專題06 直角三角形中的分類討論模型（解析版）

專題06直角三角形中的分類討論模型模型1、直角三角形中的分類討論模型【知識(shí)儲(chǔ)備】凡是涉及直角三角形問題，優(yōu)先考慮直角頂點(diǎn)（或斜邊）分類討論，再利用直角三角形的性質(zhì)或勾股定理解題即可。1）無圖需分類討論：①已知邊長度無法確定是直角邊還是斜邊時(shí)要分類討論；②已知無法確定是哪個(gè)角是直角時(shí)要分類討論（常見與折疊、旋轉(zhuǎn)中出現(xiàn)的直角三角形）。2）“兩定一動(dòng)”直角三角形存在性問題：（常見于與坐標(biāo)系綜合出題，后續(xù)會(huì)專題進(jìn)行講解）即：如圖：已知，兩點(diǎn)是定點(diǎn)，找一點(diǎn)構(gòu)成方法：兩線一圓具體圖解：①當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作的垂線，點(diǎn)在該垂線上（除外）②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作的垂線，點(diǎn)在該垂線上（除外）。③當(dāng)時(shí)，以為直徑作圓，點(diǎn)在該圓上（，除外）。例1．（2023春·廣西河池·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，當(dāng)時(shí)，是直角三角形．【答案】5或/或5【分析】分為三角形的最長邊和為三角形的最長邊，兩種情況進(jìn)行求解即可．【詳解】解：①為的最長邊時(shí)：當(dāng)滿足時(shí)，是直角三角形，即：，∴（負(fù)值已舍去）；②為三角形的最長邊時(shí)：當(dāng)滿足時(shí)，是直角三角形，即：，∴（負(fù)值已舍去）；綜上：或；故答案為：5或．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理逆定理．熟練掌握當(dāng)三角形的三邊滿足兩短邊的平方和等于第三邊的平方時(shí)，三角形為直角三角形是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·河南鄭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是的角平分線，是的高，，，點(diǎn)F為邊上一點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】分情況討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，根據(jù)角平分線和三角形高線的定義分別求解即可．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)時(shí)，∵是的角平分線，，∴，∴中，；如圖，當(dāng)時(shí)，同理可得，∵，∴，∴，綜上所述：的度數(shù)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線和高線的定義，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在4×4的正方形網(wǎng)格中有兩個(gè)格點(diǎn)A，B，連接AB，在網(wǎng)格中再找一個(gè)格點(diǎn)C，使得△ABC是等腰直角三角形，則滿足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰．【詳解】解：如圖：分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有0個(gè)；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有3個(gè)．∵，，∴，，，∴，，都是等腰直角三角形，故共有3個(gè)點(diǎn)，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．例4．（2022·江西九江·八年級(jí)期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0）【分析】因?yàn)辄c(diǎn)P、A、B在x軸上，所以P、A、B三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC兩種情況進(jìn)行分析即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P、A、B在x軸上，∴P、A、B三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0）．當(dāng)△PAC為直角三角形時(shí)，①∠APC＝90°，易知點(diǎn)P在原點(diǎn)處坐標(biāo)為（0，0）；②∠ACP＝90°時(shí)，如圖，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，，解得，m＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）；當(dāng)△PBC為直角三角形時(shí)，①∠BPC＝90°，易知點(diǎn)P在原點(diǎn)處坐標(biāo)為（0，0）；②∠BCP＝90°時(shí)，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，0）．綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0），（，0），（﹣2，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了數(shù)形結(jié)合和分類討論思想．解題的關(guān)鍵是不重復(fù)不遺漏的進(jìn)行分類．例5．（2022秋·江西吉安·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC為一邊在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長為．【答案】7或或【分析】分三種情形討論：（1）如圖1中，以點(diǎn)C所在頂點(diǎn)為直角時(shí)；（2）如圖2中，以點(diǎn)D所在頂點(diǎn)為直角時(shí)；（3）如圖3中，以點(diǎn)A所在頂點(diǎn)為直角時(shí)．【詳解】（1）如圖1中，以點(diǎn)C所在頂點(diǎn)為直角時(shí)．∵AC=CD=4，BC=3，∴BD=CD+BC=7；（2）如圖2中，以點(diǎn)D所在頂點(diǎn)為直角時(shí)，作DE⊥BC與E，連接BD．在Rt△BDE中DE=2，BE=5，∴BD；（3）如圖3中，以點(diǎn)A所在頂點(diǎn)為直角時(shí)，作DE⊥BC于E，在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD．故答案為7或或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．例6.（2023春·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，，點(diǎn)E為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與關(guān)于直線對(duì)稱．當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長為．

【答案】9或18【分析】分兩種情況，分別求解，（1）當(dāng)時(shí)，如圖（1），根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得，得；（2）當(dāng)時(shí)，如圖（2），根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得，得A、、C在同一直線上，根據(jù)勾股定理得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，計(jì)算即可．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，如圖（1），

∵，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得，∵，∴是等腰直角三角形，∴；（2）當(dāng)時(shí)，如圖（2），

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得，為直角三角形，即，∴，∴A、、C在同一直線上，根據(jù)勾股定理得，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得，即；綜上所述：的長為9或18；故答案為：9或18．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，分情況討論，畫出圖形是解題關(guān)鍵．例7.（2023·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B與B′是關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)△CPB'是直角三角形時(shí)，BP的長＝．【答案】1或【分析】根據(jù)題意分三種情形：①∠PCB′＝90°，②∠CPB′＝90°，進(jìn)而利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可，③反證法證明的情形不成立．【詳解】解：①如圖1中，當(dāng)∠PCB′＝90°時(shí)，設(shè)PB＝PB′＝x．∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝5，由翻折的性質(zhì)可知，AB＝AB′＝5，在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，∴（4﹣x）2+22＝x2，∴x＝，∴PB＝．②如圖2中，當(dāng)∠CPB′＝90°，設(shè)PB＝y(tǒng)．過點(diǎn)A作AT⊥B′P交B′P的延長線于點(diǎn)T，則四邊形ACPT是矩形，∴PT＝AC＝3，AT＝CP＝4﹣y，在Rt△ATB′中，AB′2＝AT2+B′T2，∴52＝（4﹣y）2+（y+3）2，解得y＝1或0（0舍棄），∴PB＝1，③若，如圖點(diǎn)C與C′是關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)，連接由題意可得若，根據(jù)對(duì)稱性可得,根據(jù)平行線之間的距離相等，若，則到的距離等于4而不平行假設(shè)不成立綜上所述，PB的值為：1或．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換以及勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題．例8．（2023秋·廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知，P是射線上一動(dòng)點(diǎn)，．

(1)當(dāng)是等邊三角形時(shí)，求的長；(2)當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的長．【答案】(1)10；(2)5或20．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解；（2）分兩種情況討論：①若，則，根據(jù)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求；②若，則，從而可求?！驹斀狻浚?）當(dāng)為等邊三角形時(shí)，．（2）當(dāng)是直角三角形時(shí)，分兩種情況討論：①若，則，∴，∴；②若，則，∴．綜上所述，的長為5或20．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．例9．（2023秋·河北張家口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．

(1)如圖1，若點(diǎn)恰好落在邊上，判斷的形狀，并證明；(2)如圖2，若點(diǎn)落在內(nèi)，且的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)，，求的度數(shù)；(3)若，當(dāng)是直角三角形時(shí)，直接寫出的長．【答案】(1)是等邊三角形；見解析(2)；(3)的長是或【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出相等的角，再根據(jù)等邊三角形的判定即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知角相等，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意分兩種情況，再根據(jù)圖形以及折疊的性質(zhì)得到的長度．【詳解】（1）解：是等邊三角形，理由如下：∵，∴，由折疊可得，∴，∴，∴是等邊三角形；（2）解：由折疊可得，∵，∴，∵，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得，∴；（3）解：的長是或，理由如下：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在內(nèi)（如圖所示）

∵，∴，∴由折疊得，∴，∴，∴；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在外，同理可得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵．例10．（2023秋·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．(1)求直線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)M是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)，若以為直角邊構(gòu)造，請(qǐng)求出滿足條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)如圖2，以A為直角頂點(diǎn)作，射線交x軸的正半軸于點(diǎn)C，射線交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)D，當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)M點(diǎn)的坐標(biāo)為或或(3)8【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意進(jìn)行分類討論：①當(dāng)時(shí)，過A作的垂線，交y軸于點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式以及勾股定理，列出方程求解即可；②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)B作的垂線交y軸于點(diǎn)，用相同的方法即可求解；（3）過點(diǎn)A分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為G，H，通過證明，得出，即可得出．【詳解】（1）解：設(shè)直線的解析式為：，∵，在直線上，∴，解得：，∴直線的解析式為：；（2）解：∵是以為直角邊的直角三角形，∴有或，①當(dāng)時(shí)，如圖：設(shè)點(diǎn)，，∵，，∴，，，，，在中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，∴，②當(dāng)時(shí)，如圖：過點(diǎn)B作的垂線交y軸于點(diǎn)，設(shè)，∵，，∴，，，在中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：，∴．綜上：M點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．（3）解：過點(diǎn)A分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為G，H，如圖：則，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查案例一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間的距離公式，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達(dá)式的方法和步驟，坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．例11．（2023秋·重慶南岸·八年級(jí)校考期末）如圖，直線交軸、軸分別于點(diǎn)、，直線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．已知，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)求直線的解析表達(dá)式．(2)若在線段上，四邊形的面積為14，求點(diǎn)坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)、分別為直線、上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)、、，當(dāng)是以為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)過程寫出來．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再把，代入，解方程組即可解答．（2）求出，，設(shè)，則，，再由四邊形的面積，可得，即可解答．（3）設(shè)，，可得，分情況討論：當(dāng)為斜邊時(shí)，當(dāng)為直角邊時(shí)，即可解答．【詳解】（1）在中，令得，∴，把，代入得：，解得，∴直線的解析表達(dá)式為．（2）如圖，在中，令得，令得，∴，，設(shè)，∴，，

∵，四邊形的面積為14，∴，解得，∴．（3）設(shè)，，∴，，，當(dāng)為斜邊時(shí)，如圖：

，解得，∴，當(dāng)為直角邊時(shí)，如圖：，解得，∴，∴M的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，四邊形的面積，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用分類討論是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·山東棗莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)，使得為直角三角形，則符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)共有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】分兩種情況：①當(dāng)為斜邊時(shí)，過分別作軸和軸的垂線，垂足即為點(diǎn)，符合條件的點(diǎn)有2個(gè)；②當(dāng)為斜邊時(shí)，過作的垂線，與軸和軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖所示：①當(dāng)為斜邊時(shí)，過分別作軸和軸的垂線，垂足即為點(diǎn)，符合條件的點(diǎn)有2個(gè)；②當(dāng)為斜邊時(shí)，過作的垂線，與軸和軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，符合條件的點(diǎn)有2個(gè)；符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)共有4個(gè)，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、直角三角形的判定；作出圖形，分情況討論是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·重慶·八年級(jí)課堂例題）已知點(diǎn)A和點(diǎn)，以點(diǎn)A和點(diǎn)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形，一共可以作出個(gè)．【答案】6【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，分點(diǎn)是直角邊和斜邊兩種情況作出圖形即可得解．【詳解】解：如圖，以點(diǎn)和點(diǎn)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形，一共可作出6個(gè)．故答案為：6

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形，作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更形象直觀．3．（2023秋·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（0，4）、B（3，0），連接AB，以AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【答案】（4，7）或（7，3）【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，分AC為直角邊和斜邊兩種情況進(jìn)行討論即可.【詳解】解：如圖，觀察圖象可知，滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，7）或（7，3）．故答案為：（4，7）或（7，3）．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵在于能夠分類討論AC是直角邊還是斜邊.4．（2023春·江蘇南京·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，分別是高和角平分線，點(diǎn)E為邊上一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，則度．【答案】42或21【分析】直接根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，由角平分線的定義得，當(dāng)為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：分別根據(jù)三角形內(nèi)和定理和外角的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：，，，平分，當(dāng)為直角三角形時(shí)，有以下兩種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖1，，；②當(dāng)時(shí)，如圖2，，，綜上，的度數(shù)為或．故答案為：42或21．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，角平分線的有關(guān)計(jì)算，三角形內(nèi)和定理與外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．5．（2023秋·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，現(xiàn)將BC延長到點(diǎn)D，使△ABD為等腰三角形，則CD的長為．【答案】4，6或【分析】由題意分AD=BD、AB=BD、AB=AD這三種情況進(jìn)行討論求解即可.【詳解】解：如圖，當(dāng)AD=BD時(shí)，∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，∴,設(shè)，由，可得，解得：，即；如圖，當(dāng)AB=BD時(shí)，∵AB=BD，∴;如圖，當(dāng)AB=AD時(shí)，∵AB=BD，∠C=90°，∴；綜上可得CD的長為4，6或.故答案為：4，6或．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握利用方程根據(jù)勾股定理建立方程求解以及進(jìn)行全面思考、分類討論是解題的關(guān)鍵.6．（2023春·江蘇·八年級(jí)期末）在中，，，的角平分線BD交AC于D，E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的度數(shù)是．（寫出所有的正確結(jié)果）【答案】69°或11°【分析】分情況討論，當(dāng)∠AED=90°時(shí)，利用直角三角形兩銳角互余即可求出的度數(shù)；當(dāng)∠ADE=90°時(shí)，通過三角形內(nèi)角和求出∠ADB的度數(shù)，然后減去∠ADE即可求出答案．【詳解】∵，，∴∠A=180°-80°-42°=58°，當(dāng)是直角三角形時(shí)，如圖，當(dāng)∠AED=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE=∠ABC=，∴∠BDE=90°-21°=69°；如圖，當(dāng)∠ADE=90°時(shí)，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=，∴∠ADB=∠DBC+∠C=21°+80°=101°，∴∠BDE=∠ADB-∠ADE=101°-90°=11°，故答案為：69°或11°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形注意分情況討論．7．（2023春·廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是斜邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在直線AB上，連接CF，當(dāng)△CEF是直角三角形時(shí)，線段BD的長為．【答案】或5【分析】分兩種情況討論：當(dāng)∠CFE＝90°時(shí)，過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，由翻折可知，BD＝DF，∠EFB=∠B，由直角三角形兩銳角互余易得FC=AC=6，則M為AF的中點(diǎn)，由面積相等可求得CM的長，再由勾股定理可求得MF的長，則可求得BF的長，從而可得BD的長；當(dāng)∠ECF＝90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F落在點(diǎn)A，則BD＝AB＝5．【詳解】解：①當(dāng)∠CFE＝90°時(shí)，過點(diǎn)F作CM⊥AB于點(diǎn)M，如圖所示：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴，由翻折可知，BD＝DF，∠EFB=∠B，∵∠A+∠B=90°，∠EFB+∠CFA=90°，∴∠A=∠CFA，∴FC=AC=6，∵CM⊥AB，∴；∵，∴，在Rt△CFM中，由勾股定理得：，∴，∴，∴；②當(dāng)∠ECF＝90°時(shí)，點(diǎn)F落在點(diǎn)A，則BD＝AB＝5；綜上，線段BD的長為或5．故答案為：或5．【點(diǎn)睛】本題主要考查翻折變換（折疊問題）、勾股定理、等腰三角形的判定，由翻折的性質(zhì)和直角三角形銳角互余得到FC=AC，是解答本題的關(guān)鍵．注意等積思想的應(yīng)用．8．（2022春·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，高和所在直線相交于點(diǎn)O，若不是直角三角形，且，則．【答案】或【分析】由題意△ABC不為直角三角形，所以需要對(duì)三角形進(jìn)行分情況討論，若為鈍角三角形或銳角三角形時(shí)，根據(jù)題意畫出圖形，利用三角形的角度關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）當(dāng)為銳角三角形時(shí)（如圖①），∵，，∴，∵，∴；（2）當(dāng)為鈍角三角形時(shí)（如圖②），∵，，∴；綜上分析可知，或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角性質(zhì)，本題關(guān)鍵在于能夠?qū)θ切芜M(jìn)行分情況討論．9．（2023春·廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在等邊三角形中，，于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，沿所在直線折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長為．【答案】或【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得，分兩種情況討論，由直角三角形的性質(zhì)可求的長．【詳解】解：∵是等邊三角形，，∴，∵沿所在直線折疊成，∴，若，且∴，且∴，∴，∴，若，∴，且∴∴故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．10．（2022·廣東汕頭·八年級(jí)期末）如圖，是邊長為的正三角形，動(dòng)點(diǎn)從向以勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從向以勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則當(dāng)__________時(shí)，為直角三角形．【答案】3或4.8【分析】分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，根據(jù)列方程求出t的值即可．【詳解】①當(dāng)時(shí)，∵是正三角形∴∴∴在中，，即，解得②當(dāng)時(shí)，∵是正三角形∴∴∴在中，，即，解得即當(dāng)或時(shí)，為直角三角形故答案為：3或4.8．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的動(dòng)點(diǎn)問題，掌握正三角形的性質(zhì)、特殊三角函數(shù)值、解一元一次方程的方法是解題的關(guān)鍵．11.（2022秋·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，長方形中，，，點(diǎn)E為射線上一動(dòng)點(diǎn)(不與D重合)，將沿AE折疊得到，連接，若為直角三角形，則【答案】或/或【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，三點(diǎn)共線，根據(jù)可求得，再由勾股定理可得，進(jìn)而可計(jì)算，在中，由勾股定理計(jì)算的值；②當(dāng)點(diǎn)E在射線CD上時(shí)，設(shè)，則，，由勾股定理可解得，進(jìn)而可計(jì)算，在中，由勾股定理計(jì)算的值即可．【詳解】解：根據(jù)題意，四邊形ABCD為長方形，，，將沿AE折疊得到，則，，，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，∵，∴三點(diǎn)共線，∵，∴，∵，∴；∴在中，；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在射線CD上時(shí)，∵，，，∴，設(shè)，則，∴，∵，即，解得，∴，∴在中，．綜上所述，AE的值為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用分類討論的思想分析問題是解題關(guān)鍵．12．（2023·河南·鄭州市三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，把△ABP沿直線BP折疊，使得點(diǎn)A落在圖中點(diǎn)A′處，當(dāng)△AA′C是直角三角形時(shí)，則線段CP的長是_________．【答案】4或3【分析】分類討論分別當(dāng)∠AA′C=90°時(shí)，當(dāng)∠ACA′=90°時(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)函數(shù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖1，當(dāng)∠AA′C=90°時(shí)，∵以直線BP為軸把△ABP折疊，使得點(diǎn)A落在圖中點(diǎn)A′處，∴AP=A′P，∴∠PAA′=∠AA′P，∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°，∴∠PCA′=∠PA′C，∴PC=PA′，∴PC=AC=4，如圖2，當(dāng)∠ACA′=90°時(shí)，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6．∴AB=10，∵以直線BP為軸把△ABP折疊，使得點(diǎn)A落在圖中點(diǎn)A′處，∴A′B=AB=10，PA=PA′，∴A′C=4，設(shè)PC=x，∴AP=8-x，∵A′C2+PC2=PA′2，∴42+x2=（8-x）2，解得：x=3，∴PC=3，綜上所述：當(dāng)△AA′C是直角三角形時(shí)，則線段CP的長是4或3，故答案為：4或3．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問題）直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．13．（2022·遼寧撫順·三模）如圖，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AOC=60°，則當(dāng)△PAB為直角三角形時(shí)，AP的長為_______．【答案】2或2或2【分析】本題根據(jù)題意分三種情況進(jìn)行分類求解，結(jié)合三角函數(shù)，等邊三角形的性質(zhì)即可解題.【詳解】解：當(dāng)∠APB=90°時(shí)（如圖1），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP為等邊三角形，∵AB=BC=4，∴；當(dāng)∠ABP=90°時(shí)（如圖2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴，在直角三角形ABP中，，如圖3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP為等邊三角形，∴AP=AO=2，故答案為或或2．【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：勾股定理．14．（2023秋·成都市八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)F在直線上，連接．若為直角三角形，求的度數(shù)．

【答案】的度數(shù)為或【分析】在中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，結(jié)合“兩直線平行，同位角相等”可得出分度數(shù)，分及兩種情況考慮，當(dāng)時(shí)，利用三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，將其代入中即可求出的度數(shù)；當(dāng)時(shí)，由即可求出的度數(shù)．【詳解】解：在中，，，．，，

分兩種情況考慮：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，綜上，的度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，分及兩種情況，求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）在中，，，點(diǎn)D是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，連接，交于點(diǎn)F．當(dāng)是直角三角形時(shí)，求度數(shù)．【答案】或【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，再由直角三角形兩銳角的關(guān)系可得，然后分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：，，∵，，∴，當(dāng)時(shí)，則，∴，∴，∴；當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，∴，∴；綜上所述，度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，圖形的折疊，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．16．（2023秋·江西新余·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．連接．(1)當(dāng)為何值時(shí)，？(2)當(dāng)為何值時(shí)，為等邊三角形？(3)當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形？

【答案】(1)(2)(3)或【分析】(1)根據(jù)勾股定理求得，列出方程，求解即可．(2)根據(jù)題意，，列出方程，求解即可．(3)根據(jù)題意，，當(dāng)時(shí)，列出方程；當(dāng)時(shí)，列出方程，分別求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)，，∵，，，∴，根據(jù)題意，得，解得．故當(dāng)時(shí)，．（2）根據(jù)題意，，∵為等邊三角形，∴，解得．故當(dāng)時(shí)，為等邊三角形．（3）根據(jù)題意，，當(dāng)時(shí)，，∴，解得；當(dāng)時(shí)，，∴，解得；故當(dāng)或時(shí)，為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解一元一次方程，分類思想，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，靈活解方程式解題的關(guān)鍵．17．（2023秋·廣東·八年級(jí)課堂例題）某同學(xué)在學(xué)習(xí)過程中得出兩個(gè)結(jié)論，結(jié)論1：在直角三角形中，夾內(nèi)角的兩邊長是2倍的關(guān)系．結(jié)論2：在一個(gè)三角形中，如果夾內(nèi)角的兩邊長是2倍的關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形．(1)上述結(jié)論1_________．（填寫“正確”或“不正確”）(2)上述結(jié)論2正確嗎？如果你認(rèn)為正確，請(qǐng)你給出證明；如果你認(rèn)為不正確，請(qǐng)你給出反例．(3)等邊三角形的邊長為4，點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別沿邊運(yùn)動(dòng)，速度均為1個(gè)單位長度/秒，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是多少秒時(shí)，是直角三角形？請(qǐng)你給出解題過程．【答案】(1)正確(2)正確，理由見解析(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是秒或秒時(shí)，是直角三角形【分析】如圖，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論；正確,如圖,取的中點(diǎn),連接,由線段中點(diǎn)的定義得到等量代換得到,推出,根據(jù)等腰三角形和外角的性質(zhì)得到

,即可得到結(jié)論;分兩種情況考慮:與時(shí)，由三角形為等邊三角形，得到，在直角三角形中，利用中結(jié)論列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值，綜上，得到所有滿足題意的的值.【詳解】（1）上述結(jié)論正確，

如圖,∵，∴，，∴內(nèi)角的兩夾邊長是倍的關(guān)系；故答案為：正確；（2）正確．證明：如圖①，在中，，，取的中點(diǎn)，連接，則．．又，是等邊三角形．．．．．結(jié)論2正確．（3）設(shè)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是秒時(shí)，是直角三角形．由題意可得，則．為等邊三角形，．分兩種情況考慮：（?。┊?dāng)時(shí)，如圖②所示，則．，解得；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，如圖③所示，則．，解得．綜上所述，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是秒或秒時(shí)，是直角三角形．【點(diǎn)睛】此題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，利用了分類討論及方程的思想，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.18．（2022秋·浙江湖州·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）定義：如圖，點(diǎn)把線段分割成，若以為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)是線段的勾股分割點(diǎn)．

(1)已知把線段分割成，若，，，則點(diǎn)是線段的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說明理由．(2)已知點(diǎn)是線段的勾股分割點(diǎn)，且為直角邊，若，，求的長．【答案】(1)是，理由見解析(2)或【分析】（1）是線段的勾股分割點(diǎn)，結(jié)合勾股分割點(diǎn)，由已知條件得到，，，從而根據(jù)，即可得證；（2）點(diǎn)是線段的勾股分割點(diǎn)，且為直角邊，分兩種情況，利用勾股定理列方程求解即可得到答案．【詳解】（1）解：是線段的勾股分割點(diǎn)，理由如下：∵，，，，，，∴，∴以為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，∴根據(jù)勾股分割點(diǎn)定義，是線段的勾股分割點(diǎn)；（2）解：∵點(diǎn)是線段的勾股分割點(diǎn)，且為直角邊，有兩種情況：①為斜邊時(shí)，有，設(shè)，則，∴；②為斜邊時(shí)，有，設(shè)，則，∴；綜上所述，的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查新定義問題，讀懂題意，按照勾股分割點(diǎn)定義，結(jié)合勾股定理求解是解決問題的關(guān)鍵．19．（2022·湖北荊州·八年級(jí)期中）如圖，已知等邊ABC的邊長為8cm，點(diǎn)P以1cm/s的速度從頂點(diǎn)A沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)以2cm/s的速度從頂點(diǎn)B沿BC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接AQ，PQ．（1）當(dāng)時(shí)，試判斷AQ與BC的位置關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PBQ是直角三角形？【答案】（1）當(dāng)t＝2時(shí)，AQ⊥BC，理由見解析；（2）當(dāng)t的值為或4時(shí)，PBQ為直角三角形．【分析】（1）當(dāng)t＝2時(shí)，AP＝t＝2，BQ＝2t＝4，結(jié)合已知條件可得點(diǎn)Q為BC的中點(diǎn)，再根據(jù)等腰三角形的三線合一即可證得AQ⊥BC；（2）由題意知AP＝t，BQ＝2t，則PB＝8﹣t，然后分兩種情況討論即可：當(dāng)∠PQB＝90°時(shí)，當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)．【詳解】解：（1）當(dāng)t＝2時(shí)，AQ⊥BC，理由如下：由題意可得：當(dāng)t＝2時(shí)，AP＝t＝2，BQ＝2t＝4，∵等邊ABC的邊長為8，∴AB＝AC＝BC＝8，∠ABC＝60°，∴CQ＝BC－BQ＝4＝BQ，∴點(diǎn)Q為BC的中點(diǎn)，又∵AB＝AC，∴AQ⊥BC，∴當(dāng)t＝2時(shí)，AQ⊥BC；（2）由題意知AP＝t，BQ＝2t，則PB＝8﹣t，當(dāng)∠PQB＝90°時(shí)，∵∠ABC＝60°，∴∠BPQ＝90°－∠ABC＝30°，∴PB＝2BQ，∴8﹣t＝2×2t，解得：t＝；當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，∵∠ABC＝60°，∴∠BQP＝90°－∠ABC＝30°，∴BQ＝2BP，∴2t＝2（8﹣t），解得：t＝4；∴當(dāng)t的值為或4時(shí)，PBQ為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．20．（2022秋·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，過點(diǎn)B的直線交x軸的正半軸于點(diǎn)C，且面積為10．(1)求直線BC的解析式；(2)如圖1，若點(diǎn)M為線段BC上一點(diǎn)，且滿足，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)F為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)G為y軸上任意一點(diǎn)，連接FG，以FG為腰，G為直角頂點(diǎn)，在FG右側(cè)作等腰直角，當(dāng)頂點(diǎn)Q落在直線BC上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）先求出，，即有，，再根據(jù)，可得，即可得，即有，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為：，由，，即可得，問題隨之得解；（3）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出，設(shè)，第一種情況：當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)Q落在BC上時(shí)，過G作直線平行于x軸，過點(diǎn)F，Q作該直線的垂線，垂足分別為T，N，證明，即有，，結(jié)合，可表示出，代入直線BC的解析式即可求解；第二種情況：當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)Q落在BC上時(shí)，過G作直線平行于x軸，過點(diǎn)F，Q作該直線的垂線，垂足分別為T，N，同理作答即可．【詳解】（1）令，則有：，解得，令，則有：，∴，，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，設(shè)BC的解析式為：，∴，，∴，解得：，∴的解析式為：；（2）根據(jù)題意設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為：，∵，，∴，∴，∵，，，，∴，解得：，，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為：；（3）∵，，點(diǎn)F為線段AB中點(diǎn)，∴，設(shè)，第一種情況：當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)Q落在BC上時(shí)，過G作直線平行于x軸，過點(diǎn)F，Q作該直線的垂線，垂足分別為T，N，即：軸，，，即：，∵等腰直角三角形，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∵軸，∴點(diǎn)T和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)與G點(diǎn)相等，均為n，∵，，∴，，∴，，∴，∴，∵落在直線BC上，BC的解析式為：，∴，解得：，∴，第二種情況：當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)Q落在BC上時(shí)，過G作直線平行于x軸，過點(diǎn)F，Q作該直線的垂線，垂足分別為T，N，即：軸，，，即：，根據(jù)第一種情況中的方法，同理可證：，∴，，∵軸，∴點(diǎn)T和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)與G點(diǎn)相等，均為n，∵，，∴，，∴，，∴，∴，∵落在直線BC上，BC的解析式為：，∴，解得：，∴，綜上：G點(diǎn)坐標(biāo)為：，．【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，三角形的面積，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．21．（2023秋·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知中，如果過頂點(diǎn)的一條直線把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)為直角三角形，則稱這條直線為的關(guān)于點(diǎn)的二分割線．例如：如圖1，中，，，若過頂點(diǎn)的一條直線交于點(diǎn)，若，顯然直線是的關(guān)于點(diǎn)的二分割線．（1）在圖2的中，，．請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出關(guān)于點(diǎn)的二分割線，且角度是；（2）已知，在圖3中畫出不同于圖1，圖2的，所畫同時(shí)滿足:①為最小角；②存在關(guān)于點(diǎn)的二分割線．的度數(shù)是；（3）已知，同時(shí)滿足：①為最小角；②存在關(guān)于