專題04 平行線中的拐點模型之羊角模型（原卷版）

專題04平行線中的拐點模型之羊角模型平行線中的拐點模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點模型（羊角模型）進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型1：羊角模型圖1圖2如圖1，已知：AB∥DE，結(jié)論：.如圖2，已知：AB∥DE，結(jié)論：.【模型證明】在圖1中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB圖1圖2∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠.在圖2中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°.例1．（2023·上海·七年級專題練習(xí)）如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，則∠EAB的度數(shù)為．例2．（2023下·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，．求證：．

例3．（2022下·甘肅白銀·七年級統(tǒng)考期末）如圖，與分別相交于點B、F，連接．給出下列條件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判斷的條件的個數(shù)為（）

A．2 B．3 C．4 D．5例4．（2023下·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，P為下方一點，G，H分別為上的點，，，（，且，均為銳角），與的角平分線交于點F，平分，交直線于點E，下列結(jié)論：①；②；③若，則．其中正確的序號是（

）．

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③例5．（2023下·福建寧德·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，先畫了兩條平行線、，然后在平行線間畫了一點E，連接，后（如圖①），再拖動點E，分別得到如圖②、③、④等圖形．

(1)請你分別寫出圖①至圖④各圖中的、與之間關(guān)系；①______，②______，③______，④______．(2)請寫出圖③證明過程．例6．（2023下·湖南長沙·七年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，E在邊BC上，過點E作，交AC于點F，若D為BC邊上的動點，連接DF、DA，設(shè)，．(1)如圖①，當D在線段BE上時．①若，，則________；②試證明．(2)如圖②，當點D在線段EC上運動時，與、有何數(shù)量關(guān)系？請判斷并說明理由．(3)如圖③，當點D在BC延長線上運動時，與、有何數(shù)量關(guān)系？請判斷并說明理由．

課后專項訓(xùn)練1．（2023·山東東營·九年級校考階段練習(xí)）如圖，，，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．2．（2023下·廣東深圳·七年級校聯(lián)考期末）如圖，，，則（

）

A． B． C． D．3．（2023上·吉林松原·八年級校聯(lián)考期中）某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖所示，道路，道路與的夾角，要求使，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．4．（2023下·湖南永州·七年級校考階段練習(xí)）如圖，直線，相交于點，．若，則等于（

）

A． B． C． D．5．（2023上·河南信陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，，，，點在上，點在上，則的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．6．（2023下·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，，則與一定滿足的關(guān)系是（

）

A． B． C． D．7．（2023下·四川瀘州·七年級校考期末）如圖，在線段的延長線上，，，，連交于，的余角比大，為線段上一點，連，使，在內(nèi)部有射線，平分．則下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（2023下·重慶合川·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線,的直角頂點在直線上，點在直線上，若邊的中點在直線上且，則的度數(shù)為．9．（2023下·福建三明·七年級統(tǒng)考期中）如圖，與交于點，于點．若，則度．

10．（2023下·湖南衡陽·七年級?？计谥校┤鐖D，，，則．

11．（2023上·廣東·八年級專題練習(xí)）如圖，，平分，平分交的延長線于點E，若，則的度數(shù)為．

12．（2023下·浙江杭州·七年級校考期中）如圖，已知，點為上一點，，平分，（1）若，，則；（2）與之間滿足的數(shù)量關(guān)系是．

13．（2023·新疆·七年級期中）如圖．已知，且，求的度數(shù)．14．（2023上·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，的頂點分別落在直線上，交于點平分，如果，求的度數(shù)．解：因為（

），又因為（

），所以________．因為平分（已知），所以________（

）因為（已知），所以________（

）．所以（

）．所以．因為________（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），又因為（已知），所以________．15．（2023下·遼寧鞍山·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，點、分別是、上的點，點在、之間，連接、．(1)如圖，若，求的度數(shù)；(2)如圖，若點是下方一點，平分，平分，已知，求的度數(shù)；(3)如圖，若點是上方一點，連接、，且的延長線平分，平分，，求的度數(shù)．16．（2023下·福建龍巖·七年級統(tǒng)考期中）已知，點M、N分別是、上的點，點在、之間，連接、．（作輔助線提示：過點G、P作平線）(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，若點P是下方一點，平分，平分，已知，求的度數(shù)．

17．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·七年級統(tǒng)考期中）綜合與實踐（1）【圖形探究】如圖1，，點、分別在直線、上，連接、，當點在直線的左側(cè)時，、、之間的數(shù)量關(guān)系為________；（提示：可以過點作的平行線）（2）【問題遷移】如圖2，，點在的上方時，、、之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（3）【聯(lián)想拓展】如圖3所示，在（2）的條件下，已知，的平分線和的平分線交于點，則________（用含有的式子表示）.

18．（2023下·河南焦作·七年級統(tǒng)考期中）如圖1，已知，C為射線上一點(不與點A重合)，連接【發(fā)現(xiàn)】如圖2過點C作（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求的度數(shù)；【探究】直接寫出圖1中和之間的數(shù)量關(guān)系：；【拓展】利用【探究】中的結(jié)論完成下列問題．如圖3，為射線上一點(不與點A重合)，在射線上取一點O，過點O作直線，使，平分交于點E，平分交于點F，交于點G，當點C沿著射線方向運動時，的度數(shù)是否會變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出這個不變的值．

19．（2023下·貴州銅仁·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀下面的材料，并完成后面提出的問題．(1)已知，如圖1，，請你探究一下與、度數(shù)之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．(2)在圖1中，當點向左移動到圖2所示的位置時，與、的度數(shù)之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？請說明理由．(3)在圖1中，當點向上移動到圖3所示的位置時，請直接寫出與、度數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系．20．（2023下·江西吉安·七年級統(tǒng)考期中）求解下列各題(1)如圖（1），，點在外部，若，則____(2)如圖（2），，點在內(nèi)部，則之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；(3)