必修一課后作業(yè)第三章指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)

1指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算疑點(diǎn)透析1．如何理解n次方根的概念若一個(gè)數(shù)x的n次方等于a，那么x怎么用a來表示呢？是x＝eq\r(n,a)嗎？這個(gè)回答是不完整的．正確表示應(yīng)如下：x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(n,a)，n為奇數(shù)，,±\r(n,a)，n為偶數(shù)，a＞0，,不存在，n為偶數(shù)，a＜0，,0，a＝0.))主要性質(zhì)有：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0.))2．如何理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不可以理解為eq\f(m,n)個(gè)a相乘，它是根式的一種新的寫法．規(guī)定＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，＝eq\f(1,)＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，在這樣的規(guī)定下，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示相同意義的量，它們只是形式上的不同而已.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義，負(fù)數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是否有意義，應(yīng)視m，n的具體數(shù)而定．3．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和整數(shù)指數(shù)冪有什么異同相同：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與整數(shù)指數(shù)冪都是有理數(shù)指數(shù)冪，都可以利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算．其運(yùn)算形式為at·as＝at＋s；(at)s＝ats；(ab)t＝at·bt，式中a＞0，b＞0，t、s∈Q，對于這三條性質(zhì)，不要求證明，但須記準(zhǔn)．不同：整數(shù)指數(shù)冪表示的是相同因式的連乘積，而分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的一種新的寫法，它表示的是根式．4．指數(shù)冪的運(yùn)算在這里要注意的是，對于計(jì)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)．例1化簡eq\r(3,a\r(a－3))÷eq\r(\r(3,a－7)\r(3,a13)).解原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(aa－3))÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a－7a13))＝(aa)÷(aa)＝a＝a0＝1.例2求eq\r(4,81×\r(9))的值．解原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(34×3))＝(3)＝3×eq\f(1,4)＝3＝3eq\r(6,3).例1、例2兩道例題都既含有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式，應(yīng)該把根式統(tǒng)一化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，便于計(jì)算．2解讀指數(shù)函數(shù)的四個(gè)難點(diǎn)在學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)后，下面來分析突破指數(shù)函數(shù)的幾大難點(diǎn)，供同學(xué)們學(xué)習(xí)掌握．難點(diǎn)之一：概念指數(shù)函數(shù)y＝ax有三個(gè)特征：①指數(shù)：指數(shù)只能是自變量x，而不能是x的函數(shù)；②底數(shù)：底數(shù)為常數(shù)，大于0且不等于1；③系數(shù)：系數(shù)只能是1.例1給出五個(gè)函數(shù)：①y＝2×6x；②y＝(－6)x；③y＝πx；④y＝xx；⑤y＝.其中指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是________．分析根據(jù)所給的函數(shù)對系數(shù)、底數(shù)、指數(shù)三個(gè)方面進(jìn)行考察，是否滿足指數(shù)函數(shù)的定義．解析對于①，系數(shù)不是1；對于②，底數(shù)小于0；對于④，底數(shù)x不是常數(shù)；對于⑤，指數(shù)是x的一次函數(shù)，故①、②、④、⑤都不是指數(shù)函數(shù)．正確的是③，只有③符合指數(shù)函數(shù)的定義．答案1難點(diǎn)之二：討論指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)，當(dāng)a＞1時(shí)，是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，是單調(diào)減函數(shù)．例2函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大eq\f(a,2)，求a的值．分析遇到底數(shù)是參數(shù)時(shí)，應(yīng)優(yōu)先分類討論，此題應(yīng)先對a進(jìn)行分類討論，再列出方程并求出a.解當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y＝ax在[1,2]上的最大值是a2，最小值是a，依題意得a2－a＝eq\f(a,2)，即a2＝eq\f(3a,2)，所以a＝eq\f(3,2)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y＝ax在[1,2]上的最大值是a，最小值是a2，依題意得a－a2＝eq\f(a,2)，即a2＝eq\f(a,2)，所以a＝eq\f(1,2).綜上可知，a＝eq\f(3,2)或a＝eq\f(1,2).難點(diǎn)之三：復(fù)合指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)及二次函數(shù)等進(jìn)行復(fù)合時(shí)，特別是研究單調(diào)性時(shí)，應(yīng)掌握好“同增異減”法則．例3求函數(shù)y＝(eq\f(1,3))eq\r(－x2＋x＋2)的單調(diào)減區(qū)間．分析指數(shù)函數(shù)與指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的區(qū)別在于指數(shù)自變量是x還是x的函數(shù)．此題先求出函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的“同增異減”法則求解．解由－x2＋x＋2≥0知，函數(shù)的定義域是[－1,2]．令u＝－x2＋x＋2＝－(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(9,4)，則y＝(eq\f(1,3))eq\r(u)，當(dāng)x∈[－1，eq\f(1,2)]時(shí)，隨x的增大，u增大，y減小，故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[－1，eq\f(1,2)]．難點(diǎn)之四：圖象指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象特征是：當(dāng)a＞1時(shí)，在y軸的右側(cè)，a越大，圖象越往上排；在y軸左側(cè)，a越大，圖象越往下排．當(dāng)0＜a＜1時(shí)恰好相反．例4利用指數(shù)函數(shù)的圖象比較0.7－0.3與0.4－0.3的大?。治隹稍谕蛔鴺?biāo)系中作出y＝0.7x及y＝0.4x的圖象，從圖象中得出結(jié)果．解如圖所示，作出y＝0.7x、y＝0.4x及x＝－0.3的圖象，易知0.7－0.3＜0.4－0.3.評注圖象應(yīng)記憶準(zhǔn)確，在第二象限中靠近y軸的函數(shù)應(yīng)是y＝0.4x，而不是y＝0.7x，這一點(diǎn)應(yīng)注意．3對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算學(xué)習(xí)講解1．對數(shù)的定義一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記做x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．解讀：(1)由對數(shù)定義可以知道，當(dāng)a＞0，且a≠1時(shí)，ax＝N?x＝logaN，也就是說指數(shù)式與對數(shù)式實(shí)際上是表示a、N之間的同一種關(guān)系的兩種形式，因此可以互相轉(zhuǎn)化；(2)根據(jù)對數(shù)定義可以知道，＝N，即a的logaN次方等于N，對數(shù)恒等式也是化簡或計(jì)算的重要公式．2．對數(shù)的性質(zhì)(1)零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，由于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，所以ax＝N(a＞0，且a≠1)中N總是正數(shù)；(2)1的對數(shù)為0，由于任何非零實(shí)數(shù)的零次冪都等于1，所以loga1＝0；(3)底數(shù)的對數(shù)等于1，由于a1＝a對于任何非零實(shí)數(shù)都成立，所以logaa＝1.3．對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN，即正數(shù)積的對數(shù)，等于同一底數(shù)的各個(gè)數(shù)的對數(shù)和；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN，即兩個(gè)正數(shù)商的對數(shù)，等于被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)；(3)logaMn＝nlogaM，正數(shù)的冪的對數(shù)等于冪的底數(shù)的對數(shù)乘以冪指數(shù)．這些性質(zhì)一般運(yùn)用于對數(shù)的計(jì)算、化簡或證明中．例1將下列對數(shù)式化成指數(shù)式、指數(shù)式化成對數(shù)式．(1)log3eq\f(1,27)＝－3；(2)log232＝5；(3)63＝216；(4)10－3＝0.001.解(1)3－3＝eq\f(1,27).(2)25＝32.(3)log6216＝3.(4)log100.001＝－3，也可寫成lg0.001＝－3.評注本題考查了對數(shù)式與指數(shù)式的互化．解題所用知識都是依據(jù)對數(shù)的定義，要注意對數(shù)的真數(shù)是指數(shù)的冪，對數(shù)的值是指數(shù)式中的指數(shù)．例2求下列各式的值．(1)3log72－log79＋2log7eq\f(3,2\r(2))；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.解(1)原式＝log723－log79＋log7(eq\f(3,2\r(2)))2＝log7eq\f(23×\f(3,2\r(2))2,9)＝log71＝0.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5·(lg5＋2lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2＋(lg5＋lg2)2＝3.評注利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求值和化簡，是對數(shù)運(yùn)算常見的題型，對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的正向運(yùn)用可以把真數(shù)的乘、除、乘方、開方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算，這樣就簡化了計(jì)算，體現(xiàn)了利用對數(shù)運(yùn)算的優(yōu)越性．4換底公式的證明及其應(yīng)用換底公式是對數(shù)運(yùn)算、證明中重要的公式，但有些同學(xué)對其理解不深，應(yīng)用不好，故下面加以補(bǔ)充，希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)能有所幫助．一、換底公式及證明換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab).證明設(shè)logbN＝x，則bx＝N.兩邊均取以a為底的對數(shù)，得logabx＝logaN，∴xlogab＝logaN.∴x＝eq\f(logaN,logab)，即logbN＝eq\f(logaN,logab).二、換底公式的應(yīng)用舉例1．乘積型例1(1)計(jì)算：log89·log2732；(2)求證：logab·logbc·logcd＝logad.分析先化為以10為底的常用對數(shù)，通過約分即可解決．解(1)換為常用對數(shù)，得log89·log2732＝eq\f(lg9,lg8)·eq\f(lg32,lg27)＝eq\f(2lg3,3lg2)·eq\f(5lg2,3lg3)＝eq\f(2,3)×eq\f(5,3)＝eq\f(10,9).(2)由換底公式，得logab·logbc·logcd＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lgc,lgb)·eq\f(lgd,lgc)＝logad.評注此類型題通常換成以10為底的常用對數(shù)，再通過約分及逆用換底公式，即可解決．2．知值求值型例2已知log1227＝a，求log616的值．分析本題可選擇以3為底進(jìn)行求解．解log1227＝eq\f(log327,log312)＝a，解得log32＝eq\f(3－a,2a).故log616＝eq\f(log316,log36)＝eq\f(4log32,1＋log32)＝eq\f(4×\f(3－a,2a),1＋\f(3－a,2a))＝eq\f(43－a,3＋a).評注這類問題通常要選擇適當(dāng)?shù)牡讛?shù)，結(jié)合方程思想加以解決．3．綜合型例3設(shè)A＝eq\f(1,log519)＋eq\f(2,log319)＋eq\f(3,log219)，B＝eq\f(1,log2π)＋eq\f(1,log5π)，試比較A與B的大?。治霰绢}可選擇以19及π為底進(jìn)行解題．解A換成以19為底，B換成以π為底，則有A＝log195＋2log193＋3log192＝log19360＜2，B＝logπ2＋logπ5＝logπ10＞logππ2＝2.故A＜B.評注一般也有倒數(shù)關(guān)系式成立，即logab·logba＝1，logab＝eq\f(1,logba).5精析對數(shù)函數(shù)一、對數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)．由對數(shù)的定義容易知道對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)是指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)．在對數(shù)函數(shù)中自變量是對數(shù)式中的真數(shù)，函數(shù)值為對數(shù)，這一點(diǎn)在運(yùn)用對數(shù)時(shí)要謹(jǐn)記．若對數(shù)式中的底數(shù)為自變量時(shí)，此函數(shù)不是對數(shù)函數(shù)．二、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的記憶與運(yùn)用的注意事項(xiàng)(1)數(shù)形結(jié)合——利用圖象記憶性質(zhì)．x＝1是“分水嶺”；(2)函數(shù)的單調(diào)性決定于底數(shù)a大于1還是大于0小于1；(3)指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax(其中a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的概念、圖象、性質(zhì)，既有密切的聯(lián)系又有本質(zhì)的區(qū)別．2．對數(shù)函數(shù)圖象分布規(guī)律如圖所示，在同一坐標(biāo)系中多個(gè)對數(shù)函數(shù)底數(shù)的變化規(guī)律是：在直線x＝1的右邊區(qū)域，在x軸上方，對數(shù)函數(shù)的圖象越靠近x軸，底數(shù)越大，且底數(shù)均大于1；在x軸下方，對數(shù)函數(shù)的圖象越靠近x軸，底數(shù)越小，且底數(shù)均在(0,1)之間．圖中的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)a，b，c，d的大小關(guān)系是0＜a＜b＜1＜c＜d.在具體解題時(shí)，還可利用特殊值法．例1函數(shù)y＝log(x－1)(4－x)的定義域是________．解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＞0,x－1≠1,4－x＞0))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞1,x≠2,x＜4))，所以函數(shù)的定義域是{x|1＜x＜4，且x≠2}．答案{x|1＜x＜4，且x≠2}評注函數(shù)的定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量x的集合，若出現(xiàn)對數(shù)，要使其真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1.例2函數(shù)y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的圖象如圖所示，則a、b、c、d與正整數(shù)1的大小順序是______________．解析作出直線y＝1，可知其與對數(shù)函數(shù)y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別就是該對數(shù)函數(shù)的底數(shù)a、b、c、d，于是c＜d＜1＜a＜b.答案c＜d＜1＜a＜b評注利用特殊值的辦法解決有關(guān)對數(shù)函數(shù)的圖象問題，可減輕記憶的負(fù)擔(dān)，使問題得到迅速地解決．6巧解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)綜合題指數(shù)函數(shù)y＝ax和對數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)，它們有共同的底數(shù)，且底數(shù)起了核心作用，其變化規(guī)律是：當(dāng)a＞1時(shí)，它們在各自的定義域內(nèi)都是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，它們在各自的定義域內(nèi)都是單調(diào)減函數(shù)，因此在解決指、對函數(shù)型問題時(shí)，以底數(shù)為突破口，往往能夠快速解題．1．共享底數(shù)對數(shù)式與指數(shù)式互化，其底數(shù)一致，即logaN＝b，ab＝N.利用它可以解決指、對數(shù)方程及互化等問題．例1方程log3(1－2·3x)＝2x＋1的解x＝________.解析將對數(shù)式化為指數(shù)式，得32x＋1＝1－2·3x，即3·(3x)2＋2·3x－1＝0，得3x＝eq\f(1,3)，故x＝－1.答案－12．亮出底數(shù)在有些指數(shù)、對數(shù)函數(shù)問題，特別是圖象問題中，只要突出底數(shù)作用，即亮出底數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，就可解決．例2當(dāng)a＞1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，能表示函數(shù)y＝a－x與y＝logax的圖象是________．解析由a＞1，得0＜eq\f(1,a)＜1，則指數(shù)函數(shù)y＝a－x＝(eq\f(1,a))x在R上是單調(diào)減函數(shù)，對數(shù)函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，故①符合．答案①3．變換底數(shù)對數(shù)或指數(shù)運(yùn)算最怕是不同底，這時(shí)可利用換底公式等手段變換底數(shù)．例3若loga2＜logb2＜0，則下列各式成立的是________．①0＜a＜b＜1；②0＜b＜a＜1；③a＞b＞1；④b＞a＞1.解析化為同底，有eq\f(1,log2a)＜eq\f(1,log2b)＜0，從而log2b＜log2a＜0，即log2b＜log2a＜log21.∵對數(shù)函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，∴0＜b＜a＜1.答案②4．討論底數(shù)當(dāng)?shù)讛?shù)不定時(shí)，常分0＜a＜1與a＞1兩種情況進(jìn)行討論．例4函數(shù)y＝ax在[0,1]上的最大值與最小值的差為5，則a＝________.解析由題意知，a＞0，且a≠1.①當(dāng)a＞1時(shí)，有a1－a0＝5，即a＝6；②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，有a0－a1＝5，即a＝－4(舍去)．綜上知，a＝6.答案65．消去底數(shù)有時(shí)候指數(shù)及對數(shù)問題的底數(shù)存在，會給解題帶來一定的麻煩，我們還可利用轉(zhuǎn)化的思想(如用同底法、換底法等)消去底數(shù)，使問題簡化．例5設(shè)0＜x＜1，a＞0且a≠1，試比較|loga(1－x)|與|loga(1＋x)|的大?。庾魃蘣q\f(|loga1－x|,|loga1＋x|)＝|log(1＋x)(1－x)|，∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1,1＜1＋x＜2,0＜1－x2＜1，∴|log(1＋x)(1－x)|＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)eq\f(1,1－x)＝log(1＋x)eq\f(1＋x,1－x2)＞log(1＋x)(1＋x)＝1.∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.7三種數(shù)學(xué)思想在冪函數(shù)中的應(yīng)用1．分類討論的思想例1若(a＋1)－eq\f(1,3)<(3－2a)，試求a的取值范圍．分析利用函數(shù)y＝x的圖象及單調(diào)性解題，注意根據(jù)a＋1,3－2a是否在同一單調(diào)區(qū)間去分類．解分類討論eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>0，,3－2a>0，,a＋1>3－2a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,3－2a<0，,a＋1>3－2a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2a>0，,a＋1<0，))解得a<－1或eq\f(2,3)<a<eq\f(3,2).評注考慮問題要全面，謹(jǐn)防考慮不周導(dǎo)致錯(cuò)誤，本題是根據(jù)a＋1,3－2a是否在同一單調(diào)區(qū)間去分類．用分類討論的思想解題時(shí)應(yīng)做到標(biāo)準(zhǔn)明確，不重不漏．2．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想例2當(dāng)0<x≤eq\f(1,2)時(shí)，4x<logax，則a的取值范圍是____________．解析a>1時(shí)，當(dāng)0<x≤eq\f(1,2)時(shí)，logax<0，不合題意．0<a<1時(shí)，只需4<logaeq\f(1,2)，即logaa2<logaeq\f(1,2)，解得a>eq\f(\r(2),2)，又a∈(0,1)，∴a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))評注數(shù)形結(jié)合是一類重要的數(shù)學(xué)思想方法，它把抽象的關(guān)系與直觀的圖形結(jié)合起來，使復(fù)雜的問題一目了然．3．轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想例3指出函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋4x＋5,x2＋4x＋4)的單調(diào)區(qū)間，并比較f(－π)與f(－eq\f(\r(2),2))的大小．解因?yàn)閒(x)＝eq\f(x2＋4x＋4＋1,x2＋4x＋4)＝1＋eq\f(1,x＋22)＝1＋(x＋2)－2，所以其圖象可由冪函數(shù)y＝x－2向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到，如圖所示．所以f(x)在(－2，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，在(－∞，－2)上是單調(diào)增函數(shù)，且圖象關(guān)于直線x＝－2對稱．又因?yàn)椋?－(－π)＝π－2，－eq\f(\r(2),2)－(－2)＝2－eq\f(\r(2),2)，所以π－2<2－eq\f(\r(2),2)，故－π距離對稱軸更近，所以f(－π)>f(－eq\f(\r(2),2))．評注通過化簡、變形等，可將復(fù)雜的、不熟悉的函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單的、熟悉的函數(shù)形式，進(jìn)而運(yùn)用其性質(zhì)來解題.8函數(shù)的零點(diǎn)及應(yīng)用一、要點(diǎn)掃描1．函數(shù)零點(diǎn)的理解：(1)函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，實(shí)質(zhì)是同一個(gè)問題的三種不同表達(dá)形式；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)的曲線，且f(a)f(b)＜0，則f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)有零點(diǎn)．2．函數(shù)零點(diǎn)的判定常用方法：(1)零點(diǎn)存在性定理；(2)數(shù)形結(jié)合法；(3)解方程f(x)＝0.3．曲線的交點(diǎn)問題：(1)曲線交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組的解，從而轉(zhuǎn)化為方程的根；(2)求曲線y＝f(x)與y＝g(x)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，實(shí)際上就是求函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)，即求方程f(x)－g(x)＝0的根．二、典型例題剖析1．求函數(shù)的零點(diǎn)例1求函數(shù)f(x)＝x3－3x＋2的零點(diǎn)．解令f(x)＝x3－3x＋2＝0，∴(x＋2)(x－1)2＝0.∴x＝－2或x＝1，∴函數(shù)f(x)＝x3－3x＋2的零點(diǎn)為－2,1.評注求函數(shù)的零點(diǎn)，就是求f(x)＝0的根，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，把函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，或利用數(shù)形結(jié)合思想把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題．2．判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)例2已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a＞1)，判斷函數(shù)f(x)＝0的根的個(gè)數(shù)．解設(shè)f1(x)＝ax(a＞1)，f2(x)＝－eq\f(x－2,x＋1)，則f(x)＝0的解，即為f1(x)＝f2(x)的解，即為函數(shù)f1(x)與f2(x)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．在同一坐標(biāo)系下，分別作出函數(shù)f1(x)＝ax(a＞1)與f2(x)＝－eq\f(x－2,x＋1)的圖象(如圖所示)．所以方程f(x)＝0的根有一個(gè)．評注利用數(shù)形結(jié)合的思想解決，在同一坐標(biāo)系下作出f1(x)與f2(x)兩函數(shù)的圖象，從而觀察出兩函數(shù)的交點(diǎn)(即是原函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù))．3．確定零點(diǎn)所在的區(qū)間例3設(shè)函數(shù)y＝x3與y＝(eq\f(1,2))x－2的圖象的交點(diǎn)為(x0，y0)，則x0所在的區(qū)間是下列中的________．(填序號)①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)．解析y＝x3與y＝(eq\f(1,2))x－2的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為x3＝(eq\f(1,2))x－2的根，即f(x)＝x3－(eq\f(1,2))x－2的零點(diǎn)，f(1)＝1－(eq\f(1,2))－1＝－1＜0，f(2)＝23－(eq\f(1,2))0＝7＞0，∴f(x)的零點(diǎn)在(1,2)內(nèi)．答案②評注本題考查函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)的應(yīng)用，利用了函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想，體現(xiàn)對運(yùn)算能力和理解能力的要求．4．利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性求參數(shù)范圍例4關(guān)于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在[0,2]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解設(shè)f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，又∵f(0)＝1>0，由題意得①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<－\f(m－1,2)≤2，,Δ＝m－12－4≥0，))或②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m－1,2)>2，,f2≤0.))解①得－3≤m≤－1，解②得m<－3.即m≤－1.所以m的取值范圍為(－∞，－1]．評注本題實(shí)質(zhì)是對一元二次方程根的個(gè)數(shù)的討論，解題過程中利用了函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化、分類討論思想、方程與不等式的轉(zhuǎn)化等知識，對運(yùn)算能力和分析問題的能力有很高的要求．9零點(diǎn)問題考向探究函數(shù)零點(diǎn)就是方程的根，這為我們提供了一個(gè)通過函數(shù)性質(zhì)確定方程根的途徑，是近幾年課標(biāo)高考命題的熱點(diǎn)．本節(jié)結(jié)合實(shí)例歸納有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)問題的幾類熱點(diǎn)題型．一、判斷函數(shù)零點(diǎn)的存在性例1已知函數(shù)f(x)＝2x3－4x2－3x＋1，那么在區(qū)間長度為1的條件下，下列敘述不正確的是________．(填序號)①函數(shù)在區(qū)間(－1,0)內(nèi)有零點(diǎn)；②函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)；③函數(shù)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點(diǎn)；④函數(shù)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn)．分析根據(jù)選項(xiàng)提供的區(qū)間來看，需要計(jì)算f(－1)，f(0)，f(1)，f(2)，f(3)的值，然后看相鄰兩個(gè)函數(shù)之間的符號關(guān)系，進(jìn)而確定函數(shù)零點(diǎn)的所在區(qū)間．解析因?yàn)閒(－1)＝－2<0，f(0)＝1>0，f(1)＝－4<0，f(2)＝－5<0，f(3)＝10>0，所以f(－1)·f(0)<0，f(0)·f(1)<0，f(2)·f(3)<0.又因?yàn)橐粋€(gè)三次方程最多有三個(gè)實(shí)根，所以函數(shù)f(x)＝2x3－4x2－3x＋1在區(qū)間(－1,0)，(0,1)，(2,3)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)．答案③評注由于本題所涉及的函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性不容易判斷，因此通過找全函數(shù)的可能存在的零點(diǎn)，用排除法找到正確答案．二、考查函數(shù)圖象與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系例2已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x)－cosx，在[0，＋∞)內(nèi)下列說法正確的是________．①?zèng)]有零點(diǎn)；②有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；③有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；④有無窮多個(gè)零點(diǎn)．分析利用數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行直觀判斷，或根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)(值域、單調(diào)性等)進(jìn)行判斷．解析在同一直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y＝eq\r(x)和y＝cosx的圖象，如圖，由于x>1時(shí)，y＝eq\r(x)>1，y＝cosx≤1，所以兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程eq\r(x)－cosx＝0在[0，＋∞)內(nèi)只有一個(gè)根，所以f(x)＝eq\r(x)－cosx在[0，＋∞)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)．答案②評注函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)．求方程f(x)＝g(x)的根或根的個(gè)數(shù)，即求函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．三、判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間例3函數(shù)f(x)＝2x＋3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是下列中的________．(填序號)①(－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)．解析因?yàn)閒(－1)＝eq\f(1,2)－3＜0，f(0)＝1＞0，所以f(x)在區(qū)間(－1,0)上存在零點(diǎn)．答案②評注若f(a)·f(b)<0，且f(x)在[a，b]上連續(xù)，則y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)一定有零點(diǎn)，但要注意，若f(a)·f(b)≥0，并不能證明f(x)在(a，b)內(nèi)沒有零點(diǎn).10解讀二分法“二分法”主要用途在于求函數(shù)的零點(diǎn)、求方程的近似解以及求兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)等．在學(xué)習(xí)的過程中，我們應(yīng)重視從本質(zhì)上理解和掌握“二分法”的實(shí)質(zhì)，合理準(zhǔn)確地使用“二分法”解題．一、定義對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法．二、適用條件若用“二分法”求函數(shù)y＝f(x)零點(diǎn)的近似值，必須具備兩個(gè)條件：①函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上圖象要連續(xù)不斷．例如函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3＋2x＜1，,x2－5x＞2))圖象不連續(xù)，要求它在[0,3]上零點(diǎn)的近似值，區(qū)間的中點(diǎn)1.5根本就不在定義域內(nèi)，不能用“二分法”；②必須滿足f(a)·f(b)＜0，這說明y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上一定有零點(diǎn)，否則若f(a)·f(b)＞0，則y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有無零點(diǎn)不能保證，不能用“二分法”．三、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的一般步驟給定精確到ε，用二分法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：1．確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f(a)·f(b)＜0，給定精確到ε；2．求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c；3．計(jì)算f(c)：(1)若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；(2)若f(a)·f(c)＜0，則令b＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)＜0，則令a＝c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c，b))．4．判斷是否達(dá)到精確到ε：即若a，b精確到ε的值相等，則得到零點(diǎn)近似值；否則重復(fù)步驟2～4.四、二分法的優(yōu)、缺點(diǎn)二分法的優(yōu)點(diǎn)在于其解題思想簡單易懂，即為“取區(qū)間中點(diǎn)，層層逼近零點(diǎn)”的原則，其體現(xiàn)了過程的機(jī)械性和簡單性．缺點(diǎn)在于其求解過程中計(jì)算量較大，必要時(shí)要用到計(jì)算器，計(jì)算要求準(zhǔn)確性高，可謂是“一步走錯(cuò)則全盤皆輸”．例求方程x2－2x－1＝0的一個(gè)大于零的近似解(精確到0.1)．分析先利用函數(shù)圖象直觀得到某根所在的區(qū)間．解設(shè)f(x)＝x2－2x－1，先畫出函數(shù)圖象的草圖，如圖所示．∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，∴在區(qū)間(2,3)上，方程x2－2x－1＝0有一解，記為x1，取2和3的平均數(shù)2.5，∵f(2.5)＝0.25＞0，∴x1∈(2,2.5)，再取2與2.5的平均數(shù)2.25，∵f(2.25)＝－0.4375＜0，∴x1∈(2.25,2.5)，如此繼續(xù)下去，得f(2.375)＜0，f(2.4375)＞0，則x1∈(2.375,2.4375)，∵2.375與2.24375精確到0.1的近似值都為2.4，∴方程的近似解為x1≈2.4.評注運(yùn)用二分法的前提是先判斷某根所在的大概區(qū)間．11函數(shù)與方程，唇齒相依函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)、集合與對應(yīng)的思想，去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決．方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，從而建立方程或方程組或構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決．方程的思想與函數(shù)的思想密切相關(guān)，對于函數(shù)y＝f(x)(如果y＝ax2＋bx＋c可以寫成f(x)＝ax2＋bx＋c，即y＝f(x)的形式)，當(dāng)y＝0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)＝0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函數(shù)與方程這種相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系很重要，我們應(yīng)熟練掌握．下面我們就具體看一下函數(shù)與方程的應(yīng)用舉例．一、判斷方程解的存在性例1已知函數(shù)f(x)＝3x3－2x2＋1，判斷方程f(x)＝0在區(qū)間[－1,0]內(nèi)有沒有實(shí)數(shù)解？分析可通過研究函數(shù)f(x)在[－1,0]上函數(shù)的變化情況判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)，從而判定方程是否有解．解因?yàn)閒(－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2＋1＝－4<0，f(0)＝3×03－2×02＋1＝1>0，所以f(－1)·f(0)<0.又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝3x3－2x2＋1的圖象是連續(xù)的曲線，所以f(x)在[－1,0]內(nèi)有零點(diǎn)，即方程f(x)＝0在區(qū)間[－1,0]內(nèi)有實(shí)數(shù)解．評注要判斷f(x)＝0是否存在實(shí)根，即判斷對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)y＝f(x)的圖象是否與x軸有交點(diǎn)．因此，只要找到圖象上的兩點(diǎn)，滿足一點(diǎn)在x軸上方，另一點(diǎn)在x軸下方即可．二、確定方程根的個(gè)數(shù)例2若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上滿足f(－6)>1，f(6)<1，則方程f(x)＝1在[－6,6]內(nèi)的解的個(gè)數(shù)為________．分析利用等價(jià)轉(zhuǎn)化將方程根的問題化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，再結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．解析設(shè)g(x)＝f(x)－1，則由f(－6)>1，f(6)<1，得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，即g(－6)g(6)<0.因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)上有零點(diǎn)．由于g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，易知當(dāng)a>0時(shí)g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，即函數(shù)g(x)為單調(diào)函數(shù)，故g(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)．因此方程f(x)＝1僅有一個(gè)根．答案1評注在區(qū)間[a，b]上單調(diào)且圖象連續(xù)的函數(shù)y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在(a，b)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)．三、求參數(shù)的取值范圍例3已知一次函數(shù)y＝2mx＋4，若在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．分析將方程解的問題，轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)的問題，最后通過不等式求得m的范圍．解析因?yàn)橐淮魏瘮?shù)f(x)在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，即函數(shù)f(x)在[－2,0]內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，所以f(－2)f(0)≤0.即(－4m＋4)(0＋4)≤0，解得m≥1.答案[1，＋∞)評注本題對方程實(shí)根的研究轉(zhuǎn)化為對一次函數(shù)f(x)在[－2,0]上有一個(gè)零點(diǎn)的研究，最后建立關(guān)于m的不等式求出m的取值范圍．整個(gè)解題過程充滿了對函數(shù)、方程、不等式的研究和轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的相互作用．例4已知關(guān)于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的兩實(shí)根一個(gè)小于1，另一個(gè)大于1，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．分析若直接利用求根公式解題，則要解復(fù)雜的無理不等式組．如果從函數(shù)觀點(diǎn)出發(fā)，令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，則由根的分布，函數(shù)f(x)的圖象只能如圖所示.對應(yīng)的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k>0，,f1<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,f1>0，))解出即可．解令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，為使方程f(x)＝0的兩實(shí)根一個(gè)小于1，另一個(gè)大于1，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k>0，,f1<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,f1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k>0，,2k－2－3k－2<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,2k－2－3k－2>0，))解得k>0或k<－4.故k的取值范圍是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．評注本題是一個(gè)利用函數(shù)圖象解方程根的分布問題的典例．一般的，關(guān)于根的分布問題，可引入函數(shù)，由函數(shù)圖象的特征聯(lián)想解決，使問題得到巧妙解決．12函數(shù)應(yīng)用問題“講”與“練”講解一求函數(shù)模型例1某地方政府為保護(hù)地方電子工業(yè)發(fā)展，決定對某一進(jìn)口電子產(chǎn)品征收附加稅．已知這種電子產(chǎn)品國內(nèi)市場零售價(jià)為每件250元，每年可銷售40萬件，若政府增加附加稅率為每百元收t元時(shí)，則每年銷售量將減少eq\f(8,5)t(t＞0)萬件．請將稅金收入表示為征收附加稅的函數(shù)．解設(shè)每年銷售量為x萬件，則每年銷售收入為250x萬元，征收附加稅為y＝250x·eq\f(t,100)＝eq\f(5,2)tx.依題意，知x＝40－eq\f(8,5)t＞0，即t＜25.故所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\f(5,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(40－\f(8,5)t))t＝－4t2＋100t(0＜t＜25)．評注在引入自變量建立目標(biāo)函數(shù)解決函數(shù)應(yīng)用題時(shí)，一要注意自變量的取值范圍，二要檢驗(yàn)所得結(jié)果，必要時(shí)運(yùn)用估算和近似計(jì)算，以使結(jié)果符合實(shí)際問題的要求．練習(xí)1將進(jìn)貨單價(jià)為70元的商品按100元一個(gè)售出時(shí)，能賣出500個(gè)，已知這種商品每個(gè)漲價(jià)1元時(shí)，其銷售量就減少15個(gè)，求利潤y與每個(gè)商品漲價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)系式．答案y＝－15x2＋50x＋15000eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(100,3)))講解二函數(shù)模型的選用例2某蔬菜基地種植青瓜，由歷年市場行情得知，從4月1日起的300天內(nèi)，青瓜的種植成本Q(萬元)與上市時(shí)間t(天)的關(guān)系如下表所示：種植成本Q(萬元)150100上市時(shí)間t(天)50150模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)Q＝a(t－150)2＋b(a，b為常數(shù)，且a≠0)，或一次函數(shù)Q＝kt＋m(k，m為常數(shù)，且k≠0)．已知種植成本Q＝112.5萬元時(shí)，上市時(shí)間t＝200天，則用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？并說明理由．分析根據(jù)題目給定的兩組Q，t的值，可分別求出模擬函數(shù)中的未知量a，b，k，m.解設(shè)f(t)＝a(t－150)2＋b(其中a，b為常數(shù)，a≠0)，g(t)＝kt＋m(k≠0)．由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f50＝150，,f150＝100，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g50＝150，,g150＝100.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a50－1502＋b＝150，,a150－1502＋b＝100，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50k＋m＝150，,150k＋m＝100.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,200)，,b＝100，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2)，,m＝175.))所以f(t)＝eq\f(1,200)(t－150)2＋100，g(t)＝－eq\f(1,2)t＋175.因?yàn)閒(200)＝eq\f(1,200)(200－150)2＋100＝112.5，g(200)＝－eq\f(1,2)×200＋175＝75，所以選用f(t)＝eq\f(1,200)(t－150)2＋100作為模擬函數(shù)較好．評注本題不能憑空下結(jié)論，而要通過具體計(jì)算得到．在實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程中，要充分使用數(shù)學(xué)語言，如引入字母、列表、畫圖、建立坐標(biāo)系等，以使實(shí)際問題數(shù)學(xué)化．練習(xí)2現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如下表所示：x123…y1.53.517.5…其中最能近似地表達(dá)這些數(shù)據(jù)規(guī)律的函數(shù)是________．①y＝2x－1；②y＝x2－1；③y＝2x－eq\f(1,2)；④y＝x3－x＋1.答案③講解三轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)模型例3有A，B兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次是M(萬元)和N(萬元)，它們與投入資金x(萬元)的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式：M＝eq\f(1,2)x，N＝eq\f(3\r(x),2)，今有4萬元資金投入經(jīng)營A，B兩種商品．為獲得最大利潤，應(yīng)分別對A，B兩種商品的資金投入多少萬元？解設(shè)對A種產(chǎn)品投資x萬元，則對B種產(chǎn)品投資(4－x)萬元．于是獲得總利潤y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(3\r(4－x),2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,4－x≥0，))得0≤x≤4.令t＝eq\r(4－x)(0≤x≤4)，則x＝4－t2(0≤t≤2)．所以y＝eq\f(1,2)(4－t2)＋eq\f(3,2)t＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))2＋eq\f(25,8)(0≤t