專題12直線與雙曲線位置關(guān)系（重難點(diǎn)突破）-2021年秋季高二數(shù)學(xué)上學(xué)期講義（人教A版）

專題12直線與雙曲線的位置關(guān)系一、考情分析考點(diǎn)梳理直線與雙曲線的位置關(guān)系：秒殺思路：直線與雙曲線的位置關(guān)系:=1\*romani.第一角度:;=2\*romanii.第二角度:(從交點(diǎn)個(gè)數(shù));如交到同一支上條件的限定:右支:;左支:;或者直接利用與漸近線的關(guān)系旋轉(zhuǎn)得到。

三、題型突破重難點(diǎn)題型突破1求雙曲線的離心率例1．（1）、（2021·山西平城·大同一中高二月考）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是曲線與的一個(gè)公共點(diǎn)，分別是和的離心率，若，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意設(shè)焦距為，橢圓長軸長，雙曲線實(shí)軸長為，取橢圓與雙曲線在一象限的交點(diǎn)為，由已知條件結(jié)合橢圓雙曲線的定義推出，可得，再利用基本不等式即可求出的最小值.【詳解】由題意設(shè)焦距為，橢圓長軸長，雙曲線實(shí)軸長為，取橢圓與雙曲線在一象限的交點(diǎn)為，由橢圓和雙曲線定義分別有，，因?yàn)?，所以，③因?yàn)?，所以，④所以，即，所以，即，則當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為，故選：B.（2）．（2021·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)高三開學(xué)考試）已知點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是△的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若恒有成立，則雙曲線的離心率取值范圍是________．【答案】【分析】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由，用的邊長和表示出不等式中的三角形面積，結(jié)合雙曲線的定義得到與的不等式，可求出離心率取值范圍.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，由雙曲線的定義可得，則，因?yàn)椋?，可得，故，故答案為?【變式訓(xùn)練11】、（2021·孟津縣第一高級中學(xué)（文））設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上在第一象限的點(diǎn)，點(diǎn)滿足，且線段互相垂直平分，則的離心率為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由垂直平分得，由此列出的方程組，解得，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程得關(guān)于的方程，整理后可求得離心率．【詳解】因?yàn)榫€段互相垂直平分，所以，故，而，解得，故的中點(diǎn)坐標(biāo)為，從而，代入中，，故，即，故選：B.【變式訓(xùn)練12】、（2021·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高三月考（文））雙曲線：（）的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與圓相切于點(diǎn)，與的右支交于點(diǎn)，若，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知求出，即得解.【詳解】如圖，由題得.因?yàn)?所以.故選：C重難點(diǎn)題型突破2與雙曲線有關(guān)的弦長問題例3．（2021·全國高三月考（理））已知雙曲線(，)的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線漸近線上一點(diǎn)，且(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))，交雙曲線于點(diǎn)且，則雙曲線的離心率為___________.【答案】【分析】首先設(shè)出焦點(diǎn)，然后根據(jù)題意以及雙曲線定義，利用、、表示出和的各個(gè)邊長，并結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，設(shè)，因?yàn)?，點(diǎn)到直線的距離，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，由雙曲線的定義可知，，在中，由余弦定理可得，，又由，整理得，所以，故離心率.故答案為：.（2）．（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)雙曲線上有兩點(diǎn)，，中點(diǎn)，則直線的方程為________________．【答案】【分析】設(shè)，，則，，利用點(diǎn)差法可求出直線的斜率，再由點(diǎn)斜式可得直線的方程.【詳解】設(shè)，，則，，則，兩式相減得，，所以直線的方程為即，代入滿足，所以直線的方程為.故答案為：.【變式訓(xùn)練21】、（2021·全國高二單元測試）過雙曲線C：（）的一個(gè)焦點(diǎn)和C兩支都相交的直線l與橢圓相交于點(diǎn)A，B，若C的離心率為，則的取值范圍是______.【答案】【分析】利用雙曲線離心率，先求出，進(jìn)而求出，得到橢圓的方程，畫出圖像，不妨取雙曲線的左焦點(diǎn)，設(shè)過的直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程消，求判別式，利用韋達(dá)定理和弦長公式即可得出結(jié)果.【詳解】雙曲線C：的實(shí)半軸長為2，虛半軸長為b（），由C的離心率為，得，即.∴.橢圓方程為，如圖：不妨取雙曲線的左焦點(diǎn)，由圖可知，直線l截橢圓所得弦長的最大值為4；設(shè)過的直線方程為，聯(lián)立，可得.①由，解得.可知當(dāng)時(shí)，直線與橢圓相切；要使直線與雙曲線C兩支都相交，則；而當(dāng)時(shí)，①化為；設(shè)，，則，.∴，∴的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)以及求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用直線與橢圓的位置關(guān)系求弦長的問題.屬于中檔題.【變式訓(xùn)練22】、（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的左，在焦點(diǎn)分別為，，A為雙曲線右支上一點(diǎn)，直線與雙曲線C的左支相交于B，如果，且的周長為，則雙曲線C的離心率為________.【答案】【分析】由雙曲線的定義結(jié)合的周長，得出，，由直角三角形的邊角關(guān)系得出，最后由余弦定理得出離心率.【詳解】設(shè)，，由雙曲線定義可知：，的周長為從而，故又，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線的離心率，屬于中檔題.重難點(diǎn)題型突破3雙曲線的幾何性質(zhì)例3．（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線：的左焦點(diǎn)為，過的直線交雙曲線的左、右兩支分別于點(diǎn)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)，求得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線：的左焦點(diǎn)為，設(shè)，可得，因?yàn)?，即，可得，所以，又由點(diǎn)都在雙曲線上，可得，整理得，又由，可得，因?yàn)?，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)撥：根據(jù)，求得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，求得，結(jié)合求解是解答的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練31】、（2021·全國）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于?兩點(diǎn)，若的面積為，則的焦距的最小值為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】由題意知：雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)镈，E分別為直線與雙曲線C的漸近線的交點(diǎn)，所以不妨設(shè)，，故，又由，即，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時(shí)，要檢驗(yàn)等號(hào)是否成立，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.例4．（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線的右支上一點(diǎn)．（1）求，的最小值；（2）若右支上存在點(diǎn)P，滿足，求雙曲線的離心率的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）結(jié)合圖象以及雙曲線的定義求得，的最小值.（2）結(jié)合余弦定理來求得雙曲線離心率的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的左右頂點(diǎn)為，由圖可知：當(dāng)在右頂點(diǎn)時(shí)，最小，即.而，所以當(dāng)最小時(shí)，取得最小值，即.（2）設(shè)，依題意，由余弦定理得，即.【變式訓(xùn)練41】、．（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，一條漸近線的傾斜角為60°．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（2）求分別以，為左、右頂點(diǎn)，短軸長等于雙曲線虛軸長的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1），2（2）【分析】（1）結(jié)合，聯(lián)立即得解；（2）由題意，即得解.【詳解】（1）由題意，又解得：故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，離心率為（2）由題意橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓方程為故即橢圓方程為：重難點(diǎn)題型突破4直線與雙曲線的位置關(guān)系例5．（山西省晉中一中2019屆模擬）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過其中一個(gè)焦點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M，若點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍是()A．(1,2) B.(2，＋∞)C．(1，eq\r(2)) D．(eq\r(2)，＋∞)【答案】A【解析】如圖，不妨設(shè)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，－c)，則過點(diǎn)F1與漸近線y＝eq\f(a,b)x平行的直線為y＝eq\f(a,b)x＋c，聯(lián)立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(a,b)x＋c，,y＝－\f(a,b)x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(bc,2a)，,y＝\f(c,2)，))即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(bc,2a)，\f(c,2))).因?yàn)辄c(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓x2＋y2＝c2內(nèi)，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(bc,2a)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))2＜c2，化簡得b2＜3a2，即c2－a2＜3a2，解得eq\f(c,a)＜2，又雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＞1，所以雙曲線離心率的取值范圍是(1,2)．故選A.例6．（江蘇省徐州一中2019屆模擬）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為eq\r(2)，且過點(diǎn)(4，－eq\r(10))．點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程；(2)求證：eq\o(MF1,\s\up8(→))·eq\o(MF2,\s\up8(→))＝0；(3)求△F1MF2的面積．【解析】(1)因?yàn)閑＝eq\r(2)，所以雙曲線的實(shí)軸、虛軸相等．則可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ.因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)(4，－eq\r(10))，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以雙曲線方程為eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.(2)證明：不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，則eq\o(MF1,\s\up8(→))＝(－2eq\r(3)－3，－m)，eq\o(MF2,\s\up8(→))＝(2eq\r(3)－3，－m)．所以eq\o(MF1,\s\up8(→))·eq\o(MF2,\s\up8(→))＝(3＋2eq\r(3))×(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2，因?yàn)镸點(diǎn)在雙曲線上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以eq\o(MF1,\s\up8(→))·eq\o(MF2,\s\up8(→))＝0.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4eq\r(3).由(2)知m＝±eq\r(3).所以△F1MF2的高h(yuǎn)＝|m|＝eq\r(3)，所以S△F1MF2＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×eq\r(3)＝6.【變式訓(xùn)練1】、（福建省南平一中2019屆質(zhì)檢）已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，點(diǎn)(eq\r(3)，0)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)經(jīng)過雙曲線右焦點(diǎn)F2作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，求|AB|.【解析】(1)因?yàn)殡p曲線C：eq\f(x2,a)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\r(3)，點(diǎn)(eq\r(3)，0)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\r(3)，,a＝\r(3)，))解得c＝3，b＝eq\r(6)，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1.(2)雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1的右焦點(diǎn)為F2(3,0)，所以經(jīng)過雙曲線右焦點(diǎn)F2且傾斜角為30°的直線的方程為y＝eq\f(\r(3),3)(x－3)．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)－\f(y2,6)＝1，,y＝\f(\r(3),3)x－3))得5x2＋6x－27＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq\f(6,5)，x1x2＝－eq\f(27,5).所以|AB|＝eq\r(1＋\f(1,3))×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)))2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,5))))＝eq\f(16\r(3),5).【變式訓(xùn)練2】、設(shè)和是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若直線和直線的斜率都存在且分別為和，求證：；（2）若雙曲線的焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為，求由四點(diǎn)、、、所圍成四邊形的面積．【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）證明：法1：設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為，代入雙曲線方程得：．設(shè)坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，，，所以，，．法2：設(shè)、，中點(diǎn)，則，且，（1）﹣（2）得：．因?yàn)?，直線和直線的斜率都存在，所以，等式兩邊同除以，得：，即．（2）由已知得，求得雙曲線方程為，直線斜率為，直線方程為，代入雙曲線方程可解得，中點(diǎn)坐標(biāo)為．面積．另解：線段中點(diǎn)在直線上．所以由中點(diǎn)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程可得，即，解得（），所以．面積．

四、定時(shí)訓(xùn)練（30分鐘）1．（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線E：＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，離心率e＝2，直線l：x＝與E的一條漸近線交于Q，與x軸交于P，且|FQ|＝．（1）求E的方程；（2）過F的直線交E的右支于A，B兩點(diǎn)，求證：PF平分∠APB．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）先將直線的方程與漸近線方程聯(lián)立求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，求出PF的長，從而可求出|FQ|，再由|FQ|＝，可求出的值，再結(jié)合離心率可求出的值，從而可求出E的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)F得直線方程為：x＝my+2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消去，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后表示出kPA，kPB，相加化簡，若等于零，可得PF平分∠APB【詳解】解：（1）不妨設(shè)直線l：x＝與E的一條漸近線交于Q，則由得yQ＝，又PF＝c﹣＝，∴|FQ|2＝（）2+（）2＝b2＝3，∴，又離心率e＝2，∴，∴a＝1．∴E的方程為：．（2）設(shè)過點(diǎn)F得直線方程為：x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2）．聯(lián)立，可得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，則，，∵過F的直線交E的右支于A，B兩點(diǎn)，∴y1y2＜0，可得﹣＜m＜，又P（，0），∴kPA+kPB＝＝，∴＝2my1y2+＝∴kPA+kPB＝0，∴PF平分∠APB．2．（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線的左、右準(zhǔn)線與其一條漸近線的交點(diǎn)分別為，，四邊形的面積為4.（1）求雙曲線的方程；（2）已知為圓的切線，且與相交于，兩點(diǎn)，求.【答案】（1）；（2）0.【分析】（1）設(shè)，由得點(diǎn)坐標(biāo)，由雙曲線的對稱性，得，結(jié)合四邊形的面積得可得答案.（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由圓與的方程聯(lián)立求出坐標(biāo)可得答案；②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，得直線與圓相切，可得，再由直線與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可得答案.【詳解】（1）設(shè)，由直線是雙曲線的一條漸近線，得①，因?yàn)殡p曲線的準(zhǔn)線方程為，由得，所以，由雙曲線的對稱性，得，由四邊形的面積為4，可得，即，結(jié)合①得，，所以雙曲線的方程為.（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，對于圓，不妨考慮，則由得，所以，，所以.②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，因?yàn)橹本€與相交于，兩點(diǎn)，所以.因?yàn)橹本€與圓相切，所以，即（*），設(shè)，，由消得，結(jié)合（*），有，所以，，所以，.結(jié)合（*），得.綜上，.3．（2021·江蘇高二專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作雙曲線兩條漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于點(diǎn)，，求證：平行四邊形的面積為定值，并求出此定值．【答案】（1）；（2）證明見解析；定值為．【分析】（1）根據(jù)題意得到，解方程組即可求出結(jié)果；（2）設(shè)點(diǎn)