2019高三數(shù)學(xué)（人教A版理）一輪課時(shí)分層訓(xùn)練68　離散型隨機(jī)變量及其分布列

課時(shí)分層訓(xùn)練(六十八)離散型隨機(jī)變量及其分布列(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第338頁(yè))A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、選擇題1．設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(X＝0)等于()A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)C[由已知得X的所有可能取值為0,1，且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝eq\f(1,3).]2．若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01P9c2－c3－8c則常數(shù)c的值為()A．eq\f(2,3)或eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．1C[根據(jù)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9c2－c≥0，,3－8c≥0，,9c2－c＋3－8c＝1，))得c＝eq\f(1,3).]3．在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率中等于eq\f(C\o\al(4,7)C\o\al(6,8),C\o\al(10,15))的是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97190373】A．P(X＝2) B．P(X≤2)C．P(X＝4) D．P(X≤4)C[X服從超幾何分布，故P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,7)C\o\al(10－k,8),C\o\al(10,15))，k＝4.]4．已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝i)＝eq\f(i,2a)(i＝1,2,3,4)，則P(2＜X≤4)等于()A．eq\f(9,10) B．eq\f(7,10)C．eq\f(3,5) D．eq\f(1,2)B[由分布列的性質(zhì)知，eq\f(1,2a)＋eq\f(2,2a)＋eq\f(3,2a)＋eq\f(4,2a)＝1，則a＝5，∴P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(3,10)＋eq\f(4,10)＝eq\f(7,10).]5．若隨機(jī)變量X的分布列為X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P(X<a)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，2] B．[1,2]C．(1,2] D．(1,2)C[由隨機(jī)變量X的分布列知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，P(X＝2)＝0.1，則當(dāng)P(X<a)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2]．]二、填空題6．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，則所選3人中女生人數(shù)不超過(guò)1人的概率是________．eq\f(4,5)[設(shè)所選女生人數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，則P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＋eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,5).]7．已知隨機(jī)變量X的概率分別為p1，p2，p3，且依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))[由已知得p1＝p2－d，p3＝p2＋d，由分布列性質(zhì)知(p2－d)＋p2＋(p2＋d)＝1，得p2＝eq\f(1,3)，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d≥0，,\f(1,3)＋d≥0，))得－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).]8．口袋中有5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5，從中任意取3只球，以X表示取出的球的最大號(hào)碼，則X的分布列為_(kāi)_______．X345P0.10.30.6[X的可能取值為3,4,5.又P(X＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5).∴隨機(jī)變量X的分布列為X345P0.10.30.6]三、解答題9．有編號(hào)為1,2,3，…，n的n個(gè)學(xué)生，入坐編號(hào)為1,2,3，…，n的n個(gè)座位，每個(gè)學(xué)生規(guī)定坐一個(gè)座位，設(shè)學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為X，已知X＝2時(shí)，共有6種坐法．(1)求n的值．(2)求隨機(jī)變量X的概率分布列.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97190374】[解](1)因?yàn)楫?dāng)X＝2時(shí)，有Ceq\o\al(2,n)種坐法，所以Ceq\o\al(2,n)＝6，即eq\f(nn－1,2)＝6，n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.(2)因?yàn)閷W(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為X，由題意知X的可能取值是0,2,3,4，所以P(X＝0)＝eq\f(1,A\o\al(4,4))＝eq\f(1,24)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)×1,A\o\al(4,4))＝eq\f(6,24)＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)×2,A\o\al(4,4))＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3)，P(X＝4)＝1－eq\f(1,24)－eq\f(1,4)－eq\f(1,3)＝eq\f(3,8)，所以X的概率分布列為：X0234Peq\f(1,24)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(3,8)10.端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗．設(shè)一盤(pán)中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同．從中任意選取3個(gè)．(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97190375】[解](1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”，則由古典概型的概率計(jì)算公式有P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,4).(2)X的所有可能值為0,1,2，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).綜上知，X的分布列為X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)11．若P(X≤x2)＝1－β，P(X≥x1)＝1－α，其中x1<x2，則P(x1≤X≤x2)等于()A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)B[顯然P(X>x2)＝β，P(X<x1)＝α.由概率分布列的性質(zhì)可知P(x1≤X≤x2)＝1－P(X>x2)－P(X<x1)＝1－α－β.]12．在一個(gè)口袋中裝有黑、白兩個(gè)球，從中隨機(jī)取一球，記下它的顏色，然后放回，再取一球，又記下它的顏色，寫(xiě)出這兩次取出白球數(shù)η的分布列為_(kāi)_______．η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)[η的所有可能值為0,1,2.P(η＝0)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1),C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,4)，P(η＝1)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1)×2,C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,2)，P(η＝2)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1),C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,4).∴η的分布列為η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)]13．(2017·江南名校聯(lián)考)PM2.5是指懸浮在空氣中的直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB3095—2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．從某自然保護(hù)區(qū)2015年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35](35,45](45,55](55,65](65,75](75,85]頻數(shù)311113(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列．[解](1)記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(21,40).(2)依據(jù)條件，ξ服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2,3.P(ξ＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,7),C\o\al(3,10))(k＝0,1,2,3)．∴P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,24)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2