專題14 解直角三角形之新定義模型（原卷版）

專題14解直角三角形之新定義模型解直角三角形的新定義模型，是體現(xiàn)選拔功能的試題中對(duì)初高中知識(shí)銜接的考查。高中數(shù)學(xué)為這類試題的命制提供了廣闊的空間背景，命題者將高中數(shù)學(xué)的一些概念、定理、法則、公式等初中化（用初中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容包裝、初中試題命制技術(shù)設(shè)置）處理，命制出具有高中數(shù)學(xué)背景味道的試題。這類試題往往對(duì)學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力要求較高，能有效檢驗(yàn)學(xué)生是否具備進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的潛能，所以平時(shí)教學(xué)挖掘這方面解題技能及功效尤為重要。恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建模型可以拓寬解題思路，優(yōu)化解題過程，豐富解題內(nèi)涵?！局R(shí)儲(chǔ)備】模型1、新定義模型此類模型主要包含高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)和解三角形的相關(guān)定理（公式），而這些定理（公式）也可利用初中數(shù)學(xué)知識(shí)證明。若無特殊說明，一般認(rèn)為△ABC的3個(gè)角∠A、∠B、∠C，分別對(duì)應(yīng)邊a、b、c；1）正弦定理：如圖1，（其中R是三角形外接圓的半徑）。圖1圖22）余弦定理：如圖2，．3）正弦面積公式：如圖2，.4）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:，。5）和（差）、二倍角角公式：;.;..例1．（2022·湖南·中考真題）閱讀下列材料：在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則：在中，CD=asinB；在中，根據(jù)上面的材料解決下列問題：(1)如圖2，在中，、、所對(duì)的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號(hào)．參考數(shù)據(jù)：，例2．（2023春·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀與思考．請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．利用我們所學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以解決許多關(guān)于三角形邊長(zhǎng)、角度、面積等問題．如圖，在銳角中，，，的對(duì)邊分別是，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，即，于是．在中，，在中，，，整理得．任務(wù)：(1)__________，__________；(2)已知中，，，所對(duì)邊分別是，，，，，，求．例3．（2023秋·重慶九龍坡·九年級(jí)統(tǒng)考期末）問題：閱讀下面材料，解決后面的問題：我們知道，三角形的面積等于二分之一底乘高，在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)后，還可以這樣求三角形的面積：對(duì)，a，b，c分別為，，的對(duì)邊，則其面積(1)在中，，，，求b邊對(duì)應(yīng)的高的長(zhǎng)度．(2)如圖，在中，已知，，D為上一點(diǎn)，證明：.(3)正數(shù)a，b，c，d，e，f滿足，證明：．例4．（2023春·四川瀘州·八年級(jí)?？计谥校┢矫鎺缀螆D形的許多問題，如：長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積、角度等問題，最后都轉(zhuǎn)化到三角形中解決．古人對(duì)任意形狀的三角形，探究出若已知三邊，便可以求出其面積．具體如下：設(shè)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，，則有下列面積公式：（海倫公式）；（秦九韶公式）．(1)一個(gè)三角形邊長(zhǎng)依次是5、6、7，利用兩個(gè)公式，可以求出這個(gè)三角形的面積；(2)學(xué)完勾股定理以后，已知任意形狀的三角形的三邊長(zhǎng)也可以求出其面積．如圖，在中，，，，求的面積和邊上得高的長(zhǎng)．

例5．（2023·北京市·九年級(jí)校考期末）關(guān)于三角函數(shù)有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用這些公式可以將一些角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式計(jì)算下列三角函數(shù)①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例6．（2022春·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）1.某數(shù)學(xué)興趣小組在探究如何求tan15°的值，經(jīng)過思考、討論、交流，得到以下思路：思路一

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D，使BD=BA，連接AD．設(shè)AC=1，則BD=BA=2，BC=，tanD=tan15°==．思路二

利用科普書上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假設(shè)α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）==．請(qǐng)解決下列問題（上述思路僅供參考）．(1)類比：求出tan75°的值；(2)應(yīng)用：如圖2，某電視塔建在一座小山上，山高BC為30米，在地平面上有一點(diǎn)A，測(cè)得A，C兩點(diǎn)間距離為60米，從A測(cè)得電視塔的視角（∠CAD）為45°，求這座電視塔CD的高度．例7．（2023·四川宜賓·四川省宜賓市第二中學(xué)校?？既＃┩ㄟ^學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（）．如果中，，那么頂角A的正對(duì)記作，這時(shí)=．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對(duì)定義，填空：如果的正弦函數(shù)值為，那么的值為．例8．（2023秋·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）在學(xué)習(xí)完銳角三角函數(shù)后，老師提出一個(gè)這樣的問題：如圖1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聰明的小雯同學(xué)是這樣考慮的：如圖2，取的中點(diǎn)O，連接，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，則，然后利用銳角三角函數(shù)在中表示出，，在中表示出，則可以求出．

閱讀以上內(nèi)容，回答下列問題：在中，，．(1)如圖3，，，若，則______，______；(2)請(qǐng)你參考閱讀材料中的推導(dǎo)思路，求出的表達(dá)式（用含，的式子表示）．例9．（2022·重慶·校考一模）材料一：證明：．證明：如圖，作∠BAC=∠a，在射線AC上任意取一點(diǎn)D(異于點(diǎn)A)，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．∵DE⊥AB于點(diǎn)E，∵在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2∵∠BAC=∠a∴．材料二：學(xué)習(xí)了三角函數(shù)之后，我們知道，在直角三角形中，知道了一個(gè)直角三角形的兩條邊的長(zhǎng)或知道直角三角形的一條邊的長(zhǎng)及其一個(gè)銳角的度數(shù)，我們可以求出這個(gè)直角三角形其它邊的長(zhǎng)度和其它角的度數(shù)；由“SAS”定理可知，如果一個(gè)三角形的兩條邊的長(zhǎng)度及其這兩條邊的夾角的度數(shù)知道了，那么這個(gè)三角形的第三條邊一定可以求出來.應(yīng)用以上材料，完成下列問題：(1)如圖，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的長(zhǎng)．(2)在（1）題圖中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和cosa表示AB的長(zhǎng)度嗎？如果可以，寫出推導(dǎo)過程；如果不可以，說明理由．例10．（2023春·湖北·九年級(jí)專題練習(xí)）在初中，我們學(xué)習(xí)過銳角的正弦、余弦、正切和余切四種三角函數(shù)，即在圖1所示的直角三角形，是銳角，那么的對(duì)邊÷斜邊，的鄰邊÷斜邊，的對(duì)邊÷的鄰邊．為了研究需要，我們?cè)購(gòu)牧硪粋€(gè)角度來規(guī)定一個(gè)角的三角函數(shù)的意義：設(shè)有一個(gè)角α，我們以它的頂點(diǎn)作為原點(diǎn)，以它的始邊作為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系（圖2），在角α的終邊上任取一點(diǎn)P，它的橫坐標(biāo)是x，縱坐標(biāo)是y，點(diǎn)P和原點(diǎn)的距離為（r總是正的），然后把角α的三角函數(shù)規(guī)定為：，，．我們知道，圖1的四個(gè)比值的大小與角A的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無關(guān)，同樣圖2中四個(gè)比值的大小也僅與角α的大小有關(guān)，而與點(diǎn)P在角α的終邊位置無關(guān)．比較圖1與圖2，可以看出一個(gè)角的三角函數(shù)的意義的兩種規(guī)定實(shí)際上是一樣的，根據(jù)第二種定義回答下列問題：(1)若，則角α的三角函數(shù)值、、，其中取正值的是；(2)若角α的終邊與直線重合，則的值；(3)若角α是鈍角，其終邊上一點(diǎn)，且，求的值；(4)若，則的取值范圍是．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·浙江九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀材料：一般地，當(dāng)為任意角時(shí)，與的值可以用下面的公式求得：：根據(jù)以上材料，解決下列問題：如圖，在中，AB是直徑，，點(diǎn)C、D在圓上，點(diǎn)C在半圓弧的中點(diǎn)處，AD是半圓弧的，則CD的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．12．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考一模）由三角函數(shù)定義，對(duì)于任意銳角A，有sinA=cos(90°-A)及sin2A+cos2A=1成立.如圖，在△ABC中，∠A，∠B是銳角，BC=a，AC=b,AB=c,CD⊥AB于D，DE//AC交BC于E，設(shè)CD=h，BE=a’，DE=b’，BD=c’，則下列條件中能判斷△ABC是直角三角形的個(gè)數(shù)是（

）(1)a2+b2=c2

(2)aa’+bb’=cc’

(3)sin2A+sin2B=1

(4)+=A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2022·黑龍江綏化·中考真題）定義一種運(yùn)算；，．例如：當(dāng)，時(shí)，，則的值為_______．4．（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）定義：在中，，把∠Ａ的鄰邊與對(duì)邊的比叫做的余切，記作．等腰三角形中有兩條邊為4和6，則底角的余切值為．5．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）定義：在中，，我們把的對(duì)邊與的對(duì)邊的比叫做的鄰弦，記作，即：．如圖，若，則的值為．6．（2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：①cos(α+β)＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；②sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ；③；利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如．根據(jù)上面的知識(shí)，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實(shí)際問題：(1)求，cos75°的值；(2)如圖，直升機(jī)在一建筑物CD上方的點(diǎn)Α處測(cè)得建筑物頂端點(diǎn)D的俯角α為60°，底端點(diǎn)C的俯角為75°，此時(shí)直升機(jī)與建筑物CD的水平距離BC為30m求建筑物CD的高．7．（2023·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在銳角中，，，（1）請(qǐng)用，，表示（余弦定理）；______________；（2）證明你的結(jié)論．（3）如圖，已知的外心為，內(nèi)心為，重心為，若IG∥BC，證明．8．（2022·福建福州·?？寄M預(yù)測(cè)）小明在學(xué)習(xí)直角三角形的三角函數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，所對(duì)的邊分別是a、b、c，∵，（）∴．小明猜想：在銳角三角形中也有相同的結(jié)論．(1)如圖2，在銳角三角形中，所對(duì)的邊分別是a、b、c，請(qǐng)你運(yùn)用直角三角形的三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)驗(yàn)證；(2)請(qǐng)你運(yùn)用（1）中的結(jié)論完成下題：如圖3，在南海某海域一貨輪在B處測(cè)得燈塔A在貨輪的北偏西的方向上，隨后貨輪以80海里/小時(shí)的速度按北偏東的方向航行，兩小時(shí)后到達(dá)C處，此時(shí)又測(cè)得燈塔A在貨輪的北偏西的方向上，求此時(shí)貨輪與燈塔A的距離．

9．（2023春·安徽六安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）古希臘數(shù)學(xué)家海倫在他的著作《度量論》中，給出了計(jì)算三角形面積的公式：，（其中，，，分別為三角形的三邊長(zhǎng)，為三角形的面積）．我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》中，也曾提出由三角形三邊求三角形面積的方法，它們實(shí)質(zhì)上是相同的．請(qǐng)根據(jù)上面的公式解決問題：已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，若，，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，請(qǐng)利用上面的公式求該三角形的面積．10．（2023·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）請(qǐng)先閱讀這段內(nèi)容.再解答問題三角函數(shù)中常用公式.求的值，即.試用公式，求出的值.11．（2023·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算(1)；(2)；(3)已知三角函數(shù)有如下的公式：，利用該公式求的值．12．（2023·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料：關(guān)于三角函數(shù)還有如下的公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ；tan（α±β）=利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值．例：tan75°=tan（45°+30°）===根據(jù)以上閱讀材料，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)墓浇獯鹣旅鎲栴}：（1）計(jì)算：sin15°；（2）某校在開展愛國(guó)主義教育活動(dòng)中，來到烈士紀(jì)念碑前緬懷和紀(jì)念為國(guó)捐軀的紅軍戰(zhàn)士．李三同學(xué)想用所學(xué)知識(shí)來測(cè)量如圖紀(jì)念碑的高度．已知李三站在離紀(jì)念碑底7米的C處，在D點(diǎn)測(cè)得紀(jì)念碑碑頂?shù)难鼋菫?5°，DC為米，請(qǐng)你幫助李三求出紀(jì)念碑的高度．13．（2023春·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）通過學(xué)習(xí)《解直角三角形》這一章，王凱同學(xué)勤學(xué)好問，在課外學(xué)習(xí)活動(dòng)中，探究發(fā)現(xiàn)，三角形的面積、邊、角之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，下面是他的學(xué)習(xí)筆記．請(qǐng)仔細(xì)閱讀下列材料并完成相應(yīng)的任務(wù)．在中，，，的對(duì)邊分別為a、b、c，的面積為，過點(diǎn)A作，垂足為D，則在中，∵∴∴同理可得，，即……………①由以上推理得結(jié)論：三角形的面積等于兩邊及其夾角正弦積的一半．又∵∴將等式兩邊同除以，得，∴…②由以上推理得結(jié)論：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等．理解應(yīng)用：如圖，甲船以海里/時(shí)的速度向正北方向航行，當(dāng)甲船位于A處時(shí)，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B處，且乙船從B處沿北偏東15°