數(shù)學(xué)素材：教材梳理第二講一圓周角定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)一、圓周角定理圓周角定理:一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.應(yīng)當(dāng)注意的是，圓心角與圓周角一定是對(duì)著同一條弧，它們才有上面定理中所說(shuō)的數(shù)量關(guān)系.疑點(diǎn)突破在圓周角定理的證明中，運(yùn)用了數(shù)學(xué)中分類討論和化歸的思想以及完全歸納的證明方法.這個(gè)定理是從特殊情況入手研究的：當(dāng)角的一邊過(guò)圓心時(shí)，得到圓周角與同弧上的圓心角的關(guān)系;然后研究當(dāng)角的一邊不經(jīng)過(guò)圓心時(shí),圓周角與同弧上的圓心角之間的關(guān)系.在角的一邊不經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，又有兩種情況:一是圓心在圓周角內(nèi)；二是圓心在圓周角外。經(jīng)過(guò)這樣分不同情況的討論，最后得到不論角的一邊是否經(jīng)過(guò)圓心,都有定理中的結(jié)論成立.在幾何里，許多定理的證明，都需要像這樣分情況進(jìn)行，后面還會(huì)遇到這種分情況證明的定理。方法歸納通過(guò)對(duì)這個(gè)定理的分析、證明，我們可以看到,在幾何里討論問(wèn)題時(shí)，常常從特殊情況入手，因?yàn)樘厥馇闆r下的問(wèn)題往往容易解決，如圖2-1—聯(lián)想發(fā)散定理也可理解成一條弧所對(duì)的圓心角是它所對(duì)的圓周角的二倍；圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半.圖2二、圓周角定理的兩個(gè)推論推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。如圖2—圖2—1—3圖2推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.如圖2—深化升華圓周角定理及其推論是進(jìn)一步推導(dǎo)圓的其他重要性質(zhì)的理論根據(jù)，而且為角的計(jì)算,推證角相等、弧相等、弦相等，判定相似三角形、直角三角形等平面幾何中常見(jiàn)的一些問(wèn)題提供了十分簡(jiǎn)便的方法，學(xué)習(xí)中要注意體會(huì)。問(wèn)題·探究問(wèn)題1在一個(gè)圓中，圓周角與它所對(duì)的弧的對(duì)應(yīng)關(guān)系在解決問(wèn)題當(dāng)中有什么作用？實(shí)踐中如何加以應(yīng)用？思路：在圓中，只要有弧，就存在著弧所對(duì)的圓周角。同弧所對(duì)的圓周角相等,而相等的角為幾何命題的推論提供了條件.探究:在剛剛學(xué)習(xí)圓的知識(shí)或圖形比較復(fù)雜時(shí)，往往缺少用這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的意識(shí),應(yīng)該在實(shí)踐中不斷摸索和總結(jié)規(guī)律.比如由弧找角，如圖2—1-5中,已知,那么在所對(duì)的圓周上任取一點(diǎn)都可得到相等的圓周角∠C=∠D=∠E.也可以由角找弧，再由弧找角，如圖2—1—6中，AD平分∠BAC,得∠1=∠2，∠1對(duì)，∠2對(duì)，∠3也對(duì)，故∠1=∠2=∠3，如果要證△DCB∽△DAB，無(wú)疑兩個(gè)相等的角為此提供了條件。圖2—1—5圖2問(wèn)題2在圓中，直徑所對(duì)的圓周角等于90°,解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)怎樣利用這一條件？思路:只要在已知中給出了直徑這一條件，不僅要想到它和半徑的關(guān)系，還要想到封閉了它所對(duì)的圓周角，便得到了直角三角形，這樣有關(guān)直角三角形的性質(zhì)便可應(yīng)用了.探究:如圖2-1—7，以CD為直徑的⊙O交△ACD的兩邊于B、E，連結(jié)BE。求證：ADcosA=AB。此題必須先證AD、AB所在的△ABD為直角三角形，此時(shí)連結(jié)BD，可由直徑所對(duì)的圓周角為90°，創(chuàng)造所需的條件.又如圖2圖2—1-7圖2典題·熱題例1如圖2—思路分析：圓周角∠ACB與圓心角∠AOB對(duì)著同一條弧,圖2∴∠ACB=∠AOB.同理,∠BAC=∠BOC,再利用已知條件可得結(jié)論.證明：∵∠ACB=∠AOB,∠AOB=2∠BOC,∴∠ACB=∠BOC。又∵∠BAC=∠BOC,∴∠ACB=2∠BAC.深化升華只要是在圓中考查角的關(guān)系，那么就要考慮弧的中介作用。例2如圖2-圖2求證：。思路分析:要證，雖然四條線段分別在△BEF與△BCF中，但這兩個(gè)三角形一個(gè)是鈍角三角形，另一個(gè)是直角三角形，不可能相似，故只能夠借助中間比。證明：連結(jié)CE，∵BC為⊙O的直徑,∴∠BFC=90°，∠BEC=90°.又∵∠ACB=90°，∴∠BCE=∠A。又∵∠BFE=∠BCE，∴∠BFE=∠A?！唷鰾EF∽△BAD.∴.∵∠BFC=∠BCA，∠CBD=∠CBD，∴△CBF∽△DBC.∴。又∵AD=CD，∴。例3已知⊙O中，AB=AC，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AD交⊙O于E.求證：AB2=AD·AE.圖2思路分析:由欲證的乘積式寫(xiě)出比例式,找到應(yīng)該證明的相似的三角形，利用同弧所對(duì)的圓周角相等的性質(zhì)進(jìn)行證明.證明：∵AB=AC，∴=AC。∴∠ABD=∠AEB。在△ABE與△ADB中,∴△ABE∽△ADB.∴,即AB2=AD·AE.深化升華在圓當(dāng)中證明比例式或等積式時(shí),通常利用兩角相等加以說(shuō)明,這當(dāng)中使用最多的就是利用圓周角轉(zhuǎn)移角的位置，產(chǎn)生相似關(guān)系.例4已知AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圓O的直徑。求證：∠BAE=∠DAC。圖2思路分析：連結(jié)BE，由AE為直徑可以得到∠ABE=90°。則在△ABE與△ADC中，又有同弧所對(duì)的圓周角∠C與∠E相等，可以證明結(jié)論。證明：連結(jié)BE,∵AE為直徑，∴∠ABE=90°?！逜D是△ABC的高，∴∠ADC=90°.∴∠ADC=∠ABE.∵∠E=∠C,∴∠BAE=180°—∠ABE—∠E，∠DAC=180°-∠ADC-∠C.∴∠BAE=∠DAC.例5已知△ABC的外接圓中,D、E分別為與的中點(diǎn)，弦DE交AB、AC于F、G。求證:AF=AG。圖2思路分析：可以通過(guò)等角對(duì)等邊來(lái)證明此題，即證明∠AFE=∠AGF，將∠AFE、∠AGF分別看作△FBE與△DGC的外角，利用已知中D、E為、的中點(diǎn)可以證明角相等。證明：連結(jié)BE、CD,∠A