專題9.3一元一次不等式組（五大核心考點89題）七年級數(shù)學下冊講義（教師版）（人教版）

專題9.3一元一次不等式組目標導航目標導航1、不等式組中含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，這樣的不等式組叫一元一次不等式組。使不等式組中的每個不等式都成立的未知數(shù)的值叫不等式組的解，一個不等式組的所有的解組成的集合，叫這個不等式組的解集解(簡稱不等式組的解)。不等式組的解集可以在數(shù)軸上表示出來。求不等式組的解集的過程叫解不等式組。2、、解一元一次不等式組的一般步驟：①求出這個不等式組中各個不等式的解集；②利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，得到這個不等式組的解集。如果這些不等式的解集的沒有公共部分，則這個不等式組無解(此時也稱這個不等式組的解集為空集)。3、確定不等式組的解的口訣：大大取大，小小取小，大小小大取中間，大大小小無處找?？键c精講考點精講考點1：解一元一次不等式組典例：（2023·天津南開·統(tǒng)考一模）解不等式組請按下列步驟完成解答：(1)解不等式①，得__________________；(2)解不等式②，得__________________；(3)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；(4)原不等式組的解集為__________________．【答案】(1)(2)(3)見解析(4)【分析】（1）按照解一元一次不等式的步驟，進行計算即可解答；（2）按照解一元一次不等式的步驟，進行計算即可解答；（3）根據(jù)在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法分別畫出所求的范圍即可；（4）根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】（1）解：解不等式①：，，，，；故答案為：；（2）解不等式②：，，，，；故答案為：；（3）將不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：（4）由（1）（2）可得，原不等式組的解集為：；故答案為：．方法或規(guī)律點撥本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關鍵．鞏固練習1．（2023春·四川達州·八年級?？茧A段練習）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出不等式組的解集，再根據(jù)解集在數(shù)軸上的表示方法即可求出結果．【詳解】解：由①得：，由②得：，∴不等式組的解集為：，故選：D．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組及用數(shù)軸表示解集的方法，熟練掌握解一元一次不等式組的方法是解題的關鍵．2．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先解出不等式組的解集，然后將解集表示在數(shù)軸上即可．【詳解】，解得，所以解集為．故選：D【點睛】此題考查不等式組的解法，解題關鍵是將解集表示在數(shù)軸上時，有等號即為實心點，無等號則為空心點．3．（2023春·全國·七年級專題練習）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得不等式組的解集，再將解集表示在數(shù)軸上即可解答．【詳解】解：解不等式組，得不等式組的解集為，在數(shù)軸上表示為：，故選：C．【點睛】本題考查解一元一次不等式組、數(shù)軸，解答的關鍵是會將不等式組的解集表示在數(shù)軸上，注意方向和實（空）心．4．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，用不等式表示數(shù)軸上所示的解集，正確的是（）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】由圖可知不等式的解集表示與3之間的部分，其中不包含，而包含3【詳解】解：由數(shù)軸知，該數(shù)軸表示的是不等式組的解集，∴，故選∶D．【點睛】此題主要考查利用數(shù)軸上表示的不等式組的解集來寫出不等式組．不等式組的解集在數(shù)軸上表示的方法：把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（>，≥向右畫；<，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“<”，“>”要用空心圓點表示．5．（2023年廣東省深圳市三十五校中考模擬數(shù)學試卷）定義新運算“”，規(guī)定：，若關于x的不等式組的解集為，則a的取值范圍是________．【答案】【分析】先根據(jù)定義的新運算法則化簡不等式組，然后解不等式組，最后根據(jù)解集為確定a的取值范圍即可．【詳解】解：根據(jù)新定義關于x的不等式組可化為：解不等式①可得：解不等式①可得：因為該不等式組的解集為∴，解得：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了新定義運算在不等式組中的應用，解題的關鍵是準確理解新定義的運算．6．（2023·湖南長沙·校聯(lián)考一模）解不等式組：．【答案】【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式①，得：，解不等式②，得：，則不等式組的解集為．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．7．（2022秋·江西新余·八年級統(tǒng)考期中）（1）解方程（2）解不等式組，并利用數(shù)軸確定不等式組的解集．【答案】（1）．（2）．在數(shù)軸上表示見解析【分析】（1）根據(jù)代入消元法求解即可；（2）分別求解不等式①②，并在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】解：（1），①代入②得，解得．把代入①得，解得．∴方程組的解為．（2）解不等式①，得．解不等式②，得．把不等式①、②的解集在數(shù)軸上表示如下：∴不等式組的解集為．【點睛】本題考查了解二元一次方程組，解不等式組；解題的關鍵是不等式組解集在數(shù)軸上表示時是等于還是不等于．8．（2023春·安徽合肥·七年級合肥市第四十二中學?？计谥校┙獠坏仁浇M，并把解集在數(shù)軸上表示出來【答案】【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解不等，得：，解不等式，得：，所以不等式組解集為．將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．9．（2023春·遼寧沈陽·八年級沈陽市實驗學校?？茧A段練習）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示．(1)；(2)；【答案】(1)，數(shù)軸見解析(2)，數(shù)軸見解析【分析】（1）先分別解兩個不等式，求出它們的解集，再求兩個不等式解集的公共部分即可得到不等式組的解集，然后畫數(shù)軸表示即可；（2）先分別解兩個不等式，求出它們的解集，再求兩個不等式解集的公共部分即可得到不等式組的解集，然后畫數(shù)軸表示即可．【詳解】（1），解①得，解②得，∴不等式組的解集是，在數(shù)軸上表示為：（2），解①得，解②得，∴不等式組的解集是，在數(shù)軸上表示為：【點睛】題考查了一元一次不等式組的解法，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解答本題的關鍵．不等式組解集的確定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解．不等式組的解集在數(shù)軸上表示時，空心圈表示不包含該點，實心點表示包含該點．10．（2023·湖南長沙·校聯(lián)考三模）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】，數(shù)軸見解析【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，最后在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】解：，解不等式得：，解不等式得：，不等式組的解集為：，在數(shù)軸上表示不等式組的解集為：【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，解此題的關鍵是能根據(jù)不等式的解集求出不等式組的解集．11．（2023春·福建福州·九年級福建省福州第十九中學?？茧A段練習）解不等式組【答案】【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．考點2：求不等式組的整數(shù)解典例：（2023·山東濟南·統(tǒng)考一模）解不等式組：，并寫出它的所有非負整數(shù)解．【答案】；非負整數(shù)解為0、1、2、3【分析】先求出每個不等式的解集，再找出不等式組的解集，最后找出非負整數(shù)解即可．【詳解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，原不等式組的解集是，非負整數(shù)解為0、1、2、3．方法或規(guī)律點撥本題考查了求一元一次不等式組的整數(shù)解，解本題的關鍵在熟練掌握求解一元一次不等式組的一般步驟．鞏固練習1．（2023年湖南省長沙市初中學業(yè)水平考試模擬數(shù)學試卷）不等式組，的所有整數(shù)解的和為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】求出不等式組的解集，然后找出整數(shù)解即可求解．【詳解】解：由①得：，由②得：，此不等式組的解集為：，為整數(shù)，取0、、、、，．故選：D．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的解法及整數(shù)解，掌握一元一次不等式組的解法是解題的關鍵．2．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第四十七中學?？茧A段練習）不等式組的整數(shù)解的個數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，進而確定出整數(shù)解即可．【詳解】解：，由①得：，由②得：，∴不等式組的解集為，則不等式組的整數(shù)解為1，2，3，4，5，共5個．故選：B．【點睛】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關鍵．3．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，是一個運算流程，若需要經(jīng)過兩次運算，才能運算出結果，則輸入的整數(shù)有（）種情況．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】先根據(jù)題意得到一個關于的不等式組，然后求出符合題意的數(shù)即可．【詳解】由題意得，解得，整數(shù)解有．故選B．【點睛】本題考查簡單的程序框圖以及不等式組整數(shù)解的求法．由題意可得到一個關于的不等式組，然后求解即可．4．（2023·廣東東莞·東莞市東城實驗中學校聯(lián)考一模）不等式組的整數(shù)解為___________．【答案】0，1【分析】先分別求出每個不等式的解集，然后確定不等式組的解集，最后從解集中選擇整數(shù)解即可解答．【詳解】解：解不等式①得：解不等式②得：不等式組的解集為:所以不等式組的整數(shù)解為：．故答案為．【點睛】本題考查解一元一次不等式組、一元一次不等式組的整數(shù)解等知識點，正確求得不等式組的解集是解題關鍵．5．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）解不等式組：，并求出不等式組所有非正整數(shù)解的和．【答案】，【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再確定出不等式組的解集，繼而確定出非正整數(shù)解即可得．【詳解】解：，由①得：由②得：∴不等式組的解集為：，∴不等式組的非正整數(shù)解是：，∴不等式組的非正整數(shù)解的和為．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解不等式組的步驟是解題的關鍵．6．（2023春·七年級單元測試）解不等式組(1)（把它的解集表示在數(shù)軸上）．(2)（并寫出它的整數(shù)解）．【答案】(1)，把解集表示在數(shù)軸上見解析(2)；整數(shù)解為：0、1、2、3【分析】（1）先通過去括號、移項、系數(shù)化為1求出不等式的解，從而求出不等式組的解集，再把解集在數(shù)軸上表示即可；（2）先通過去括號、移項、系數(shù)化為1求出不等式的解，從而求出不等式組的解集，即可確定解集中的整數(shù)解．【詳解】（1）解：，由①得：，由②得：，∴不等式組的解集為：，把不等式組的解集表示在數(shù)軸上如圖所示：（2）解：，由①得：，即，由②得：，去括號得：，移項得：，∴不等式組的解集為：，∴不等式組的解集中的整數(shù)解為：0、1、2、3．【點睛】本題考查解一元一次不等式組、求一元一次不等式組的整數(shù)解、在數(shù)軸上表示一元一次不等式組解集的方法，熟練掌握口訣確定一元一次不等式組的解集是解題的關鍵．7．（2023·山東濟南·統(tǒng)考一模）解不等式組：，并寫出它的正整數(shù)解．【答案】不等式組的解集為：．它的正整數(shù)解為：1，2．【分析】解不等式組求出它的解集，再取正整數(shù)解即可．【詳解】解：，不等式①的解集為：．不等式②的解集為：．∴不等式組的解集為：．∴不等式組的的正整數(shù)解為：1，2．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組的解法和一元一次不等式組的正整數(shù)解，利用一元一次不等式組的解法正確求得不等式組的解集是解題的關鍵．8．（2023春·陜西西安·九年級高新一中?？计谥校┙獠坏仁浇M：在數(shù)軸上表示出它的解集，并求出它的整數(shù)解【答案】，數(shù)軸見解析，整數(shù)解為，0，1，2【分析】先求出不等式組的解集，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，最后求出該不等式組的非負整數(shù)解即可．【詳解】解：，解不等式，得：，解不等式，得：，所以，原不等式組的解集是，在數(shù)軸上表示為：故不等式組的整數(shù)解為，0，1，2．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，不等式組的整數(shù)解等知識點，能根據(jù)不等式的解集求出不等式組的解集是解此題的關鍵．9．（2023·山東濟南·統(tǒng)考一模）解不等式組：，并寫出它的所有整數(shù)解．【答案】，4，5，6，7【分析】首先解每一個不等式，求出不等式組的解集，再求出所有整數(shù)解即可．【詳解】解：由①得：，解得：由②得：，解得：，所以，不等式組的解集為：，所以，它的所有整數(shù)解為4，5，6，7．【點睛】本題考查了求不等式組的整數(shù)解，準確求得不等式組的解集是解決本題的關鍵考點3：確定不等式組中的字母系數(shù)取值典例：（1）（2021春·甘肅蘭州·八年級?？计谥校┮阎坏仁浇M的解集為，則的值等于多少？【答案】【分析】解不等式解不等式得x＞，由不等式組的解集為可得，從而知，整體代入即可．【詳解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式組的解集為，∴，∴，則．方法或規(guī)律點撥本題主要考查解不等式組，根據(jù)不等式組的解集得出的值是解題的關鍵．（2）（2021春·甘肅蘭州·八年級蘭州市第五十六中學?？计谥校┮阎P于x的不等式組有四個整數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】【分析】首先解每個不等式，根據(jù)不等式組只有四個整數(shù)解，確定整數(shù)解的值，進而求得a的范圍．【詳解】解不等式①得：，解不等式②得：∴

∵不等式組有四個整數(shù)解，∴整數(shù)解是，，0，1，∴∴方法或規(guī)律點撥此題考查的是一元一次不等式組的整數(shù)解，根據(jù)x的取值范圍，得出x的整數(shù)解．解題的關鍵是不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．鞏固練習1．（2023春·安徽滁州·七年級?？计谥校╆P于的不等式組有且僅有個整數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，再根據(jù)不等式有且僅有個整數(shù)解得出答案即可．【詳解】解：，解不等式①，得，解不等式②，得，所以不等式組的解集是，關于的不等式組有且僅有個整數(shù)解是，，，，，，故選：D．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，能得出關于的不等式是解此題的關鍵．2．（2023春·全國·七年級專題練習）若關于的不等式組只有個正整數(shù)解，則整數(shù)的值不可能是()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】表示出不等式組的解集，由解集中只有個正整數(shù)解，確定出的范圍即可．【詳解】解：由得：，由得：，不等式組只有個正整數(shù)解，不等式組的正整數(shù)解為、、，，解得，故選A．【點睛】本題考查了根據(jù)不等式組的解集求參數(shù)，熟練掌握一元一次不等式解集確定方法是解題的關鍵．3．（2023春·全國·七年級專題練習）不等式組無解，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用不等式組的解集是無解可知，x應該是大大小小找不到．【詳解】解：∵不等式組無解，∴，故選：C．【點睛】主要考查了已知一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，同樣也是利用口訣求解，注意：當符號方向不同，數(shù)字相同時（如：，），沒有交集也是無解，但是要注意當兩數(shù)相等時，在解題過程中不要漏掉相等這個關系．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．4．（2023春·安徽亳州·七年級統(tǒng)考階段練習）已知關于x的不等式組有四個整數(shù)解，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求出和兩個不等式的解集，解得，，根據(jù)判斷出原不等式組的四個整數(shù)解為，，，，再來判斷m的取值范圍即可．【詳解】解：原不等式組為，解不等式，得，解不等式，得，原不等式組有四個整數(shù)解，原不等式組的整數(shù)解為，，，，，．故選：A．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)來判斷m的取值范圍是解題的關鍵．5．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學?？寄M預測）關于x的不等式組有且只有2個整數(shù)解，則符合要求的所有整數(shù)a的和為(

)A． B． C．0 D．7【答案】D【分析】分別表示出不等式組兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分表示出不等式組的解集，由不等式組有且只有2個整數(shù)解確定出a的范圍，進而求出整數(shù)a的值，求出和即可．【詳解】解：，解不等式①，得，解不等式②，得，所以，不等式組的解集為：的不等式組有且只有2個整數(shù)解，解得，，為整數(shù)，為3，4，和為，故選：D．【點睛】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關鍵．6．（2022秋·浙江·八年級階段練習）若不等式，有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分別解出兩個一元一次不等式的解集，再確定不等式組有解集，然后把解集表示在數(shù)軸上并結合3個整數(shù)解的條件即可確定a的取值范圍．【詳解】解：不等式組由①式得：，由②式得：，∵不等式組有解，把解集表示在數(shù)軸上，如圖，∵不等式組有3個整數(shù)解∴，解得：．故選：D．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組的解法、一元一次不等式組的整數(shù)解、求不等式組的解集等知識點，確定不等式組的解集應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．7．（2023春·浙江寧波·九年級校聯(lián)考競賽）若關于x的不等式組共有2個整數(shù)解，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解不等式，得，結合不等式組的整數(shù)解的情況，得出關于m的不等式組，求解即可．【詳解】解不等式，得，∵關于x的不等式組共有2個整數(shù)解，∴這兩個整數(shù)解為，∴，解得，故選：B．【點睛】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，解答本題的關鍵是明確題意，得出關于m的不等式組．8．（2023·遼寧沈陽·模擬預測）已知關于的不等式組恰有二個整數(shù)解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)解不等式組的方法可以求出不等式組的解集，又因為關于x的不等式組恰有二個整數(shù)解，從而可以得到a的取值范圍，本題得以解決．【詳解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，則不等式組的解集為，∵不等式組恰有2個整數(shù)解，∴不等式組的整數(shù)解為1、2，∴，故選：B．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，解題的關鍵是明確題意，會解一元一次不等式組．9．（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶一中?？茧A段練習）若關于x的一元一次不等式組的所有整數(shù)解的和是，則m的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】先解不等式組，再根據(jù)所有整數(shù)解的和是進行求解即可．【詳解】解不等式組，得，∵不等式組的所有整數(shù)解的和是，∴當時，整數(shù)解為，∴；當時，整數(shù)解為，∴；綜上，m的取值范圍是或，故選：D．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組及其整數(shù)解，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解題的關鍵．10．（2023春·安徽宿州·八年級統(tǒng)考期中）一元一次不等式組的解集是，則m的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)每一個不等式的解集，結合口訣：同大取大可得答案．【詳解】解：∵的解集是，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．11．（2023春·安徽馬鞍山·七年級馬鞍山八中?？计谥校┤絷P于的不等式組只有4個整數(shù)解，則的取值范圍是___________．【答案】【分析】先解每個不等式確定不等式組的解集，然后再根據(jù)不等式組只有4個整數(shù)解，得到關于a的不等式組，即可求得a的范圍即可．【詳解】解：解不等式①得解不等式②得則不等式組的解集為∵不等式組只有4個整數(shù)解∴整數(shù)解是，解得故答案為：．【點睛】本題考查了不等式組的整數(shù)解問題，正確求出不等式組的解集，進而得出其整數(shù)解是解題關鍵．12．（2023春·全國·八年級期中）若關于x的一元一次不等式組的解集為，則的取值范圍是_____．【答案】【分析】分別解兩個不等式，根據(jù)解集為，結合求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）即可得答案．【詳解】解：，解不等式得：，解不等式得：，∵不等式組的解集為x＜3，∴．故答案為：【點睛】本題考查了一元一次不等式組解集的求法，熟練掌握求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）是解題關鍵．13．（2023春·全國·八年級專題練習）若不等式組的解集為，則__________．【答案】2【分析】先解不等式組可得，再結合不等式組的解集可得答案．【詳解】解：由②得，∴不等式組的解集為：，∵，∴，解得：；故答案為：2．【點睛】本題考查的是根據(jù)不等式組的解集求解參數(shù)的值，理解題意，掌握解一元一次不等式組的方法是解本題的關鍵．14．（2023春·八年級單元測試）若關于x的不等式組有且僅有一個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】分別求出兩個不等式的解集，可得不等式組的解集為，再由不等式組有且僅有一個整數(shù)解，即可求解．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為，∵不等式組有且僅有一個整數(shù)解，∴．故答案為：【點睛】本題考查了解一元一次不等式組和一元一次不等式組的整數(shù)解，能根據(jù)不等式組的解集和已知得出結論是解此題的關鍵．15．（2023·河南駐馬店·一模）已知：不等式組的解集是，則______．【答案】【分析】將、看做常數(shù)解不等式得出的范圍，由不等式組的解集為，可得關于、的方程，解方程求得、的值即可得答案．【詳解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式組的解集為，，解得：，，，故答案為．【點睛】本題主要考查解不等式組，根據(jù)不等式組的解集得出關于、的方程是解題的關鍵．16．（2023春·安徽六安·七年級?？茧A段練習）已知不等式組，的解集為，則___________．【答案】【分析】先求出兩個不等式的解集，再求其公共解，然后根據(jù)不等式組的解集列出求出a、b的值，再代入代數(shù)式進行計算即可得解．【詳解】解：由①得，，由②得，，所以，不等式組的解集是，∵不等式組的解集是，∴，，解得，所以(．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．17．（2023春·安徽六安·七年級六安市第九中學?？茧A段練習）已知關于的不等式組(1)若該不等式組的解集為，求的值；(2)若該不等式組只有5個整數(shù)解，求整數(shù)的值．【答案】(1)(2)的整數(shù)解是4，5，6【分析】（1）先求出不等式組的解集為，根據(jù)題意即可得出答案；（2）根據(jù)題意可得出不等式組的整數(shù)解是，0，1，2，3，進而得出，解得，即可得出答案．【詳解】（1）解：解不等式組得：，∵不等式組的解集為，∴，解得：；（2）解：由（1）得不等式組的解集為：，∵不等式組只有5個整數(shù)解，∴整數(shù)解是，0，1，2，3，則，解得：，m的整數(shù)解為4，5，6．【點睛】本題主要考查一元一次不等式組的整數(shù)解，解題的關鍵是掌握解一元一次不等式的能力，并根據(jù)不等式組的整數(shù)解個數(shù)得出關于m的不等式組．18．（2023·全國·九年級專題練習）若不等式組有解，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】【分析】先分別求出各不等式的解集，然后求其公共部分即可解答．【詳解】解：解不等式①得解不等式②得∵不等式組有解，∴，即，解得：．【點睛】本題主要考查了解不等式組、根據(jù)不等式解得情況求參數(shù)等知識點，正確求出不等式的解集是解答本題的關鍵．19．（2022秋·湖南常德·八年級統(tǒng)考期末）已知是不等式組的解，求的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)題意表示出不等式組的解集，然后根據(jù)是不等式組的解，即可求得的取值范圍．【詳解】解：解不等式①得：解不等式②得：∵是不等式組的解，∴不等式組的解集為：，∴解得：．【點睛】本題考查了根據(jù)一元一次不等式組的解集求參數(shù)，正確解一元一次不等式的方法是解題的關鍵．考點4：一元一次不等式組的應用典例：（2023·廣西貴港·統(tǒng)考一模）某高科技公式根據(jù)市場需求，計劃生產(chǎn)A、B兩種型號的醫(yī)療器械，其部分信息如下：信息一：A、B兩種型號的醫(yī)療器械共生產(chǎn)80臺；信息二：生產(chǎn)這兩種醫(yī)療器械的資金超過1800萬元，但不足1810萬元；信息三：A，B兩種醫(yī)療器械的生產(chǎn)成本和售價如下表：型號AB成本（萬元/臺）2025售價（萬元/臺）2430根據(jù)上述信息，解答下列問題：(1)這兩種型號的醫(yī)療器械各生產(chǎn)多少臺？(2)在實際銷售時，每臺A型醫(yī)療器械的售價提高了，每臺B型醫(yī)療器械的售價不變，全部銷售這兩種醫(yī)療器械共獲得利潤595萬元，求m的值．（利潤售價成本）【答案】(1)該公司生產(chǎn)A、B型號醫(yī)療器械分別為39臺、41臺(2)【分析】（1）設該公司生產(chǎn)A型號醫(yī)療器械x臺，則生產(chǎn)B型號的醫(yī)療器械臺，列出不等式組，并解不等式組可解答；（2）根據(jù)題意列出有關m的方程，并求解即可．【詳解】（1）設該公司生產(chǎn)A型號醫(yī)療器械x臺，則生產(chǎn)B型號的醫(yī)療器械臺．根據(jù)題意，得：，解得：，∵x為正整數(shù)，∴，則，答：該公司生產(chǎn)A、B型號醫(yī)療器械分別為39臺、41臺．（2）根據(jù)題意，得：，解得：方法或規(guī)律點撥本題考查了一元一次不等式組及方程的應用，考查學生解決實際問題的能力，解決本題的關鍵是找到不等關系并列出不等式．鞏固練習1．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考階段練習）三月植樹節(jié)期間，某園林公司購買了甲、乙、丙三種樹苗進行園林綠化，恰好用去了1500元，已知甲、乙、丙三種樹苗的價格分別為50元/棵、30元/棵、10元/棵．該公司要求購買的每種樹苗的數(shù)量都是10的整數(shù)倍且三種樹苗都要買，若甲種樹苗最多買20棵，則該公司的購買方案共有（）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【答案】B【分析】設購買甲、乙、丙樹苗各為、、棵，且均不為0，則由題意得，，然后代入不同值，求解即可．【詳解】解：設購買甲、乙、丙樹苗各為、、棵，且均不為0，則由題意得，，化簡得，令，則，或，或，共3種；令，則，共1種；∴共有種，故選B．【點睛】本題考查了三元一次方程的應用與一元一次不等式的應用．解題的關鍵在于根據(jù)題意正確的列等式與不等式．2．（2023春·全國·七年級專題練習）為有效開展“陽光體育”活動，某校計劃購買籃球和足球共50個，購買資金不超過3200元，且購買籃球的數(shù)量不少于足球數(shù)量的一半，若每個籃球80元，每個足球50元．求共有幾種購買方案？設購買籃球x個，可列不等式組（）A． B．C． D．【答案】C【分析】設購買籃球x個，則購買足球個，根據(jù)購買籃球的數(shù)量不少于足球數(shù)量的一半、總價單價購買數(shù)量結合購買資金不超過3200元，即可得出關于x的一元一次不等式組．【詳解】解：設購買籃球x個，則購買足球個，由題意，得，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是根據(jù)題目中的不等關系，列出不等式組．3．（2023春·全國·八年級期中）把一些筆記本分給幾個學生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每個學生分5本，那么最后一人能分到筆記本但數(shù)量不足4本，則共有學生（）人．A．4人 B．5人 C．6人 D．5人或6人【答案】D【分析】設共有學生x人，根據(jù)題意列出相應的不等式組，從而可以解答本題．【詳解】解：設共有學生x人，根據(jù)題意得：，解得：，∴共有學生5人或6人，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是明確題意，列出相應的不等式組．4．（2023春·北京海淀·九年級北京市師達中學?？茧A段練習）某工廠生產(chǎn)I號、II號兩種產(chǎn)品，并將產(chǎn)品按照不同重量進行包裝，已知包裝產(chǎn)品款式有三種：A款，B款，C款，且三款包裝的重量及所含I號、II號產(chǎn)品的重量如下表：包裝款式包裝的重量（噸）含I號新產(chǎn)品的重量（噸）含II號產(chǎn)品的重量（噸）A款633B款532C款523現(xiàn)用一輛最大載重量為28噸的貨車一次運送5個包裝產(chǎn)品，且每種款式至少有1個．（1）若恰好裝運28噸包裝產(chǎn)品，則裝運方案中A款、B款、C款的個數(shù)依次為______；（2）若裝運的I號產(chǎn)品不超過13噸．同時裝運的II號產(chǎn)品最多，則裝運方案中A款、B款、C款的個數(shù)依次為___．（寫出一種即可）【答案】3，1，11，1，3【分析】（1）設裝運方案中A款、B款、C款的個數(shù)依次x、y、z，根據(jù)題意可得方程組，求解即可；（2）設裝運方案中A款、B款、C款的個數(shù)依次x、y、z，則，解得，然后由裝運的I號產(chǎn)品不超過13噸，同時裝運的II號產(chǎn)品最多，可得不等式組，進一步分析即得結果．【詳解】解：（1）設裝運方案中A款、B款、C款的個數(shù)依次x、y、z，則，解得，由于x、y、z為整數(shù)，且每種款式至少有1個，所以，故答案為：3，1，1；（2）設裝運方案中A款、B款、C款的個數(shù)依次x、y、z，則，解得，∵裝運的I號產(chǎn)品不超過13噸，同時裝運的II號產(chǎn)品最多，∴，當時，，符合題目要求；故答案為：1，1，3．【點睛】本題考查了三元一次方程組和不等式組的應用，正確理解題意、列出相應的方程組和不等式組是解題的關鍵．5．（2023春·重慶合川·九年級重慶市合川中學校考階段練習）若一個四位正整數(shù)的千位上的數(shù)的倍與百位上的數(shù)的倍之和剛好等于十位與個位組成的兩位數(shù)，則稱這個數(shù)為“奇巧數(shù)”，若一個“奇巧數(shù)”的千位為，百位為，十位為，個位為，，，且、、、為正整數(shù))，與的和能被整除，求符合條件的“奇巧數(shù)最大值為___________．【答案】【分析】根據(jù)題意得出，，進而表示出，根據(jù)得出，根據(jù)整除，分類討論即可求解．【詳解】解：∵一個“奇巧數(shù)”的千位為，百位為，十位為，個位為，則，，又∵與的和能被整除，∴∴是整數(shù)，且，若，則，∵是整數(shù)，∴，∴，則；若，是整數(shù)，則，則，∴（舍去），若，則，∴，，或，則或；若，則∴,∴，∴最大值為，故答案為：．【點睛】本題考查了不定方程，不等式組的應用，整除，分類討論是解題的關鍵．6．（2021春·四川綿陽·七年級?？计谥校┮阎P于的方程組，其中，以下結論：①當時，方程組的解與互為相反數(shù)；②是方程組的解；③時，方程組的解也是的解；④若．正確的結論有___________________（填序號）【答案】①②④【分析】①將代入方程組，兩式相加即可做出判斷；②將x與y代入方程組檢驗即可做出判斷③將代入方程組求出x與y的值，即可確定做出判斷；④先解方程組，根據(jù)y的范圍確定出x的范圍即可做出判斷．【詳解】解：①將代入方程組得：；兩式相加得：∴x與y互為相反數(shù)，①正確；②將代入方程組得：解得：，∵，∴②正確；③將代入方程組得：解得：，代入方程，左邊得：；右邊，即左邊右邊，∴方程組的解不是方程的解；③錯誤；④解方程組得：∵，即，解得：，∵，∴，∴，，∴，④正確；故答案為：①②④【點睛】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握代入消元法和加減消元法解二元一次方程組是解題的關鍵．7．（2023春·全國·七年級專題練習）張氏包裝廠承接了一批紙盒加工任務，用如圖1所示的長方形和正方形紙板作側面和底面，做成如圖2所示的豎式與橫式兩種無蓋的長方體紙盒（加工時接縫材料不計）．(1)做2個豎式紙盒和1個橫式紙盒，需要正方形紙板張，長方形紙板張．(2)若該廠購進正方形紙板162張，長方形紙板338張，問豎式紙盒、橫式紙盒各加工多少個，恰好能將購進的紙板全部用完？(3)該廠某一天使用的材料清單上顯示，這天一共使用正方形紙板152張，長方形紙板a張，全部加工成上述兩種紙盒，且，試求在這一天加工兩種紙盒時，a的所有可能值．【答案】(1)4；11(2)豎式紙盒加工38個、橫式紙盒加工62個，恰好能將購進的紙板全部用完(3)a可能為283，288，293，298【分析】（1）由一個豎式無蓋紙盒需要1個正方形紙板、4個長方形紙板及一個橫式無蓋紙盒需要2個正方形紙板、3個長方形紙板，可求出做1個豎式紙盒和2個橫式紙盒，所需長方形及正方形紙板數(shù)量；（2）設豎式紙盒加工x個、橫式紙盒加工y個，恰好能將購進的紙板全部用完，根據(jù)共用162張正方形紙板及338張長方形紙板，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（3）設豎式紙盒加工m個，則橫式紙盒加工個，根據(jù)所用長方形紙板數(shù)＝4×豎式無蓋紙盒數(shù)+3×橫式無蓋紙盒數(shù)，可得出a關于m的數(shù)量關系式，結合a，m為正整數(shù)及，可找出a的所有可能值．【詳解】（1）（張），（張）．故答案為：4；11．（2）設豎式紙盒加工x個、橫式紙盒加工y個，恰好能將購進的紙板全部用完，依題意，得：，解得：．答：豎式紙盒加工38個、橫式紙盒加工62個，恰好能將購進的紙板全部用完．（3）設豎式紙盒加工m個，則橫式紙盒加工個，依題意，得：，∴．∵，且a，m均為正整數(shù)，∴，∴，且m為正整數(shù)，∴m可能為22，24，26，28，∴a可能為283，288，293，298．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及求不等式組的整數(shù)解，解題的關鍵是：（1）觀察圖形，找出每個橫式及豎式紙盒所需長、正方形紙板數(shù)；（2）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（3）利用所用長方形紙板數(shù)＝4×豎式無蓋紙盒數(shù)+3×橫式無蓋紙盒數(shù)，找出a關于m的數(shù)量關系．8．（2023春·全國·七年級專題練習）為了豐富學生的課外活動，學校決定購進5副羽毛球拍和m只羽毛球，已知一副羽毛球拍的價格是一只羽毛球的價格的15倍，用50元可以買一副羽毛球拍和10只羽毛球：(1)一副羽毛球拍和一只羽毛球的價格各是多少元？(2)甲乙兩商店舉行促銷活動，甲商店給出的優(yōu)惠是：所有商品打八折：乙商店的優(yōu)惠是：買一副羽毛球拍送n只羽毛球，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果只到一個商店購買5副羽毛球拍和26只羽毛球時，到甲商店更劃算：若只購買一副羽毛球拍和n只羽毛球，則乙商店更劃算．求n的值．(3)在（2）的條件下，當時，學校如何購買羽毛球拍和羽毛球最劃算，請說明理由．【答案】(1)一副羽毛球拍的價格是30元，一只羽毛球的價格是2元(2)4(3)到甲購買10個羽毛球、到乙買5副羽毛球拍，理由見解析【分析】（1）設一副羽毛球拍的價格是x元，一只羽毛球的價格是y元，根據(jù)一副羽毛球拍的價格是一只羽毛球的價格的15倍，用50元可以買一副羽毛球拍和10只羽毛球，列出方程組進行求解即可；（2）根據(jù)題意，列出不等式組，進行求解即可；（3）分別算出到甲商店購買花費的費用，乙商店購買，花費的費用，以及去兩個商店混合買的費用，進行比較即可得出結論．【詳解】（1）解：設一副羽毛球拍的價格是x元，一只羽毛球的價格是y元，由題意，得：．解得．答：一副羽毛球拍的價格是30元，一只羽毛球的價格是2元；（2）依題意得：．解不等式組，得．因為n是正整數(shù)，所以；（3）當時，甲商店消費額：（元），乙商店消費額：（元），①到甲購買4副羽毛球拍、到乙買1副羽毛球拍：（元），②到甲購買10個羽毛球、到乙買5副羽毛球拍：（元），因為，所以當時，學校購買這批羽毛球拍和羽毛球最少需要166元．∴到甲購買10個羽毛球、到乙買5副羽毛球拍．【點睛】本題考查二元一次方程組的應用，一元一次不等式組的應用．找準等量關系，正確的列出方程組和不等式組，是解題的關鍵．9．（2023·山東東營·統(tǒng)考一模）黨的二十大報告，深刻闡述了推動綠色發(fā)展，促進人與自然和諧共生的理念，尊重自然、順應自然、保護自然，是全面建設社會主義現(xiàn)代化國家的內(nèi)在要求．為響應黨的號召，東營市政府欲購進一批風景樹進行綠化，已知購進A種風景樹4萬棵，B種風景樹3萬棵，共需要380萬元；購進A種風景樹8萬棵，B種風景樹5萬棵，共需要700萬元．(1)問A，B兩種風景樹每棵的進價分別是多少元？(2)東營市政府計劃用不超過5460萬元購進A，B兩種風景樹共100萬棵，其中要求A風景樹的數(shù)量不多于58萬棵，則共有幾種購買方案？【答案】(1)A風景樹每棵的進價為50元，B風景樹每棵的進價為60元(2)5種【分析】（1）設A風景樹每棵的進價為x元，B風景樹每棵的進價為y元，根據(jù)購進A種風景樹4萬棵，B種風景樹3萬棵，共需要380萬元；購進A種風景樹8萬棵，B種風景樹5萬棵，共需要700萬元．列出方程組，解方程組即可；（2）設購進A風景樹m萬棵，B風景樹萬棵，根據(jù)A風景樹的數(shù)量不多于58萬棵和購買A，B風景樹的總費用不超過5460萬元列出不等式組，解不等式組求出m的取值范圍即可．【詳解】（1）解：設A風景樹每棵的進價為x元，B風景樹每棵的進價為y元，根據(jù)題意得：，解得，答：A風景樹每棵的進價為50元，B風景樹每棵的進價為60元；（2）設購進A風景樹m萬棵，B風景樹萬棵，則，解得，∵m為整數(shù)，∴m為54，55，56，57，58，∴共有5種購買方案．【點睛】本題考查的是一元一次不等式組和二元一次方程組的應用，解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，進而找到所求的量的等量關系和不等關系．10．（2023春·陜西西安·八年級高新一中?？计谥校┧巧脑慈侨祟愘囈陨婧桶l(fā)展的不可缺少的重要的物質(zhì)資源之一，為更好地治理水質(zhì)，保護環(huán)境，市污水處理辦公室預購買10臺污水處理設備，現(xiàn)有A、B兩種型號的設備，其中價格及污水處理量如下表：A型B型價格（萬元）1210處理污水量（噸／月）240200(1)市污水處理辦公室為了節(jié)約開支，計劃購買污水處理設備的資金不超過105萬元，你認為有幾種購買方案？(2)在（1）的情況下，若每月污水處理量要求不低于2040噸，為節(jié)約資金，請你幫市污水處理辦公室選取一種最省錢的方案．【答案】(1)共有2種購買方案(2)購買A型號的污水處理設備1臺，購買B型號的污水處理設備9臺最省錢【分析】（1）設購買A型號的污水處理設備x臺，則購買B型號的污水處理設備臺，根據(jù)不等關系列出不等式組即可；（2）分別算出兩種方案的污水處理量和購買污水處理設備的資金，然后進行【詳解】（1）解：設購買A型號的污水處理設備x臺，則購買B型號的污水處理設備臺，根據(jù)題意得：，解得：，∵x取正整數(shù)，∴或，，，答：共有2種購買方案：購買A型號的污水處理設備1臺，則購買B型號的污水處理設備9臺；購買A型號的污水處理設備2臺，則購買B型號的污水處理設備8臺．（2）解：購買A型號的污水處理設備1臺，購買B型號的污水處理設備9臺時，每月污水處理量為：（噸），購買污水處理設備的資金為：（萬元）；購買A型號的污水處理設備2臺，購買B型號的污水處理設備8臺時，每月污水處理量為：（噸），購買污水處理設備的資金為：（萬元）；∵，∴購買A型號的污水處理設備1臺，購買B型號的污水處理設備9臺最省錢，且每月污水處理量為2040噸，符合要求．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是根據(jù)題目中的不等關系列出不等式，準確計算．11．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）我縣在創(chuàng)建全國文明城市過程中，決定購買A，B兩種樹苗對某路段道路進行綠化改造，已知購買A種樹苗8棵，B種樹苗3棵，要950元；若購買A種樹苗5棵，B種樹苗6棵，則需要800元．(1)求購買A，B兩種樹苗每棵各需多少元？(2)考慮到綠化效果和資金周轉，購進A種樹苗要多于B種樹苗，且用于購買這兩種樹苗的資金不能超過7650元，若購進這兩種樹苗共100棵，則有哪幾種購買方案？(3)在（2）的條件下，哪種方案最省錢？最少費用是多少？【答案】(1)購買A種樹苗每棵需100元，B種樹苗每棵需50元；(2)共有3種購買方案；方案1：購進A種樹苗51棵，B種樹苗49棵；方案2：購進A種樹苗52棵，B種樹苗48棵；方案3：購進A種樹苗53棵，B種樹苗47棵．(3)方案1：購進A種樹苗51棵，B種樹苗49棵【分析】（1）設購買A種樹苗每棵需x元，B種樹苗每棵需y元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；（2）設購進A種樹苗m棵，則購進B種樹苗棵，根據(jù)題意列出一元一次不等式組，解不等式組即可求解；（3）比較各方案即可得答案．【詳解】（1）解：設購買A種樹苗每棵需x元，B種樹苗每棵需y元，依題意得，解得答：購買A種樹苗每棵需100元，B種樹苗每棵需50元．（2）設購進A種樹苗m棵，則購進B種樹苗（100﹣m）棵，依題意得：，解得：，又∵m為正整數(shù)，∴m可以為51，52，53，∴共有3種購買方案，方案1：購進A種樹苗51棵，B種樹苗49棵；方案2：購進A種樹苗52棵，B種樹苗48棵；方案3：購進A種樹苗53棵，B種樹苗47棵．（3）方案1：購進A種樹苗51棵，B種樹苗49棵；元，方案2：購進A種樹苗52棵，B種樹苗48棵；元，方案3：購進A種樹苗53棵，B種樹苗47棵.元，∴購進A種樹苗51棵，B種樹苗49棵最省錢．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式組的應用，根據(jù)題意列出方程組與不等式組是解題的關鍵．12．（2023·湖北黃岡·?？家荒＃┠吵鲎馄嚬居媱澷徺IA型和B型兩種節(jié)能汽車，若購買A型汽車4輛，B型汽車7輛，共需310萬元；若購買A型汽車10輛，B型汽車15輛，共需700萬元．(1)A型和B型汽車每輛的價格分別是多少萬元?(2)該公司計劃購買A型和B型兩種汽車共10輛，費用不超過285萬元，且A型汽車的數(shù)量少于B型汽車的數(shù)量，請你給出費用最省的方案，并求出該方案所需費用．【答案】(1)A型汽車每輛的進價為25萬元，B型汽車每輛的進價為30萬元；(2)最省的方案是購買A型汽車4輛，購買B型汽車6輛，所需費用為280萬元【分析】（1）設A型汽車每輛的進價為x萬元，B型汽車每輛的進價為y萬元，根據(jù)購買A型汽車4輛，B型汽車7輛，共需310萬元；若購買A型汽車10輛，B型汽車15輛，共需700萬元．列出二元一次方程組，解方程組即可得到答案；（2）設購買A型汽車m輛，則購買B型汽車輛，根據(jù)費用不超過285萬元，且A型汽車的數(shù)量少于B型汽車的數(shù)量，得到不等式組，解不等式組后，根據(jù)m是正整數(shù)寫出方案，即可得到最省錢方案．【詳解】（1）解：設A型汽車每輛的進價為x萬元，B型汽車每輛的進價為y萬元，由題意得，，解得，答：A型汽車每輛的進價為25萬元，B型汽車每輛的進價為30萬元；（2）設購買A型汽車m輛，則購買B型汽車輛，根據(jù)題意得，，解得，且m為正整數(shù)，當時，，即購買A型汽車3輛，購買B型汽車7輛，此時費用為（萬元）；當時，，即購買A型汽車4輛，購買B型汽車6輛，此時費用為（萬元）；∴最省的方案是購買A型汽車4輛，購買B型汽車6輛，所需費用為280萬元．【點睛】此題考查了二元一次方程組和一元一次不等式組的應用，讀懂題意，正確列出方程組和不等式組是解題的關鍵．13．（2023春·安徽合肥·七年級合肥38中?？计谥校靶鹿谝咔椤睂θ蚪?jīng)濟造成了嚴重沖擊，英雄的武漢人民為抗擊“疫情”付出了巨大的努力并取得了偉大的勝利．為了加快復工復產(chǎn)，武漢市某企業(yè)需要運輸一批生產(chǎn)物資．根據(jù)調(diào)查得知，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運輸600箱生產(chǎn)物資；5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運輸1350箱生產(chǎn)物資．(1)求1輛大貨車和1輛小貨車一次分別可以運輸多少箱生產(chǎn)物資？(2)現(xiàn)計劃用這樣的兩種貨車共12輛運輸這批生產(chǎn)物資，已知每輛大貨車一次需要運輸費用5000元，每輛小貨車一次需要運輸費用3000元．若運輸物資不少于1500箱，并且運輸總費用小于54000元，請你列出所有運輸方案，并指出哪種運輸方案所需費用最少，最少費用是多少元？【答案】(1)1輛大貨車可以運輸150箱生產(chǎn)物資，1輛小貨車一次可以運輸100箱生產(chǎn)物資；(2)一共有3種方案：①用大貨車6輛，用小貨車6輛；②用大貨車7輛，用小貨車5輛；③用大貨車8輛，用小貨車4輛；當用大貨車6輛，用小貨車6輛時，運輸方案所需費用最少，最少費用是48000元【分析】（1）設1輛大貨車和1輛小貨車一次分別可以運輸x箱、y箱生產(chǎn)物資，根據(jù)題意列得二元一次方程組解答即可；（2）設有a輛大貨車，則有輛小貨車，根據(jù)運輸物資不少于1500箱，并且運輸總費用小于54000元列出不等式組解出結果，計算最少費用．【詳解】（1）解：設1輛大貨車和1輛小貨車一次分別可以運輸x箱、y箱生產(chǎn)物資，則，解得，答：1輛大貨車可以運輸150箱生產(chǎn)物資，1輛小貨車一次可以運輸100箱生產(chǎn)物資；（2）設有a輛大貨車，則有輛小貨車，由題意得，，解得，∵a是整數(shù)，∴，共有3種方案：①用大貨車6輛，用小貨車6輛，費用為（元）；②用大貨車7輛，用小貨車5輛，費用為（元）；③用大貨車8輛，用小貨車4輛，費用為（元）；∵，∴當用大貨車6輛，用小貨車6輛時，運輸方案所需費用最少，最少費用是48000元．【點睛】此題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．14．（2023春·全國·七年級專題練習）某初三某班計劃購買定制鋼筆和紀念卡冊兩種畢業(yè)紀念禮物，已知購買支定制鋼筆和本紀念卡冊共需元，購買支定制鋼筆和本紀念卡冊共需元．(1)求每支定制鋼筆和每本紀念卡冊的價格分別為多少元？(2)該班計劃購買定制鋼筆和紀念卡冊共件，總費用不超過元，且紀念卡冊本數(shù)小于定制鋼筆數(shù)量的倍，那么有幾種購買方案，請寫出設計方案？【答案】(1)每支定制鋼筆的價格為元，每本紀念卡冊的價格為元(2)種，見解析【分析】（1）設每支定制鋼筆和每本紀念卡冊的價格分別為、元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；（2）設購買定制鋼筆支，則紀念卡冊有本，根據(jù)題意列出一元一次不等式組，解不等式組即可求解．【詳解】（1）解：設每支定制鋼筆和每本紀念卡冊的價格分別為、元，依題意，得：，解得：，

答：每支定制鋼筆的價格為元，每本紀念卡冊的價格為元．（2）解：設購買定制鋼筆支，則紀念卡冊有本依題意，得：解得：取整數(shù)，＝，，，，總共有種方案，分別為：方案：購買定制鋼筆支，紀念卡冊本；方案：購買定制鋼筆支，紀念卡冊本；方案：購買定制鋼筆支，紀念卡冊本；方案：購買定制鋼筆支，紀念卡冊本；方案：購買定制鋼筆支，紀念卡冊本．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式組的應用，根據(jù)題意列出方程組和不等式組是解題的關鍵．15．（2023春·浙江溫州·七年級?？计谥校埵习b廠承接了一批紙盒加工任務，用如圖1所示的長方形和正方形紙板做側面和底面，做成如圖2所示的豎式與橫式兩種無蓋的長方體紙盒（加工時接縫材料不計）．(1)做1個豎式紙盒和2個橫式紙盒，需要正方形紙板張，長方形紙板張．(2)若該廠購進正方形紙板162張，長方形紙板338張，問豎式紙盒、橫式紙盒各加工多少個，恰好能將購進的紙板全部用完？(3)該廠某一天使用的材料清單上顯示，這天一共使用正方形紙板162張，長方形紙板a張，全部加工成上述兩種紙盒，且．試求在這一天加工兩種紙盒時，a的所有可能值．(直接寫出答案)【答案】(1)5，10(2)加工豎式紙盒38個，橫式紙盒62個，恰好能將購進的紙板全部用完(3)，298【分析】（1）由一個豎式無蓋紙盒需要1個正方形紙板、4個長方形紙板，一個橫式無蓋紙盒需要2個正方形紙板、3個長方形紙板，可求出做1個豎式紙盒和2個橫式紙盒，所需長方形及正方形紙板數(shù)量；；（2）設豎式紙盒加工x個、橫式紙盒加工y個，恰好能將購進的紙板全部用完，根據(jù)共用162張正方形紙板及338張長方形紙板，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（3）設豎式紙盒加工m個，則橫式紙盒加工個，根據(jù)所用長方形紙板數(shù)豎式無蓋紙盒數(shù)橫式無蓋紙盒數(shù)，可得出a關于m的等式，結合a，m為正整數(shù)及，可找出a的所有可能值．．【詳解】（1）解：根據(jù)圖中所給1個豎式無蓋紙盒構成：4個長方形側面和1個正方形底面可知，需要1個正方形紙板（底面）和4個長方形紙板（側面）；根據(jù)圖中所給1個橫式無蓋紙盒構成：2個正方形側面+2個長方形側面+一個長方形底面可知，需要2個正方形紙板（側面）和3個長方形紙板（側面和底面）；綜上所述，做1個豎式紙盒和2個橫式紙盒，需要正方形紙板張，長方形紙板張，故答案為：5，10；（2）解：設豎式紙盒加工x個，橫式紙盒加工y個，根據(jù)題意得：，解得：，∴加工豎式紙盒38個，橫式紙盒62個，恰好能將購進的紙板全部用完，答：加工豎式紙盒38個，橫式紙盒62個，恰好能將購進的紙板全部用完；（3）解：設豎式紙盒加工m個，則橫式紙盒加工個，由題意得：，化簡得：，，且、為整數(shù)，，即，∴滿足題意的m有，使為整數(shù)的取值是：，，的所有可能值是：，．故答案為：293，298.【點睛】本題考查實際應用題，涉及到立體圖形的側面展開、二元一次方程應用和不等式組的應用，根據(jù)題意準確找到等量關系是解決問題的關鍵．考點5：方程組（組）與不等式組的綜合問題典例：（2023春·全國·七年級專題練習）閱讀下列材料：問題：已知，且，，試確定的取值范圍解：，，又，，，又，①，，即②，①②得：，的取值范圍是．請按照上述方法，完成下列問題：(1)已知，且，，①試確定的取值范圍；②試確定的取值范圍；(2)已知，且，，若根據(jù)上述做法得到的取值范圍是，請直接寫出、的值．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①結合題干給出的思路，根據(jù)，可得，結合，可得，即有；②由①得：，同理可得②，問題隨之得解；（2）結合題干給出的思路，可得①、②，即有，結合，可得，解方程即可求解．【詳解】（1）①，，，，，，，②由①得：，，即②，，的取值范圍是；（2），，，，，，，，，即，即①，，，，②，①②得：，的取值范圍是，，解得：．方法或規(guī)律點撥本題考查了一元一次不等式組的運用、一元一次不等式的解法，解題的關鍵是熟練掌握一元一次不等式的解法，并能進行推理論證．鞏固練習1．（2023·山東濱州·模擬預測）關于，的方程組的解，滿足，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】將2個方程相加得出，根據(jù)不等式的解集的情況，得出，進而即可求解．【詳解】解：由得：∴，∵，∴解得：，故選：C．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式，根據(jù)題意得出的表達式是解答此題的關鍵．2．（2023春·七年級單元測試）若整數(shù)a使關于x的方程的解為非負數(shù)，且使關于y的不等式組的解集為，則符合條件的所有整數(shù)a的和為（）A．20 B．21 C．27 D．28【答案】C【分析】表示出方程的解，由方程的解為負數(shù)確定出a的范圍，表示出不等式組的解集，由已知解集確定出a的范圍，進而求出滿足題意整數(shù)a的值，求出之和即可．【詳解】解：方程去分母得，去括號得，移項、合并得：，解得：，由方程的解為非負數(shù)，得到，解得：，不等式組整理得：，由不等式組的解集為，得到，∴，即整數(shù)，0，1，2，3，4，5，6，7，則滿足題意的整數(shù)a之和為27．故選：C．【點睛】此題考查了解一元一次不等式組，以及解一元一次方程，熟練掌握不等式的解法是解本題的關鍵．3．（2023春·安徽合肥·七年級合肥市廬陽中學?？计谥校┮阎匠探M中的x，y滿足，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接用方程組中的減去得到，再結合，得到關于k的不等式，解不等式即可得到答案．【詳解】解：得，∵方程組的中x，y滿足，∴，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了方程組和不等式結合的問題，正確利用方程組得到是解題的關鍵．4．（2023·浙江舟山·校聯(lián)考一模）已知關于，的二元一次方程組，有下列說法：①當時，方程的兩根互為相反數(shù)；②不存在自然數(shù)，使得，均為正整數(shù)；③，滿足關系式；④當且僅當時，解得為的倍．其中正確的是(

)A．①②③④ B．①③④ C．②③ D．①②④【答案】B【分析】利用加減法求出關于、的二元一次方程組的解(用含的代數(shù)式表示)，再根據(jù)A、B、C、D所述列出算式、方程和不等式組，解集不存在的即為正確答案．【詳解】二元一次方程組得，，當時，，故當時，方程兩根互為相反數(shù)；故①符合題意；，，代入得，，，滿足關系式，故③符合題意；當時，，，當且僅當時解得為的倍，故④符合題意；當，時，則，，當時，，，(，均為正整數(shù))，存在自然數(shù)使得，均為正整數(shù)，故②不符合題意．故選：B．【點睛】此題考查二元一次方程組的解，同時涉及方程組的解集，解題關鍵在于掌握運算法則．5．（2023春·七年級課時練習）已知關于x，y的方程組，給出下列結論，其中錯誤的個數(shù)是（）①當a＝1時，方程組的解也是方程x+y＝4﹣a的解②當a＝﹣2時，x、y的值互為相反數(shù)；③不論a取什么數(shù)，2x+7y的值始終不變；④若x≤1，則y≥；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】解方程組得，①將a＝1的值代入方程組的解和方程中進行判斷即可；②將a＝﹣2代入方程組的解，依據(jù)相反數(shù)的概念判斷即可；③將所求x、y代入2x+7y，判斷最后化簡結果與a有無關系即可；④由x≤1得出a的范圍，再結合a的范圍求出的范圍即可．【詳解】解：解方程組得，①當a＝1時，，此時方程x+y＝4﹣1＝3，x＝3、y＝0是該方程的解，正確，不符合題意；②當a＝﹣2時，，x、y不是互為相反數(shù)，錯誤，符合題意；③2x+7y＝＝6，不論a取什么數(shù)，2x+7y的值始終不變，正確，不符合題意；④若x≤1，則≤1，解得a≤，此時≥，正確，不符合題意；故選：A．【點睛】本題主要考查解二元一次方程組和一元一次不等式組，解題的關鍵是掌握解二元一次方程組和一元一次不等式及不等式組的能力．6．（2023春·七年級單元測試）對x、y定義一種新運算T，規(guī)定：T（x，y）（其中a、b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運算，例如：T（0，1）b，已知T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，若關于m的不等式組恰好有3個整數(shù)解，則實數(shù)P的取值范圍是_____．【答案】【分析】根據(jù)已知得出關于a、b的方程組，求出a、b的值，代入求出不等式組的每個不等式的解集，根據(jù)已知即可得出P的范圍．【詳解】解：∵T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，∴解得：a=1，b=3，解得，，解得，∵關于m的不等式組恰好有3個整數(shù)解，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了新定義運算，解一元一次不等式組，解二元一次方程組的應用，能求出a、b的值是解此題的關鍵．7．（2023春·全國·七年級專題練習）若關于x，y的二元一次方程組的解滿足x+y＜2，求整數(shù)a的最大值．【答案】3【分析】先把兩個方程相加可得再整體代入不等式可得再解不等式即可．【詳解】解：由①+②得：∴∵∴∴解得：所以整數(shù)a的最大值為：3．【點睛】本題考查的是二元一次方程組的解法，一元一次不等式的應用，掌握“把看整體解方程組”是解本題的關鍵．8．（2023春·全國·七年級專題練習）（1）解二元一次方程組；（2）已知（1）中的解滿足，求正整數(shù)a的值．【答案】（1）；（2）2【分析】（1）根據(jù)代入法解二元一次方程組即可求解；（2）把（1）中的解代入不等式中得，，解一元一次不等式組，即可求得正整數(shù)解．【詳解】解：（1）由①得③，將③代入②得，，解得，將代入③得，∴此方程組解為（2）把（1）中的解代入不等式中得，，∴，解得，∵a是正整數(shù)，∴．【點睛】本題考查了解二元一次方程組，求不等式組的解集，正確的計算是解題的關鍵．9．（2023春·全國·八年級專題練習）已知方程組中x為非正數(shù)，y為負數(shù)．(1)求a的取值范圍；(2)當a為何整數(shù)時，不等式的解集為．【答案】(1)(2)當a為時，不等式的解集為【分析】（1）先解方程組可得，再利用x為非正數(shù)，y為負數(shù)，再建立不等式組，解不等式組即可得到答案；（2）整理不等式可得，根據(jù)解集為，可得，結合（1）中的范圍從而可得答案．【詳解】（1）解：解方程組，得：，∵方程組中x為非正數(shù)，y為負數(shù)，∴，解得：，即a的取值范圍是；（2）∵，∴，∵要使不等式的解集為，必須，解得：，又由（1）可知，且a為整數(shù)，∴，所以當a為時，不等式的解集為．【點睛】本題考查的是二元一次方程組與不等式組的綜合應用，不等式的性質(zhì)，掌握“方程組與不等式組的解法”是解本題的關鍵．10．（2023春·全國·八年級專題練習）已知關于的方程組的解都為非負數(shù)．(1)用含有字母的代數(shù)式表示和；(2)求的取值范圍；(3)已知，求的取值范圍．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）將a當做已知，解方程組即可；（2）根據(jù)解為非負數(shù)得到關于a的不等式組，求解即可；（3）由可得，結合解出b的取值范圍，即可求解．【詳解】（1）解：可得：，解得：將代入①中可得：，解得：∴，（2）因為關于的方程組的解都為非負數(shù)，可得：，解得：；（3）由，可得：，可得：，解得：，∵，∴．【點睛】本題考查了解二元一次方程組和不等式組，靈活運用所學知識是解題的關鍵．11．（2022春·天津濱海新·七年級?？计谀┤酎c的坐標滿足方程組．(1)求點的坐標（用含的式子表示，）；(2)若點在第二象限，求的取值范圍；(3)若點在第一象限，且，則滿足條件的整數(shù)有幾個？【答案】(1)(2)(3)2個【分析】（1）運用加減消元法解此方程組；（2）由題意構造不等式組并求解；（3）由題意構造不等式組并求解，并確定出符合條件的的值．（1）解：，得，，解得，把代入得，，解得，該方程組的解為，點的坐標為；（2）解：由題意得不等式組，解得，的取值范圍；（3）解：由題意得不等式組，解得，滿足條件的整數(shù)有，，即滿足條件的整數(shù)有個．【點睛】此題考查了含字母參數(shù)的方程組與不等式組綜合問題的解決能力，關鍵是能對以上題目正確求解，并確定出符合條件的字母參數(shù)的值．12．（2023春·七年級課時練習）已知關于x，y的二元一次方程組的解滿足不等式組．(1)試求出m的取值范圍；(2)在m的取值范圍內(nèi)，當m為何整數(shù)時，不等式2x﹣mx＜2﹣m的解集為x＞1．【答案】(1)(2)在m的取值范圍內(nèi)，沒有合適的整數(shù)m，使不等式2x﹣mx＜2﹣m的解集為x＞1【分析】（1）方程組兩方程相加減表示出x＋y與x?y，代入不等式組計算即可求出m的范圍；（2）確定出不等式組的整數(shù)解，滿足題意即可．【詳解】（1）解：，①＋②得：3x＋3y＝3＋m，即，①?②得：x?y＝3m?1，∵，∴，解得：．（2）解：∵2x?mx＜2?m的解集為x＞1，∴2?m＜0，解得：m＞2，∵0＜m＜3，∴2＜m＜3，∴在m的取值范圍內(nèi)，沒有合適的整數(shù)m，使不等式2x﹣mx＜2﹣m的解集為x＞1．【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，二元一次方程組的解，解一元一次不等式，以及一元一次不等式的整數(shù)解，用m表示出x+y和xy，是解本題的關鍵．13．（2023春·重慶北碚·七年級西南大學附中?？计谥校╆P于x，y的方程組的解滿足x為非正數(shù)，y為正數(shù)．(1)求a的取值范圍；(2)已知不等式的解集為，請求出所有滿足條件的整數(shù)a的值．【答案】(1)(2)滿足條件的整數(shù)a的值為，【分析】（1）用含的式子表示出方程組的解，再根據(jù)方程組的解滿足x為非正數(shù)，y為正數(shù)，列出不等式組，進行求解即可；（2）根據(jù)題意，可得：，結合（1）中的取值范圍，進行求解即可．【詳解】（1）解：，，得：，解得：，把，代入②，得：，解得：，∴方程組的解為：，∵關于x，y的方程組的解滿足x為非正數(shù)，y為正數(shù)，∴，解得：；（2）解：∵∴，∵不等式的解集為，∴，∴，∵，∴，∴滿足條件的整數(shù)a的值為，．【點睛】本題考查根據(jù)二元一次方程組的解的情況，求參數(shù)的取值范圍、解一元一次不等式組．正確的求出方程組的解，是解題的關鍵．能力提升能力提升一、單選題（每題3分）1．（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）不等式組的解集在數(shù)軸上可表示為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出不等式組的解集，根據(jù)解集即可確定答案．【詳解】解不等式組得：，在數(shù)軸上表示如下：故選：A．【點睛】本題考查了解不等式組，把解集在數(shù)軸上表示出來，關鍵是求得不等式組的解集．2．（2023·全國·九年級專題練習）如圖為小麗和小歐依序進入電梯時，電梯因超重而警示音響起的過程，且過程中沒有其他人進出．該電梯乘載的重量超過480公斤時警示音響起．已知小麗為45公斤、小歐為65公斤，若小麗進入電梯前，電梯內(nèi)已乘載的重量為x公斤，則所有滿足題意的x可用下列哪一個不等式表示（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)小麗進入電梯未超重而小歐進入電梯超重，即可得出關于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍．【解答】解：依題意得：，解得：．故選：B．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應用，根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式組是解題的關鍵．3．（2022秋·北京西城·八年級北京市第十三中學分校?？计谥校┱n堂上，老師組織大家用小棒擺三角形.已知三條線段的長分別是，若它們能構成三角形，則整數(shù)m的最大值是（

）A．10 B．8 C．7 D．4【答案】C【分析】根據(jù)三角形第三邊取值范圍求得不等式的解集，然后求最大整數(shù)解即可求解．【詳解】解：∵三條線段的長分別是，能構成三角形，∴，即，且為整數(shù)，∴的最大整數(shù)解，故選：C．【點睛】本題考查了三角形三邊關系，求不等式的最大整數(shù)解，理解題意是解題的關鍵．4．（2021春·重慶南岸·八年級重慶市第十一中學校?？计谥校┪牡轮袑W初二年級為了獎勵在英語演講比賽中勝出的學生，年級購買了若干本課外讀物準備送給他們．如果每人送4本，則還余9本；如果每人送5本，則最后一人能得到課外讀物但不足2本．設初二年級有名學生獲獎．則下列不等式組表示正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】每人送4本，則還余9本即一共有本書，再根據(jù)每人送5本，則最后一人能得到課外讀物但不足2本列出不等式組即可．【詳解】解：設初二年級有名學生獲獎，由題意得，故選A．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組的應用，正確理解題意找到不等關系是解題的關鍵．5．（2022秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期中）方程組的解滿足，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】理解清楚題意，運用二元一次方程組的知識，解出k的取值范圍即可．【詳解】解：∵，觀察方程組可知，上下兩個方程相加可得：，兩邊都除以3得，，所以，解得；，解得．所以．故選C．【點睛】題目主要考查二元一次方程組及解不等式組，理解題意，確定是解題關鍵．6．（2022秋·浙江紹興·八年級校聯(lián)考期中）對于三個數(shù)、、的最小的數(shù)可以給出符號來表示，我們規(guī)定，，表示、、這三個數(shù)中最小的數(shù)，例如：，，，，，．若，2，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)新定義列出關于的不等式組，再解之即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得：，解不等式，得：，解不等式，得：，，故選：B．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．二、填空題（每題3分）7．（2022春·上海閔行·六年級校考期末）不等式組的自然數(shù)解是______．【答案】0，1，2，3，4【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，則不等式組的解集為，∴不等式組的自然數(shù)解是：0，1，2，3，4，故答案為：0，1，2，3，4．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．8．（2022·寧夏銀川·?？家荒＃┤絷P于x的不等式組無解，則m的取值范圍___________【答案】【分析】先求出不等式組的解集，再由不等式