重慶市烏江新高考協(xié)作體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)

20232024學(xué)年（下）期中學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合調(diào)研抽測(cè)高一數(shù)學(xué)試題（分?jǐn)?shù)：150分，時(shí)間：120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，且，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B．3 C．2 D．12．在，，0，，，0.618這幾個(gè)數(shù)中，純虛數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．33．已知向量、的夾角為60°，，若，則=A． B． C． D．4．已知向量，，，則等于（

）A．3 B．4 C．15 D．215．在平面四邊形中，△ABC為正三角形，，，如圖1，將四邊形沿AC折起，得到如圖2所示的四面體，若四面體外接球的球心為O，當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，點(diǎn)O到平面ABD的距離為（

）A． B．C． D．6．已知為平面外一點(diǎn)，到兩邊的距離都為，則到面的距離（

）A． B． C． D．7．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨(dú)特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中之一．勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分．如圖，在勒洛四面體中，正四面體的棱長(zhǎng)為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．勒洛四面體最大的截面是正三角形B．若、是勒洛四面體表面上的任意兩點(diǎn)，則的最大值為C．勒洛四面體的體積是D．勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是8．在△ABC中，為上一點(diǎn)，且，，，則（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得2分。9．下列命題中，真命題為（

）A．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為C．復(fù)數(shù)的虛部為D．復(fù)數(shù)，則10．已知，，是平面上三個(gè)非零向量，下列說(shuō)法正確的是（

）A．一定存在實(shí)數(shù)，使得成立B．若，那么一定有C．若，那么D．若，那么，，一定相互平行11．在菱形中，，，將菱形沿對(duì)角線折成大小為的二面角，若折成的四面體內(nèi)接于球，則下列說(shuō)法正確的是（

）．A．四面體的體積的最大值是B．的取值范圍是C．四面體的表面積的最大值是D．當(dāng)時(shí)，球的體積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．復(fù)數(shù)的模是.13．在60°二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，若它到二面角的棱的距離是10，則該點(diǎn)到另一個(gè)面的距離是.14．已知平面向量與的夾角為，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．在△ABC中，角的對(duì)邊分別為已知.(1)求角的大小;(2)若，求的面積;(3)若為BC的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng).16．設(shè)復(fù)數(shù)．(1)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，求；(2)若是純虛數(shù)，求.17．已知正方體中，，點(diǎn)M，N分別是線段，的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)M到平面的距離；(2)判斷，M，B，N四點(diǎn)是否共面，若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形．(1)設(shè)為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求證：平面；(2)若二面角的大小為，且，求直線和平面所成角的正弦值．19．個(gè)有次序的實(shí)數(shù)，，，所組成的有序數(shù)組，，，稱為一個(gè)維向量，其中，2，，稱為該向量的第個(gè)分量．特別地，對(duì)一個(gè)維向量，若，，，稱為維信號(hào)向量．設(shè)，，則和的內(nèi)積定義為，且．(1)直接寫(xiě)出4個(gè)兩兩垂直的4維信號(hào)向量．(2)證明：不存在6個(gè)兩兩垂直的6維信號(hào)向量．(3)已知個(gè)兩兩垂直的2024維信號(hào)向量，，，滿足它們的前個(gè)分量都是相同的，求證：．20232024學(xué)年（下）期中學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合調(diào)研抽測(cè)高一數(shù)學(xué)答案（分?jǐn)?shù)：150分，時(shí)間：120分鐘）14．BCDD 58．CBDD9．BCD 10．BC 11．ACD12．313．14．15．（1），，即.由正弦定理得，由余弦定理得，；（2），由余弦定理得，；（3）

在△ABC中，由余弦定理得，即，又，得，為BC的中點(diǎn)，，兩邊平方得，，即中線AD的長(zhǎng)度為.16．（1）由，得，而由已知是實(shí)數(shù)，于是，解得，所以；（2）依題意，是純虛數(shù)，因此，解得，所以，.17．（1）記點(diǎn)M到平面的距離為h，易知為正三角形，且，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，即，解得，即點(diǎn)M到平面的距離為.（2），M，B，N四點(diǎn)共面，證明如下：連接，因?yàn)镸，N分別是線段，的中點(diǎn)，所以，由正方體性質(zhì)可知，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以，M，B，N四點(diǎn)共面.18．（1）連接交于，連接，因?yàn)閭?cè)面為矩形，所以，又為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以．所以，又平面，平面，所以平面．?）在平面中，過(guò)點(diǎn)作射線，因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以，所以為二面角的平面角，且．又，平面，所以平面，在平面中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，平面，平面，所以平面，則即為直線和平面所成的角，于是為點(diǎn)到平面的距離，且，設(shè)直線和平面所成角為，又，則，所以直線和平面所成角的正弦值為．19．（1）依題意，可寫(xiě)出4個(gè)兩兩垂直的4維信號(hào)向量為：，，，．（2）假設(shè)存在6個(gè)兩兩垂直的6維信號(hào)向量，因?yàn)閷⑦@6個(gè)向量的某個(gè)分量同時(shí)變號(hào)或?qū)⒛硟蓚€(gè)位置的分量同時(shí)互換位置，任意兩個(gè)向量的內(nèi)積不變，所以不妨設(shè)，因?yàn)?，所以?個(gè)分量為，設(shè)