壓軸題01反比例函數(shù)的綜合(原卷版+解析)

反比例函數(shù)的綜合題型解讀：反比例函數(shù)的綜合問題在中考中常常以解答題和填空題的形式出現(xiàn)，解答題考查居多.此類題型多是反比例函數(shù)與一次函數(shù)及幾何圖形的綜合考查，一般要用到解不等式、圖形面積、特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形等相關(guān)知識，以及數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及以下問題：①求反比例函數(shù)的解析式；②求交點坐標(biāo)、圖形面積；③利用函數(shù)圖象比較一次函數(shù)與反比例函數(shù)值的大小；④反比例函數(shù)與幾何圖形綜合.下圖為反比例函數(shù)綜合問題中各題型的考查熱度.題型1：反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題解題模板：技巧精講：利用函數(shù)圖象確定不等式的解集：1.（2022秋?西安期末）如圖，已知反比例函數(shù)y＝﹣與直線y＝﹣2x+2交于A（﹣1，4），B兩點．（1）求點B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式﹣2x+2＜﹣的解集．【變式1-1】（2022?貴陽）一次函數(shù)y＝﹣x﹣3的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A（﹣4，m），B（n，﹣4）兩點．（1）求這個反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值的x的取值范圍．【變式1-2】（2022秋?綏寧縣期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b和反比例函數(shù)y＝﹣，的圖象都經(jīng)過點A（3，m）、B（n，﹣3）．（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）不等式kx+b≥﹣的解集是？題型2：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像面積問題解題模板：2.（2022?重慶）已知一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于點A（1，m），B（n，﹣2）．（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式，并在圖中畫出這個一次函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出不等式kx+b＞的解集；（3）若點C是點B關(guān)于y軸的對稱點，連接AC，BC，求△ABC的面積．【變式2-1】（2022?菏澤）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象都經(jīng)過A（2，﹣4）、B（﹣4，m）兩點．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）過O、A兩點的直線與反比例函數(shù)圖象交于另一點C，連接BC，求△ABC的面積．【變式2-2】（2022?鄂爾多斯）如圖，已知一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）兩點，且與x軸和y軸分別交于點C、點D．（1）根據(jù)圖象直接寫出不等式＜ax+b的解集；（2）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（3）點P在y軸上，且S△AOP＝S△AOB，請求出點P的坐標(biāo)．題型3：反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合解題模板：3.（遂寧）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)y＝（m≠0）的圖象交于第二、四象限A、B兩點，過點A作AD⊥x軸于D，AD＝4，sin∠AOD＝，且點B的坐標(biāo)為（n，﹣2）．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）E是y軸上一點，且△AOE是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的E點坐標(biāo)．【變式3-1】（成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝x+b的圖象經(jīng)過點A（﹣2，0），與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于B（a，4）．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）設(shè)M是直線AB上一點，過M作MN∥x軸，交反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點N，若A，O，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形，求點M的坐標(biāo)．【變式3-2】（菏澤）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在坐標(biāo)軸上，且OA＝2，OC＝4，連接OB．反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過線段OB的中點D，并與AB、BC分別交于點E、F．一次函數(shù)y＝k2x+b的圖象經(jīng)過E、F兩點．（1）分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）點P是x軸上一動點，當(dāng)PE+PF的值最小時，點P的坐標(biāo)為（，0）．一、解答題1．已知函數(shù)y=y1+y2，y1與x成正比例，y2與x成反比例，且當(dāng)x=1時，y=12．（2021九上·吉林期末）已知近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例關(guān)系，且400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25米．小慧原來戴400度的近視眼鏡，經(jīng)過一段時間的矯正治療后，現(xiàn)在只需戴鏡片焦距為0.4米的眼鏡了，求小慧所戴眼鏡的度數(shù)降低了多少度．3．（2022·欽州模擬）如圖，點C在反比例函數(shù)y=1x的圖象上，CA∥y軸，交反比例函數(shù)y=34．（2022九上·蓮湖期末）已知反比例函數(shù)y=2k?3x的圖象位于第二、四象限，正比例函數(shù)（2021九上·秦都期末）已知反比例函數(shù)y=3?2mx，當(dāng)二、綜合題6．（2022·內(nèi)江模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)y=m（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求△AOB的面積；（3）P是y軸上一點，且△AOP是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的P點坐標(biāo).7．（2022·信陽模擬）如圖，直線y=-2x+b與x軸、y軸分別相交于點A，B，以線段AB為邊在第一象限作正方形ABCD，已知AB=25（1）求直線AB的解析式；（2）求點D的坐標(biāo)，并判斷點D是否在雙曲線y=12x8．（2022·廣東模擬）如圖，直線AB與反比例函數(shù)y=kx（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）直線AB交x軸于點C，連接OA，當(dāng)△AOC的面積為6時，求直線AB的解析式，9．（2022·牡丹江模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在x軸的正半軸上，點B在x軸的負(fù)半軸上，點C在y軸的正半軸上，直線BC的解析式為y=kx+6，線段OB，OA的長是一元二次方程x2（1）求點A、點B的坐標(biāo)；（2）若直線l過點A交線段BC于點D，且S△ABD（3）平面內(nèi)滿足以A、C、P為頂點的三角形與△ABC相似的點P有個．并直接寫出滿足條件的第一象限內(nèi)兩個點P的坐標(biāo)．

10．（2022八下·洛江期末）已知：如圖1，點A(4，（1）求n的值和直線OA的解析式；（2）如圖2，將反比例函數(shù)y=8x(x>0)的圖象繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°后，與y（3）如圖3，將直線OA繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°，與反比例函數(shù)y=8x(x>0)反比例函數(shù)的綜合題型解讀：反比例函數(shù)的綜合問題在中考中常常以解答題和填空題的形式出現(xiàn)，解答題考查居多.此類題型多是反比例函數(shù)與一次函數(shù)及幾何圖形的綜合考查，一般要用到解不等式、圖形面積、特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形等相關(guān)知識，以及數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及以下問題：①求反比例函數(shù)的解析式；②求交點坐標(biāo)、圖形面積；③利用函數(shù)圖象比較一次函數(shù)與反比例函數(shù)值的大小；④反比例函數(shù)與幾何圖形綜合.下圖為反比例函數(shù)綜合問題中各題型的考查熱度.題型1：反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題解題模板：技巧精講：利用函數(shù)圖象確定不等式的解集：1.（2022秋?西安期末）如圖，已知反比例函數(shù)y＝﹣與直線y＝﹣2x+2交于A（﹣1，4），B兩點．（1）求點B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式﹣2x+2＜﹣的解集．【分析】（1）聯(lián)立兩函數(shù)解析式，求解即可；（2）結(jié)合函數(shù)圖象，要求不等式﹣2x+2＜﹣即反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象的上方，以此可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由題意得：，解得：，，∴B（2，﹣2）；（2）結(jié)合圖象可知，當(dāng)﹣1＜x＜0或x＞2時，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象的上方，∴不等式﹣2x+2＜﹣的解集為﹣1＜x＜0或x＞2．【點評】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，并利用數(shù)形結(jié)合思想解不等式組是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2022?貴陽）一次函數(shù)y＝﹣x﹣3的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A（﹣4，m），B（n，﹣4）兩點．（1）求這個反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值的x的取值范圍．【分析】（1）把點A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，求出m的值，再把點A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式求出k的值；（2）反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方時x的取值范圍就是一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值x的取值范圍．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝﹣x﹣3過點A（﹣4，m），∴m＝﹣（﹣4）﹣3＝1．∴點A的坐標(biāo)為（﹣4，1）．∵反比例函數(shù)y＝的圖象過點A，∴k＝xy＝﹣4×1＝﹣4．∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣．（2）∵反比例函數(shù)y＝﹣過點B（n，﹣4）．∴﹣4＝﹣，解得n＝1．∵一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值，∴一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的下方．∴在y軸左側(cè)，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值x的取值范圍為：﹣4＜x＜0；在第四象限內(nèi)，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值x的取值范圍為：x＞1．∴一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值的x取值范圍為：﹣4＜x＜0或x＞1．【點評】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的綜合問題，根據(jù)兩個函數(shù)圖象確定其對應(yīng)不等式的解時，首先應(yīng)確定函數(shù)圖像的交點坐標(biāo)，其次要注意函數(shù)圖象的位置．【變式1-2】（2022秋?綏寧縣期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝kx+b和反比例函數(shù)y＝﹣，的圖象都經(jīng)過點A（3，m）、B（n，﹣3）．（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）不等式kx+b≥﹣的解集是？【分析】（1）將A（3，m），B（n，﹣3）代入y＝﹣，求出m，n的值，即可得A，B的坐標(biāo)，再將兩點坐標(biāo)代入y＝kx+b，求出k，b的值，即可得一次函數(shù)的表達(dá)式．（2）畫出一次函數(shù)y＝x﹣5的大致圖象，由圖可得答案．【解答】解：（1）將A（3，m），B（n，﹣3）代入y＝﹣，得m＝﹣2，n＝2，∴A（3，﹣2），B（2，﹣3），將A（3，﹣2），B（2，﹣3）代入y＝kx+b，得，解得，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x﹣5．（2）一次函數(shù)y＝x﹣5的圖象大致如下：根據(jù)圖象可知，不等式x﹣5≥﹣的解集為x≥3或0＜x≤2．【點評】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．題型2：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像面積問題解題模板：2.（2022?重慶）已知一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于點A（1，m），B（n，﹣2）．（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式，并在圖中畫出這個一次函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出不等式kx+b＞的解集；（3）若點C是點B關(guān)于y軸的對稱點，連接AC，BC，求△ABC的面積．【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)解析式求出A點和B點的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的表達(dá)式即可；（2）根據(jù)圖象直接得出不等式的解集即可；（3）根據(jù)對稱求出C點坐標(biāo)，根據(jù)A點、B點和C點坐標(biāo)確定三角形的底和高，進(jìn)而求出三角形的面積即可．【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y＝的圖象過點A（1，m），B（n，﹣2），∴，n＝，解得m＝4，n＝﹣2，∴A（1，4），B（﹣2，﹣2），∵一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象過A點和B點，∴，解得，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝2x+2，描點作圖如下：（2）由（1）中的圖象可得，不等式kx+b＞的解集為：﹣2＜x＜0或x＞1；（3）由題意作圖如下：由圖知△ABC中BC邊上的高為6，BC＝4，∴S△ABC＝＝12．【點評】本題主要考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)交點的問題，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角形面積公式等知識是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022?菏澤）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象都經(jīng)過A（2，﹣4）、B（﹣4，m）兩點．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）過O、A兩點的直線與反比例函數(shù)圖象交于另一點C，連接BC，求△ABC的面積．【分析】（1）把A，B兩點的坐標(biāo)代入y＝中可計算k和m的值，確定點B的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）如圖，設(shè)AB與x軸交于點D，證明CD⊥x軸于D，根據(jù)S△ABC＝S△ACD+S△BCD即可求得．【解答】解：（1）將A（2，﹣4），B（﹣4，m）兩點代入y＝中，得k＝2×（﹣4）＝﹣4m，解得，k＝﹣8，m＝2，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣；將A（2，﹣4）和B（﹣4，2）代入y＝ax+b中得，解得，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣2；（2）如圖，設(shè)AB與x軸交于點D，連接CD，由題意可知，點A與點C關(guān)于原點對稱，∴C（﹣2，4）．在y＝﹣x﹣2中，當(dāng)x＝﹣2時，y＝0，∴D（﹣2，0），∴CD垂直x軸于點D，∴S△ABC＝S△ADC+S△BCD＝×4×（2+2）+×4×（4﹣2）＝8+4＝12．【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積等，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022?鄂爾多斯）如圖，已知一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）兩點，且與x軸和y軸分別交于點C、點D．（1）根據(jù)圖象直接寫出不等式＜ax+b的解集；（2）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（3）點P在y軸上，且S△AOP＝S△AOB，請求出點P的坐標(biāo)．【分析】（1）通過圖象位置關(guān)系解不等式．（2）用待定系數(shù)法法求解析式．（2）先求△AOB的面積，再求P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）當(dāng)y＝的圖象在y＝ax+b圖象的下方時，＜ax+b成立，∴﹣4＜x＜﹣2．（2）將A（﹣2，4）代入y＝得：﹣8＝m，∴反比例函數(shù)為：y＝﹣．將A（﹣2，4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b得：，解得：，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝x+6．（3）在y＝x+6中，當(dāng)y＝0時，x＝﹣6，∴C（﹣6，0）．∴S△ABO＝S△AOC﹣S△BOC＝OC×（yA﹣yB）＝×6×2＝6，∴S△AOP＝×6＝3，∵P在y軸上，∴OP×|xA|＝3，∴OP＝3．∴P（0，3）或（0．﹣3）．【點評】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合問題，數(shù)形結(jié)合，將線段的長度轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算是求解本題的關(guān)鍵．題型3：反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合解題模板：3.（遂寧）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)y＝（m≠0）的圖象交于第二、四象限A、B兩點，過點A作AD⊥x軸于D，AD＝4，sin∠AOD＝，且點B的坐標(biāo)為（n，﹣2）．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）E是y軸上一點，且△AOE是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的E點坐標(biāo)．【分析】（1）由垂直的定義及銳角三角函數(shù)定義求出AO的長，利用勾股定理求出OD的長，確定出A坐標(biāo)，進(jìn)而求出m的值確定出反比例解析式，把B的坐標(biāo)代入反比例解析式求出n的值，確定出B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；（2）分類討論：當(dāng)AO為等腰三角形腰與底時，求出點E坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)y＝圖象交于A與B，且AD⊥x軸，∴∠ADO＝90°，在Rt△ADO中，AD＝4，sin∠AOD＝，∴＝，即AO＝5，根據(jù)勾股定理得：DO＝＝3，∴A（﹣3，4），代入反比例解析式得：m＝﹣12，即y＝﹣，把B坐標(biāo)代入得：n＝6，即B（6，﹣2），代入一次函數(shù)解析式得：，解得：，即y＝﹣x+2；（2）當(dāng)OE3＝OE2＝AO＝5，即E2（0，﹣5），E3（0，5）；當(dāng)OA＝AE1＝5時，得到OE1＝2AD＝8，即E1（0，8）；當(dāng)AE4＝OE4時，由A（﹣3，4），O（0，0），得到直線AO解析式為y＝﹣x，中點坐標(biāo)為（﹣1.5，2），∴AO垂直平分線方程為y﹣2＝（x+），令x＝0，得到y(tǒng)＝，即E4（0，），綜上，當(dāng)點E（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）時，△AOE是等腰三角形．【點評】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式3-1】（成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝x+b的圖象經(jīng)過點A（﹣2，0），與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于B（a，4）．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）設(shè)M是直線AB上一點，過M作MN∥x軸，交反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點N，若A，O，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形，求點M的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)y＝x+b的圖象經(jīng)過點A（﹣2，0），可以求得b的值，從而可以解答本題；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和題意，可以求得點M的坐標(biāo)，注意點M的橫坐標(biāo)大于0．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝x+b的圖象經(jīng)過點A（﹣2，0），∴0＝﹣2+b，得b＝2，∴一次函數(shù)的解析式為y＝x+2，∵一次函數(shù)的解析式為y＝x+2與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于B（a，4），∴4＝a+2，得a＝2，∴4＝，得k＝8，即反比例函數(shù)解析式為：y＝（x＞0）；（2）∵點A（﹣2，0），∴OA＝2，設(shè)點M（m﹣2，m），點N（，m），當(dāng)MN∥AO且MN＝AO時，四邊形AOMN是平行四邊形，||＝2，解得，m＝2或m＝+2，∴點M的坐標(biāo)為（﹣2，）或（，2+2）．【點評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式3-2】（菏澤）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在坐標(biāo)軸上，且OA＝2，OC＝4，連接OB．反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過線段OB的中點D，并與AB、BC分別交于點E、F．一次函數(shù)y＝k2x+b的圖象經(jīng)過E、F兩點．（1）分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）點P是x軸上一動點，當(dāng)PE+PF的值最小時，點P的坐標(biāo)為（，0）．【分析】（1）由矩形的性質(zhì)及中點坐標(biāo)公式可得D（2，1），從而可得反比例函數(shù)表達(dá)式；再求出點E、F坐標(biāo)可用待定系數(shù)法解得一次函數(shù)的解析式；（2）作點E關(guān)于x軸的對稱點E'，連接E'F交x軸于點P，則此時PE+PF最?。蟪鲋本€E'F的解析式后令y＝0，即可得到點P坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵四邊形OABC為矩形，OA＝BC＝2，OC＝4，∴B（4，2）．由中點坐標(biāo)公式可得點D坐標(biāo)為（2，1），∵反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過線段OB的中點D，∴k1＝xy＝2×1＝2，故反比例函數(shù)表達(dá)式為y＝．令y＝2，則x＝1；令x＝4，則y＝．故點E坐標(biāo)為（1，2），F(xiàn)（4，）．設(shè)直線EF的解析式為y＝k2x+b，代入E、F坐標(biāo)得：，解得：．故一次函數(shù)的解析式為y＝．（2）作點E關(guān)于x軸的對稱點E'，連接E'F交x軸于點P，則此時PE+PF最?。鐖D．由E坐標(biāo)可得對稱點E'（1，﹣2），設(shè)直線E'F的解析式為y＝mx+n，代入點E'、F坐標(biāo)，得：，解得：．則直線E'F的解析式為y＝，令y＝0，則x＝．∴點P坐標(biāo)為（，0）．故答案為：（，0）．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點，中點坐標(biāo)公式，矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，最短路徑問題（將軍飲馬）．解題關(guān)鍵在于牢固掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、將軍飲馬解題模型．一、解答題1．已知函數(shù)y=y1+y2，y1與x成正比例，y2與x成反比例，且當(dāng)x=1時，y=1【答案】解：設(shè)y∴y=將x=1，y=1；x=2，y=5代入上式，得1=k1∴y=3x?【解析】【分析】根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的定義得到y(tǒng)1，y2的關(guān)系式，進(jìn)而得到y(tǒng)的關(guān)系式，再把x=1，y=1和x=2，y=5代入y的關(guān)系式中，即可得關(guān)于到k1，k2的方程組，求得k1，k2，即可解決問題.2．（2021九上·吉林期末）已知近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例關(guān)系，且400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25米．小慧原來戴400度的近視眼鏡，經(jīng)過一段時間的矯正治療后，現(xiàn)在只需戴鏡片焦距為0.4米的眼鏡了，求小慧所戴眼鏡的度數(shù)降低了多少度．【答案】解：由已知設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=k把(0.25解得：k=0.故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=100當(dāng)x=0.4時，有400?250=150，∴小慧所戴眼鏡的度數(shù)降低了150度．【解析】【分析】設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx(k≠0)，再將(0.3．（2022·欽州模擬）如圖，點C在反比例函數(shù)y=1x的圖象上，CA∥y軸，交反比例函數(shù)y=3【答案】解：設(shè)A（a，3a），則C（a，1∵CA＝2，∴3a解得a＝1，∴A（1，3），C（1，1），∴B（3，1），作BE⊥x軸于E，延長AC交x軸于D，∵S△ABO＝S△AOD＋S梯形ABED﹣S△BOE，S△AOD＝S△BOE=3∴S△ABO＝S梯形ABED=12故答案為：4.【解析】【分析】設(shè)A（a，3a），則C（a，1a），根據(jù)CA=2可得a的值，進(jìn)而可得點A、B、C的坐標(biāo)，作BE⊥x軸于E，延長AC交x軸于D，根據(jù)面積間的和差關(guān)系可得S△ABO＝S△AOD＋S梯形ABED-S△BOE，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得S△AOD＝S△BOE=4．（2022九上·蓮湖期末）已知反比例函數(shù)y=2k?3x的圖象位于第二、四象限，正比例函數(shù)【答案】解：反比例函數(shù)y=2k?3x的圖象位于第二、四象限，正比例函數(shù)y=kx圖象經(jīng)過第一、三象限，

∴2k?3＜0k＞0

解之：k＜32k＞0

∴【解析】【分析】利用反比例函數(shù)y=k5．（2021九上·秦都期末）已知反比例函數(shù)y=3?2mx，當(dāng)【答案】解：∵對于反比例函數(shù)y=3?2mx，當(dāng)∴3?2m>0，解得：m<3∵m為正整數(shù)，∴m=1.【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)可得3-2m>0時，求出m的范圍，結(jié)合m為正整數(shù)可得m的值.二、綜合題6．（2022·內(nèi)江模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)y=m（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求△AOB的面積；（3）P是y軸上一點，且△AOP是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的P點坐標(biāo).【答案】（1）解：AO＝5，OD：AD＝3：4，設(shè)：OD＝3a，AD＝4a，則AD＝5a＝5，解得：a＝1，故點A（3，4），則m＝3×4＝12，故反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=12將點A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝kx+b得：4=3k+b?2=?6k+b，解得：k=故一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=2（2）解：設(shè)一次函數(shù)y=2∵點A（3，4），B（﹣6，﹣2），∴△AOB的面積S=12×（3）P點坐標(biāo)為：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，258【解析】【解答】解：(3)設(shè)點P（0，m），而點A、O的坐標(biāo)分別為：（3，4）、（0，0），AP2＝9+（m﹣4）2，AO2＝25，PO2＝m2，當(dāng)AP＝AO時，9+（m﹣4）2＝25，解得：m＝8或0（舍去0）；當(dāng)AO＝PO時，同理可得：m＝±5；當(dāng)AP＝PO時，同理可得：m=25綜上，P點坐標(biāo)為：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，258

【分析】（1）由題意可設(shè)OD＝3a，AD＝4a，則AO＝5a＝5，解得a＝1，即點A（3，4），將點A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中可求出k值，即得反比例函數(shù)解析式，從而求出點B坐標(biāo)，將A、B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中，求出k、b值即可；

（2）先求出M坐標(biāo)，根據(jù)△AOB的面積S=12×OM×（xA﹣xB）進(jìn)行計算即可；

（3）分三種情況：①當(dāng)AP＝AO時，②7．（2022·信陽模擬）如圖，直線y=-2x+b與x軸、y軸分別相交于點A，B，以線段AB為邊在第一象限作正方形ABCD，已知AB=25（1）求直線AB的解析式；（2）求點D的坐標(biāo)，并判斷點D是否在雙曲線y=12x【答案】（1）解：當(dāng)x=0時，y=b，∴點B的坐標(biāo)為(0，b)，當(dāng)y=0時，x=b∴點A的坐標(biāo)為(b∴OB=b，OA=b∵OA∴(b解得b=4或b=-4(舍去)直線AB的解析式為y=-2x+2；（2）解：不在；理由如下：∵b=4，∴點B的坐標(biāo)為(0，4)，點A的坐標(biāo)為(2，∴OB=2，OA=1，過點D作DE⊥x軸于點E，如圖所示.∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠EAD=90°，∴∠OBA=∠EAD，在△OAB和△EDA中，∠AOB=∠DEA∠OBA=∠EAD∴△OAB≌△EDA(AAS)，∴AE=BO=4，DE=AO=2，∴OE=OA+AE=2+4=6，∴點D的坐標(biāo)為(6，2)，∵當(dāng)x=6時，y=12∴點D不在雙曲線y=12x【解析】【分析】（1）由直線y=-2x+b可求出B(0，b)，點A(b2，0)，可得OB=b，OA=b8．（2022·廣東模擬）如圖，直線AB與反比例函數(shù)y=kx（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）直線AB交x軸于點C，連接OA，當(dāng)△AOC的面積為6時，求直線AB的解析式，【答案】（1）解：由已知得反比例函數(shù)解析式為y=∵點A（1，4）在反比例函數(shù)的圖象上，∴4=∴反比例函數(shù)的解析式為y=（2）解：設(shè)C的坐標(biāo)為（?a，0）（a>0）∵∴解得a=3，∴C（?3，0）設(shè)直線AB的解析式為y=mx+b∵C（?3，0），A（1，4）在直線AB上∴解得m=1∴直線AB的解析式為y=x+3【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式即可；（2）設(shè)C的坐標(biāo)為（?a，0）（a>0），利用三角形的面積公式求出a的值，得出點C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式即可.9．（2022·牡丹江模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在x軸的正半軸上，點B在x軸的負(fù)半軸上，點C在y軸的正半軸上，直線BC的解析式為y=kx+6，線段OB，OA的長是一元二次方程x2（1）求點A、點B的坐標(biāo)；（2）若直線l過點A交線段BC于點D，且S△ABD（3）平面內(nèi)滿足以A、C、P為頂點的三角形與△ABC相似的點P有個．并直接寫出滿足條件的第一象限內(nèi)兩個點P的坐標(biāo)．【答案】（1）解：∵x2∴(x?4∴x1∴A點坐標(biāo)為(9，0)，B點坐標(biāo)為（2）解：過點D作DE⊥x軸于點E，DF⊥y軸于點F，如圖∵S△ABD∴BD：∵yBC∴C(0，由題意可得：OB=4，∴DEOC=1∴DE=2；DF4解得DF=8∴D(?8設(shè)過點D的反比例函數(shù)為y=x∵D(?8∴k=?8∴y=?16（3）解：11；在第一象限內(nèi)的點有：P1(9，6)；P2(4【解析】【解答】解：(3)設(shè)P(由題意可得：AB=13