高考數(shù)學（北師大版理）練習第五章平面向量第1講平面向量的概念及線性運算

第1講平面向量的概念及線性運算一、選擇題1.已知下列各式：①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))；②eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))；③eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))；④eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)).其中結果為零向量的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4解析由題知結果為零向量的是①④，故選B.答案B2.設a是非零向量，λ是非零實數(shù)，下列結論中正確的是()A.a與λa的方向相反 B.a與λ2a的方向相同C.|－λa|≥|a| D.|－λa|≥|λ|·a解析對于A，當λ＞0時，a與λa的方向相同，當λ＜0時，a與λa的方向相反；B正確；對于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不確定，故|－λa|與|a|的大小關系不確定；對于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示長度，兩者不能比較大小.答案B3.如圖，在正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝()A.0 B.eq\o(BE,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(CF,\s\up6(→))解析由題圖知eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→)).答案D4.設a0為單位向量，下述命題中：①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.假命題的個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3解析向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題.綜上所述，假命題的個數(shù)是3.答案D5.設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A.eq\o(OM,\s\up6(→)) B.2eq\o(OM,\s\up6(→)) C.3eq\o(OM,\s\up6(→)) D.4eq\o(OM,\s\up6(→))解析eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＋(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(OM,\s\up6(→))＝4eq\o(OM,\s\up6(→)).故選D.答案D6.在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，若點D滿足eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c B.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c D.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c解析∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))＝2(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，∴3eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.答案A7.(2017·溫州八校檢測)設a，b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，若A，B，D三點共線，則實數(shù)p的值為()A.－2 B.－1 C.1 D.2解析∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b.又∵A，B，D三點共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線.設eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.答案B8.如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點C，D是半圓弧的兩個三等分點，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A.a－eq\f(1,2)b B.eq\f(1,2)a－bC.a＋eq\f(1,2)b D.eq\f(1,2)a＋b解析連接CD，由點C，D是半圓弧的三等分點，得CD∥AB且eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a.答案D二、填空題9.如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點和中心為始點和終點的向量中，與向量eq\o(OA,\s\up6(→))相等的向量有________個.解析根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和相等向量的定義，易知與向量eq\o(OA,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，共3個.答案310.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AO,\s\up6(→))，則λ＝________.解析因為ABCD為平行四邊形，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AO,\s\up6(→))，故λ＝2.答案211.向量e1，e2不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3(e1＋e2)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e2－e1，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1＋e2，給出下列結論：①A，B，C共線；②A，B，D共線；③B，C，D共線；④A，C，D共線.其中所有正確結論的序號為________.解析由eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝4e1＋2e2＝2eq\o(CD,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))不共線，可得A，C，D共線，且B不在此直線上.答案④12.已知△ABC和點M滿足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，若存在實數(shù)m使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，則m＝________.解析由已知條件得eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝－eq\o(MA,\s\up6(→))，如圖，延長AM交BC于D點，則D為BC的中點.延長BM交AC于E點，延長CM交AB于F點，同理可證E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點，即M為△ABC的重心，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，即eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AM,\s\up6(→))，則m＝3.答案313.(2017·延安模擬)設e1與e2是兩個不共線向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2，若A，B，D三點共線，則k的值為()A.－eq\f(9,4) B.－eq\f(4,9)C.－eq\f(3,8) D.不存在解析由題意，A，B，D三點共線，故必存在一個實數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→)).又eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＝λ（3－k），,2＝－λ（2k＋1），))解得k＝－eq\f(9,4).答案A14.已知點O，A，B不在同一條直線上，點P為該平面上一點，且2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，則()A.點P在線段AB上 B.點P在線段AB的反向延長線上C.點P在線段AB的延長線上 D.點P不在直線AB上解析因為2eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))，所以2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，所以點P在線段AB的反向延長線上，故選B.答案B15.O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，則P的軌跡一定通過△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心解析作∠BAC的平分線AD.∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))＝λ′·eq\f(\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|)(λ′∈[0，＋∞))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(λ′,|\o(AD,\s\up6(→))|)·