新高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題12圓錐曲線中的三角形問題專題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題12圓錐曲線中的三角形問題一、題型選講題型一、由面積求參數(shù)或點坐標(biāo)等問題例1、（2020·浙江學(xué)軍中學(xué)高三3月月考）拋物線（）的焦點為F，直線l過點F且與拋物線交于點M，N（點N在軸上方），點E為軸上F右側(cè)的一點，若，，則（）A．1 B．2 C．3 D．9例2、（2020·浙江高三）如圖，過橢圓的左、右焦點F1，F(xiàn)2分別作斜率為的直線交橢圓C上半部分于A，B兩點，記△AOF1，△BOF2的面積分別為S1，S2，若S1：S2＝7：5，則橢圓C離心率為_____．例3、【2020年高考江蘇】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2⊥F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點B．（1）求的周長；（2）在x軸上任取一點P，直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點Q，求的最小值；（3）設(shè)點M在橢圓E上，記與的面積分別為S1，S2，若，求點M的坐標(biāo)．題型二、與面積有關(guān)的最值問題例4、（2020·浙江溫州中學(xué)高三3月月考）過點斜率為正的直線交橢圓于，兩點.，是橢圓上相異的兩點，滿足，分別平分，.則外接圓半徑的最小值為（）A． B． C． D．例5、【2020年新高考全國Ⅱ卷】已知橢圓C：過點M（2，3）,點A為其左頂點，且AM的斜率為，（1）求C的方程；（2）點N為橢圓上任意一點，求△AMN的面積的最大值.例6、【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】已知點A(?2，0)，B(2，0)，動點M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標(biāo)原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.例7、（2020屆浙江省溫麗聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考）已知，是橢圓的左右焦點，且橢圓的離心率為，直線與橢圓交于，兩點，當(dāng)直線過時周長為8.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若，是否存在定圓，使得動直線與之相切，若存在寫出圓的方程，并求出的面積的取值范圍；若不存在，請說明理由.例8、（2020屆浙江省十校聯(lián)盟高三下學(xué)期開學(xué)）如圖，已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點的直線交拋物線于，兩點，點在準(zhǔn)線上的投影為，若是拋物線上一點，且.（1）證明：直線經(jīng)過的中點；（2）求面積的最小值及此時直線的方程.二、達標(biāo)訓(xùn)練1、（2020屆浙江省杭州市高三3月模擬）設(shè)是橢圓的兩個焦點，是C上一點，且滿足的面積為則的取值范圍是____.2、【2018年高考全國I理數(shù)】已知雙曲線，為坐標(biāo)原點，為的右焦點，過的直線與的兩條漸近線的交點分別為，．若為直角三角形，則A． B．3C． D．43、（2020屆浙江省寧波市鄞州中學(xué)高三下期初）已知拋物線：和直線：，是直線上一點，過點做拋物線的兩條切線，切點分別為，，是拋物線上異于，的任一點，拋物線在處的切線與，分別交于，，則外接圓面積的最小值為______.4、（2020屆浙江省嘉興市5月模擬）設(shè)點為拋物線上的動點，是拋物線的焦點，當(dāng)時，．（1）求拋物線的方程；（2）過點作圓：的切線，，分別交拋物線于點．當(dāng)時，求面積的最小值．5、（2020屆浙江省紹興市4月模擬）如圖，已知點，，拋物線的焦點為線段中點.（1）求拋物線的方程；（2）過點的直線交拋物線于兩點，，過點作拋物線的切線，為切線上的點，且軸，求面積的最小值.6、（2020屆浙江省臺州市溫嶺中學(xué)3月模擬）如圖，已知拋物線的焦點為.若點為拋物線上異于原點的任一點，過點作拋物線的切線交軸于點，證明：.，是拋物線上兩點，線段的垂直平分線交軸于點(不與軸平行)，且.過軸上一點作直線軸，且被以為直徑的圓截得的弦長為定值，求面積的最大值.專題12圓錐曲線中的三角形問題一、題型選講題型一、由面積求參數(shù)或點坐標(biāo)等問題例1、（2020·浙江學(xué)軍中學(xué)高三3月月考）拋物線（）的焦點為F，直線l過點F且與拋物線交于點M，N（點N在軸上方），點E為軸上F右側(cè)的一點，若，，則（）A．1 B．2 C．3 D．9【答案】C【解析】設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點為T，直線l與準(zhǔn)線交于R，，則，，過M，N分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，如圖，由拋物線定義知，，，因為∥，所以，即，解得，同理，即，解得，又，所以，，過M作的垂線，垂足為G，則，所以，解得，故.故選：C.例2、（2020·浙江高三）如圖，過橢圓的左、右焦點F1，F(xiàn)2分別作斜率為的直線交橢圓C上半部分于A，B兩點，記△AOF1，△BOF2的面積分別為S1，S2，若S1：S2＝7：5，則橢圓C離心率為_____．【答案】【解析】作點B關(guān)于原點的對稱點B1，可得S，則有，所以．將直線AB1方程，代入橢圓方程后，，整理可得：（b2+8a2）y2﹣4b2cy+8b4＝0，由韋達定理解得，，三式聯(lián)立，可解得離心率．故答案為：．例3、【2020年高考江蘇】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF2⊥F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點B．（1）求的周長；（2）在x軸上任取一點P，直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點Q，求的最小值；（3）設(shè)點M在橢圓E上，記與的面積分別為S1，S2，若，求點M的坐標(biāo)．【解析】（1）橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，則.所以的周長為.（2）橢圓的右準(zhǔn)線為.設(shè)，則，在時取等號.所以的最小值為.（3）因為橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上且在第一象限內(nèi)，，則.所以直線設(shè)，因為，所以點到直線距離等于點到直線距離的3倍.由此得，則或.由得，此方程無解；由得，所以或.代入直線，對應(yīng)分別得或.因此點的坐標(biāo)為或.題型二、與面積有關(guān)的最值問題例4、（2020·浙江溫州中學(xué)高三3月月考）過點斜率為正的直線交橢圓于，兩點.，是橢圓上相異的兩點，滿足，分別平分，.則外接圓半徑的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，先固定直線AB，設(shè)，則，其中為定值，故點P，C，D在一個阿波羅尼斯圓上，且外接圓就是這個阿波羅尼斯圓，設(shè)其半徑為r，阿波羅尼斯圓會把點A，B其一包含進去，這取決于BP與AP誰更大，不妨先考慮的阿波羅尼斯圓的情況，BA的延長線與圓交于點Q，PQ即為該圓的直徑，如圖：接下來尋求半徑的表達式，由，解得，同理，當(dāng)時有，，綜上，；當(dāng)直線AB無斜率時，與橢圓交點縱坐標(biāo)為，則；當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為，即，與橢圓方程聯(lián)立可得，設(shè)，，則由根與系數(shù)的關(guān)系有，，，注意到與異號，故，設(shè)，則，，當(dāng)，即，此時，故，又，綜上外接圓半徑的最小值為.故選：D．例5、【2020年新高考全國Ⅱ卷】已知橢圓C：過點M（2，3）,點A為其左頂點，且AM的斜率為，（1）求C的方程；（2）點N為橢圓上任意一點，求△AMN的面積的最大值.【解析】(1)由題意可知直線AM的方程為：，即.當(dāng)y=0時，解得，所以a=4，橢圓過點M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)設(shè)與直線AM平行的直線方程為：，如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時，與AM距離比較遠的直線與橢圓的切點為N，此時△AMN的面積取得最大值.聯(lián)立直線方程與橢圓方程，可得：，化簡可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，與AM距離比較遠的直線方程：，直線AM方程為：，點N到直線AM的距離即兩平行線之間的距離，利用平行線之間的距離公式可得：，由兩點之間距離公式可得.所以△AMN的面積的最大值：.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．例6、【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】已知點A(?2，0)，B(2，0)，動點M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標(biāo)原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.【答案】（1）見解析；（2）（i）見解析；（ii）.【解析】（1）由題設(shè)得，化簡得，所以C為中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上的橢圓，不含左右頂點．（2）（i）設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為．由得．記，則．于是直線的斜率為，方程為．由得．①設(shè)，則和是方程①的解，故，由此得．從而直線的斜率為．所以，即是直角三角形．（ii）由（i）得，，所以△PQG的面積．設(shè)t=k+，則由k>0得t≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取等號．因為在[2，+∞）單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=2，即k=1時，S取得最大值，最大值為．因此，△PQG面積的最大值為．例7、（2020屆浙江省溫麗聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考）已知，是橢圓的左右焦點，且橢圓的離心率為，直線與橢圓交于，兩點，當(dāng)直線過時周長為8.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若，是否存在定圓，使得動直線與之相切，若存在寫出圓的方程，并求出的面積的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】（Ⅰ）由題意可得，，故，又有，∴，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）法1：設(shè)，，∵，∴，設(shè)點，點，，兩式相加得，，，∴，，，∴，．法2：，，，∴，∴，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號，此時符合∴．例8、（2020屆浙江省十校聯(lián)盟高三下學(xué)期開學(xué)）如圖，已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過點的直線交拋物線于，兩點，點在準(zhǔn)線上的投影為，若是拋物線上一點，且.（1）證明：直線經(jīng)過的中點；（2）求面積的最小值及此時直線的方程.【答案】（1）詳見解析；（2）面積最小值為16，此時直線方程為.【解析】（1）由題意得拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，直線：，則，聯(lián)立和，可得，顯然，可得，因為，，所以，故直線：，由，得.∴，，所以的中點的縱坐標(biāo)，即，所以直線經(jīng)過的中點.（2）所以，設(shè)點到直線的距離為，則.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，直線的方程為：，時，直線的方程為：.另解：.二、達標(biāo)訓(xùn)練1、（2020屆浙江省杭州市高三3月模擬）設(shè)是橢圓的兩個焦點，是C上一點，且滿足的面積為則的取值范圍是____.【答案】【解析】依題意，，所以，則，而，所以.由于，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知：，所以，所以，解得.故答案為：2、【2018年高考全國I理數(shù)】已知雙曲線，為坐標(biāo)原點，為的右焦點，過的直線與的兩條漸近線的交點分別為，．若為直角三角形，則A． B．3C． D．4【答案】B【解析】由題可知雙曲線的漸近線的斜率為，且右焦點為，從而可得，所以直線的傾斜角為或，根據(jù)雙曲線的對稱性，設(shè)其傾斜角為，可以得出直線的方程為，分別與兩條漸近線和聯(lián)立，求得，，所以，故選B．3、（2020屆浙江省寧波市鄞州中學(xué)高三下期初）已知拋物線：和直線：，是直線上一點，過點做拋物線的兩條切線，切點分別為，，是拋物線上異于，的任一點，拋物線在處的切線與，分別交于，，則外接圓面積的最小值為______.【答案】【解析】設(shè)三個切點分別為，若在點處的切線斜率存在，設(shè)方程為與聯(lián)立，得，，即，所以切線方程為①若在點的切線斜率不存在，則，切線方程為滿足①方程，同理切線的方程分別為，，聯(lián)立方程，，解得，即同理，，，設(shè)外接圓半徑為，，，時取等號，點在直線，，當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立，此時外接圓面積最小為.故答案為:.4、（2020屆浙江省嘉興市5月模擬）設(shè)點為拋物線上的動點，是拋物線的焦點，當(dāng)時，．（1）求拋物線的方程；（2）過點作圓：的切線，，分別交拋物線于點．當(dāng)時，求面積的最小值．【答案】（1）（2）最小值．【解析】（1）當(dāng)時，，所以，故所求拋物線方程為.（2）點為拋物線上的動點，則，設(shè)過點的切線為，則，得，是方程（*）式的兩個根，所以，，設(shè)，因直線，與拋物線交于點A，則得，所以，即，同理，設(shè)直線，則，，又，，所以令，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值.5、（2020屆浙江省紹興市4月模擬）如圖，已知點，，拋物線的焦點為線段中點.（1）求拋物線的方程；（2）過點的直線交拋物線于兩點，，過點作拋物線的切線，為切線上的點，且軸，求面積的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知得焦點的坐標(biāo)為，，拋物線的方程為：；（2）設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，，聯(lián)立方程，消去得：，，，，設(shè)直線方程為：，聯(lián)立方程，消去得：，由相切得：，，又，，，，直線的方程為：，由，得，，將代入直線方程，解得，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取到等號，所以面積的最小值為.6、（2020屆浙江省臺州市溫嶺中學(xué)3月模擬）如圖，已知拋物線的焦點為.若點為拋物線上異于原點的任一點，過點作拋物線的切線交軸于點，證明：.，是拋物線上兩點，線段的垂直平分線交軸于點(不與軸平行)，且.過軸上一點作直線軸，且被以為直徑的圓截得的弦長為定值，求面積的最大值.【答案】證明見解析；.【解析】由拋物線的方程可得，準(zhǔn)線方程：，設(shè)，由拋物線的方程可得，所以在處的切線的