第20講圖形的相似與位似（講義）

第20講圖形的相似與位似目錄TOC\o"13"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點一比例線段的概念與性質(zhì)題型01成比例線段題型02圖上距離與實際距離題型03利用比例的性質(zhì)判斷式子變形是否正確題型04利用比例的性質(zhì)求未知數(shù)的值題型05利用比例的性質(zhì)求代數(shù)式的值題型06理解黃金分割的概念題型07黃金分割的實際應(yīng)用題型08由平行線分線段成比例判斷式子正誤題型09平行線分線段成比例（A型）題型10平行線分線段成比例（X型）題型11平行線分線段成比例與三角形中位線綜合題型12平行線分線段成比例的常用輔助線之平行線題型13平行線分線段成比例的常用輔助線之垂線考點二相似圖形的概念與性質(zhì)題型01理解相似圖形的概念題型02相似多邊形題型03相似多邊形的性質(zhì)考點三位似圖形題型01位似圖形的識別題型02判斷位似中心題型03根據(jù)位似的概念判斷正誤題型04求兩個位似圖形的相似比題型05畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形題型06求位似圖形的坐標(biāo)題型07求位似圖形的線段長度題型08在坐標(biāo)系中求位似圖形的周長題型09在坐標(biāo)系中求位似圖形的面積考點要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測比例線段的概念與性質(zhì)了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例的線段；通過建筑、藝術(shù)上的實例了解黃金分割.在中考中，該模塊內(nèi)容常出現(xiàn)在選擇題、填空題，較為簡單.本節(jié)內(nèi)容是下一節(jié)相似三角形的基礎(chǔ)，需要學(xué)生在復(fù)習(xí)時加以重視.相似圖形的概念與性質(zhì)通過具體實例認識圖形的相似.了解相似多邊形和相似比.位似圖形了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小.考點一比例線段的概念與性質(zhì)線段的比的定義：兩條線段的比是兩條線段的長度之比．比例線段的定義：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度的比)與另兩條線段的比相等，如ab=cd（即ad=bc），我們就說這四段線段是成比例線段，簡稱比例線段.其中a、b、c、d叫組成比例的項；a、d叫比的外項，【補充】當(dāng)比的內(nèi)項相等時，即ab=bd或a：b=b：d，線段b叫做線段a【解題思路】1）判斷四條線段是否成比例，需要將這四條線段從小到大依次排列，再判斷前兩條線段的比與后兩條線段的比是否相等即可；2）成比例的線段是有順序的，比如：a、b、c、d是成比例的線段，則成比例線段只能寫成ab=cd（即：第一條比例的性質(zhì)：1）基本性質(zhì)：ab=2）變形：ab=c3）合、分比性質(zhì)：a【補充】實際上，比例的合比性質(zhì)可擴展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：a4）等比性質(zhì)：如果ab=cd=【補充】根據(jù)等比的性質(zhì)可推出，如果ab=c5）黃金分割：點C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果ACAB=BCAC,那么線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC【注意】1）AC=5-12AB≈0.648AB2）一條線段的黃金分割點有兩個.【擴展】作一條線段的黃金分割點：如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：①經(jīng)過點B作BD⊥AB，使BD=12②連接AD，在DA上截取DE=DB.③在AB上截取AC=AE.則點C為線段AB的黃金分割點.6）平行線分線段成比例定理平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應(yīng)線段成比例.①已知l3∥l4∥l5,可得ABBC①把平行線分線段成比例的定理運用到三角形中，會出現(xiàn)下面的兩種情況：

推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例．1.1.求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．2.通常四條線段a、b、c、d的單位應(yīng)該一致，但有時為了計算方便，a和b統(tǒng)一為一個單位，c和d統(tǒng)一為另外一個單位也可以.題型01成比例線段【例1】（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列長度的各組線段中，能構(gòu)成比例線段的是（

）A．2，5，6，8 B．3，6，9，2 C．1，2，3，4 D．3，6，7，9【答案】B【分析】分別計算各組數(shù)中最大與最小數(shù)的積和另外兩數(shù)的積，然后根據(jù)比例線段的定義進行判斷．【詳解】解：A.∵2×8≠5×6，∴2，5，6，8不能構(gòu)成比例線段，不符合題意；B.∵2×9=3×6，∴3，6，9，2能構(gòu)成比例線段，符合題意；C.∵1×4≠3×2，∴1，2，3，4不能構(gòu)成比例線段，不符合題意；D.∵3×9≠6×7，∴3，6，7，9不能構(gòu)成比例線段，不符合題意；故選B．【點睛】本題考查了比例線段：判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．【變式11】（2023·上海長寧·統(tǒng)考一模）已知線段a、b、c、d是成比例線段，如果a=1，b=2，c=3A．8 B．6 C．4 D．1【答案】B【分析】利用成比例線段的定義得到a:b=【詳解】解：根據(jù)題意得：a:即1:2=3:d解得d=6故選：B．【點睛】本題考查了比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a:b=【變式12】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知線段a=3厘米，c=12厘米，如果線段b是線段a和c的比例中項，那么b【答案】6【分析】本題考查了比例線段，根據(jù)比例中項的定義得到a:b=b:c，然后利用比例性質(zhì)計算即可，解題的關(guān)鍵是理解四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，a:b=【詳解】∵線段b是線段a和c的比例中項，∴a:b=b:∴b=6故答案為：6．題型02圖上距離與實際距離【例2】（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？寄M預(yù)測）在比例尺是1:8000的地圖上，延陵西路的長度約為25cm，該路段的實際長度約為（

）A．3200m B．3000m C．2400m【答案】D【分析】首先設(shè)它的實際長度是xcm然后根據(jù)比例尺的定義，即可得方程1:8000=25:【詳解】解：設(shè)它的實際長度為xcm根據(jù)題意得：1:8000=25:解得：x=200000∵200000∴該路段實際長度約為2000故選：D．【點睛】此題考查了比例線段．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)比例尺的定義列方程，注意統(tǒng)一單位．【變式21】（2023·上海嘉定·?？家荒＃┘?、乙兩地的實際距離為250km，如果畫在比例尺為1:5000000的地圖上，那么甲、乙兩地的圖上距離是cm【答案】5【分析】根據(jù)比例尺＝圖上距離÷實際距離進行求解即可．【詳解】解：由題意得甲、乙兩地的圖上距離是250×1000×100×1故答案為：5．【點睛】本題主要考查了比例尺，熟知比例尺的定義是解題的關(guān)鍵．題型03利用比例的性質(zhì)判斷式子變形是否正確【例3】（2023·安徽合肥·?？家荒＃┮阎?x=3y（x≠0，yA．x3=y2 B．x2=【答案】A【分析】根據(jù)若ab=cd(b≠0，【詳解】解：A.可化為2xB.可化為xy=6C.可化為3xD.可化為3x故選：A．【點睛】本題考查了比例是性質(zhì)，掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式31】（2023·上海寶山·一模）已知線段a、b，如果a:A．2a=3b B．a(chǎn)+b=5【答案】C【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進行判斷即可．【詳解】解：A、由a:b=2:3B、當(dāng)a=4，b=6時，a:C、由a:b=2:3D、當(dāng)a=4，b=6時，a:故選：C．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)及式子的變形，用到的知識點：在比例里，兩外項的積等于兩內(nèi)項的積，比較簡單．題型04利用比例的性質(zhì)求未知數(shù)的值【例4】（2023·湖南郴州·模擬預(yù)測）若5-x:x=2:3，則【答案】3【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得到方程35-【詳解】解：∵5-x∴35-15-3x解得x=3故答案為：3．【點睛】本題考查比例性質(zhì)，熟練掌握內(nèi)項之積等于外項之積是解題關(guān)鍵．【變式41】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）若ab=34，且a+【答案】3【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得到3b=4a，結(jié)合a【詳解】解：由a：b=3：4知3所以b=所以由a+b=7解得：a=3故答案為：3．【點睛】考查了比例的性質(zhì)，內(nèi)項之積等于外項之積．若ab=c題型05利用比例的性質(zhì)求代數(shù)式的值【例5】（2023·浙江·模擬預(yù)測）用“▲”，“●”，“◆”分別表示三種物體的重量，若▲●=●-◆▲=◆●+A．2:3:4 B．2:4:3 C．3:4:5 D．3:5:4【答案】B【分析】可設(shè)▲●=●-◆▲=◆●+▲=k，利用等比性質(zhì)可得k的值，設(shè)▲為x，●為y，◆【詳解】解：設(shè)▲●=●-◆▲=◆●+▲=k，∴k=∴x=∴y=2∴▲，●，◆這三種物體的重量比為2:4:3．故選：B．【點睛】考查比例性質(zhì)的應(yīng)用；利用等比性質(zhì)得到所給比值的確定值是解決本題的關(guān)鍵．【變式51】（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）已知x:y=3:2，那么【答案】1:3【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，表示出y是解題的關(guān)鍵．先用x表示出y，再代入比例式進行計算即可得解．【詳解】解：∵x:∴y=∴x-故答案為：1:3．【變式52】（2023·寧夏銀川·?？家荒＃┤鬮a=dc【答案】12【分析】根據(jù)等比性質(zhì)、合比性質(zhì)轉(zhuǎn)換即可．【詳解】解：∵ba∴2b∴2b故答案為12【點睛】本題考查了比例線段，比例的性質(zhì)，正確理解等比性質(zhì)、合比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式53】（2023·江西撫州·校聯(lián)考一模）解方程：(1)xx(2)已知a:b:c=2:3:4【答案】(1)x1(2)24【分析】（1）先移項，再利用因式分解法解一元二次方程，此題得解；（2）由a:b:c=2:3:4，可設(shè)a=2k，則b=3k，c=4k，根據(jù)2【詳解】（1）解：移項得，xx即x-即x-3=0或解得：x1（2）解：∵a:∴設(shè)a=2k，則∵2a∴4k解得：k=3∴a=6∴a-【點睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程、解一元一次方程以及比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）熟練掌握因式分解法解一元二次方程的解法；（2）根據(jù)比例關(guān)系結(jié)合2a+3b【變式54】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知2ab+c+d=【答案】509或6【分析】當(dāng)a+b+c+d≠0時，依據(jù)等比性質(zhì)可得2(a+b+c+d)3(a【詳解】∵2ab∴當(dāng)a+b+c+d≠0時，由等比性質(zhì)可得，2(a+k=2(a+b當(dāng)a+b+c+d=0時，b+c+d=﹣a，∴k=2ab+c當(dāng)k=23時，k2-當(dāng)k=-2時，k【點睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì)．題型06理解黃金分割的概念【例6】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知P是線段AB的黃金分割點，且AP>BP，那么下列等式能成立的是（

A．ABAP=APC．APBP=5【答案】A【分析】本題考查黃金分割點，根據(jù)黃金分割點的定義得出線段比例關(guān)系，選出正確選項，解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割點的性質(zhì)．【詳解】解：如圖，∵點P是線段AB的黃金分割點，且AP>∴APAB故選：A．【變式61】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）神奇的自然界中處處蘊含著數(shù)學(xué)知識．如圖是古希臘時期的帕提農(nóng)神廟（Parthenon

Temple），我們把圖中的虛線表示為矩形ABCD，并發(fā)現(xiàn)AD:

A．平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對稱 D．黃金分割【答案】D【分析】根據(jù)黃金分割比可得答案．【詳解】解：∵AD:∴體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的黃金分割；故選D【點睛】本題考查的是黃金分割比的含義，熟記黃金分割比為5-【變式62】（2023·四川成都·?？既＃┮阎cC為線段AB的黃金分割點，AC>BC．若AC=6?cm，則【答案】35+3【分析】利用黃金比例列出方程解答即可．【詳解】解：∵點C為線段AB的黃金分割點，∴AC∴6∴AB故答案為：35【點睛】本題考查了黃金分割點的應(yīng)用，正確應(yīng)用黃金比是解答本題的關(guān)鍵．題型07黃金分割的實際應(yīng)用【例7】（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如果矩形ABCD滿足ABBC=5-12，那么矩形ABCD叫做“黃金矩形”，如圖，已知矩形ABCD是黃金矩形，對角線AC，BD相交于O且BCA．AC=BD BC．AC=8-25 D．矩形ABCD【答案】C【分析】計算得出AB=【詳解】解：∵ABBC=5∴AB=∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，故選項∴S△AOB=∴AC=5-∴矩形ABCD的周長C=25-故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式71】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，點C是線段AB的黃金分割點，即BCAC=ACAB，若S1表示以CA為一邊的正方形的面積，S2表示長為AB，寬為CB的矩形的面積，則A．S1>S2 B．S1【答案】C【分析】根據(jù)BCAC=ACAB得出AC2=【詳解】解：∵點C是線段AB的黃金分割點，即BCAC∴AC∵S1=A∴S1=S故選：C．【點睛】本題主要考查了黃金分割，解題的關(guān)鍵是根據(jù)BCAC=AC【變式72】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在設(shè)計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比（即ACBC=BCAB），可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計一座高度AB為2m的雕像，則該雕像的下部高度BC【答案】5【分析】雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比（即ACBC=BCAB），【詳解】解：∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比等于下部與全部的高度比，∴設(shè)AC=x，則∴x2-解分式方程得，x=3+5>2檢驗，當(dāng)x=3-∴x=3-5，即∴BC=2-∴該雕像的下部設(shè)計高度為5-故答案為：5-【點睛】本題主要考查比例，解比例方程，理解題意，掌握比例的性質(zhì)，解比例方程是解題的關(guān)鍵．【變式73】（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考二模）【課本再現(xiàn)】黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，具有嚴格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊藏著豐富的美學(xué)價值、我們知道：如圖1，如果BCAC=ACAB，那么稱點

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，請直接寫出CB與AC的比值是___________；(2)【尺規(guī)作黃金分割點】如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，在BA上截取BD=(3)【問題解決】如圖3，用邊長為4的正方形紙片進行如下操作：對折正方形ABDE得折痕MN，連接EN，點A對應(yīng)點H，得折痕CE，試說明：C是AB的黃金分割點．【答案】(1)5(2)5(3)見解析【分析】（1）由BCAC=ACAB得到CB?（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，由勾股定理得，AB=5，由（3）設(shè)EC與MN相交于點P，作PQ⊥EN于點Q，由MN∥AB，MN=AB，且M為AE的中點得到MPAC=EMAE=12，EM=12AE=2，可得到PQ=【詳解】（1）解：∵BCAC∴CB?∵AB=∴CB?整理得，CB兩邊同除以AC2得，解得CBAC=5∴CB與AC的比值是5-故答案為：5（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得，AB=∵BD=∴AD=∴AE=∴AEAC即AEAC的值為5（3）設(shè)EC與MN相交于點P，作PQ⊥EN于點

∵MN∥AB，MN=AB，且∴MPAC=EM∵EC平分∠AEN∴PQ=設(shè)PQ=則PN=∵EN=∴sin∠∴x4-解得x=經(jīng)檢驗x=∴AC=2∴ACABBCAC∴BCAC∴C是AB的黃金分割點．【點睛】此題考查了平行線分線段成比例定理、銳角三角函數(shù)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)、解方程等知識，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式74】（2023·湖北孝感·校考模擬預(yù)測）閱讀：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：點P是線段AB上一點(AP>BP)，若滿足BPAP=APAB，則稱點P是

(1)應(yīng)用：如圖1，若點C是線段AB的黃金分割點(AC>BC)，若AB=1(2)運用：如圖2，已知等腰三角形ABC為“黃金三角形”，AB=AC，∠A=36°，BD為∠ABC(3)如圖3中，AB=AC，∠A=36°，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中點E，連接EF并延長交BC的延長線于M．BC【答案】(1)5(2)證明見解析(3)CM【分析】（1）設(shè)AC=a，則BC=1-a，根據(jù)黃金分割的含義可得：（2）證明△CBD∽△CAB，推出CD（3）如圖，連接AM，同理可得：∠ABC=∠ACB=72°，∠1=∠2=36°=∠BAC，可得AF=BF=BC=1，證明ME⊥AB，MB=MA【詳解】（1）解：∵點C是線段AB的黃金分割點(AC>BC設(shè)AC=a，則∴BCAC=AC∴a2∴a2解得：a=∴AC=（2）證明：∵AB=AC，∠∴∠ABC=∠又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠∴∠BDC=36°+36°=72°∴AD=BD，BC=BD，又∵∠C=∠C，∴△CBD∽△∴CDBC=BC∴CDAD=AD∴D點是AC的黃金分割點．（3）如圖，連接AM，同理可得：∠ABC=∠ACB∴AF=∵E為AB的中點，AF=∴ME⊥∴MB=

∴∠ABM=∠BAM∴∠CAM同理可得C是BM的黃金分割點，且BC<∴BCCM=CM∴1x整理得：x2解得：x=∴CM=【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，黃金分割點的含義，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法,熟記黃金分割的含義是解本題的關(guān)鍵.【變式75】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．如圖①，點C把線段AB分成兩部分，如果BCAC=ACAB，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C為線段AB的黃金分割點．AC與

(1)如圖②，∠MON=60°，點A在OM邊上，OA=2．請在ON邊上用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點B，使得OB

(2)如圖③，在△ABC中，AB=AC，若AB

【答案】(1)見解析(2)108°【分析】（1）先作線段OA的垂直線平分線，交線段OA于點C，再過點A作OA的垂線AD，以點A為圓心，AC的長為半徑畫弧，交射線AD于點E，連接OE，然后以點E為圓心，AE的長為半徑畫弧，交線段OE于點F，最后以點O為圓心，OF的長為半徑畫弧，交射線ON于點B，如圖，點B即為所求．（2）在BC邊上截取BD=AB，連接AD，根據(jù)ABBC=5-12，可得BDBC=5-12，ACBC=5-1【詳解】（1）解：先作線段OA的垂直線平分線，交線段OA于點C，再過點A作OA的垂線AD，以點A為圓心，AC的長為半徑畫弧，交射線AD于點E，連接OE，然后以點E為圓心，AE的長為半徑畫弧，交線段OE于點F，最后以點O為圓心，OF的長為半徑畫弧，交射線ON于點B，如圖，點B即為所求．

理由：根據(jù)作法得：AD⊥OA,EF∴OE=∴OF=∴OB=∴OBOA∴OB與OA的比為黃金比；（2）解：在BC邊上截取BD=AB，連接

∵ABBC=5∴BDBC=5∴CDBC∴CDBC∴ACBC∵∠C∴△ACD∴∠CAD設(shè)∠CAD∴∠ADB∵AB=∴∠BAD∴∠BAC∵∠BAC∴x+解得：x=36°∴∠BAC【點睛】本題主要考查了黃金分割，相似三角形的判定和性質(zhì)，復(fù)雜作圖，勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．題型08由平行線分線段成比例判斷式子正誤【例8】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊的中點，連接DE，點F為BC邊上一點，BF=2FC，連接AF交

A．ANAF=12 B．DNDE=【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，可推出AN=NF【詳解】解：∵D、E分別為AB、∴DE∥∴AD∴ANAF=12∴NEFC∵BF=2∴DN=2∴DNDE所以，A,B,D正確，C錯誤；故選：C【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，中位線定理；由平行線的位置關(guān)系得到線段間數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式81】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF

A．BDAD=DFFC B．DEFB=【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理及平行四邊形的判定與性質(zhì)逐項驗證即可得到答案．【詳解】解：A、∵DE∥BC，∴四邊形DFCE是平行四邊形，∴DF∵DE∥∴BD∵AE與FC∴BDADB、∵DE∥BC，∴四邊形DFCE是平行四邊形，∴DE∵DF∥∴AD∵DE∥∴AD∴DEFBC、∵DF∥∴BFFC∵DE∥∴BDAD∴BFFC∴BFFCD、∵DE∴AD∵由ADFC=AB∵AE與FC∴ADFC故選：C．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理及平行四邊形的判定性質(zhì)，熟練掌握平行線分線段成比例定理及平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式82】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？既＃┤鐖D，△ABC中，E為AB邊上一點，過E作EF∥BC交AC于F，G為EF的中點，作FH∥AB交BC

A．BHBC=AGAD B．EGCD=【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理、中點定義及相似三角形對應(yīng)邊成比例逐項判斷即可得到答案．【詳解】解：A、∵EF∥∴由平行線分線段成比例定理可得AEAB∵EF∥∴∠AEF∵∠BAC∴△∴EFBC=AE∵EF∥BC，∴由平行四邊形的判定定理得到四邊形EFHB為平行四邊形，即EF=∴BHBCB、∵EF∥∴∠AEF∵∠BAC∴△∴GFDC∵G為EF的中點，∴EG∴EGCDC、∵FH∥∴由平行線分線段成比例定理可得CHBH∵EF∥BC，∴由平行四邊形的判定定理得到四邊形EFHB為平行四邊形，即EF=∴CFAFD、∵EF∥∴由平行線分線段成比例定理可得FEBC∵FH∥∴由平行線分線段成比例定理可得FHAB只有當(dāng)F為AC中點時，即AF=FC由于題中并未給出相關(guān)條件，故該選項錯誤，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查線段成比例，涉及平行線分線段成比例定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、中點的定義等知識，熟記相關(guān)幾何性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式83】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E，F(xiàn)分別在AD的延長線，CB的延長線上，連接EF分別交AB，CD于點G，H，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．CHDH=FHEH B．BGCD=【答案】D【分析】由CF∥DE，根據(jù)平行線分線段成比例定理得CHDH=FHEH，可判斷A不符合題意；由BF∥AE得BGAB=FGEF，所以BGCD=FGEF，可判斷B不符合題意；由BG∥【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC∵CF∴CH故A不符合題意；∵BF∴BG∴BG故B不符合題意；∵BG∴BC∴AD故C不符合題意；∵DH∴△EDH∴DH∴DH故D符合題意，故選：D．【點睛】此題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)平行線分線段成比例定理或相似三角形的性質(zhì)正確地列出比例式是解題的關(guān)鍵．題型09平行線分線段成比例（A型）【例9】（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別與AB、AC相交于D、E，若AD=4，DB=2，則

A．12 B．23 C．34【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可得到答案．【詳解】證明：∵DE∴BD∵AD=4，∴CE故選：A．【點睛】本題主要考查平行線分線段成比例定理，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．【變式91】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，DE∥BC

A．AEEC=23 B．DEBC=【答案】B【分析】利用平行線分線段成比例以及相似三角形的判定和性質(zhì)，即可判斷.【詳解】解：∵DE∥∴AEEC=AD∴CEAC=BD∵DE∥∴△ADE∴DEBC=AD∴S△ADES故選：B.【點睛】本題考查了平行線分線段成比例以及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握定理是解題的關(guān)鍵.【變式92】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）如圖，已知在△ABC中，點D、E、F分別在邊AB、AC、BC上，DE∥BC，AB(1)求AD的長；(2)如果BF=4，CF=6，求四邊形【答案】(1)6(2)26【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．(1)利用平行線分線段成比例定理，列式計算即可．(2)先證明EF∥【詳解】（1）∵DE∥∴AEEC∵AB=15，AE∴AD15-解得AD=6（2）∵BF=4，CF∴BFFC∵AEEC∴BFFC∴EF∥∴△CEF∴EFAB∵AB=15解得EF=9∵DE∥BC，∴四邊形BDEF是平行四邊形，∴DE=∴四邊形BDEF的周長為24+9題型10平行線分線段成比例（X型）【例10】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？既＃┤鐖D，AD∥BE∥CF，直線l1、l2與這三條平行線分別交于點A、B、C和點D、E、F．若AB=4.5，BC=3

A．154 B．3 C．5 D．【答案】B【分析】由AD∥BE∥【詳解】解：∵AD∥∴∵AB=4.5，BC=3∴∴DE故選：B．【點睛】本題考查平行線分線段成比例的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)概念題型，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理，得出對應(yīng)線段的比．【變式101】（2023·北京海淀·人大附中?？既＃┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點，連接CE并延長交BA的延長線于點F，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）

A．∠AEF=∠DECC．FA:AB=【答案】B【分析】根據(jù)已知及平行線分線段成比例定理進行分析，可得CD∥【詳解】解：A、根據(jù)對頂角相等，此結(jié)論正確；B、根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理，得FA:C、根據(jù)平行線分線段成比例定理得，此項正確；D、根據(jù)平行四邊形的對邊相等，所以此項正確．故選：B．【點睛】此題綜合運用了平行四邊形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理．【變式102】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，已知AB∥CD∥EF，BC:CE=3:4

A．9 B．12 C．15 D．18【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例求解即可．【詳解】解：∵AB∥∴BCCE∵BC:CE=3:4，∴34解得DF=12故選：B．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理中的對應(yīng)線段是解答的關(guān)鍵．題型11平行線分線段成比例與三角形中位線綜合【例11】（2023·湖南湘潭·模擬預(yù)測）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，OE∥AB交AD于點E．若OA=2，△AOE周長為10A．16 B．32 C．36 D．40【答案】B【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AD=BC，OB=OD，證OE是△ABD的中位線，則AB【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=∵OE∥∴DEAE∴AE=∴OE是△ABD∴AB=2OE，∵△AOE的周長等于10∴OA+∴AE+∴AB+∴?ABCD的周長=2×故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例、三角形中位線定理等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理，求出AB+【變式111】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，D為BC邊的中點，點E在線段AD上，BE的延長線交AC邊于點F，若AE：ED＝1：3，

【答案】12【分析】過點D作DG∥BF于點G,由平行線分線段成比例定理得AEED=AF【詳解】解：如圖，過點D作DG∥BF于點則AEED而AEED=1∴FG∵D為BC∴GF∴CF故答案為：12．

【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，正確構(gòu)造平行線是解決此題的關(guān)鍵．【變式112】（2023·山西運城·統(tǒng)考二模）請閱讀下列材料，非完成相應(yīng)的任務(wù)．利用輔助平行線求線段的比三角形的中位線定理是三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．平行線分線段成比例定理是兩條平行線被兩條直線所截，截得的線段對應(yīng)成比例．有些幾何題，若題中出現(xiàn)了平行線，我們可以直接利用這兩個定理求出兩線段的比值，而有些幾何題，題中沒有平行線這樣的條件，那么我們可以通過作輔助平行線，然后再利用這兩個定理加以解決．舉例：如圖1，AD是△ABC的中線，AE:AD=1:5，BE的延長線交求AFCF下面是該題的部分解題過程：解：如圖2，過點D作DH∥BF交AC于點∵AD是△ABC∴BD=∵DH∥∴FHCH∴CH=∵EF∥…

任務(wù)：(1)請補充材料中剩余部分的解答過程．(2)上述解題過程主要用的數(shù)學(xué)思想是______．（單選）A．方程思想

B．轉(zhuǎn)化思想

C．分類思想

D．整體思想(3)請你換一種思路求AFCF【答案】(1)見解析(2)B(3)見解析【分析】（1）通過過點D作DH∥BF交AC于點H．根據(jù)△ABC的中線的定義即可得到BD=DC，根據(jù)平行線分線段成比例即可得到FHCH=（2）由上述解題過程即可得到求AFCF的值轉(zhuǎn)化為了求AFFH與（3）通過過點D作DM∥AC交BE于點M，根據(jù)△ABC的中線的定義即可得到BD=DC，進一步得到BDBC=12【詳解】（1）∴AEAD∵AE:∴AF:∴AF:∵FH=∴AF（2）上述解題過程主要用的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想故選B（3）解：如圖，過點D作DM∥AC交BF于點∵AD是△ABC∴BD=∴BD∵DM∥∴DMCF∵AF∥∴AEDE∵AEAD∴AEED∴AFDM∴AF

【點睛】本題考查利用輔助平行線求線段的比，作出輔助線，利用平行線分線段成比例進行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．題型12平行線分線段成比例的常用輔助線之平行線【例12】（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考二模）【回歸課本】我們曾學(xué)習(xí)過一個基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．

【初步體驗】（1）如圖1，在△ABC中，點D在AB上，E在AC上，DE∥BC．若AD=1,AE=2，DB=1.5，則（2）已知，如圖1，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC．證明：過點E作AB的平行線交BC于點F………………請依據(jù)相似三角形的定義（如果兩個三角形各角分別相等，且各邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似）和上面的基本事實，補充上面的證明過程；【深入探究】（3）如圖2，如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于D、F、E點，那么AE（4）如圖3，在△ABC中，D為BC的中點，AE:EF:FD

【答案】（1）3，25（2）見解析（3）是定值，值為1（4）【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例，列出比例式進行求解即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及平行線分線段成比例，推出△ADE和△（3）過點B作BG∥EF，交AC于點G，得到BDAD（4）過點D作DP∥AB，交CG于點P，交CH于點【詳解】解：（1）∵DE∥∴AECE=AD∴CE=3∴AEAC故答案為：3，25（2）證明：過點E作AB的平行線交BC于點F

則：BFBC∵DE∥∴∠ADE又EF∥∴四邊形DBFE為平行四邊形，∴DE=∴BFBC∴ADAB又∠ADE∴△ADE（3）過點B作BG∥EF，交AC于點

∴BDAD∴AEEC即：AEEC?BD（4）過點D作DP∥AB，交CG于點P，交CH于點

∵AE:∴AE=ED∵DP∥AB，D為∴CPPG∴CP=∴BG=2同理：BH=2∵DP∥∴△DEP∴DPAG∴DP=AG，∴BG=2∴AG=∴GH=∴AG:故答案為：3:4:9．【點睛】本題考查平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例，添加輔助線，構(gòu)造平行和相似三角形．【變式121】（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=14，AC=63，點D在AB上，AD:DB=3:4，連接CD，過點A作AE⊥CD于點E【答案】9【分析】根據(jù)已知條件得出∠ACD=30°，進而求得DE,EC的長，如圖所示，過點D作DG∥BF交AC于點G【詳解】解：∵AB=14，AD∴AD=6,∵∠BAC=90°，在Rt△DCA中，∴tan∠∴∠ACD∴AE=AC×∴∠DAE∴DE=12AD=3如圖所示，過點D作DG∥BF交AC于點G∵DG∴GA設(shè)GF=4k∵DG∥∴CF∴CF∵AG∴k∴AG在Rt△ADG∴EF=故答案為：997【點睛】本題考查了解直角三角形，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式122】（2023·廣東深圳·深圳市桂園中學(xué)?？寄M預(yù)測）綜合與實踐問題情景：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在?ABCD中，BE⊥AD，垂足為E，F(xiàn)為CD的中點，連接EF，BF

(1)獨立思考：請解答老師提出的問題；(2)實踐探究：希望小組受此問題的啟發(fā)，將?ABCD沿著BF（F為CD的中點）所在直線折疊，如圖②，點C的對應(yīng)點為C'，連接DC'并延長交AB于點G，請判斷(3)問題解決：智慧小組突發(fā)奇想，將?ABCD沿過點B的直線折疊，如圖③，點A的對應(yīng)點A'，使A'B⊥CD于點H，連接A'M，交CD于點N，該小組提出一個問題：若此?ABCD【答案】(1)EF=(2)AG=(3)75-27【分析】（1）如圖①中，作FH∥AD交BE于H．證明FH垂直平分線段（2）證明四邊形BFDG是平行四邊形，可得結(jié)論；（3）如圖③中，過點D作DJ⊥AB于J，過點M作MT⊥AB于【詳解】（1）結(jié)論：EF=理由：如圖①中，作FH∥AD交BE于

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥∵FH∥∴DE∥∵F為CD的中點，∴DF=∴EHHB∴EH=∵BE⊥∴FH⊥∴EF=（2）結(jié)論：AG=理由：如圖②中，連接CC

∵△BFC'∴BF⊥∵DF=∴DF=∴∠C∴CC∴DG∥∵DF∥∴四邊形DFBG是平行四邊形，∴DF=∵AB=∴BG=∴AG=（3）如圖③中，過點D作DJ⊥AB于J，過點M作MT⊥

∵S平行四邊形∴DJ=∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=∴AJ=∵A'∴∠DJB∴四邊形DJBH是矩形，∴BH=∴A'∵tanA設(shè)AT=x，則∵∠ABM∴MI=∴x+∴x=∴MT=∵tanA∴NH=∴S△∴S四邊形【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，翻折變換，平行線分線段成比例定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．【變式123】（2023·山東青島·?？家荒＃┒x：三角形一邊中線的中點和該邊的兩個頂點組成的三角形稱為中原三角形．如圖①，AD是△ABC的中線，F(xiàn)是AD的中點，則△

(1)求中原三角形與原三角形的面積之比（直接寫出答案）．(2)如圖②，AD是△ABC的中線，E是邊AC上的點，AC=3AE，BE與AD相交于點F，連接CF(3)如圖③，在（2）的條件下，延長CF交AB于點M，連接ME，求△FEM與△【答案】(1)中原三角形與原三角形的面積之比為1(2)見解析(3)△FEM與△ABC【分析】（1）由F是AD的中點，可得S△DFC=12（2）作CE的中點G，連接DG，由AD是△ABC的中線，可得DG是△BCE的中位線，CE=2EG，即得BE∥DG，即EF∥DG，根據(jù)AC=3（3）過D作DH∥CM交AB于H，由DH∥CM，D是BC中點，F(xiàn)是AD中點，可得AM=MH=BH，即知AEAC=13=AMAB，可得△AME∽【詳解】（1）解：∵F是AD的中點，∴S△∴S△∴S△∴中原三角形與原三角形的面積之比為1：（2）證明：作CE的中點G，連接DG，如圖：

∵AD是△ABC∴D是BC中點，∵G是CE中點，∴DG是△BCE的中位線，CE∴BE∥DG，即∵AC=3∴CE=2∴AE=又∵EF∥∴AF=DF，即F是∴△FBC（3）解：過D作DH∥CM交AB于

∵DH∥CM，D是∴BH=∵DH∥MF，F(xiàn)是∴AM=∴AM=∴AMAB∵AC=3∴AEAC又∵∠MAE∴△AME∴∠AME=∠ABC∴ME∥∴△MEF∴S△∴S△由（1）知：S△∴9S∴S△∴△FEM與△ABC的面積之比為【點睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，三角形中位線定理，平行線分線段成比例以及相似三角形的判定和性質(zhì)，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．題型13平行線分線段成比例的常用輔助線之垂線【例13】（2023·浙江衢州·?？家荒＃┮阎鐖D，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=∠ADB，CE⊥AD于E，AE=5，

【答案】7和3．【分析】過點B作AD的垂線，垂足為H，延長交AC與G，連接DG，則AD為BG的垂直平分線，由此得到HG∥CE，AG=AB=AD，【詳解】如圖，過點B作AD的垂線，垂足為H，延長交AC與G，連接DG，

則AD為BG的垂直平分線，∴HG∥CE，AG=AB=∴AG:∴AG:而AD=AG，則AC=AE+DE=∴4+AB∴AB=3∴AC=3+4=7故答案為：7和3．【點睛】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵作輔助線，通過輔助線構(gòu)造三角形相似，最后利用實習(xí)生減性的性質(zhì)解決問題．【變式131】（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）如圖，反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過Rt△ABC的頂點A和斜邊AB的中點D，點B、C在x軸上，△OBD

【答案】8【分析】如圖作DF⊥BC，由平行線分線段成比例與三角形的中位線的性質(zhì)可知DF=12AC，設(shè)D點坐標(biāo)為a,b，則A點坐標(biāo)為c,2b，根據(jù)點A，【詳解】解：如圖作DF⊥BC于點F，而∴DF∥∴BDAD∵斜邊AB的中點D，∴BF=∴DF為△ABC∴DF=

設(shè)D點坐標(biāo)為a,b，則A點的縱坐標(biāo)為則可設(shè)A點坐標(biāo)為c,2∵點A，D在反比例函數(shù)y=∴ab=k=2∴BF=∴OB=3故S△OBD=∴k=2故答案為：8．【點睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，平行線分線段成比例，三角形的中位線的性質(zhì)，能夠熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．【變式132】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考三模）如圖，點A在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上，點B在x軸負半軸上，直線AB交y軸于點C，若ACBC=1

【答案】4【分析】根據(jù)三角形的面積公式可得S△AOD=12S△【詳解】解：如圖，過點A作AD⊥x軸，垂足為

∵OC∥AD，∴ODOB∴S△AOD=12S△而k>0∴k=4故答案為：4．【點睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，平行線段成比例，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，求出△AOD考點二相似圖形的概念與性質(zhì)相似多邊形的c相似多邊形的性質(zhì)：1）相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.2)相似多邊形的周長比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方.題型01理解相似圖形的概念【例1】（2022·福建龍巖·?？寄M預(yù)測）如圖，由圖形M改變?yōu)閳D形N，這種圖形改變屬于（

）

A．平移 B．軸對稱 C．旋轉(zhuǎn) D．相似【答案】D【分析】根據(jù)相似圖形的定義知，圖形M改變?yōu)閳D形N，屬于圖形的形狀相同，大小不相同，屬于相似變換，據(jù)此作答即可．【詳解】圖形M改變?yōu)閳D形N，屬于圖形的形狀相同，大小不相同，所以屬于相似變換．故選：D．【點睛】本題考查了相似變換，理解圖形的形狀相同，大小不相同，屬于相似變換，是解答本題的關(guān)鍵．【變式11】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列圖形不是相似圖形的是（）A．同一張底片沖洗出來的兩張大小不同的照片 B．某人的側(cè)身照片和正面照片C．用放大鏡將一個細小物體圖案放大過程中原有圖案和放大圖案 D．大小不同的兩張中國地圖【答案】B【分析】利用相似圖形定義分別分析得出符合題意的圖形即可．【詳解】解：A、同一張底片沖洗出來的兩張大小不同的照片，是相似圖形，故本選項不符合題意；B、某人的側(cè)身照片和正面像，不是相似圖形，故本選項符合題意；C、用放大鏡將一個細小物體圖案放大過程中原有圖案和放大圖案，是相似圖形，故本選項不符合題意；D、大小不同的兩張中國地圖，是相似圖形，故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】此題考查了相似圖形的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．【變式12】（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測）《西游記》的事故家喻戶曉，特別是書中的孫悟空嫉惡如仇斬妖除魔大快人心．在一次降妖過程中，孫悟空念動咒語將一片樹葉放大后射向妖魔．若這個過程可以看成是平面直角坐標(biāo)系中的一次無旋轉(zhuǎn)的變化，設(shè)變化前樹葉尖部某點的坐標(biāo)為a,b，在咒語中變化后得到對應(yīng)點的坐標(biāo)為20a+20,20A．20倍 B．200倍 C．400倍 D．4000倍【答案】C【分析】根據(jù)題意無旋轉(zhuǎn)的放大變化為相似方法和平移，所以考查面積變化只需要考慮相似放大，根據(jù)坐標(biāo)的變化得到邊長的放大倍率，坐標(biāo)的加減變化為移動，不影響大小變化．再利用相似圖形的面積比為相似比的平方，可計算出放大倍率．【詳解】題意樹葉放大后射向妖魔可得樹葉做了放大和平移變化，平移不影響面積大?。勺鴺?biāo)變化可知邊長放大倍率為20倍，相似圖形的面積比為相似比的平方，所以面積放大了202故選C.【點睛】本題是材料分析類型，考查了圖形的幾何變化，閱讀材料后利用信息解題．圖形的幾何變化有“平移、對稱、放縮“三種，其中相似放縮中注意面積比是等于邊長比的平方，計算時須小心．【變式13】（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）形狀相同的圖形是相似圖形．下列哪組圖形不一定是相似圖形（

）A．關(guān)于直線對稱的兩個圖形 B．兩個正三角形C．兩個等腰三角形 D．兩個半徑不等的圓【答案】C【分析】根據(jù)相似圖形的概念進行判斷即可．【詳解】解：A、關(guān)于直線對稱的兩個圖形全等，∴它們是相似圖形，不符合題意；B、兩個正三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，∴它們是相似圖形，不符合題意；C、兩個等腰三角形的對應(yīng)角不一定相等，對應(yīng)邊的比不一定相等，∴它們不一定是相似圖形，符合題意；D、兩個半徑不等的圓是相似圖形，不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查的是相似圖形的判斷，掌握形狀相同的圖形稱為相似圖形是解題的關(guān)鍵．題型02相似多邊形【例2】（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形的頂點在方格紙的格點上，下列方格紙中的四邊形與已知四邊形相似的是（

）A． B． C．D．【答案】D【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，如果兩個四邊形的四條邊對應(yīng)成比例，且四個角對應(yīng)相等，那么這兩個四邊形相似，據(jù)此求解即可．【詳解】解：設(shè)每個小正方形的邊長為1，則已知四邊形的四條邊分別為1，2，2，5．選項A中的四邊形的四條邊分別為2，2，2，10，兩個四邊形的四條邊對應(yīng)不成比例，不符合題意；選項B中的四邊形的四條邊分別為2，5，13，4，兩個四邊形的四條邊不是對應(yīng)成比例，故選項B中的四邊形與已知四邊形不相似，不符合題意；選項C中的四邊形的四條邊分別為2，5，13，4，兩個四邊形的四條邊不是對應(yīng)成比例，故選項C中的四邊形與已知四邊形不相似，不符合題意；選項D中的四邊形的四條邊分別為2，22，4，2將已知四邊形表示為四邊形ABCD，將選項D中的四邊形表示為EFGH．如圖，連接AC、EG，則AC=5，在△ABC與△∵ABEF∴△ABC∴∠BAC=∠FEG，∠在△ADC與△∵ADEH∴△ADC∴∠DAC=∠HEG，∠∴∠BAD=∠FEH，∠B=∠又∵ABEF∴四邊形ABCD∽四邊形EFGH故選：D．【變式21】（2020·河北衡水·統(tǒng)考一模）在研究相似問題時，甲、乙兩同學(xué)的觀點如下：甲：將邊長為4的菱形按圖1的方式向外擴張，得到新菱形，它們的對應(yīng)邊間距為1，則新菱形與原菱形相似．乙：將邊長為4的菱形按圖2方式向外擴張，得到新菱形，每條對角線向其延長線兩個方向各延伸1，則新菱形與原菱形相似；對于兩人的觀點，下列說法正確的是（

）．A．兩人都對 B．兩人都不對 C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對【答案】C【分析】根據(jù)相似多邊形的對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等進行判斷即可．【詳解】解：甲：將邊長為4的菱形按圖1的方式向外擴張，得到新菱形，各邊與原菱形邊平行，因此各角與原菱形角對應(yīng)相等，平移后四條邊依然相等，即新菱形與原菱形相似；乙：將邊長為4的菱形按圖2方式向外擴張，得到新菱形，各邊與原菱形邊不平行，因此各角與原菱形角不相等，即新菱形與原菱形不相似．所以甲對，乙不對，故選：C．【點睛】本題考查了相似多邊形的判定．此題難度不大，熟練應(yīng)用相似多邊形的判定方法是解題關(guān)鍵．【變式22】（2021·江蘇南京·統(tǒng)考二模）學(xué)完“探索三角形相似的條件”之后，小明所在的學(xué)習(xí)小組嘗試探索四邊形相似的條件，以下是他們的思考，請你和他們一起完成探究過程．【定義】四邊成比例，且四角分別相等的兩個四邊形叫做相似四邊形．【初步思考】（1）小明根據(jù)探索三角形相似的條件所獲得的經(jīng)驗，考慮可以從定義出發(fā)逐步弱化條件探究四邊形相似的條件．他考慮到“四角分別相等的兩個四邊形相似”可以舉出反例“矩形”，“四邊成比例的兩個四邊形相似”可以舉出反例______．所以四邊形相似的條件必須再添加條件，于是，可以從“四邊成比例，且一角對應(yīng)相等的兩個四邊形相似”，“三邊成比例，且兩角分別相等的兩個四邊形相似”，“兩邊成比例，且三角分別相等的兩個四邊形相似”來探究．【深入探究】（2）學(xué)習(xí)小組一致認為，“四邊成比例，且一角對應(yīng)相等的兩個四邊形相似”是真命題，請結(jié)合圖形完成證明．已知：四邊形ABCD和四邊形A'B'C'求證：四邊形ABCD∽四邊形A（3）對于“三邊成比例，且兩角分別相等的兩個四邊形相似”，學(xué)習(xí)小組得到如下的四個命題：①“三邊成比例，兩鄰角分別相等且只有一角為其中兩邊的夾角的兩個四邊形相似”；②“三邊成比例，兩鄰角分別相等且都不是其中兩邊的夾角的兩個四邊形相似”；③“三邊成比例及其兩夾角分別相等的兩個四邊形相似”；④“三邊成比例，兩對角分別相等的兩個四邊形相似”．其中真命題是______．（填寫所有真命題的序號）（4）請你完成“兩邊成比例，且三角分別相等的兩個四邊形相似”的探究過程．【答案】（1）菱形和正方形；（2）見解析；（3）③；（4）見解析．【分析】（1）利用正方形的四邊相等，菱形的四邊也相等，四邊成比例，但不相似可以舉出反例；（2）先判斷出ΔABD∽△A'B'D，得出∠ABD=∠A'B'D'，∠（3）根據(jù)相似多邊形的判定方法，一一判斷即可；（4）分兩種情況考慮，兩邊是對邊，兩邊是鄰邊，根據(jù)相似多邊形的判定方法即可完成證明．【詳解】（1）解：∵正方形的四邊相等，菱形的四邊也相等，四邊成比例，但不相似，∴“四邊成比例的兩個四邊形相似”可以舉出反例菱形和正方形，故答案為：菱形和正方形；（2）證明：連接BD、B'∵ABA'B∴△ABD∴∠1=∠5，∠2=∠6，BDB∵ABA∴BDB∴△BCD∴∠3=∠7，∠4=∠8，∠C∴∠1+∠3=∠5+∠7，∠2+∠4=∠6+∠8，即∠ADC=∠A綜上，四邊形ABCD∽四邊形A（3）解：①如圖，四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，以A'為圓心、A'D'為半徑作圓交C'②如圖，四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，以C'為圓心、C'D'為半徑作圓交過點D'且和AB平行的直線相交于點D″，過D″作D″A但四邊形A″B'③已知：如圖，四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'求證：四邊形ABCD∽四邊形A證明：連接BD，B'∵∠BCD=∠B∴ΔBCD∽△∴∠CDB=∠C'D∵ABA∴BDB∵∠ABC∴∠ABD∴ΔABD∽△∴ADA'D'=∴ABA'B'=BCB'C∴四邊形ABCD與四邊形A'④如圖，四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，以C'為圓心，C'A'為半徑作圓交A'B'于點A″，在C'故答案為：③，（4）解：因為四邊形內(nèi)角和為360°，所以四邊形只要三個角分別相等，第四個角就也相等，所以只需考慮成比例的兩邊是鄰邊還是對邊．若成比例的兩邊是對邊，則有反例“矩形”．若成比例的兩邊是鄰邊，則相似，理由如下：已知：四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'中，AB求證：四邊形ABCD∽四邊形A證明：∵∠A=∠A'，∴∠D連接BD、B'∵ABA'B∴△ABD∴∠1=∠5，BDB∴∠3=∠ADC又∵∠C∴△BCD∴BCB綜上，四邊形ABCD∽四邊形A【點睛】此題是相似形綜合題，考查了相似多邊形的判定方法，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，屬于中考壓軸題．【變式23】（2020·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（1）觀察下列式子：23<2+13+1，23發(fā)現(xiàn)：對于真分數(shù)23，當(dāng)分子、分母同時加上同一個大于0的數(shù)時，所得分數(shù)的值_____________；（選填“變大”“變小”或“不變”（2）類比猜想：由（1）猜想分式ba和b+ca+（3）解決問題：某公司建居民住宅時，要求窗戶與臥室地面面積的比值達到15%左右，顯示這個比值越大采光條件越好，如果同時減少相等的窗戶面積和地面面積，那么采光條件___________；A．變差了

B．變好了

C．沒有改變（4）聯(lián)想拓展：如圖所示，一個長為acm寬為bcm的矩形（a>b），四周都增加1cm，所得大矩形與原來的矩形相似嗎？____________（直接填“是”或“【答案】（1）變大；（2）ba<b+ca+【分析】（1）根據(jù)已知的不等式觀察規(guī)律即可；（2）利用作差法比較ba與b（3）設(shè)xy=15%，同時減少相等的窗戶面積和地面面積為m，作差法比較（4）根據(jù)（1）、（2）、（3）得到的結(jié)論分析解答即可；【詳解】解：（1）∵23<2+13+1，23∴對于真分數(shù)23，當(dāng)分子、分母同時加上同一個大于0故填：變大；（2）由（1）得：ba＜bba∵a>∴b-∴ba-b∴ba（3）根據(jù)（2）的結(jié)論可知，如果同時減少相等的窗戶面積和地面面積，那么采光條件變差了，理由如下：設(shè)xy=15則x-my-mx∴x-my∴采光條件變差，故選A；（4）由（2）知：ab故填：否．【點睛】本題考查分式的基本性質(zhì)、相似圖形的判定，讀懂材料，掌握基本運算法則是關(guān)鍵．題型03相似多邊形的性質(zhì)【例3】（2023·河北張家口·?？寄M預(yù)測）把一根鐵絲首尾相接圍成一個長為3cm，寬為2cm的矩形ABCD，要將它按如圖所示的方式向外擴張得到矩形A'B'C'D

A．3.5cm B．5cm C．7cm【答案】D【分析】由圖形知，擴張后的長方形寬為4cm，設(shè)長為xcm，根據(jù)相似長方形的性質(zhì)列式計算求得【詳解】解：原長方形的長和寬分別為3cm和2cm，由圖形知，擴張后的長方形寬為4cm∵矩形A'B'∴23∴x=6經(jīng)檢驗，x=6∴擴張后的長方形長為6cm原長方形的周長為2×2+3=10cm20-10=10，∴這根鐵絲需增加10cm故選：D．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．【變式31】（2023·重慶沙坪壩·統(tǒng)考一模）若兩個相似多邊形的相似比為3:1，則它們周長的比為（

）A．2:1 B．3:1 C．4:1 D．9:1【答案】B【分析】根據(jù)相似多邊形的周長比等于相似比，從而得解．【詳解】解：∵兩個相似多邊形的相似比為3:1，∴它們周長的比為3:1，故選：B．【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，熟知相似多邊形的周長比等于相似比是解本題的關(guān)鍵．【變式32】（2023·河北衡水·?？级＃⑦呴L為2的正六邊形按照如圖所示的方式向外擴張，得到新的六邊形，它們的對應(yīng)邊的距離均為3．（1）新的六邊形與原六邊形；（填“相似”或“不相似”）（2）擴張后六邊形的周長比原來增加了．【答案】相似12【分析】（1）根據(jù)相似多邊形的判定方法和正六邊形的性質(zhì)求解即可；（2）作CB⊥AE交AE于點B，根據(jù)三角函數(shù)求出【詳解】解：（1）∵正六邊形的內(nèi)角都等于120°，∴原正六邊形和新正六邊形的內(nèi)角都對應(yīng)相等，∵正六邊形的邊長都相等，∴原正六邊形和新正六邊形的邊長都對應(yīng)成比例，∴新的六邊形與原六邊形相似；（2）如圖所示，作CB⊥AE交AE于點B，作DF⊥AE交由正六邊形的性質(zhì)可得，∠CAB=60°，∴AB=由題意可得，BF=CD=2∴AE=∴新六邊形的周長為4×6=24，∵原六邊形的邊長2×6=12，∴24-12=12，∴擴張后六邊形的周長比原來增加了12．【點睛】此題考查了相似多邊形的判定，正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．【變式33】（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）小穎在一本書上看到一個風(fēng)箏模型，形狀如圖所示，其中對角線AC⊥BD，并且兩條對角線長分別為10cm和12cm．現(xiàn)在小穎照著模型按照1：3的比例放大制作一個大風(fēng)箏，制作風(fēng)箏需要彩色紙覆蓋，而彩色紙是從一張剛好覆蓋整個風(fēng)箏的矩形彩色紙（如圖中虛線所示）裁剪下來的，那么從四個角裁剪下來廢棄不用的彩色紙的面積是【答案】540【分析】先求出風(fēng)箏模型ABCD的面積，假設(shè)大風(fēng)箏的四個頂點為A'，B'，C'，D'，可得四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，可得到它們的面積比為1：9，A'C'=36cm，B'D'=30cm，再由從四個角裁剪下來廢棄不用的彩色紙的面積=矩形的面積大風(fēng)箏的面積，即可求解．【詳解】解：∵AC⊥∴風(fēng)箏模型ABCD的面積為=1假設(shè)大風(fēng)箏的四個頂點為A'，B'，C'，D'，且分別為點A、B、C、D的對應(yīng)點，∵按照1：3的比例放大制作一個大風(fēng)箏，∴四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，∴它們的對應(yīng)邊之比為1：3，∴它們的面積比為1：9，A'C'=36cm，B'D'=30cm，∴大風(fēng)箏的面積為60×9=540cm2，矩形彩色紙的面積為36×30=1080cm2，∴從四個角裁剪下來廢棄不用的彩色紙的面積=矩形的面積大風(fēng)箏的面積=1080540=540cm2．故答案為：540【點睛】本題主要考查了相似多邊形的應(yīng)用，熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點三位似圖形位似圖形的定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形,且對應(yīng)點連線相交于一點,對應(yīng)線段相互平行,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,位似圖形對應(yīng)點連線的交點是位似中心.常見的位似圖形：畫位似圖形的方法：兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的同側(cè).（即畫位似圖形時，注意關(guān)于某點的位似圖形有兩個.）判斷位似圖形的方法：首先看這兩個圖形是否相似，再看對應(yīng)點的連線是否經(jīng)過位似中心.位似圖形的性質(zhì)：1)位似圖形的對應(yīng)頂點的連線所在直線相交與一點；2）位似圖形的對應(yīng)邊互相平行或者共線.3)位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比.4)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或–k.畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心,找原圖形的關(guān)鍵點.2）確定位似比.3）以位似中心為端點向各關(guān)鍵點作射線.4）順次連結(jié)各截取點，即可得到要求的新圖形.1.1.位似圖形一定是相似圖形，具有相似圖形的所有性質(zhì)，但相似圖形不一定是位似圖形.2.兩個位似圖形的位似中心只有一個，它可能位于圖形的內(nèi)部、外部、邊上或頂點上.題型01位似圖形的識別【例1】（2022·河北唐山·校考一模）如圖所示是利用圖形變換設(shè)計的一個美術(shù)字圖案，這樣設(shè)計的美術(shù)字更富有立體感，則該圖案在設(shè)計的過程中用到的圖形變換是（）A．平移 B．旋轉(zhuǎn) C．軸對稱 D．位似【答案】D【分析】根據(jù)位似圖形的定義，即可解決問題．【詳解】解：根據(jù)位似的定義可知：該圖案在設(shè)計的過程中用到的圖形變換是位似．故選：D．【點睛】本題考查了生活中位似的現(xiàn)象，解決本題的關(guān)鍵是熟記位似圖形的定義．【變式11】（2020·重慶渝中·統(tǒng)考二模）下列圖形中不是位似圖形的為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心即可求得答案，注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用．【詳解】解：對應(yīng)頂點的連線相交于一點的兩個相似多邊形叫位似圖形．根據(jù)位似圖形的概念，A三個圖形中的兩個圖形是位似圖形；故A不符合題意，B中的兩個圖形不符合位似圖形的概念，對應(yīng)邊不平行，故不是位似圖形．故B符合題意，根據(jù)位似圖形的概念，C三個圖形中的兩個圖形是位似圖形；故C不符合題意，根據(jù)位似圖形的概念，D三個圖形中的兩個圖形是位似圖形；故D不符合題意，故選：B．【點睛】本題考查了位似圖形的定義．注意：①兩個圖形必須是相似形；②對應(yīng)點的連線都經(jīng)過同一點；③對應(yīng)邊平行．題型02判斷位似中心【例2】（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）如圖，△ABC與△A'B

A．點M B．點N C．點Q D．點P【答案】D【分析】根據(jù)位似中心是位似點連線的交點判斷即可．【詳解】如圖，根據(jù)位似中心是位似點連線的交點，可知點P為位似中心，

故選D．【點睛】本題考查了三角形的位似，清楚位似中心是位似點連線的交點是解題的關(guān)鍵．【變式21】（2020·山西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點O(0,0)，A(0,2)，B(4,0)，C(0,-2)，以某點為位似中心，作出ΔDEF與ΔABC位似，點A的對應(yīng)點為

A．(0,0) B．(1,0) C．(2,0) D．(4,0)【答案】A【分析】直接利用位似圖形的特點即可找到位似中心．【詳解】∵直線AD、CF、BE交于O點∴位似中心為O點即(0,0)故選A．【點睛】此題主要考查位似圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知位似圖形的特點．【變式22】（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，陰影所示的兩個正方形是位似圖形，若位似中心在兩個正方形之間，則位似中心的坐標(biāo)為．

【答案】2【分析】連接各組對應(yīng)點，它們在兩個正方形之間相交于點P，則P點為位似中心，然后寫出P點坐標(biāo)即可．【詳解】解：如圖，點P為位似中心，P2

故答案為：2，【點睛】本題考查位似變換：位似的兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行（或共線），掌握位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型03根據(jù)位似的概念判斷正誤【例3】（2021·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC外任取一點O，連接AO、BO、CO，并分別取它們的中點D、E、F，順次連接DE、EF、DF得到△DEF，則下列說法錯誤的是（

A．△DEF與△ABC是位似圖形 B．△DEFC．△DEF與△ABC的周長比是1:2 D．△DEF與【答案】D【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得出△ABC與△DEF是位似圖形，根據(jù)位似圖形一定是相似圖形得出△ABC【詳解】解：根據(jù)位似性質(zhì)可得：A、△ABC與△DEF是位似圖形，故B、△ABC與△DEF是相似圖形，故C、∵點D，E，F(xiàn)，為AO，∴將△ABC的三邊縮小到原來的12得到∴△DEF與△ABC的周長之比為1：2，故D、∵面積比等于相似比的平方，∴△DEF與△ABC的面積之比為1：4，故故選：D．【點睛】本題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，正確的記憶位似圖形性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式31】（2023·河北保定·校考一模）如圖，△ABC與△DEC都是等邊三角形，固定△ABC，將△DEC從圖示位置繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一周，在

A．△DEC總與△B．△DEC與△C．當(dāng)點D落在CB上時，△DEC與△D．存在△DEC的兩個位置使得△DEC與【答案】D【分析】根據(jù)位似圖形的定義：兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線交于一點，并且對應(yīng)邊互相平行或位于同一直線上，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，即可判斷．【詳解】解：∵△ABC與△∴△ABC與△∵在△DEC旋轉(zhuǎn)的過程中，只有當(dāng)點D落在線段AC和線段AC的延長線上時，AD與BE相交與點C∴在△DEC旋轉(zhuǎn)的過程中，只有當(dāng)點D落在線段AC和線段AC的延長線上時，△DEC與故選：D．【點睛】本題考查了位似圖形的定義，解決本題的關(guān)鍵在于位似圖形對應(yīng)頂點的連線交于一點，因此需熟練掌握位似圖形的定義才能更好的解決本題．【變式32】（2022·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)?？寄M預(yù)測）△ABC和△A'B'A．AB∥A'C．直線CC'經(jīng)過點O D．直線AA'、【答案】B【分析】依據(jù)位似變換的性質(zhì)逐項判斷即可．【詳解】∵△ABC和△A'∴△OAB∽△OA'B'，且直線AA'、B如圖，作出直線AA'、BB'和根據(jù)位似變換的性質(zhì)有：AB∥A'根據(jù)位似變換的性質(zhì)有：AA'和BB'交于點故選：B．【點睛】本題考查了位似變換：位似的兩個圖形必須是相似形；對應(yīng)點的連線都經(jīng)過同一個點，也考查了平行線的判定和相似三角形的性質(zhì)．題型04求兩個位似圖形的相似比【例4】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為O，且△ABC的面積與△DEF的面積之比是16:9，則AOA．9:5 B．3:2 C．4:3 D．4:7【答案】D【分析】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，掌握位似變換的概念、相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．根據(jù)位似變換的概念得到△ABC∽△DEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到【詳解】解：∵△ABC與△DEF位似，位似中心為∴AB∥DE，∵△ABC的面積與△DEF的面積之比是∴△ABC的面積與△DEF的相似比是4:3，即∵AB∥∴△OAB∴AODO∴AO:故選：D．【變式41】（2023·浙江溫州·校考三模）如圖，矩形ABCD與矩形EFGH位似，點O是位似中心，已知OH:HD=1:2，EH=2，則

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】先由OH:HD=1:2可得OH:HD=1:2，再由矩形【詳解】解：∵OH:∴OHOD∵矩形ABCD與矩形EFGH位似，∴EH∵EH=2∴AD=6故選C．【點睛】本題主要考查了位似的性質(zhì)，根據(jù)題意得到EHAD【變式42】（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，已知圖中的每個小方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點，若△ABC與△

(1)在圖中畫出位似中心的位置，并寫出位似中心的坐標(biāo)；(2)△ABC與△A'B'【答案】(1)見解析(2)1:2，1:4【分析】（1）連接CC'、BB（2）根據(jù)BC=2，B【詳解】（1）解：如圖，位似中心的坐標(biāo)為：(9,0)．

（2）解：∵BC=2，B∴△ABC與△A'△ABC與△A'故答案為：1:2，1:4．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線所在直線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．題型05畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形【例5】（2021·安徽蕪湖·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點坐標(biāo)分別為O0,0，A2,1，(1)以原點O為位似中心，在y軸的右側(cè)按2:1放大，畫出△OAB的一個位似△(2)畫出將△OAB向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到的△(3)△OA1B1與△【答案】(1)見解析(2)見解析(3)是，M【分析】（1）把A、B的橫縱坐標(biāo)都乘以2得到A1、B（2）利用點平移的坐標(biāo)規(guī)律寫出O2、A2、（3）延長A1A2、OO2、B1B【詳解】（1）解：如圖，△O（2）如圖，△O（3）△OA1如圖，點M為所求，坐標(biāo)為(-4,2)．【點睛】本題考查了作圖-位似變換：畫位似圖形的一般步驟為：先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；接著根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點；然后順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．也考查了平移變換．【變式51】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點△ABC（頂點是網(wǎng)格線的交點）和點D且點D

(1)以點D為位似中心，將△ABC在點D上方畫出位似變換且縮小為原來的12得到(2)將（1）中的△A1B1C1繞點D順時針旋轉(zhuǎn)(3)△A2B【答案】(1)見解析(2)見解析(3)3【分析】（1）利用位似圖形的性質(zhì)，即可得出對應(yīng)點位置，即可得出△A（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得出對應(yīng)點位置，即可得出△A（3）根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示：△A；

（2）解：如圖所示：△A（3）解：△A2B故答案為：3．【點睛】此題主要考查了位似變換作圖，根據(jù)題意得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心；②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；③根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點；④順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．也考查了旋轉(zhuǎn)變換．【變式52】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的頂點均在網(wǎng)格格點上，且點A、B的坐標(biāo)分別為A3,1，

(1)在y軸的左側(cè)以原點O為位似中心作△O