第01講空間向量的概念與運(yùn)算（秋季講義）（人教A版2019選擇性）（原卷版）

第01講空間向量的概念與運(yùn)算【人教A版2019】模塊一模塊一空間向量及其線性運(yùn)算1．空間向量的概念(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：向量的大小．(3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量2．空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當(dāng)λ>0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ<0時(shí)，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.3．共線向量(1)空間兩個(gè)向量共線的充要條件對于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(2)直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0//a.(3)共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；②證明三點(diǎn)共線.【注】：證明平行時(shí)，先從兩直線上取有向線段表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法；證明三點(diǎn)共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn).4．共面向量(1)共面向量如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要條件如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)共面向量定理的用途：①證明四點(diǎn)共面；②證明線面平行.【題型1空間向量的線性運(yùn)算及其含參問題】【例1.1】（2324高二上·貴州·階段練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，E,F分別為BC,AE的中點(diǎn)，G為△ACD的重心，則FG=（

A．?B．?C．1D．1【例1.2】（2324高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）在四面體ABCD中，點(diǎn)E滿足DE=λDC，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，且AF=1A．14 B．13 C．12【變式1.1】（2324高二上·河南開封·期末）已知四面體ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，則EF=（

A．12AD?C．AF?12【變式1.2】（2223高二上·廣西防城港·期末）如圖，設(shè)O為平行四邊形ABCD所在平面外任意一點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn)，若OE=12OD+xA．?2 B．0 C．?1 D．3【題型2向量共線的判定及應(yīng)用】【例2.1】（2324高二上·遼寧·期中）設(shè)向量e1,e2,e3不共面，已知AB=?3eA．0 B．1 C．2 D．3【例2.2】（2324高二上·遼寧大連·期末）在四面體ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，G為平面BCD的重心．若AG與平面BCE交于點(diǎn)F，則AFAG=（A．12 B．23 C．34【變式2.1】（2324高二·湖南·課后作業(yè)）已知向量a，b，c不共面，AB=4a+5b+3c，AC=2a+3【變式2.2】（2324高二上·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A（1）用a,b,（2）求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.【題型3向量共面的判定及應(yīng)用】【例3.1】（2324高二上·江西九江·期末）對于空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，有OP→=xOA→+yOB→+zOC→，則x+y+z=1是A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【例3.2】（2324高二上·山東聊城·期中）在四面體OABC中，空間的一點(diǎn)M滿足OM=12OA+16OB+λOC，若A．12 B．13 C．512【變式3.1】（2324高二·湖南·課后作業(yè)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過平面AC外一點(diǎn)O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，并且使OEOA=OFOB=OGOC=OH【變式3.2】（2324高二·全國·課后作業(yè)）如圖，已知O，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H為空間的9個(gè)點(diǎn)，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=(1)求證：A，B，C，D四點(diǎn)共面，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)求證：平面ABCD//平面EFCH(3)求證：OG=k模塊二模塊二空間向量的數(shù)量積運(yùn)算1．空間向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．(2)范圍：0≤〈a，b〉≤π.特別地，當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時(shí)，a⊥b.2．空間向量的數(shù)量積定義已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.性質(zhì)①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運(yùn)算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空間向量夾角的計(jì)算求兩個(gè)向量的夾角：利用公式＝求，進(jìn)而確定．4．空間向量數(shù)量積的計(jì)算求空間向量數(shù)量積的步驟：(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積．(3)代入求解．【題型4求空間向量數(shù)量積及其最值】【例4.1】（2324高二上·安徽蚌埠·期末）在三棱錐O?ABC中，∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°,OB=OC=2OA=2,E為OC的中點(diǎn)，則AEA．1 B．0 C．1 D．3【例4.2】（2324高二下·江蘇常州·期中）已知棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1內(nèi)有一內(nèi)切球O，點(diǎn)A．?2,2 B．0,2 C．?2,4 D．0,4【變式4.1】（2324高二上·河南·階段練習(xí)）正四面體的棱長為2，MN是它內(nèi)切球的一條弦（把球面上任意2個(gè)點(diǎn)之間的線段稱為球的弦），P為正四面體表面上的動點(diǎn)，當(dāng)弦MN最長時(shí)，PM?PN的最大值為（A．13 B．43 C．16【變式4.2】（2324高三上·浙江杭州·階段練習(xí)）已知長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=2，空間中存在一動點(diǎn)PA．存在點(diǎn)P，使得I1=I2 C．對任意的點(diǎn)P，有I1>I2 【題型5空間向量的夾角、垂直問題】【例5.1】（2324高二下·江蘇連云港·期中）已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AAA．23 B．?23 C．3【例5.2】（2324高二上·浙江湖州·期中）設(shè)空間兩個(gè)單位向量OA=m,n,0,OB=0,n,p與向量OC=A．2?34 C．2?34或2+34 【變式5.1】（2024高二·全國·專題練習(xí)）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長是(1)求CD(2)求AO與CB的夾角的余弦值(3)判斷AO與CD【變式5.2】（2324高二上·山東棗莊·期中）如圖，在底面ABCD為菱形的平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，(1)求證：D,M,B(2)當(dāng)AA1AB【題型6利用空間向量的數(shù)量積求?！俊纠?.1】（2324高二上·湖北荊門·期末）已知平面α和平面β的夾角為60°，α∩β=l，已知A，B兩點(diǎn)在棱上，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB．已知AB=4，AC=BD=6，則CD的長度為（

）A．213 B．231 C．62 D．【例6.2】（2324高三下·北京·開學(xué)考試）正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，動點(diǎn)M在線段CC1上，動點(diǎn)P在平面A．1,2 B．62,3 C．【變式6.1】（2024高二·全國·專題練習(xí)）如圖，正四面體（四個(gè)面都是正三角形）OABC的棱長為1，M是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足ON=2NM，點(diǎn)P滿足(1)用向量OA，OB，(2)求|OP【變式6.2】（2324高二上·重慶·期末）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，∠A1AD=π4，∠A1AB=

(1)求AB?(2)求A1模塊模塊三空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算1．空間向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，上式可簡記作a＝(x，y，z)．2．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3【題型7空間向量平行、垂直的坐標(biāo)運(yùn)算】【例7.1】（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知a=(1)若a∥b，分別求λ與(2)若a=5，且與c=【例7.2】（2324高二上·安徽宿州·期中）已知空間向量a=(1)若c//a，且a?(2)若a⊥b，且m>0,n>0，求【變式7.1】（2324高二下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知向量a=(1)求a?2(2)當(dāng)c=22時(shí)，若向量ka+b與c(3)若向量c與向量a,b共面向量，求【變式7.2】（2324高二下·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A(?2,0,2)，B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，設(shè)a=AB，(1)求a，b夾角的余弦值．(2)若向量ka+b，k(3)若向量λa?b，a【題型8空間向量模長、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算】【例8.1】（2324高二下·重慶北碚·階段練習(xí)）已知a=x,0,3,b=1,2,?1,c=1,z,1，a⊥A．π6 B．π3 C．23【例8.2】（2324高二下·遼寧·階段練習(xí)）在正四棱錐P?ABCD中，PA=AB=2，E在棱PD上，F(xiàn)在直線CE上，則AF的最小值是（

）A．433 B．463 C．【變式8.1】（2324高二上·山東聊城·階段練習(xí)）已知a=x,4,1，b=?2,y,?1，c=3,?2,z，A．?219 B．219 C．2【變式8.2】（2324高二上·湖北武漢·期中）如圖所示，三棱錐A?BCD中，AB⊥平面BCD,∠BCD=π2，BC=2AB=2CD=2，點(diǎn)P為棱AC的中點(diǎn)，E,F分別為直線DP,AB上的動點(diǎn)，則線段EF的最小值為（

A．24 B．22 C．104一、單選題1．（2324高二下·江蘇南通·期末）在三棱錐O?ABC中，已知BE=23BC，G是線段AE的中點(diǎn)，則A．12OA+C．13OA+2．（2324高二下·江蘇泰州·階段練習(xí)）O為空間任意一點(diǎn)，若AP=?14OA+18OB+tOC，若A，A．1 B．98 C．18 3．（2324高二上·河北滄州·期末）已知a=2,?1,?1，b=k,?1,2，若a+b與A．?52 B．?2 C．2 4．（2324高二上·陜西寶雞·期中）在空間四邊形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC，則cosOA,BCA．12 B．22 C．?5．（2324高二上·江蘇鹽城·期末）已知點(diǎn)D在△ABC確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，若正實(shí)數(shù)x,y滿足OD=xOA+2yOB?A．52 B．92 C．26．（2324高二上·江西吉安·期末）在三棱錐M?ABC中，MA⊥平面ABC，△ABC為正三角形，AB=2，MA=5，點(diǎn)F在線段MC上，且CF=λCM，當(dāng)BC?AFA．12 B．23 C．137．（2024·浙江·模擬預(yù)測）邊長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AA1，A1D1中點(diǎn)，MA．1 B．52 C．2 D．8．（2324高二下·江蘇南京·期中）已知EF是棱長為8的正方體的一條體對角線，空間一點(diǎn)M滿足ME?MF=?40，AB是正方體的一條棱，則AMA．162?4 B．162?2 C．二、多選題9．（2324高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．若p=2x+3y，則p與B．若MP=2MA+3C．若OA+OB+D．若OP=1210．（2324高二下·江蘇常州·期中）設(shè)空間兩個(gè)單位向量OA→=m,n,0,OB→=A．2+34 C．2?34 11．（2324高一下·山東淄博·期中）已知a，b，c是平面上的三個(gè)非零向量，那么下列說法正確的是（

）A．若a=b