專題12直線與雙曲線位置關(guān)系（重難點突破）-2021年秋季高二數(shù)學(xué)上學(xué)期講義（人教A版）

專題12直線與雙曲線的位置關(guān)系一、考情分析考點梳理直線與雙曲線的位置關(guān)系：秒殺思路：直線與雙曲線的位置關(guān)系:=1\*romani.第一角度:;=2\*romanii.第二角度:(從交點個數(shù));如交到同一支上條件的限定:右支:;左支:;或者直接利用與漸近線的關(guān)系旋轉(zhuǎn)得到。

三、題型突破重難點題型突破1求雙曲線的離心率例1．（1）、（2021·山西平城·大同一中高二月考）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，點是曲線與的一個公共點，分別是和的離心率，若，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意設(shè)焦距為，橢圓長軸長，雙曲線實軸長為，取橢圓與雙曲線在一象限的交點為，由已知條件結(jié)合橢圓雙曲線的定義推出，可得，再利用基本不等式即可求出的最小值.【詳解】由題意設(shè)焦距為，橢圓長軸長，雙曲線實軸長為，取橢圓與雙曲線在一象限的交點為，由橢圓和雙曲線定義分別有，，因為，所以，③因為，所以，④所以，即，所以，即，則當(dāng)且僅當(dāng)即，時等號成立，所以最小值為，故選：B.（2）．（2021·濟南市歷城第二中學(xué)高三開學(xué)考試）已知點為雙曲線右支上一點，點，分別為雙曲線的左右焦點，點是△的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若恒有成立，則雙曲線的離心率取值范圍是________．【答案】【分析】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由，用的邊長和表示出不等式中的三角形面積，結(jié)合雙曲線的定義得到與的不等式，可求出離心率取值范圍.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，由雙曲線的定義可得，則，因為，所以，可得，故，故答案為：.【變式訓(xùn)練11】、（2021·孟津縣第一高級中學(xué)（文））設(shè)為坐標(biāo)原點，雙曲線的右焦點為，點是上在第一象限的點，點滿足，且線段互相垂直平分，則的離心率為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由垂直平分得，由此列出的方程組，解得，由中點坐標(biāo)公式求得點坐標(biāo)，代入雙曲線方程得關(guān)于的方程，整理后可求得離心率．【詳解】因為線段互相垂直平分，所以，故，而，解得，故的中點坐標(biāo)為，從而，代入中，，故，即，故選：B.【變式訓(xùn)練12】、（2021·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高三月考（文））雙曲線：（）的左、右焦點分別為、，過的直線與圓相切于點，與的右支交于點，若，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知求出，即得解.【詳解】如圖，由題得.因為,所以.故選：C重難點題型突破2與雙曲線有關(guān)的弦長問題例3．（2021·全國高三月考（理））已知雙曲線(，)的左?右焦點分別為，，點是雙曲線漸近線上一點，且(其中為坐標(biāo)原點)，交雙曲線于點且，則雙曲線的離心率為___________.【答案】【分析】首先設(shè)出焦點，然后根據(jù)題意以及雙曲線定義，利用、、表示出和的各個邊長，并結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點在第二象限，設(shè)，因為，點到直線的距離，所以，又因為，所以，因為，所以，由雙曲線的定義可知，，在中，由余弦定理可得，，又由，整理得，所以，故離心率.故答案為：.（2）．（2021·全國高二課時練習(xí)）設(shè)雙曲線上有兩點，，中點，則直線的方程為________________．【答案】【分析】設(shè)，，則，，利用點差法可求出直線的斜率，再由點斜式可得直線的方程.【詳解】設(shè)，，則，，則，兩式相減得，，所以直線的方程為即，代入滿足，所以直線的方程為.故答案為：.【變式訓(xùn)練21】、（2021·全國高二單元測試）過雙曲線C：（）的一個焦點和C兩支都相交的直線l與橢圓相交于點A，B，若C的離心率為，則的取值范圍是______.【答案】【分析】利用雙曲線離心率，先求出，進而求出，得到橢圓的方程，畫出圖像，不妨取雙曲線的左焦點，設(shè)過的直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程消，求判別式，利用韋達定理和弦長公式即可得出結(jié)果.【詳解】雙曲線C：的實半軸長為2，虛半軸長為b（），由C的離心率為，得，即.∴.橢圓方程為，如圖：不妨取雙曲線的左焦點，由圖可知，直線l截橢圓所得弦長的最大值為4；設(shè)過的直線方程為，聯(lián)立，可得.①由，解得.可知當(dāng)時，直線與橢圓相切；要使直線與雙曲線C兩支都相交，則；而當(dāng)時，①化為；設(shè)，，則，.∴，∴的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)以及求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用直線與橢圓的位置關(guān)系求弦長的問題.屬于中檔題.【變式訓(xùn)練22】、（2021·全國高二課時練習(xí)）已知雙曲線的左，在焦點分別為，，A為雙曲線右支上一點，直線與雙曲線C的左支相交于B，如果，且的周長為，則雙曲線C的離心率為________.【答案】【分析】由雙曲線的定義結(jié)合的周長，得出，，由直角三角形的邊角關(guān)系得出，最后由余弦定理得出離心率.【詳解】設(shè)，，由雙曲線定義可知：，的周長為從而，故又，即故答案為：【點睛】本題主要考查了求雙曲線的離心率，屬于中檔題.重難點題型突破3雙曲線的幾何性質(zhì)例3．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知雙曲線：的左焦點為，過的直線交雙曲線的左、右兩支分別于點，，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)，求得，將點的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線：的左焦點為，設(shè)，可得，因為，即，可得，所以，又由點都在雙曲線上，可得，整理得，又由，可得，因為，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點睛】方法點撥：根據(jù)，求得，將點的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，求得，結(jié)合求解是解答的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練31】、（2021·全國）設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于?兩點，若的面積為，則的焦距的最小值為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點坐標(biāo)，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】由題意知：雙曲線的漸近線方程為，因為D，E分別為直線與雙曲線C的漸近線的交點，所以不妨設(shè)，，故，又由，即，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?故選：B.【點睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.例4．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P是雙曲線的右支上一點．（1）求，的最小值；（2）若右支上存在點P，滿足，求雙曲線的離心率的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）結(jié)合圖象以及雙曲線的定義求得，的最小值.（2）結(jié)合余弦定理來求得雙曲線離心率的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的左右頂點為，由圖可知：當(dāng)在右頂點時，最小，即.而，所以當(dāng)最小時，取得最小值，即.（2）設(shè)，依題意，由余弦定理得，即.【變式訓(xùn)練41】、．（2021·全國高二課時練習(xí)）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，且，一條漸近線的傾斜角為60°．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（2）求分別以，為左、右頂點，短軸長等于雙曲線虛軸長的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1），2（2）【分析】（1）結(jié)合，聯(lián)立即得解；（2）由題意，即得解.【詳解】（1）由題意，又解得：故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，離心率為（2）由題意橢圓的焦點在軸上，設(shè)橢圓方程為故即橢圓方程為：重難點題型突破4直線與雙曲線的位置關(guān)系例5．（山西省晉中一中2019屆模擬）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩個焦點，過其中一個焦點與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M，若點M在以線段F1F2為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍是()A．(1,2) B.(2，＋∞)C．(1，eq\r(2)) D．(eq\r(2)，＋∞)【答案】A【解析】如圖，不妨設(shè)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，－c)，則過點F1與漸近線y＝eq\f(a,b)x平行的直線為y＝eq\f(a,b)x＋c，聯(lián)立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(a,b)x＋c，,y＝－\f(a,b)x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(bc,2a)，,y＝\f(c,2)，))即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(bc,2a)，\f(c,2))).因為點M在以線段F1F2為直徑的圓x2＋y2＝c2內(nèi)，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(bc,2a)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))2＜c2，化簡得b2＜3a2，即c2－a2＜3a2，解得eq\f(c,a)＜2，又雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＞1，所以雙曲線離心率的取值范圍是(1,2)．故選A.例6．（江蘇省徐州一中2019屆模擬）已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為eq\r(2)，且過點(4，－eq\r(10))．點M(3，m)在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程；(2)求證：eq\o(MF1,\s\up8(→))·eq\o(MF2,\s\up8(→))＝0；(3)求△F1MF2的面積．【解析】(1)因為e＝eq\r(2)，所以雙曲線的實軸、虛軸相等．則可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ.因為雙曲線過點(4，－eq\r(10))，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以雙曲線方程為eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.(2)證明：不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，則eq\o(MF1,\s\up8(→))＝(－2eq\r(3)－3，－m)，eq\o(MF2,\s\up8(→))＝(2eq\r(3)－3，－m)．所以eq\o(MF1,\s\up8(→))·eq\o(MF2,\s\up8(→))＝(3＋2eq\r(3))×(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2，因為M點在雙曲線上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以eq\o(MF1,\s\up8(→))·eq\o(MF2,\s\up8(→))＝0.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4eq\r(3).由(2)知m＝±eq\r(3).所以△F1MF2的高h＝|m|＝eq\r(3)，所以S△F1MF2＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×eq\r(3)＝6.【變式訓(xùn)練1】、（福建省南平一中2019屆質(zhì)檢）已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，點(eq\r(3)，0)是雙曲線的一個頂點．(1)求雙曲線的方程；(2)經(jīng)過雙曲線右焦點F2作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點A，B，求|AB|.【解析】(1)因為雙曲線C：eq\f(x2,a)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\r(3)，點(eq\r(3)，0)是雙曲線的一個頂點，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\r(3)，,a＝\r(3)，))解得c＝3，b＝eq\r(6)，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1.(2)雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1的右焦點為F2(3,0)，所以經(jīng)過雙曲線右焦點F2且傾斜角為30°的直線的方程為y＝eq\f(\r(3),3)(x－3)．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)－\f(y2,6)＝1，,y＝\f(\r(3),3)x－3))得5x2＋6x－27＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq\f(6,5)，x1x2＝－eq\f(27,5).所以|AB|＝eq\r(1＋\f(1,3))×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)))2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,5))))＝eq\f(16\r(3),5).【變式訓(xùn)練2】、設(shè)和是雙曲線上的兩點，線段的中點為，直線不經(jīng)過坐標(biāo)原點．（1）若直線和直線的斜率都存在且分別為和，求證：；（2）若雙曲線的焦點分別為、，點的坐標(biāo)為，直線的斜率為，求由四點、、、所圍成四邊形的面積．【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）證明：法1：設(shè)不經(jīng)過點的直線方程為，代入雙曲線方程得：．設(shè)坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，中點坐標(biāo)為，則，，，，所以，，．法2：設(shè)、，中點，則，且，（1）﹣（2）得：．因為，直線和直線的斜率都存在，所以，等式兩邊同除以，得：，即．（2）由已知得，求得雙曲線方程為，直線斜率為，直線方程為，代入雙曲線方程可解得，中點坐標(biāo)為．面積．另解：線段中點在直線上．所以由中點，可得點的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程可得，即，解得（），所以．面積．

四、定時訓(xùn)練（30分鐘）1．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知雙曲線E：＝1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，離心率e＝2，直線l：x＝與E的一條漸近線交于Q，與x軸交于P，且|FQ|＝．（1）求E的方程；（2）過F的直線交E的右支于A，B兩點，求證：PF平分∠APB．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）先將直線的方程與漸近線方程聯(lián)立求出點Q的坐標(biāo)，求出PF的長，從而可求出|FQ|，再由|FQ|＝，可求出的值，再結(jié)合離心率可求出的值，從而可求出E的方程；（2）設(shè)過點F得直線方程為：x＝my+2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消去，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后表示出kPA，kPB，相加化簡，若等于零，可得PF平分∠APB【詳解】解：（1）不妨設(shè)直線l：x＝與E的一條漸近線交于Q，則由得yQ＝，又PF＝c﹣＝，∴|FQ|2＝（）2+（）2＝b2＝3，∴，又離心率e＝2，∴，∴a＝1．∴E的方程為：．（2）設(shè)過點F得直線方程為：x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2）．聯(lián)立，可得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，則，，∵過F的直線交E的右支于A，B兩點，∴y1y2＜0，可得﹣＜m＜，又P（，0），∴kPA+kPB＝＝，∴＝2my1y2+＝∴kPA+kPB＝0，∴PF平分∠APB．2．（2021·全國高二課時練習(xí)）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，雙曲線的左、右準(zhǔn)線與其一條漸近線的交點分別為，，四邊形的面積為4.（1）求雙曲線的方程；（2）已知為圓的切線，且與相交于，兩點，求.【答案】（1）；（2）0.【分析】（1）設(shè)，由得點坐標(biāo)，由雙曲線的對稱性，得，結(jié)合四邊形的面積得可得答案.（2）①當(dāng)直線的斜率存在時，由圓與的方程聯(lián)立求出坐標(biāo)可得答案；②當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)，得直線與圓相切，可得，再由直線與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理可得答案.【詳解】（1）設(shè)，由直線是雙曲線的一條漸近線，得①，因為雙曲線的準(zhǔn)線方程為，由得，所以，由雙曲線的對稱性，得，由四邊形的面積為4，可得，即，結(jié)合①得，，所以雙曲線的方程為.（2）①當(dāng)直線的斜率存在時，對于圓，不妨考慮，則由得，所以，，所以.②當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)，因為直線與相交于，兩點，所以.因為直線與圓相切，所以，即（*），設(shè)，，由消得，結(jié)合（*），有，所以，，所以，.結(jié)合（*），得.綜上，.3．（2021·江蘇高二專題練習(xí)）設(shè)點為雙曲線上任意一點，雙曲線的離心率為，右焦點與橢圓的右焦點重合．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點作雙曲線兩條漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于點，，求證：平行四邊形的面積為定值，并求出此定值．【答案】（1）；（2）證明見解析；定值為．【分析】（1）根據(jù)題意得到，解方程組即可求出結(jié)果；（2）設(shè)點