專題14 解直角三角形之新定義模型（原卷版）

專題14解直角三角形之新定義模型解直角三角形的新定義模型，是體現(xiàn)選拔功能的試題中對初高中知識銜接的考查。高中數(shù)學(xué)為這類試題的命制提供了廣闊的空間背景，命題者將高中數(shù)學(xué)的一些概念、定理、法則、公式等初中化（用初中數(shù)學(xué)知識內(nèi)容包裝、初中試題命制技術(shù)設(shè)置）處理，命制出具有高中數(shù)學(xué)背景味道的試題。這類試題往往對學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力要求較高，能有效檢驗學(xué)生是否具備進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的潛能，所以平時教學(xué)挖掘這方面解題技能及功效尤為重要。恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建模型可以拓寬解題思路，優(yōu)化解題過程，豐富解題內(nèi)涵。【知識儲備】模型1、新定義模型此類模型主要包含高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)和解三角形的相關(guān)定理（公式），而這些定理（公式）也可利用初中數(shù)學(xué)知識證明。若無特殊說明，一般認(rèn)為△ABC的3個角∠A、∠B、∠C，分別對應(yīng)邊a、b、c；1）正弦定理：如圖1，（其中R是三角形外接圓的半徑）。圖1圖22）余弦定理：如圖2，．3）正弦面積公式：如圖2，.4）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:，。5）和（差）、二倍角角公式：;.;..例1．（2022·湖南·中考真題）閱讀下列材料：在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過點作于點，則：在中，CD=asinB；在中，根據(jù)上面的材料解決下列問題：(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號．參考數(shù)據(jù)：，例2．（2023春·山西·九年級專題練習(xí)）閱讀與思考．請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．利用我們所學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的相關(guān)知識可以解決許多關(guān)于三角形邊長、角度、面積等問題．如圖，在銳角中，，，的對邊分別是，，過點作于點，則，即，于是．在中，，在中，，，整理得．任務(wù)：(1)__________，__________；(2)已知中，，，所對邊分別是，，，，，，求．例3．（2023秋·重慶九龍坡·九年級統(tǒng)考期末）問題：閱讀下面材料，解決后面的問題：我們知道，三角形的面積等于二分之一底乘高，在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)后，還可以這樣求三角形的面積：對，a，b，c分別為，，的對邊，則其面積(1)在中，，，，求b邊對應(yīng)的高的長度．(2)如圖，在中，已知，，D為上一點，證明：.(3)正數(shù)a，b，c，d，e，f滿足，證明：．例4．（2023春·四川瀘州·八年級校考期中）平面幾何圖形的許多問題，如：長度、周長、面積、角度等問題，最后都轉(zhuǎn)化到三角形中解決．古人對任意形狀的三角形，探究出若已知三邊，便可以求出其面積．具體如下：設(shè)一個三角形的三邊長分別為a、b、c，，則有下列面積公式：（海倫公式）；（秦九韶公式）．(1)一個三角形邊長依次是5、6、7，利用兩個公式，可以求出這個三角形的面積；(2)學(xué)完勾股定理以后，已知任意形狀的三角形的三邊長也可以求出其面積．如圖，在中，，，，求的面積和邊上得高的長．

例5．（2023·北京市·九年級?？计谀╆P(guān)于三角函數(shù)有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用這些公式可以將一些角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式計算下列三角函數(shù)①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例6．（2022春·浙江·九年級專題練習(xí)）1.某數(shù)學(xué)興趣小組在探究如何求tan15°的值，經(jīng)過思考、討論、交流，得到以下思路：思路一

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長CB至點D，使BD=BA，連接AD．設(shè)AC=1，則BD=BA=2，BC=，tanD=tan15°==．思路二

利用科普書上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假設(shè)α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）==．請解決下列問題（上述思路僅供參考）．(1)類比：求出tan75°的值；(2)應(yīng)用：如圖2，某電視塔建在一座小山上，山高BC為30米，在地平面上有一點A，測得A，C兩點間距離為60米，從A測得電視塔的視角（∠CAD）為45°，求這座電視塔CD的高度．例7．（2023·四川宜賓·四川省宜賓市第二中學(xué)校?？既＃┩ㄟ^學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（）．如果中，，那么頂角A的正對記作，這時=．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對定義，填空：如果的正弦函數(shù)值為，那么的值為．例8．（2023秋·山東·九年級專題練習(xí)）在學(xué)習(xí)完銳角三角函數(shù)后，老師提出一個這樣的問題：如圖1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聰明的小雯同學(xué)是這樣考慮的：如圖2，取的中點O，連接，過點C作于點D，則，然后利用銳角三角函數(shù)在中表示出，，在中表示出，則可以求出．

閱讀以上內(nèi)容，回答下列問題：在中，，．(1)如圖3，，，若，則______，______；(2)請你參考閱讀材料中的推導(dǎo)思路，求出的表達(dá)式（用含，的式子表示）．例9．（2022·重慶·?？家荒＃┎牧弦唬鹤C明：．證明：如圖，作∠BAC=∠a，在射線AC上任意取一點D(異于點A)，過點D作DE⊥AB，垂足為E．∵DE⊥AB于點E，∵在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2∵∠BAC=∠a∴．材料二：學(xué)習(xí)了三角函數(shù)之后，我們知道，在直角三角形中，知道了一個直角三角形的兩條邊的長或知道直角三角形的一條邊的長及其一個銳角的度數(shù)，我們可以求出這個直角三角形其它邊的長度和其它角的度數(shù)；由“SAS”定理可知，如果一個三角形的兩條邊的長度及其這兩條邊的夾角的度數(shù)知道了，那么這個三角形的第三條邊一定可以求出來.應(yīng)用以上材料，完成下列問題：(1)如圖，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的長．(2)在（1）題圖中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和cosa表示AB的長度嗎？如果可以，寫出推導(dǎo)過程；如果不可以，說明理由．例10．（2023春·湖北·九年級專題練習(xí)）在初中，我們學(xué)習(xí)過銳角的正弦、余弦、正切和余切四種三角函數(shù)，即在圖1所示的直角三角形，是銳角，那么的對邊÷斜邊，的鄰邊÷斜邊，的對邊÷的鄰邊．為了研究需要，我們再從另一個角度來規(guī)定一個角的三角函數(shù)的意義：設(shè)有一個角α，我們以它的頂點作為原點，以它的始邊作為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系（圖2），在角α的終邊上任取一點P，它的橫坐標(biāo)是x，縱坐標(biāo)是y，點P和原點的距離為（r總是正的），然后把角α的三角函數(shù)規(guī)定為：，，．我們知道，圖1的四個比值的大小與角A的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無關(guān)，同樣圖2中四個比值的大小也僅與角α的大小有關(guān)，而與點P在角α的終邊位置無關(guān)．比較圖1與圖2，可以看出一個角的三角函數(shù)的意義的兩種規(guī)定實際上是一樣的，根據(jù)第二種定義回答下列問題：(1)若，則角α的三角函數(shù)值、、，其中取正值的是；(2)若角α的終邊與直線重合，則的值；(3)若角α是鈍角，其終邊上一點，且，求的值；(4)若，則的取值范圍是．課后專項訓(xùn)練1．（2023春·浙江九年級課時練習(xí)）閱讀材料：一般地，當(dāng)為任意角時，與的值可以用下面的公式求得：：根據(jù)以上材料，解決下列問題：如圖，在中，AB是直徑，，點C、D在圓上，點C在半圓弧的中點處，AD是半圓弧的，則CD的長為（

）A． B． C． D．12．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考一模）由三角函數(shù)定義，對于任意銳角A，有sinA=cos(90°-A)及sin2A+cos2A=1成立.如圖，在△ABC中，∠A，∠B是銳角，BC=a，AC=b,AB=c,CD⊥AB于D，DE//AC交BC于E，設(shè)CD=h，BE=a’，DE=b’，BD=c’，則下列條件中能判斷△ABC是直角三角形的個數(shù)是（

）(1)a2+b2=c2

(2)aa’+bb’=cc’

(3)sin2A+sin2B=1

(4)+=A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022·黑龍江綏化·中考真題）定義一種運算；，．例如：當(dāng)，時，，則的值為_______．4．（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）定義：在中，，把∠Ａ的鄰邊與對邊的比叫做的余切，記作．等腰三角形中有兩條邊為4和6，則底角的余切值為．5．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）定義：在中，，我們把的對邊與的對邊的比叫做的鄰弦，記作，即：．如圖，若，則的值為．6．（2023·廣東·模擬預(yù)測）關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：①cos(α+β)＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；②sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ；③；利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如．根據(jù)上面的知識，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實際問題：(1)求，cos75°的值；(2)如圖，直升機在一建筑物CD上方的點Α處測得建筑物頂端點D的俯角α為60°，底端點C的俯角為75°，此時直升機與建筑物CD的水平距離BC為30m求建筑物CD的高．7．（2023·江西景德鎮(zhèn)·九年級校考期中）如圖，在銳角中，，，（1）請用，，表示（余弦定理）；______________；（2）證明你的結(jié)論．（3）如圖，已知的外心為，內(nèi)心為，重心為，若IG∥BC，證明．8．（2022·福建福州·?？寄M預(yù)測）小明在學(xué)習(xí)直角三角形的三角函數(shù)時發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，所對的邊分別是a、b、c，∵，（）∴．小明猜想：在銳角三角形中也有相同的結(jié)論．(1)如圖2，在銳角三角形中，所對的邊分別是a、b、c，請你運用直角三角形的三角函數(shù)的有關(guān)知識驗證；(2)請你運用（1）中的結(jié)論完成下題：如圖3，在南海某海域一貨輪在B處測得燈塔A在貨輪的北偏西的方向上，隨后貨輪以80海里/小時的速度按北偏東的方向航行，兩小時后到達(dá)C處，此時又測得燈塔A在貨輪的北偏西的方向上，求此時貨輪與燈塔A的距離．

9．（2023春·安徽六安·八年級統(tǒng)考期中）古希臘數(shù)學(xué)家海倫在他的著作《度量論》中，給出了計算三角形面積的公式：，（其中，，，分別為三角形的三邊長，為三角形的面積）．我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》中，也曾提出由三角形三邊求三角形面積的方法，它們實質(zhì)上是相同的．請根據(jù)上面的公式解決問題：已知三角形的三邊長分別為，，，若，，是方程的兩個實數(shù)根，請利用上面的公式求該三角形的面積．10．（2023·福建泉州·九年級統(tǒng)考期中）請先閱讀這段內(nèi)容.再解答問題三角函數(shù)中常用公式.求的值，即.試用公式，求出的值.11．（2023·山東淄博·九年級統(tǒng)考期中）計算(1)；(2)；(3)已知三角函數(shù)有如下的公式：，利用該公式求的值．12．（2023·山西·九年級專題練習(xí)）閱讀材料：關(guān)于三角函數(shù)還有如下的公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ；tan（α±β）=利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值．例：tan75°=tan（45°+30°）===根據(jù)以上閱讀材料，請選擇適當(dāng)?shù)墓浇獯鹣旅鎲栴}：（1）計算：sin15°；（2）某校在開展愛國主義教育活動中，來到烈士紀(jì)念碑前緬懷和紀(jì)念為國捐軀的紅軍戰(zhàn)士．李三同學(xué)想用所學(xué)知識來測量如圖紀(jì)念碑的高度．已知李三站在離紀(jì)念碑底7米的C處，在D點測得紀(jì)念碑碑頂?shù)难鼋菫?5°，DC為米，請你幫助李三求出紀(jì)念碑的高度．13．（2023春·山西·九年級專題練習(xí)）通過學(xué)習(xí)《解直角三角形》這一章，王凱同學(xué)勤學(xué)好問，在課外學(xué)習(xí)活動中，探究發(fā)現(xiàn)，三角形的面積、邊、角之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，下面是他的學(xué)習(xí)筆記．請仔細(xì)閱讀下列材料并完成相應(yīng)的任務(wù)．在中，，，的對邊分別為a、b、c，的面積為，過點A作，垂足為D，則在中，∵∴∴同理可得，，即……………①由以上推理得結(jié)論：三角形的面積等于兩邊及其夾角正弦積的一半．又∵∴將等式兩邊同除以，得，∴…②由以上推理得結(jié)論：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等．理解應(yīng)用：如圖，甲船以海里/時的速度向正北方向航行，當(dāng)甲船位于A處時，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B處，且乙船從B處沿北偏東15°