減法和數(shù)乘等線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算，并且均滿足運(yùn)算律：結(jié)合律、交換律和結(jié)合律，向量在數(shù)學(xué)、物理以及現(xiàn)代科技中有著廣泛應(yīng)用?？臻g向量的數(shù)量積運(yùn)算與平面向量的數(shù)量積運(yùn)算一樣，均滿足運(yùn)算律：交換律和數(shù)乘運(yùn)算結(jié)合律和分配律，并且在數(shù)學(xué)、物理以及現(xiàn)代科技中有著廣泛應(yīng)用。空間向量的運(yùn)算還包括較為特殊的數(shù)量積運(yùn)算，即是AxA=B的形式。在向量運(yùn)算背景下，我們得以實(shí)現(xiàn)對長度、面積和體積等度量單位的計算問題，向?qū)W生們展現(xiàn)了不一樣的計算類型。

核心素養(yǎng)培養(yǎng)在教學(xué)時，類比平面向量得出空間向量的相關(guān)概念，體現(xiàn)了直觀想象的核心素養(yǎng)；通過空間向量的性質(zhì)與運(yùn)算，強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，通過幾何體中的線性運(yùn)算，鞏固學(xué)習(xí)空間向量的含義與運(yùn)算，有利于培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力即數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

通過空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，通過幾何體中的數(shù)量積運(yùn)算，有利于培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力即數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

教學(xué)主線空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》人教A版（2019）第一章《空間向量與立體幾何》的第一節(jié)《空間向量及其運(yùn)算》。以下是本節(jié)的課時安排：學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解空間向量的含義，能夠區(qū)別于平面向量，懂得一些特殊向量如零向量和單位向量。理解相等向量和相反向量，后續(xù)進(jìn)一步理解共面向量和異面向量。2.掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘等線性法則、以及結(jié)合律和交換律等運(yùn)算律，并通過空間幾何體加深對運(yùn)算的理解，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。重點(diǎn)、難點(diǎn)1.重點(diǎn)：通過類比平面向量的概念來歸納并理解空間向量的含義，發(fā)現(xiàn)空間向量也與平面向量滿足線性運(yùn)算(加法、減法和數(shù)乘），懂得運(yùn)算律。2.難點(diǎn)：空間向量的線性在簡單空間幾何體中的計算和應(yīng)用。（一）新知導(dǎo)入

想象一個滑翔傘運(yùn)動的場景，在滑翔過程中，飛行員受到來自不同方向、大小各異的力，如繩索的拉力、風(fēng)力、重力等，這些力在同一平面內(nèi)嗎？我們知道，力是既有大小又有方向的量，在數(shù)學(xué)上，我們把這些力稱為什么？[提示]這些力不在同一平面內(nèi)，在數(shù)學(xué)上，我們把這些力稱為空間向量．（二）空間向量及其線性運(yùn)算【知識點(diǎn)1】空間向量的有關(guān)概念

大小方向

01相反互相平行重合平行任意相同相等空間向量的相關(guān)概念與平面向量類似，可對比記憶。（二）空間向量及其線性運(yùn)算

（二）空間向量及其線性運(yùn)算【知識點(diǎn)2】空間向量的線性運(yùn)算

【思考】平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則是什么?（二）空間向量及其線性運(yùn)算(1)空間向量的加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算圖(1)圖(2)

(2)空間向量的線性運(yùn)算滿足的運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa,λ(a＋b)＝λa＋λb.(3)一般地，對于三個不共面的向量a，b，c，以任意點(diǎn)O為起點(diǎn)，a，b，c為鄰邊作平行六面體，則a，b，c的和等于以O(shè)為起點(diǎn)的平行六面體對角線所表示的向量．空間向量的線性運(yùn)算法則與平面向量的線性運(yùn)算法則一樣。（二）空間向量及其線性運(yùn)算

（二）空間向量及其線性運(yùn)算【知識點(diǎn)3】共線向量與共面向量【探究1】根據(jù)平面向量知識，回答下列兩個問題：(1)在平面向量中，向量a，b(b≠0)共線的充要條件是什么？對于空間向量是否也成立呢？[提示]a∥b(b≠0)的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.對于空間向量仍然成立．(2)當(dāng)向量a，b不共線時，對于平面內(nèi)任一向量p是否都能用向量a，b表示？怎樣表示？【提示】是，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使向量p＝xa＋yb.【探究2】任意兩個向量是共面的，若有三個向量，在什么條件下可以共面？【提示】若三個向量中其中一個可以被另外兩個線性表示，即向量P,a，b，存在有序數(shù)對（x，y）使得P=xa+yb時，這三個向量共面。（二）空間向量及其線性運(yùn)算(1)

共線(平行)向量共面向量定義表示空間向量的有向線段所在的直線互相

，則這些向量叫做共線向量或平行向量平行于

的向量，叫做共面向量充要條件對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb

(2)直線l的方向向量：已知O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點(diǎn)P，存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λa.我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．(3)與直線、平面平行的向量：如果表示向量a的有向線段所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.同一個平面平行或重合（二）空間向量及其線性運(yùn)算

【答案】B

【重要結(jié)論】（三）典型例題1.空間向量的有關(guān)概念

（三）典型例題【類題通法】1．在空間中，零向量、單位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相對應(yīng)的概念完全相同．2．由于向量是由其模和方向確定的，因此解答空間向量有關(guān)概念問題時，通常抓住這兩點(diǎn)來解決．3．零向量是一個特殊向量，其方向是任意的，且與任何向量都共線，這一點(diǎn)說明了共線向量不具備傳遞性．【鞏固練習(xí)1】下列命題中正確的個數(shù)是()①如果a，b是兩個單位向量，則|a|＝|b|；②兩個空間向量共線，則這兩個向量方向相同；③若a，b，c為非零向量，且a∥b，b∥c，則a∥c；④空間任意兩個非零向量都可以平移到同一平面內(nèi)．A．1B．2

C．3 D．4【解析】對于①，由單位向量的定義即得|a|＝|b|＝1，故①正確；對于②，共線不一定同向，故②錯誤；對于③，正確；對于④，正確，在空間任取一點(diǎn)，過此點(diǎn)引兩個與已知非零向量相等的向量，而這兩個向量所在的直線相交于此點(diǎn)，兩條相交直線確定一個平面，所以兩個非零向量可以平移到同一平面內(nèi)．【答案】C（三）典型例題2.空間向量的線性運(yùn)算

（三）典型例題

（三）典型例題【類題通法】用已知向量表示未知向量，是向量線性運(yùn)算的基礎(chǔ)類型，解決這類問題，要注意兩個方面：(1)熟練掌握空間向量線性運(yùn)算法則和運(yùn)算律；(2)要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).

（三）典型例題3.空間向量共線問題

（三）典型例題【類題通法】1.判斷向量a，b共線的方法有兩種：(1)定義法，即證明a，b所在直線平行或重合．(2)利用“a＝λb?a∥b”判斷．2.如果a，b是由空間圖形中的有向線段表示的，可利用空間向量的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合具體圖形，化簡得出a＝λb，從而得出a∥b，即a與b共線.

（三）典型例題4.空間向量共面問題

（三）典型例題

（四）操作演練

素養(yǎng)提升

答案：1.D2.C3.14.略（五）課堂小結(jié)知識總結(jié)學(xué)生反思（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？

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