121勾股定理及其逆定理（備作業(yè)）2021-2022學年八年級數(shù)學下冊(北師大版)

1.2.1勾股定理及其逆定理一、單選題1．已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長是（）A．5 B．25 C． D．5或【答案】D【分析】分4是直角邊、4是斜邊，根據(jù)勾股定理計算即可．【解析】解：當4是直角邊時，斜邊＝，當4是斜邊時，另一條直角邊＝，故選：D．【點睛】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2．2．如圖，在中，，，點在上，，，則的長為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理求出CD，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠B＝∠BAD，求出BD，計算即可．【解析】∵∠C＝90°，AC＝3，∴CD＝，∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B＋∠BAD，∴∠B＝∠BAD，∴DB＝，∴BC＝BD＋CD＝故選：D．【點睛】本題考查的是勾股定理，三角形的外角的性質(zhì)以及等腰三角形的判定定理，掌握如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2是解題的關鍵．3．如圖，等邊中，，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)三線合一得的長，在中，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)和勾股定理求解即可．【解析】解：是等邊三角形，∴，，∵，所以，，又∵，所以，∴，∴，故選：．【點睛】此題主要考查的是等邊三角形和直角三角形30度角的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關性質(zhì)是解題的關鍵．4．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是（）A．13 B．26 C．34 D．47【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，而正方形的面積等于邊長的平方，故可得到以斜邊為邊長的正方形的面積等于兩個以直角邊為邊長的面積之和.【解析】由勾股定理得：正方形F的面積=正方形A的面積+正方形B的面積=32+52=34，同理，正方形G的面積=正方形C的面積+正方形D的面積=22+32=13，∴正方形E的面積=正方形F的面積+正方形G的面積=47．故選D．【點睛】此題考查的是勾股定理，掌握以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積等于兩個以直角邊為邊長的正方形面積之和是解決此題的關鍵.5．下列各組數(shù)中，能成為直角三角形的三條邊長的是（）A．8、15、17 B．10、24、25 C．9、15、20 D．9、80、81【答案】A【分析】求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．【解析】解：A．，∴能構成直角三角形，故選項正確；B．∵，∴不能構成直角三角形，故選項錯誤；C．∵，∴不能構成直角三角形，故選項錯誤；D．∵，∴不能構成直角三角形，故選項錯誤．故選A．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，進而作出判斷．6．直角三角形兩直角邊長分別是a，b，斜邊為c，斜邊上的高為h，則，，h為邊的三角形是（）．A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定【答案】B【分析】先利用勾股定理得到a，b，c，h之間的關系，再根據(jù)勾股定理逆定理判定所求的三角形是直角三角形．【解析】解：根據(jù)題意可知：a2＋b2＝c2，ab＝ch，∵（c＋h）2＝c2＋2ch＋h2，（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，∴（a＋b）2＋h2＝（c＋h）2，∴三角形是直角三角形．故選：B．【點睛】主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的運用．要會熟練利用勾股定理的逆定理來判定直角三角形．7．以下列各組數(shù)為邊長的三角形中，能構成直角三角形的有（）組①5，12，13；②7，24，25；③8，15，16；④32，42，52；⑤；⑥A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】給出三邊的長，欲求證是否為直角三角形，只要驗證兩短邊的平方和等于最長邊的平方即可．【解析】①52+122=132，故是直角三角形；②72+242=252，故是直角三角形；③82+152162，故不是直角三角形；④(32)2+(42)2(52)2，故不是直角三角形；⑤()2+()2()2，故是直角三角形；⑥()2+()2()2，故是直角三角形．綜上，①②⑤⑥滿足兩邊長度的平方和等于第三邊的平方，共4個，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．8．中，，的對邊分別是，，，下列說法錯誤的是（）A．如果，則是直角三角形B．如果，則是直角三角形，且C．如果，則是直角三角形D．如果，則是直角三角形【答案】B【分析】直角三角形的判定方法有：①求得一個角為90°，②利用勾股定理的逆定理．【解析】A選項：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可求出為度，故A正確；B選項：解得應為度，故B錯誤；C選項：設三角分別為，，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得三外角分別為：度，度，度，則是直角三角形，故C正確；D選項：化簡后有，根據(jù)勾股定理，則是直角三角形，故D正確；故選B．【點睛】考查了直角三角形的判定的知識，解題的關鍵是了解直角三角形的判定方法，難度不大．9．已知，，是的三邊，如果滿足，則三角形的形狀是A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】將等號右側(cè)式子移到左側(cè),再將其因式分解,然后根據(jù)：若xy=0,則x=0或y=0,判斷即可.【解析】解:∵，，是的三邊∴∴或解得:或∴是等腰三角形或直角三角形.故選C.【點睛】此題考查的是因式分解、等腰三角形的判定和直角三角形的判定，掌握因式分解的各個方法、等腰三角形的定義和利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解決此題的關鍵.10．若點D為等邊內(nèi)一點，且，，，則此等邊三角形ABC的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得，再過點作，交延長線于點，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理推出，在中，由勾股定理，即可求等邊的面積．【解析】解：如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得，再過點作，交延長線于點，如下圖：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，，，是等邊三角形，，，在中，，，，，，，，在中，，，，在中，由勾股定理得，，，又等邊的面積，等邊的面積，故選：A．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形、勾股定理，解題的關鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，及作出適當?shù)妮o助線進行求解．二、填空題11．已知中，，則、、所對的三條邊之比為_________．【答案】【分析】先求出，，，然后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．【解析】解：∵，，∴，，，∴，，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．12．已知：如圖，在中，，，則__________．【答案】【分析】過點C作CD⊥AB于D，根據(jù)已知及三角形內(nèi)角和定理求得，由直角三角形的性質(zhì)求出，則可利用勾股定理求得AD，并由此求出BD，即可再根據(jù)勾股定理求出BC．【解析】解：如圖，過點C作CD⊥AB于D，∵，∴，∵，，則∴，∴，∴，由勾股定理得：，∴，由勾股定理得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關鍵．13．如圖，已知中，，AD平分，如果CD=1，且的周長比的周長大2，那么BD=____．【答案】【分析】過點D作DM⊥AB于點M，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CD=MD，進而可用HL證明Rt△ACD≌△AMD，可得AC=AM，由的周長比的周長大2可變形得到BM+BD=3，再設BD=x，則BM=3－x，然后在Rt△BDM中根據(jù)勾股定理可得關于x的方程，解方程即可求出x，從而可得答案．【解析】解：過點D作DM⊥AB于點M，則，∵AD平分，∴CD=MD，又∵AD=AD，∴Rt△ACD≌△AMD（HL），∴AC=AM，∵的周長比的周長大2，∴(AB+AD+BD)－(AC+AD+CD)=2，∴AB+BD－AC－1=2，∴AM+BM+BD－AC=3，∴BM+BD=3，設BD=x，則BM=3－x，在Rt△BDM中，由勾股定理，得，即，解得：，∴BD=．故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識，屬于?？碱}型，熟練掌握上述知識是解題的關鍵．14．如圖，在中，，，，將折疊，使點與點重合，得折痕，則的周長等于____cm．【答案】7【分析】根據(jù)勾股定理，可得BC的長，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得AE與CE的關系，根據(jù)三角形的周長公式，可得答案．【解析】在中，，，，由勾股定理，得，由翻折的性質(zhì)，得，的周長為7（cm）．【點睛】本題考查翻折的性質(zhì)、勾股定理，利用翻折的性質(zhì)得出CE與AE的關系是解題關鍵．15．如圖，每個小正方形的邊長都相等，，，是小正方形的頂點，則的度數(shù)為______．【答案】【分析】連接，設小正方形的邊長為，由勾股定理可得，，再由勾股定理逆定理可得，即可求解．【解析】解：如圖，連接，設小正方形的邊長為，由勾股定理得：，，，∴，，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了勾股定理及逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理得出、、是解題的關鍵．16．的三邊為a、b、c，若滿足，則_______；若滿足，則是_______角；若滿足，則是_______角．【答案】鈍銳【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：若三角形三邊滿足，則這個三角形是直角三角形，進行求解即可．【解析】解：若，則∠B=90°；若，則∠B是鈍角；若，則∠B是銳角，故答案為：∠B，鈍，銳．【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，三角形三邊的關系，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．17．若a,b,c是直角三角形的三條邊長，斜邊c上的高的長是h，給出下列結論：①以a2，b2，c2的長為邊的三條線段能組成一個三角形；②以的長為邊的三條線段能組成一個三角形；③以a+b，c+h，h的長為邊的三條線段能組成直角三角形；④以的長為邊的三條線段能組成直角三角形，正確結論的序號為___．【答案】②③．【分析】已知直角三角形的三條邊長，根據(jù)勾股定理得出，同時直角三角形作為三角形，滿足三角形的三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，即，再判斷各選項中各個線段是否能組成三角形．【解析】解：（1）根據(jù)勾股定理得出，所以不成立，即不滿足兩邊之和大于第三邊，本選項錯誤；（2）直角三角形的三邊有a+b＞c（a，b，c中c最大），而在，，三個數(shù)中最大，如果能組成一個三角形，則有成立，即，即，（由a+b＞c），則不等式成立，從而滿足兩邊之和＞第三邊，則以，，的長為邊的三條線段能組成一個三角形，故正確；（3），，這三個數(shù)中一定最大，，，又∵2ab=2ch=4S△ABC，∴，根據(jù)勾股定理的逆定理，即以，，的長為邊的三條線段能組成直角三角形．故正確；（4）若以，，的長為邊的3條線段能組成直角三角形，假設a=3，b=4，c=5，∵，∴以這三個數(shù)的長為線段不能組成直角三角形，故錯誤．故答案為：②③．【點睛】本題考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，同時，通過這一題目要學會，用反例的方法說明一個命題是錯誤的思考方法．18．如圖，在等腰中，，，D、E為邊AB上兩個動點，且，則周長的最小值是________．【答案】16【分析】作CH∥AB，點E關于直線CH對稱點為F，連接CF，作CG⊥AB于G，當F、C、D在同一直線上時，周長最小，此時可證CD=CE，根據(jù)勾股定理可求CD長，即可求出周長最小值．【解析】解：作CH∥AB，點E關于直線CH對稱點為F，連接CF，作CG⊥AB于G，由對稱可知，CD+CE＝CD+CF，當F、C、D在同一直線上時，它們的和最小，即周長的最?。逤H∥AB，CG⊥AB，∴∠HCG＝90°，∠ECG+∠HCE＝90°，∠FCH+∠DCG＝90°，由對稱可知，∠HCF＝∠HCE，∴∠DCG＝∠GCE，∵CG＝GC，∠EGC＝∠DGC＝90°，∴△EGC≌△DGC，∴CD=CE，∴，∵，，∴，，∵，周長的最小值為5+5+6=16．故答案為：16．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理和最短路徑問題，解題關鍵是恰當作軸對稱，確定周長最小時，三角形為等腰三角形．三、解答題19．在中，已知，求的長．【答案】【分析】先判定三角形是直角三角形，后用勾股定理計算即可．【解析】∵∠A=∠B=45°，∴∠C=90°，AC=BC=3，∴AB=．【點睛】本題考查了直角三角形的判定，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．20．如圖，在△ABC△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AD是△ABC的高，求AD的長．【答案】AD的長為a．【分析】利用勾股定理求出BC的長，再根據(jù)三角形的面積列式即可求出AD的長．【解析】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∴BC=，∵AD是△ABC的高，∴S△ABC=×AB×AC=×BC×AD，即×a×a=×a×AD，解得AD=a．故AD的長為a．【點睛】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及三角形面積公式的應用，根據(jù)同一個三角形的面積的兩種不同表示列式是解題的關鍵．21．如圖，已知每個小方格的邊長均為1，求的長，并計算與的周長比．【答案】，，；與的周長比為2∶1．【分析】先根據(jù)勾股定理求出，，，，，的長，再求出與的周長，進而可得出結論．【解析】解：由圖可知，，，，，，，的周長，的周長，．【點睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．22．已知三角形的三邊分別為a，b，c，且．（1）請判斷這個三角形的形狀；（2）試找出一組直角三角形的三邊的長，使它的最小邊不小于20，另兩邊的差為2，三邊均為正整數(shù)．【答案】（1）直角三角形；（2）20、99、101【分析】（1）根據(jù)，利用勾股定理的逆定理進行判斷即可；（2）取，即，，然后分別算出a，c即可．【解析】解：（1）∵，，，，∴，∴這個三角形是直角三角形；（2）取，即，．∴．．【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握勾股定理的逆定理．23．已知a、b、c是三角形的三邊長，，，（n為大于等于1的自然數(shù)），試說明為直角三角形．【答案】見解析．【分析】根據(jù)平方差公式證明，即可得為直角三角形．【解析】，，（n為大于等于1的自然數(shù)），即，故為直角三角形．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，平方差公式的應用，觀察代數(shù)式的區(qū)別，靈活運用平方差公式是解題的關鍵．24．如圖，四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=13，AD=12，求四邊形ABCD的面積．【答案】36【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)勾股定理的逆定理求出△CAD是直角三角形，分別求出△ABC和△CAD的面積，即可得出答案．【解析】解：連結AC，在△ABC中，∵∠B=90°，AB=4，BC=3，∴AC＝，S△ABC＝AB?BC＝×4×3＝6，在△ACD中，∵AD=12，AC=5，CD=13，∴AD2+AC2=CD2，∴△ACD是直角三角形，∴S△ACD＝AC?AD＝×5×12＝30．∴四邊形ABCD的面積=S△ABC+S△ACD=6+30=36．【點評】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的應用，解決本題的關鍵是熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理．25．如圖，中，的垂直平分線分別交，于點，，且．求證：；若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）4【分析】（1）連接CD，根據(jù)中垂線的性質(zhì)可得CD=BD，從而結合題意運用勾股定理得逆定理即可證明；（2）根據(jù)題意先求出AD，BD，再由（1）的結論在中運用勾股定理計算即可．【解析】證明：連結．的垂直平分線分別交，于點，，．，，，是直角三角形，且．解：，，，，，．【點睛】本題考查中垂線的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，理解勾股定理的逆定理和中垂線的性質(zhì)是解題關鍵．26．如圖所示，點是等邊三角形內(nèi)的一點，且，，，若將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到．（1）求的長；（2）的度數(shù)．【答案】（1）6；（2）【分析】（1）連結PP′，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，∠PAC＝∠P′AB，根據(jù)∠PAC+∠BAP=∠P′AB+∠BAP=60°可得△APP′為等邊三角形，即可證明PP′=AP=6；（2）利用勾股定理的逆定理可得△BPP′為直角三角形，且∠BPP′＝90°，由（1）得∠APP′=60°，即可得答案．【解析】解：（1）連結，如圖．∵為等邊三角形，∴，，∵繞點逆時針能轉(zhuǎn)后，得到，∵∠PAC+∠BAP=∠P′AB+∠BAP=60°，∴，，，∴為等邊三角形，∴，．（2）在中，∵，，，在△BPP′中，∴，∴為直角三角形，，∴．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的逆定理．27．已知：在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90o，D為△ABC外一點，且滿足∠ADB=90°．（1）如圖1，若，AD=1，求DB的長．（2）如圖1，求證：．（3）如圖2所示，過C作CE⊥AD于E，BD=2，AD=6，求CE的長．【答案】（1）；（2）見解析；（3）2【分析】（1）在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AB=2，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得；（2）過C點作CF⊥CD，構造手拉手模型，運用等腰直角三角形的性質(zhì)可得證；（3）過C點作CF⊥CD，構造手拉手模型，運用三角形全等可得證．【解析】（1）解：在Rt△ABC中，∵，∴，∴在Rt△ABD中，．（2）證明：如圖，過C點作CF⊥CD交DB的延長線于點F．∵∠ACB=∠DCF=90°，∴∠ACD=∠BCF，∵∠CAD+∠CBD=360°－(∠ACB+∠ADB)=180°，∠CBF+∠CBD=180°，∴∠CAD=∠CBF，又∵CA=CB，∴△CAD≌△CBF(ASA)，∴CD=CF，AD=BF，∴，∵DF=DB+BF=DB+DA，∴．（3）解：如圖，過C點作CF⊥CD交AD與F點，∵∠ACB=∠DCF=90°，即∠ACF+∠BCF=∠BCD+∠BCF=90°，∴∠ACF=∠BCD，∵∠AFC=∠FCD+∠CDA=90°+∠CDA，∠CDB=∠CDA+∠ADB=90°+∠CDA，∴∠AFC=∠CDB，又∵CA=CB，∴△CAF≌△CBD(AAS)，∴CF=CD，AF=BD，∴△CDF是等腰直角三角形，又∵CE⊥AD，∴E為DF中點，∵AD=6，AF=BD=2，∴FD=AD－AF=4，∴．【點睛】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的全等，手拉手模型的構造，熟練構造手拉手模型是解題的關鍵.28．（閱讀理解）截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一長邊相等，從而解決問題．（1）如圖①，△是等邊三角形，點是邊下方一點，連結，且，探索線段之間的數(shù)量關系．解題思路：延長到點，使，連接，根據(jù)，則，因為可證，易證得△≌△，得出△是等邊三角形，所以，從而探尋線段之間的數(shù)量關系．根據(jù)上述解題思路，請直接寫出之間的數(shù)量關系是；（拓展延伸）（2）如圖②，在Rt△中，，．若點是邊下方一點，，探索線段之間的數(shù)量關系，并說明理由；（知識應用）（3）如圖③，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，已知所對直角邊等于斜邊一半，則的長為_____________cm．（結果無需化簡