江西省多校聯(lián)考2023-2024學年高二下學期6月摸底考試數(shù)學

高二數(shù)學考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)在復平面內對應的點位于第四象限，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.2.對某批電子元件的使用壽命進行測試，從該批次的電子元件中隨機抽取200個進行使用壽命試驗，測得的使用壽命（單位：小時）結果如下表所示：使用壽命（小時）100120150165185200210230個數(shù)832453523261912估計這批電子元件使用壽命的第60百分位數(shù)為（）A.165 B.170 C.175 D.1853.拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.4.如圖，在矩形中，過邊上的點分別作的垂線，分別交于，過邊上點作的垂線，分別交于，，則集合中的元素個數(shù)為（）A.2 B.4 C.6 D.85.已知，集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件6.在中，角的對邊分別為.若，則的最小值為（）A. B. C. D.7.設是定義在上的奇函數(shù)，且，當時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.8.已知點，動點滿足，則取得最小值時，點的坐標為（）A B.C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.圍棋是我國發(fā)明的古老的也是最復雜的智力競技活動之一.現(xiàn)代圍棋棋盤共有19行19列，361個格點，每個格點上可能出現(xiàn)黑子?白子?空三種情況，因此整個棋盤上有種不同的情況，下面對于數(shù)字的判斷正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.的個位數(shù)是3 B.的個位數(shù)是1C.是173位數(shù) D.是172位數(shù)10.已知函數(shù)在內無極值點，且，則（）A.B.的最小正周期為C.若不等式在區(qū)間上有解，則D.將的圖象向左平移個單位長度后所得圖象關于軸對稱11.如圖，在棱長為4的正方體中，為棱的中點，，過點的平面截該正方體所得的截面為，則（）A.不存在，使得平面B.當平面平面時，C.線段長的最小值為D.當時，三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.13.在三棱錐中，，若該三棱錐的所有頂點均在球的表面上，則球的表面積為__________.14.已知分別為橢圓的上?下焦點，，直線經(jīng)過點且與交于兩點，若垂直平分線段，則的周長為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.學生的安全是關乎千家萬戶的大事，對學生進行安全教育是學校教育的一個重要方面.臨近暑假，某市教體局針對當前的實際情況，組織各學校進行安全教育，并進行了安全知識和意識的測試，滿分100分，成績不低于60分為合格，否則為不合格.為了解安全教育的成效，隨機抽查了轄區(qū)內某校180名學生的測試成績，將統(tǒng)計結果制作成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）若抽查學生中，分數(shù)段內的女生人數(shù)分別為，完成列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為測試成績與性別有關聯(lián)？不合格合格合計男生女生合計（2）若對抽查學生的測試成績進行量化轉換，“合格”記5分，“不合格”記0分.按比例分配的分層隨機抽樣的方法從“合格”與“不合格”的學生中隨機選取10人進行座談，再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的分布列和數(shù)學期望.附：，其中.0.10050.0052.7063.8417.87916.已知函數(shù).（1）若，當時，證明：；（2）若，討論的單調性.17.如圖，在中，分別為邊的中點，將沿折起到處，為線段的中點.（1）求證：平面平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.18.已知雙曲線的左?右頂點分別為，右焦點為，一條漸近線的傾斜角為的離心率為在上.（1）求的方程；（2）過的直線交于兩點（在軸上方），直線分別交軸于點，判斷（為坐標原點）是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.19.對任意正整數(shù)，定義的豐度指數(shù)，其中為的所有正因數(shù)的和.（1）若，求數(shù)列前項和；（2）對互不相等的質數(shù)，證明：，并求的值.高二數(shù)學考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)在復平面內對應的點位于第四象限，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先對化簡求出其實部和虛部，然后由其在復平面內對應的點位于第四象限，列不等式組可求出實數(shù)的取值范圍【詳解】因為，所以在復平面內對應的點為，因為復數(shù)在復平面內對應的點位于第四象限，所以，解得.故選：D.2.對某批電子元件的使用壽命進行測試，從該批次的電子元件中隨機抽取200個進行使用壽命試驗，測得的使用壽命（單位：小時）結果如下表所示：使用壽命（小時）100120150165185200210230個數(shù)832453523261912估計這批電子元件使用壽命的第60百分位數(shù)為（）A.165 B.170 C.175 D.185【答案】C【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計算方法計算即可.【詳解】因為為整數(shù)，所以該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是將這組數(shù)據(jù)從小到大排列后第120個數(shù)據(jù)和第121個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由表知，第120個數(shù)據(jù)為165，第121個數(shù)據(jù)為185，所以第60百分位數(shù)為.故選：C.3.拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將拋物線轉化成標準式，由定義求出準線.【詳解】由得，故拋物線的準線方程為.故選：D4.如圖，在矩形中，過邊上的點分別作的垂線，分別交于，過邊上點作的垂線，分別交于，，則集合中的元素個數(shù)為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義即可求解.【詳解】在上的投影向量僅有4種情況，分別是，由數(shù)量積的幾何意義知也僅有4個不同的值，所以該集合中有4個元素.故選：B.5.已知，集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】先由求出，然后利用充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.【詳解】若，則，或，所以，或.當時，，不滿足集合中元素的互異性，故；當時，，故由，可得；反之，當時，顯然也成立.故“”是“”的充要條件.故選：C.6.在中，角的對邊分別為.若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】已知條件利用正弦定理化簡得，余弦定理把角化邊，結合基本不等式求最小值.【詳解】由，有，由正弦定理，得，則，有，所以，當且僅當時等號成立，即最小值為.故選：A.7.設是定義在上的奇函數(shù)，且，當時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】當時，令，求導后結合已知可得在上單調遞減，再由可得到時，，當時，，再利用為奇函數(shù)，可求出結果.【詳解】當時，令，則，所以在上單調遞減，因為，所以，于是當時，，即；當時，，即.又為上的奇函數(shù)，所以當時，，當時，，又，所以的解集為.故選：A.8.已知點，動點滿足，則取得最小值時，點的坐標為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設，由，得點軌跡方程，，故當且僅當三點共線，且點在之間時，取得最小值，點軌跡方程與直線聯(lián)立方程組，求出點的坐標即可.【詳解】設，由，得，化簡得，由，得，所以，故當且僅當三點共線，且點在之間時，取得最小值，此時線段的方程為，由并結合，解得故此時點的坐標為.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.圍棋是我國發(fā)明的古老的也是最復雜的智力競技活動之一.現(xiàn)代圍棋棋盤共有19行19列，361個格點，每個格點上可能出現(xiàn)黑子?白子?空三種情況，因此整個棋盤上有種不同的情況，下面對于數(shù)字的判斷正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.的個位數(shù)是3 B.的個位數(shù)是1C.是173位數(shù) D.是172位數(shù)【答案】AC【解析】【分析】對于AB，因為的個位數(shù)以4為周期循環(huán)往復，則的個位數(shù)與的個位數(shù)相同，即可判斷AB；對于CD，通過對數(shù)運算，得即可判斷CD.【詳解】對于AB,由，個位數(shù)分別為以4為周期循環(huán)往復，因為余數(shù)為1，故的個位數(shù)與的個位數(shù)相同，即的個位數(shù)為3，故A正確，B錯誤；對于CD，因為，所以，因為，所以為173位數(shù)，故C正確，D錯誤.故選：AC.10.已知函數(shù)在內無極值點，且，則（）A.B.的最小正周期為C.若不等式在區(qū)間上有解，則D.將的圖象向左平移個單位長度后所得圖象關于軸對稱【答案】ACD【解析】【分析】先對函數(shù)化簡變形得，然后由可得，再由在內無極值點，得，則得，從而可求出，求出的解析式，再逐個分析判斷即可.【詳解】，由，得，所以的最小正周期，又在內無極值點，所以，所以，所以，經(jīng)驗證符合條件，所以，對于A，，所以A正確，對于B，的最小正周期為，所以B錯誤；對于C，若，則，由在上有解，得在上有解，所以，解得，故C正確；對于D，將的圖象向左平移個單位長度，得的圖象，令，則，所以為偶函數(shù)，其圖象關于軸對稱，故D正確.故選：ACD.11.如圖，在棱長為4的正方體中，為棱的中點，，過點的平面截該正方體所得的截面為，則（）A.不存在，使得平面B.當平面平面時，C.線段長的最小值為D.當時，【答案】BCD【解析】【分析】利用舉反例可判斷A，利用面面平行的性質及向量的線性運算及數(shù)量積運算可判斷BC選項，通過畫正方體的截面判斷D選項的正確性，從而確定正確答案.【詳解】當時，與重合，與重合，易證平面，即存在，使得平面，故A錯誤；若平面平面，因為平面平面，平面平面，所以，設，因為為的中點，所以為的中點，所以，延長到，使得，同理可得，又，所以，又為中點，所以，所以，所以，故B正確；由題意知，且，故（當且僅當時等號成立），當且僅當時等號成立，所以，故C正確；當時，易得為正六邊形（如圖六邊形），其邊長為，故的面積為.，所以，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.【答案】448【解析】【分析】根據(jù)展開式，將配為即可根據(jù)二項式定理進行計算.【詳解】由題意知為的展開式中項的系數(shù)，即展開式中第6項的系數(shù)，其為.故答案為：448.13.在三棱錐中，，若該三棱錐的所有頂點均在球的表面上，則球的表面積為__________.【答案】##【解析】【分析】由三棱錐三條側棱相等可知三棱錐的外接球球心在正三棱錐的高上且點在底面的射影即為的外心,可先由正弦定理求得外接圓半徑，再由勾股定理求得外接球半徑,即可求得球的表面積.【詳解】因為，所以點在平面上的射影為的外心，如下圖，又，所以的外接圓的半徑，從而三棱錐的高為.設該三棱錐外接球的半徑為，則，即，解得，故球的表面積為.故答案為：.14.已知分別為橢圓的上?下焦點，，直線經(jīng)過點且與交于兩點，若垂直平分線段，則的周長為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線l過，求出c和a的值；連接，根據(jù)垂直平分線段得，從而可得的周長為．【詳解】由題意知A為的左頂點，設的半焦距為，則，所以線段的中點為，直線的斜率為，所以的斜率為，所以直線的方程為，又過，所以，解得，所以.連接，因為垂直平分線段，所以，所以的周長為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.學生的安全是關乎千家萬戶的大事，對學生進行安全教育是學校教育的一個重要方面.臨近暑假，某市教體局針對當前的實際情況，組織各學校進行安全教育，并進行了安全知識和意識的測試，滿分100分，成績不低于60分為合格，否則為不合格.為了解安全教育的成效，隨機抽查了轄區(qū)內某校180名學生的測試成績，將統(tǒng)計結果制作成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）若抽查的學生中，分數(shù)段內的女生人數(shù)分別為，完成列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為測試成績與性別有關聯(lián)？不合格合格合計男生女生合計（2）若對抽查學生的測試成績進行量化轉換，“合格”記5分，“不合格”記0分.按比例分配的分層隨機抽樣的方法從“合格”與“不合格”的學生中隨機選取10人進行座談，再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的分布列和數(shù)學期望.附：，其中.0.10.050.0052.7063.8417.879【答案】（1）列聯(lián)表見解析，測試成績與性別無關聯(lián)（2）分布列見解析，12【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出每一組的人數(shù)，然后填寫列聯(lián)表，再利用公式求出，與臨界值表比較可得答案；（2）利用分層隨機抽樣的定義計算出從“合格”與“不合格”的學生中抽取的人數(shù)，則可得的取值為，求出相應的概率，從而可求得的分布列和數(shù)學期望.【小問1詳解】由頻率分布直方圖知，得分在的人數(shù)分別為，，由題意知“不合格”的人數(shù)為72，“合格”的人數(shù)為108，故列聯(lián)表為：不合格合格合計男生424890女生306090合計72108180零假設：測試成績與性別無關聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分的證據(jù)推斷不成立，因此可以認為成立，即測試成績與性別無關聯(lián).【小問2詳解】在“合格”中抽的人數(shù)為，“不合格”中抽的人數(shù)為，故的取值為，則，，故所求分布列為05101520所以.16.已知函數(shù).（1）若，當時，證明：；（2）若，討論的單調性.【答案】（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)，利用導數(shù)與函數(shù)單調性間的關系，求出的單調性，進而可得到，即可證明結果；（2）對求導得到，令，得到或，再對進行分類討論，利用導數(shù)與函數(shù)單調性間的關系，即可求出結果.【小問1詳解】當時，，即證當時，，令，則，令，則在區(qū)間上恒成立，所以，當且僅當時取等號，所以在區(qū)間上恒成立，當且僅當時取等號，所以在上單調遞減，所以對，所以，即.【小問2詳解】，令，得或，①當時，恒成立，所以在上單調遞增；②當時，，令，得，或，令，得，所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減；③當時，，令，得，或，令，得，所以在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，綜上所述，當時，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減.17.如圖，在中，分別為邊的中點，將沿折起到處，為線段的中點.（1）求證：平面平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，證明平面，即可求解；（2）以為原點，直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，分別求出兩個平面的法向量，即可解出.【小問1詳解】證明：取的中點，連接，則，且，由題意知，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，由題意知，因為分別為的中點，所以，因為，所以，因為平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】解：設，則，所以，所以，因為在中，，所以，所以，所以兩兩垂直，故以為原點，直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，所以.設平面的一個法向量，則，即，令，解得，所以設平面的一個法向量，則，即，令，解得，所以，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知雙曲線的