第一章三角函數(shù) 單元測試（含解析）-2024-2025學(xué)年高有下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊

第一章三角函數(shù)單元測試一、單選題1．若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則正數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿圓心在原點(diǎn)，半徑為3的圓按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．若函數(shù)（，）的最小正周期為，且.給出下列判斷：①若，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱②若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是③若在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是④若的圖象與直線在上有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是其中，判斷正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．如圖所示的是函數(shù)的部分圖象，那么（）A．， B．，C．， D．，6．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，再將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，則A． B． C． D．7．已知角的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)，，則是（）A．最小正周期為的偶函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的奇函數(shù)二、多選題9．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）

A． B．C． D．函數(shù)的對稱軸是10．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，則下列說法正確的是（

）A．可能等于3 B．的周期可以是C．一定為奇函數(shù) D．在上單調(diào)遞減11．已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與的圖象有相同的對稱軸B．與的值域相同C．與有相同的零點(diǎn)D．與的最小正周期相同三、填空題12．已知函數(shù)，在上恰有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，則的最小值為.13．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，給出的一個(gè)可能的值為14．已知關(guān)于的不等式在內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題15．化簡：.16．已知．(1)化簡；(2)若，求的值．17．求值：(1)；(2)；(3)；(4)，求.18．（1）求值：（2）化簡：（3）已知，若，求的值；19．設(shè)，(1)化簡；(2)求.參考答案1．A【分析】根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性可得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】因?yàn)?，則，，，即，則，，，即，所以.故選：A.2．B【分析】利用二次函數(shù)與正弦函數(shù)的圖象結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】對于，易知，且拋物線開口向下，則必有一個(gè)負(fù)根，所以有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，易知，則.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：二次函數(shù)根的分布需要注意開口方向，判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，本題從以上三個(gè)角度可確定函數(shù)有一個(gè)負(fù)零點(diǎn)，而含參三角函數(shù)通常利用整體代換的方法結(jié)合三角函數(shù)圖象與性質(zhì)來處理參數(shù)范圍.3．C【分析】根據(jù)題意作出示意圖，并利用三角形函數(shù)定義即可求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】根據(jù)題意可知，作出圖示如下：根據(jù)題意可得，，作軸且垂足為；利用三角函數(shù)定義可得，；又點(diǎn)在第四象限，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C4．C【分析】由題設(shè)可得，代入驗(yàn)證法判斷①；由區(qū)間單調(diào)性及正弦函數(shù)性質(zhì)有求參數(shù)范圍判斷②；由區(qū)間零點(diǎn)及正弦函數(shù)性質(zhì)，討論、研究參數(shù)范圍判斷③；由題設(shè)，結(jié)合題設(shè)及正弦函數(shù)性質(zhì)有求參數(shù)范圍判斷④.【詳解】由，則，即，又，所以，故，當(dāng)，則，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，①對；當(dāng)，則，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，可得，②對；當(dāng)，則，且在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，若，則，此時(shí)滿足題設(shè)；若，則，故，可得且，所以，可得；綜上，的取值范圍是，③錯(cuò)；當(dāng)，則，又的圖象與直線在上有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，故，所以，即的取值范圍是，④對.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知求得，根據(jù)各項(xiàng)給定范圍求對應(yīng)的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)列不等式求參數(shù)范圍.5．C【分析】由題意，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)得出，由五點(diǎn)法作圖求出，可得答案．【詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，當(dāng)時(shí)得，則，而根據(jù)圖象易得為銳角，則，結(jié)合五點(diǎn)法作圖，可得，∴，故，故選：C．6．A【分析】先按照三角函數(shù)圖象變換的方法得到的解析式，再進(jìn)行求解.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得的圖象，再將圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到圖象解析式為，所以.故選：A.7．A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式求解.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，所以，所以.故選：A8．D【分析】通過誘導(dǎo)公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果.【詳解】，所以，，所以則是最小正周期為的奇函數(shù)，故選：D.9．ABC【分析】由圖象求出函數(shù)的周期，即可得出A項(xiàng)；根據(jù)圖象得出函數(shù)的最小值點(diǎn)，然后即可得出的關(guān)系式，求解即可得出的值；根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡即可得出C；根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，求出對稱軸，即可判斷D.【詳解】對于A項(xiàng)，由圖象可知，，所以，所以，所以，函數(shù)為，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，由圖象可知，函數(shù)在處取得最小值，所以有，解得，所以函數(shù)為，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，由AB可知，函數(shù)為，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，由可得，，所以函數(shù)的對稱軸為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.10．BC【分析】根據(jù)已知條件平移后的圖像為偶函數(shù)，確定的取值，利用判斷A、B兩個(gè)選項(xiàng)；求出解析式，利用奇函數(shù)定義判斷函數(shù)的奇偶性進(jìn)而判斷C選項(xiàng)；利用換元法令，利用函數(shù)的單調(diào)性，判斷的單調(diào)性進(jìn)而判斷D選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得：，因?yàn)閳D像關(guān)于y軸對稱，所以為偶函數(shù)，所以解得；若，則，解得，因?yàn)?，所以不成立，A錯(cuò)誤；若的周期可以是，則，解得，又因?yàn)?，即，解得符合，B正確；，因?yàn)?，所以，令，，所以，所以一定為奇函?shù)，C正確；令，則因?yàn)?，則，所以化為，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.故選：BC11．AD【分析】根據(jù)題意分別畫出兩函數(shù)圖象，可求得它們的對稱軸、值域、零點(diǎn)、最小正周期等，即可得出結(jié)論.【詳解】畫出函數(shù)的圖象如下圖所示：

易知的對稱軸為，值域?yàn)?,1，零點(diǎn)為，最小正周期為；易知，其圖象如下圖所示：

易知的對稱軸為，即，值域?yàn)?，零點(diǎn)為，最小正周期為；因此可得與的圖象有相同的對稱軸，它們的最小正周期相同.故選：AD12．【分析】將相位視作一個(gè)整體，然后做出y=sinx的圖像，結(jié)合圖像列出不等式解出即可.【詳解】結(jié)合函數(shù)圖象分析

，故得.故答案為：.13．【分析】根據(jù)對稱軸的表達(dá)式，代入，求得即可.【詳解】由題知，，，又則，取故答案為：14．【分析】分離參數(shù)后，求函數(shù)的最大值即可.【詳解】由得，設(shè)，因，所以，則在上恒成立，設(shè)，則二次函數(shù)的對稱軸為，因其開口向下，所以時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以的最大值，故，故答案為：15．【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系，化簡，即得答案.【詳解】原式＝.16．(1)(2)【分析】（1）利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式即可化簡；（2）利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式和特殊角三角函數(shù)值即可求得時(shí)的值．【詳解】（1）.（2）時(shí)，.17．(1)(2)(3)(4)【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4），∴.18．（1）；（2）；（3）