專項(xiàng)11-三角形有關(guān)線段的計(jì)算與證明-專題培優(yōu)

三角形有關(guān)線段的計(jì)算與證明-專題培優(yōu)【三角形的三邊關(guān)系】1．（高州市期末）如圖，用四顆螺絲將不能彎曲的木條圍成一個(gè)木框，不計(jì)螺絲大小，其中相鄰兩顆螺絲的距離依次為3、4、6、8，且相鄰兩根木條的夾角均可以調(diào)整，若調(diào)整木條的夾角時(shí)不破壞此木框，則任意兩顆螺絲的距離的最大值是（）A．7 B．10 C．11 D．142．（河北）平面內(nèi)，將長(zhǎng)分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能是（）A．1 B．2 C．7 D．83．（沈河區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＞AD，對(duì)角線AC平分∠BAD，下列結(jié)論正確的是（）A．AB﹣AD＞|CB﹣CD| B．AB﹣AD＝|CB﹣CD| C．AB﹣AD＜|CB﹣CD| D．AB﹣AD與|CB﹣CD|的大小關(guān)系不確定4．（宿城區(qū)期末）已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)均為正整數(shù)，若其中僅有一條邊長(zhǎng)為5，且它又不是最短邊，則滿足條件的三角形有個(gè)．5．（九江期末）小明現(xiàn)有兩根4cm、9cm的木棒，他想以這兩根木棒為邊釘一個(gè)三角形木框，現(xiàn)從5cm，7cm，9cm，11cm，13cm，17cm的木棒中選擇第三根（木棒不能折斷），則小明有種選擇方案．6．（嵩縣期末）已知a，b，c是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，（1）填入“＞、＜或＝”號(hào)：a﹣b﹣c0，b﹣a﹣c0，c+b﹣a0．（2）化簡(jiǎn)：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．7．（贛州期中）若三邊均不相等的三角形三邊a、b、c滿足a﹣b＞b﹣c（a為最長(zhǎng)邊，c為最短邊），則稱它為“不均衡三角形”．例如，一個(gè)三角形三邊分別為7，5，4，因?yàn)?﹣5＞5﹣4，所以這個(gè)三角形為“不均衡三角形”．（1）以下4組長(zhǎng)度的小木棍能組成“不均衡三角形”的為（填序號(hào)）．①4cm，2cm，1cm②13cm，18cm，9cm③19cm，20cm，19cm④9cm，8cm，6cm（2）已知“不均衡三角形”三邊分別為2x+2，16，2x﹣6（x為整數(shù)），求x的值．8．（臥龍區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)D．連接AD，試說明DA+DB+DC與129．（鼓樓區(qū)期末）如圖，P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：AB+AC＞PB+PC．10．（嵩縣期末）如圖所示，D是△ABC的邊AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連結(jié)BD，請(qǐng)判斷AB+BC+AC與2BD的大小關(guān)系，并說明理由．【三角形的周長(zhǎng)問題】1．（漢壽縣期末）如圖，△ABC的三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且周長(zhǎng)為22，AM是邊BC上的中線，△ABM的周長(zhǎng)比△ACM的周長(zhǎng)大2，則AC長(zhǎng)的可能值有（）個(gè)．A．3 B．4 C．5 D．62．（江陰市期中）如圖，△ABC的三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且周長(zhǎng)為28，AM是邊BC上的中線，△ABM的周長(zhǎng)比△ACM的周長(zhǎng)大2，則BC長(zhǎng)的可能值有（）個(gè)．A．4 B．5 C．6 D．73．（惠安縣期末）如圖，直線DE將△ABC分成等周長(zhǎng)的兩部分，若AD+AE＝2，則△ABC的周長(zhǎng)為4．4．（威縣期末）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；（1）若AC是整數(shù)，求AC的長(zhǎng)；（2）已知BD是△ABC的中線，若△ABD的周長(zhǎng)為10，求△BCD的周長(zhǎng)．5．（芙蓉區(qū)校級(jí)月考）△ABC中，AC＝2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長(zhǎng)分成40和60兩部分，求BC的長(zhǎng)．6．（昌吉州期中）如圖，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中點(diǎn)，E點(diǎn)在邊AB上．（1）若三角形BDE的周長(zhǎng)與四邊形ACDE的周長(zhǎng)相等，求線段AE的長(zhǎng)．（2）若三角形ABC的周長(zhǎng)被DE分成的兩部分的差是2cm，求線段AE的長(zhǎng)．【三角形的面積問題】1．（敘州區(qū)期末）如圖所示，△ABC的面積是2，AD是△ABC的中線，AF=13AD，CE=12A．29 B．16 C．232．（朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，A、B、C分別是DB、EC、FA的中點(diǎn)，若△DEF的面積為21，那么△ABC的面積是（）A．6 B．5 C．4 D．33．（寬城縣期末）如圖，△ABC的面積是12，點(diǎn)D、E、F、G分別是BC、AD、BE、CE的中點(diǎn)，則四邊形AFDG的面積是（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．64．（青島期末）如圖，BD是△ABC的邊AC上的中線，AE是△ABD的邊BD上的中線，BF是△ABE的邊AE上的中線，若△ABC的面積是32，則陰影部分的面積是（）A．9 B．12 C．18 D．205．（渝中區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC中，CE＝2BE，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，連接DE、AE，取DE的中點(diǎn)F，連接AF，若△AEF的面積是1，則△ABC的面積是（）A．2 B．4 C．6 D．86．（碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，E是△ABC中BC邊上的一點(diǎn)，且BC＝3CE，點(diǎn)D是AC邊中點(diǎn)，若S△BEF﹣S△ADF＝6，則S△ABC＝（）A．18 B．24 C．30 D．367．（武侯區(qū)校級(jí)期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)E在AB邊上，四邊形EFGB也是正方形，它的邊長(zhǎng)為b（a＞b），連接AF、CF、AC．若a＝10，則△AFC的面積為（）A．25 B．50 C．75 D．5b8．（潮安區(qū)期末）如圖，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接BE、CE，若△ABC的面積是8，則陰影部分的面積為（）A．4 B．2 C．6 D．89．（樂亭縣期末）如圖，在△ABC中，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)F，使得AF＝CA，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使得BD＝2AB，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使得CE＝3CB，連接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，則S△ABC為（）A．2 B．3 C．4 D．510．（上蔡縣期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm．若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）S△ABC＝．（2）當(dāng)t＝秒時(shí)，CP把△ABC的周長(zhǎng)分成相等的兩部分？（3）當(dāng)t＝秒時(shí)，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分？（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△BCP的面積為12？11．（泉州期末）如圖，在△ABC中，AD是BC上的中線，點(diǎn)E在線段AC上且AE＝2CE，線段AD與線段BE交于點(diǎn)F，已知△ABC的面積為12．①求△ABD和△ABE的面積；②求四邊形EFDC的面積．

三角形有關(guān)線段的計(jì)算與證明-專題培優(yōu)（解析版）【三角形的三邊關(guān)系】1．（高州市期末）如圖，用四顆螺絲將不能彎曲的木條圍成一個(gè)木框，不計(jì)螺絲大小，其中相鄰兩顆螺絲的距離依次為3、4、6、8，且相鄰兩根木條的夾角均可以調(diào)整，若調(diào)整木條的夾角時(shí)不破壞此木框，則任意兩顆螺絲的距離的最大值是（）A．7 B．10 C．11 D．14【分析】分四種情況、根據(jù)三角形的三邊關(guān)系解答即可．【解答】解：①選3+4、6、8作為三角形，則三邊長(zhǎng)為7、6、8；7﹣6＜8＜7+6，能構(gòu)成三角形，此時(shí)兩個(gè)螺絲間的最長(zhǎng)距離為8；②選6+4、3、8作為三角形，則三邊長(zhǎng)為10、3、8；8﹣3＜10＜8+3，能構(gòu)成三角形，此時(shí)兩個(gè)螺絲間的最大距離為10；③選3+8、4、6作為三角形，則三邊長(zhǎng)為111、4、6；4+6＜11，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；④選6+8、3、4作為三角形，則三邊長(zhǎng)為14、3、4；而3+4＜14，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為10，故選：B．2．（河北）平面內(nèi)，將長(zhǎng)分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能是（）A．1 B．2 C．7 D．8【分析】利用凸五邊形的特征，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求得d的取值范圍，利用此范圍即可得出結(jié)論．【解答】解：∵平面內(nèi)，將長(zhǎng)分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形，∴1+d+1+1＞5且1+5+1+1＞d，∴d的取值范圍為：2＜d＜8，∴則d可能是7．故選：C．3．（沈河區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＞AD，對(duì)角線AC平分∠BAD，下列結(jié)論正確的是（）A．AB﹣AD＞|CB﹣CD| B．AB﹣AD＝|CB﹣CD| C．AB﹣AD＜|CB﹣CD| D．AB﹣AD與|CB﹣CD|的大小關(guān)系不確定【分析】取AE＝AD，連接CE，然后利用“邊角邊”證明△ACD和△ACE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CD＝CE，然后利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊解答．【解答】解：如圖，取AE＝AD，連接CE，∵對(duì)角線AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，在△ACD和△ACE中，AD=AE∠BAC=∠DAC∴△ACD≌△ACE（SAS），∴CD＝CE，∵BE＞CB﹣CE，∴AB﹣AD＞CB﹣CD，即AB﹣AD＞|CB﹣CD|．故選：A．4．（宿城區(qū)期末）已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)均為正整數(shù)，若其中僅有一條邊長(zhǎng)為5，且它又不是最短邊，則滿足條件的三角形有10個(gè)．【分析】由于其中僅有一條邊長(zhǎng)為5，且它又不是最短邊，所以：①當(dāng)邊長(zhǎng)為5是最大的邊長(zhǎng)時(shí)，可能的情況有四種情況．①當(dāng)邊長(zhǎng)為5是第二大的邊長(zhǎng)時(shí)，可能的情況有六種情況．【解答】解：∵一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)均為正整數(shù)，且僅有一條邊長(zhǎng)為5，且它又不是最短邊，∴①當(dāng)邊長(zhǎng)為5是最大的邊長(zhǎng)時(shí)，可能的情況有3、4、5；4、4、5；3、3、5；4、2、5等4種情況．②當(dāng)邊長(zhǎng)為5是第二大的邊長(zhǎng)時(shí)，可能的情況有2、5、6；3、5、7；3、5、6；4、5、6；4、5、7；4、5、8；共6種情況．所以共有10個(gè)三角形．故答案為：10．5．（九江期末）小明現(xiàn)有兩根4cm、9cm的木棒，他想以這兩根木棒為邊釘一個(gè)三角形木框，現(xiàn)從5cm，7cm，9cm，11cm，13cm，17cm的木棒中選擇第三根（木棒不能折斷），則小明有三種選擇方案．【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和＞第三邊，任意兩邊之差＜第三邊，求得第三邊的取值范圍；再?gòu)闹姓业椒蠗l件的數(shù)值．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：第三根木棒應(yīng)＞5cm，而＜13cm．故7cm，9cm，11cm能滿足，有三種選擇方案．故答案是：三．6．（嵩縣期末）已知a，b，c是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，（1）填入“＞、＜或＝”號(hào)：a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0．（2）化簡(jiǎn)：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．【分析】（1）利用三邊關(guān)系直接寫出答案即可；（2）根據(jù)（1）的判斷去掉絕對(duì)值符號(hào)后合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：（1）∵a，b，c是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0．故答案為：＜，＜，＞；（2）原式＝b+c﹣a+a+c﹣b﹣c﹣b+a＝a﹣b+c．7．（贛州期中）若三邊均不相等的三角形三邊a、b、c滿足a﹣b＞b﹣c（a為最長(zhǎng)邊，c為最短邊），則稱它為“不均衡三角形”．例如，一個(gè)三角形三邊分別為7，5，4，因?yàn)?﹣5＞5﹣4，所以這個(gè)三角形為“不均衡三角形”．（1）以下4組長(zhǎng)度的小木棍能組成“不均衡三角形”的為②（填序號(hào)）．①4cm，2cm，1cm②13cm，18cm，9cm③19cm，20cm，19cm④9cm，8cm，6cm（2）已知“不均衡三角形”三邊分別為2x+2，16，2x﹣6（x為整數(shù)），求x的值．【分析】（1）根據(jù)“不均衡三角形”的定義即可求解；（2）分三種情況對(duì)16進(jìn)行討論即可求解．【解答】解：（1）①∵1+2＜4，∴4cm，2cm，1cm不能組成“不均衡三角形”；②∵18﹣13＞13﹣9，∴13cm，18cm，9cm能組成“不均衡三角形”；③∵19＝19，∴19cm，20cm，19cm不能組成“不均衡三角形”；④∵9﹣8＜8﹣6，∴9cm，8cm，6cm不能組成“不均衡三角形”．故答案為：②；（2）①16﹣（2x+2）＞2x+2﹣（2x﹣6），解得x＜3，∵2x﹣6＞0，解得x＞3，故不合題意舍去；②2x+2＞16＞2x﹣6，解得7＜x＜11，2x+2﹣16＞16﹣（2x﹣6），解得x＞9，∴9＜x＜11，∵x為整數(shù)，∴x＝10，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x＝10時(shí)，22，16，14可構(gòu)成三角形；③2x﹣6＞16，解得x＞11，2x+2﹣（2x﹣6）＞2x﹣6﹣16，解得x＜15，∴11＜x＜15，∵x為整數(shù)，∴x＝12或13或14，都可以構(gòu)成三角形．綜上所述，x的整數(shù)值為10或12或13或14．8．（臥龍區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)D．連接AD，試說明DA+DB+DC與12【分析】由三角形的三邊關(guān)系得：DA+DB＞AB，DB+DC＞BC，DA+DC＞AC，則2（DA+DB+DC）＞AB+BC+AC，即可得出結(jié)論．【解答】解：DA+DB+DC＞1理由：在△ABD中，AD+BD＞AB．在△BCD中，BD+CD＞BC．在△ACD中，AD+CD＞AC．∴AD+BD+BD+CD+AD+CD＞AB+BC+AC．∴AD+BD+CD＞19．（鼓樓區(qū)期末）如圖，P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：AB+AC＞PB+PC．【分析】首先延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)D，再在△ABD中可得PB+PD＜AB+AD，在△PCD中，PC＜PD+CD然后把兩個(gè)不等式相加整理后可得結(jié)論．【解答】證明：延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)D，在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①在△PCD中，PC＜PD+CD②①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，即PB+PC＜AB+AC，即：AB+AC＞PB+PC．10．（嵩縣期末）如圖所示，D是△ABC的邊AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連結(jié)BD，請(qǐng)判斷AB+BC+AC與2BD的大小關(guān)系，并說明理由．【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊即可求解．【解答】解：AB+BC+AC＞2BD．理由如下：在△ABD中，AB+AD＞BD，在△BCD中，BC+CD＞BD，∴AB+AD+BC+CD＞2BD，即AB+BC+AC＞2BD．【三角形的周長(zhǎng)問題】1．（漢壽縣期末）如圖，△ABC的三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且周長(zhǎng)為22，AM是邊BC上的中線，△ABM的周長(zhǎng)比△ACM的周長(zhǎng)大2，則AC長(zhǎng)的可能值有（）個(gè)．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】依據(jù)△ABC的周長(zhǎng)為22，△ABM的周長(zhǎng)比△ACM的周長(zhǎng)大2，可得2＜BC＜11，再根據(jù)△ABC的三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，即可得到BC＝4，6，8，10．【解答】解：∵△ABC的周長(zhǎng)為22，△ABM的周長(zhǎng)比△ACM的周長(zhǎng)大2，∴2＜BC＜22﹣BC，解得2＜BC＜11，又∵△ABC的三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，△ABM的周長(zhǎng)比△ACM的周長(zhǎng)大2，∴AC=22?BC?22=∴BC邊長(zhǎng)為偶數(shù)，∴BC＝4，6，8，10，即AC的長(zhǎng)可能值有4個(gè)，故選：B．2．（江陰市期中）如圖，△ABC的三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且周長(zhǎng)為28，AM是邊BC上的中線，△ABM的周長(zhǎng)比△ACM的周長(zhǎng)大2，則BC長(zhǎng)的可能值有（）個(gè)．A．4 B．5 C．6 D．7【分析】依據(jù)△ABC的周長(zhǎng)為28，△ABM的周長(zhǎng)比△ACM的周長(zhǎng)大2，可得2＜BC＜14，再根據(jù)△ABC的三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，即可得到BC＝4，6，8，10，12．【解答】解：∵△ABC的周長(zhǎng)為28，△ABM的周長(zhǎng)比△ACM的周長(zhǎng)大2，∴2＜BC＜28﹣BC，解得2＜BC＜14，又∵△ABC的三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，△ABM的周長(zhǎng)比△ACM的周長(zhǎng)大2，∴AC=28?BC?2∴BC邊長(zhǎng)為偶數(shù)，∴BC＝4，6，8，10，12，即BC的長(zhǎng)可能值有5個(gè)，故選：B．3．（惠安縣期末）如圖，直線DE將△ABC分成等周長(zhǎng)的兩部分，若AD+AE＝2，則△ABC的周長(zhǎng)為4．【分析】根據(jù)直線DE將△ABC分成等周長(zhǎng)的兩部分，得AD+AE＝BD+CE+BC＝2，進(jìn)而解決此題．【解答】解：由題意得：AD+AE＝BD+CE+BC．∵AD+AE＝2，∴BD+CE+BC＝2．∴C△ABC＝AB+AC+BC＝（AD+BD）+（AE+CE）+BC＝（AD+AE）+（BD+CD+BC）＝2+2＝4．故答案為：4．4．（威縣期末）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；（1）若AC是整數(shù)，求AC的長(zhǎng)；（2）已知BD是△ABC的中線，若△ABD的周長(zhǎng)為10，求△BCD的周長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系解答即可；（2）根據(jù)三角形的中線的定義得到AD＝CD，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：（1）由題意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∵AC是整數(shù)，∴AC＝8；（2）∵BD是△ABC的中線，∴AD＝CD，∵△ABD的周長(zhǎng)為10，∴AB+AD+BD＝10，∵AB＝1，∴AD+BD＝9，∴△BCD的周長(zhǎng)＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+9＝17．5．（芙蓉區(qū)校級(jí)月考）△ABC中，AC＝2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長(zhǎng)分成40和60兩部分，求BC的長(zhǎng)．【分析】先根據(jù)AD是BC邊上的中線得出BD＝CD，設(shè)BD＝CD＝x，AB＝y(tǒng)，則AC＝4x，再分△ACD的周長(zhǎng)是60與△ABD的周長(zhǎng)是60兩種情況進(jìn)行討論即可．【解答】解：∵AD是BC邊上的中線，AC＝2BC，∴BD＝CD，設(shè)BD＝CD＝x，AB＝y(tǒng)，則AC＝4x，分為兩種情況：①AC+CD＝60，AB+BD＝40，則4x+x＝60，x+y＝40，解得：x＝12，y＝28，即BC＝2x＝24，AB＝28，AC＝4x＝48，∵BC+AB＝24+28＝52＞AC，∴此時(shí)符合三角形三邊關(guān)系定理；②AC+CD＝40，AB+BD＝60，則4x+x＝40，x+y＝60，解得：x＝8，y＝52，即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，∵AC+BC＝32+16＝48＜AB，∴此時(shí)不符合三角形三邊關(guān)系定理；綜合上述：BC＝24．6．（昌吉州期中）如圖，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中點(diǎn)，E點(diǎn)在邊AB上．（1）若三角形BDE的周長(zhǎng)與四邊形ACDE的周長(zhǎng)相等，求線段AE的長(zhǎng)．（2）若三角形ABC的周長(zhǎng)被DE分成的兩部分的差是2cm，求線段AE的長(zhǎng)．【分析】（1）由圖可知三角形BDE的周長(zhǎng)＝BE+BD+DE，四邊形ACDE的周長(zhǎng)＝AE+AC+DC+DE，BD＝DC，所以BE＝AE+AC，則可解得AE＝2cm；（2）由三角形ABC的周長(zhǎng)被DE分成的兩部分的差是2，可得方程①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2．解得AE＝1cm或2cm．【解答】解：（1）由圖可知三角形BDE的周長(zhǎng)＝BE+BD+DE，四邊形ACDE的周長(zhǎng)＝AE+AC+DC+DE，又三角形BDE的周長(zhǎng)與四邊形ACDE的周長(zhǎng)相等，D為BC中點(diǎn)，∴BD＝DC，BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE，即BE＝AE+AC，∵AB＝10cm，AC＝6cm，∴10﹣AE＝AE+6，∴AE＝2cm．（2）由三角形ABC的周長(zhǎng)被DE分成的兩部分的差是2，可得方程①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2．解①得AE＝1cm，解②得AE＝3cm．故AE長(zhǎng)為1cm或3cm．【三角形的面積問題】1．（敘州區(qū)期末）如圖所示，△ABC的面積是2，AD是△ABC的中線，AF=13AD，CE=12A．29 B．16 C．23【分析】根據(jù)中線得出AD＝BD，求出S△ADC＝S△ADB=12S△ABC=1，根據(jù)AF=13AD求出S△CFD＝（1?13）S△ADC，根據(jù)CE=1【解答】解：∵△ABC的面積是2，AD是△ABC的中線，∴S△ADC＝S△ADB=1∵AF=13∴S△CFD＝（1?13）S△ADC=2∵CE=12∴S△CDE=13S△CFD故選：A．2．（朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，A、B、C分別是DB、EC、FA的中點(diǎn)，若△DEF的面積為21，那么△ABC的面積是（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】如圖，連接BF，易求S△ADF＝S△ABF，S△ABC=12S△ABF，則S△ABC=12S△ADF，所以S△ADF＝2S△ABC；同理求得S△BDE＝S△ECF＝2S△ABC，故S△DEF＝7【解答】解：如圖，連接BF．∵點(diǎn)A是BD的中點(diǎn)，∴S△ADF＝S△ABF．又∵點(diǎn)C是AF的中點(diǎn)，∴S△ABC=12S△ABF，則S△ABC=12∴S△ADF＝2S△ABC；同理求得S△BDE＝S△ECF＝2S△ABC，故S△DEF＝3S△ADF+S△ABC＝7S△ABC．∵S△DEF＝21，∴S△ABC＝3．故選：D．3．（寬城縣期末）如圖，△ABC的面積是12，點(diǎn)D、E、F、G分別是BC、AD、BE、CE的中點(diǎn)，則四邊形AFDG的面積是（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【分析】根據(jù)中線的性質(zhì)，可得△AEF的面積=12×△ABE的面積，△AEG的面積=12×△AEC的面積，△EFD的面積=12△BDE的面積，△【解答】解：∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，BE，CE的中點(diǎn)，∴DF是△EBD的中線，DG是△DEC的中線，AF是△ABE的中線，AG是△ACE的中線，∴△AEF的面積=12×△ABE的面積，△AEG的面積=12×△AEC的面積，△EFD的面積=12△∴四邊形AFDG的面積＝△AEF的面積+△AEG的面積+△EFD的面積+△EDG的面積=12×（△ABE的面積+△AEC的面積+△BDE的面積+△DCE的面積）=故選：D．4．（青島期末）如圖，BD是△ABC的邊AC上的中線，AE是△ABD的邊BD上的中線，BF是△ABE的邊AE上的中線，若△ABC的面積是32，則陰影部分的面積是（）A．9 B．12 C．18 D．20【分析】利用中線等分三角形的面積進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵BD是△ABC的邊AC上的中線，∴S△ABD＝S△BCD=12S△ABC∵AE是△ABD的邊BD上的中線，∴S△ABE又∵BF是△ABE的邊AE上的中線，則CF是△ACE的邊AE上的中線，∴S△BEF=S則S陰影＝S△BEF+S△CEF＝4+8＝12，故選：B．5．（渝中區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC中，CE＝2BE，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，連接DE、AE，取DE的中點(diǎn)F，連接AF，若△AEF的面積是1，則△ABC的面積是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】首先根據(jù)等底等高面積相等，可以分別得到△AEF、△AFD、△ABE、△AEC幾個(gè)三角形的面積關(guān)系，然后利用已知條件即可求解．【解答】解：∵△ABC中，CE＝2BE，∴S△AEC＝2S△ABE，S△ABC＝3S△ABE，∵F為DE的中點(diǎn)，∴S△AEF＝S△AFD＝1，∴S△AED＝2，∵點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，∴S△AEC＝2S△AED＝2×2＝4，∴S△ABE＝2，∴S△ABC＝2×3＝6，∴△ABC的面積是6．故選：C．6．（碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，E是△ABC中BC邊上的一點(diǎn)，且BC＝3CE，點(diǎn)D是AC邊中點(diǎn)，若S△BEF﹣S△ADF＝6，則S△ABC＝（）A．18 B．24 C．30 D．36【分析】設(shè)△ABC的面積為x，根據(jù)比例關(guān)系分別用x表示出△ACE和△BCD的面積，再根據(jù)S△BEF﹣S△ADF＝6，列方程求解即可．【解答】解：設(shè)△ABC的面積為x，∵點(diǎn)D是AC邊中點(diǎn)，∴S△BCD=12S△ABC=∵BC＝3CE，∴S△ACE=13S△ABC=∵S△BEF﹣S△ADF＝6，∴S△BCD﹣S△ACE=12x?解得x＝36，故選：D．7．（武侯區(qū)校級(jí)期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)E在AB邊上，四邊形EFGB也是正方形，它的邊長(zhǎng)為b（a＞b），連接AF、CF、AC．若a＝10，則△AFC的面積為（）A．25 B．50 C．75 D．5b【分析】先用含有a，b的式子表示CG，AE的長(zhǎng)，然后求得△AEF，正方形BEFG，正方形ABCD，△ADC，△FCG的面積，然后用切割法求得△AFC的面積．【解答】解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，正方形EFGB的邊長(zhǎng)為b，∴CG＝a+b，AE＝a﹣b，S正方形ABCD＝a2，S正方形ABCD＝b2，S△ACD=12a∴S△AEF=12AE×EF=12b（a﹣b）=12ab?12b2，S△FCG=12CG×FG=12∴S△AFC＝S△AEF+S正方形ABCD+S正方形ABCD﹣S△ACD﹣S△FCG=12ab?12b2+b2+a2?12a2﹣（12ab+∵a＝10，∴S△AFC=12×8．（潮安區(qū)期末）如圖，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接BE、CE，若△ABC的面積是8，則陰影部分的面積為（）A．4 B．2 C．6 D．8【分析】根據(jù)AD是△ABC的中線，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，得出三角形EDC的面積+三角形AEB的面積與三角形ABC的面積的關(guān)系即可．【解答】解：∵AD是△ABC的中線，∴S△ABD＝S△ACD=12S△∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴S△ABE＝S△BDE=12S△S△EDC＝S△CAE=12S△∴S△ABE=14S△ABC，S△CDE=14∴S△ABE+S△CDE=14S△ABC+14S△ABC=1故選：A．9．（樂亭縣期末）如圖，在△ABC中，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)F，使得AF＝CA，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使得BD＝2AB，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使得CE＝3CB，連接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，則S△ABC為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】如圖，連接AE，CD，設(shè)△ABC的面積為m．利用等高模型的性質(zhì)，用m表示出各個(gè)三角形的面積，可得△DEF的面積為18m，構(gòu)建方程，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，連接AE，CD，設(shè)△ABC的面積為m．∵BD＝2AB，∴△BCD的面積為2m，△ACD的面積為3m，∵AC＝AF，∴△ADF的面積＝△ACD的面積＝3m，∵EC＝3BC，∴△ECA的面積＝3m，△EDC的面積＝6m，∵AC＝AF，∴△AEF的面積＝△EAC的面積＝3m，∴△DEF的面積＝m+2m+6m+3m+