數(shù)學互動課堂直接證明

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂疏導引導1。綜合法也是中學數(shù)學證明中常用的一種方法，它是一種從已知到未知（從題設(shè)到結(jié)論）的邏輯推理方法(與分析法恰恰相反）,即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實判斷(命題）出發(fā),經(jīng)過一系列的中間推理,最后導出所要求證的命題結(jié)論的真實性。簡言之,綜合法是一種由因索果的證明方法，其邏輯依據(jù)也是三段論式的演繹推理方法.應(yīng)用綜合法時，應(yīng)從命題的前提出發(fā)，在選定了真實性是無可爭辯的出發(fā)點以后（它基于題設(shè)或已知的真命題）,再依次由它得出一系列的命題（或判斷),其中每一個都是真實的（但它們并不一定都是所需求的),且最后一個必須包含我們要證明的命題的結(jié)論時,命題得證.同分析法一樣，并非一上來就能找出通達命題結(jié)論的思路,只是在將證明的過程中對每步結(jié)論進行分析、推敲、比較、選擇后才能得到.當然,在較多地積累一些經(jīng)驗，掌握一些證法之后,可較為順利地得到證明的思路。而在證明的敘述時,直接敘述這條思路就夠了。用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證的結(jié)論，則綜合法可表示如下:PQ1→Q1Q2→Q2Q3→…→QnQ.案例1如圖,在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD，求證:PC⊥BD.證明：（綜合法）因為PA是平面ABCD的垂線，PC是平面ABCD的斜線，連結(jié)AC、BD，則AC是PC在底面ABCD內(nèi)的射影.又因為四邊形ABCD為正方形.∴AC⊥BD.故PC⊥BD?！疽?guī)律總結(jié)】本例圖形具有很多性質(zhì)，從不同的審視角度去分析，可以得到多個證明方法，如可以轉(zhuǎn)化為線面垂直來證線線垂直，也可以用向量來證明(因為圖形中有AB、AD、AP兩兩垂直的基向量）等等。一般地,對于命題“若A則D"用綜合法證明時，思考過程可表示為綜合法的思考過程是由因?qū)Ч捻樞?，是從A推演達到D的途徑，但由A推演出的中間結(jié)論未必唯一，如B、B1、B2等,可由B、B1、B2能推演出的進一步的中間結(jié)論則可能更多，如C、C1、C2、C3、C4等等.最終，能有一個（或多個）可推演出結(jié)論D即可。2.分析法是數(shù)學中常用到的一種直接證明方法，就證明程序來講,它是一種從未知到已知(從結(jié)論到題設(shè))的邏輯推理方法.具體說,即先假設(shè)所要求證明命題的結(jié)論是正確的,由此逐步推出保證此結(jié)論成立的必要的判斷。而當這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等）或要證命題的已知條件時,命題得證（應(yīng)該強調(diào)的一點是它不由命題的結(jié)論去證明前提）。用分析法證“若P則Q"這個命題的模式是:為了證明命題Q為真，這只需證明命題P1為真，從而有……這只需證明命題P2為真，從而有…………這只需證明命題P為真.而已知P為真，故Q必真.可見分析是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，它與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法.因此，分析法是一種執(zhí)果索因的證明方法，這種證明方法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法.一般來講，分析法有兩種證明途徑:（1)由命題結(jié)論出發(fā),找結(jié)論成立的充分條件,逐步推演下去；（2)由命題結(jié)論出發(fā)，找結(jié)論成立的必要條件,逐步推演下去。應(yīng)該指出，應(yīng)用分析法時，并非一開始就確信由結(jié)論出發(fā)所產(chǎn)生的那些推斷（或命題)都正確，各個推理步驟及依次考慮的概念、定理、法則等都合適。這種推理方法僅僅是建立與需要證明的命題的等效關(guān)系，因而需要從這些關(guān)系中逐個考察,逐個思索,逐個分析,逐個判斷，在得到了所需的確定結(jié)論時(它們是已證的命題或已知的條件),才知道前面各步推理的適當與否,從而找出證明的路子。當證題不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決,特別是對于條件簡單而結(jié)論復雜的題目,往往更是行之有效。另外對于恒等式的證明，也同樣可以運用。案例2已知x＞0，y＞0，求證：.【探究】本題若直接用綜合法，則不易發(fā)現(xiàn)與已知不等式的關(guān)系，因而可試用分析法?！咀C明】要證明只需證：(x2+y2）3＞(x3+y3）2,即證：x3+3x4y2+3x2y4+y6＞x6+2x3y3+y6，即證：3x4y2+3x2y4＞2x3y3?！選＞0，y＞0，∴x2y2＞0，即證：3x2+3y2＞2xy，∵3x2+3y2＞x2+y2≥2xy，∴3x2+3y2＞2xy成立，【規(guī)律總結(jié)】用分析法思考數(shù)學問題的順序可表示為：(對于命題“若A則D"）分析法的思考順序是執(zhí)果索因的順序,是從D上溯尋其論據(jù)，如C、C1、C2等，再尋求C、C1、C2的論據(jù)，如B、B1、B2、B3、B4等等，繼而尋求B、B1、B2、B3、B4的論據(jù),如果其中之一B的論據(jù)恰為已知條件，于是命題已經(jīng)得證.用分析法與綜合法來敘述證明,語氣之間也應(yīng)當有區(qū)別。在綜合法中,每個推理都必須是正確的，每個論斷都應(yīng)當是前面一個論斷的必然結(jié)果，因此所用語氣必須是肯定的.而在分析法中,就應(yīng)當用假定的語氣，習慣上常用這樣一類語句:假如要A成立，就需先有B成立;如要有B成立，又只需有C成立……這樣從結(jié)論一直推到已知條件.當我們應(yīng)用分析法時，所有各個中間的輔助命題，僅僅考慮到它們都是同所要證明的命題是等效的,而并不是確信它們都是真實的，直至達到最后已知條件或明顯成立的事實后，我們才確信它是真實的，從而可以推知前面所有與之等效的命題也都是真實的,于是命題就被證明了.用分析法證題，是尋求不等式成立的充分條件而不是必要條件，分析過程沒有必要“步步可逆”。3.分析法與綜合法的關(guān)系（1)分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件,它與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法.應(yīng)注意“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據(jù)。（2)綜合法與分析法是兩種不同的邏輯方法，但它們又是互相聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化的。一方面，人們認識事物總是先把事物分解為各個組成部分或因素,通過分別考察去認識它們各自的屬性和在整體中的地位，然后再把各個部分的屬性聯(lián)結(jié)起來，從而認識事物的整體性質(zhì)與規(guī)律。因此，人們認識事物的過程就是分析與綜合相互結(jié)合的過程.另一方面，分析是綜合的基礎(chǔ),綜合是分析的自然發(fā)展，對于較復雜的研究對象，人們常常先進行分析，后進行綜合，然后在綜合的指導下再進行分析，在分析的基礎(chǔ)上再進行綜合。因此，分析不斷轉(zhuǎn)化為綜合。綜合又轉(zhuǎn)化為更高層次的分析，它們的這種相互交替與螺旋上升是解決數(shù)學問題行之有效的方法和策略。案例3△ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列.求證：(a+b）-1+(b+c）-1=3（a+b+c）-1【探究】分析法:結(jié)論是關(guān)于△ABC三邊的等式.要證（a+b）-1+(b+c）-1=3（a+b+c)-1，即證：，=3,=1，只需證c（b+c)+a(a+b）=(a+b)(b+c)，需證c2+a2=ac+b2。猜想可能用余弦定理。綜合法:題目的條件是關(guān)于△ABC三內(nèi)角的.∵△ABC三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列,∴B=60°。由余弦定理，有b2=c2+a2-2cacos60°，即b2=c2+a2—ac,c2+a2=ac+b2，此式即分析中欲證之等式.證明：∵△ABC三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，∴B=60°。由余弦定理，有b2=c2+a2-2cacos60°,得c2+a=ac+b2,兩邊加ab+bc得c(b+c）+a（a+b)=（a+b)(b+c)，兩邊除以(a+b)（b+c）得=1，∴=3，即,∴(a+b）—1+（b+c）—1=3（a+b+c)—1。【規(guī)律總結(jié)】綜合法和分析法各有優(yōu)缺點.從尋求解題思路來看，綜合法由因?qū)Ч?jié)橫生，不容易奏效；分析法執(zhí)果索因,常常根底漸近，有希望成功.就表達證明過程而論，綜合法形式簡潔，條理清晰;分析法敘述繁瑣，文辭冗長.也就是說分析法利于思考，綜合法宜于表達.因此,在實際解題時，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來運用，先以分析法為主尋求解題思路,再用綜合法有條理地表述解答或證明過程.有時要把分析和綜合結(jié)合起來交替使用，才能成功?；顚W巧用1。如圖所示，S為△ABC平面外一點,SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求證：AB⊥BC。證明：做AE⊥SB于E∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB,∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥BC.∵SA⊥平面ABC，又∵SA∩AE=A，∴SA⊥BC,∴BC⊥平面SAB.∴AB⊥BC.2.設(shè)a＞0,b＞0,a+b=1.求證：(1）；(2）.證明:（1）∵a＞0，b＞0。a+b=1?！?=。,∴。∴=≥2·4=8(2)∵≤，則≥(）2∴=?！唷?。求證：證明：要證明，只需證明(1+tanA—secA)·（1+tanA+secA）=(secA+tanA—1）·［secA—(tanA-1)］即證（1+tanA)2—sec2A=sec2A-（tanA—1）即證1+tan2A=sec所以,只需證明，即證，只需證明sin2A+cos2所以成立.4.已知a、b、c是不全相等的正數(shù),且0＜x＜1。求證：logx+logx+logx＜logxa+logxb+logxc。證明:要證明logx+logx+logx＜logxa+logxb+logxc，只需要證明logx[··]＜logx(abc).由已知0＜x＜1,只需證明··＞abc。由公式知≥＞0，≥＞0，≥＞0?！遖、b、c不全相等,上面三式相乘，··＞=abc,即··＞abc成立,∴l(xiāng)ogx+logx+logx＜logxa+logxb+logxc成立.5。已知a＞0，求證—≥a+-2.證明:要證—≥a+-,只要證+2≥a++。∵a＞0，∴只要證（+2）2≥（a++）2,即+4+4≥(a2+2++(a+）+2,從而只要證2≥（a+)，只要證4≥2(a2+2+），即≥2，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立.6。在某兩個正數(shù)x,y之間，若插入一個數(shù)a,使x、a、y成等差數(shù)列，若插入兩個數(shù)b，c，使x、b、c、y成等比數(shù)列.求證：(a+1)2≥（b+1）(c+1).證明：由條件,得消去x、y即得2a=且有a＞0,b＞0，c＞0要證（a+1）2≥(b+1）（c+1)只要證a+1≥即證a+1≥也就是證2a≥b+c而2a=只要證≥b+cb3+c3=(b+c）（b2+c2—bc）≥(b+c)bc即證b2+c2—bc≥bc即證（b-c)2≥0∵上式顯然成立，∴（a+1)2≥(b+1）（c+1)7。在△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證：△ABC為等邊三角形.證明：由A、B、C成等差數(shù)列，有2B=A+C.①因為A、B、C為△ABC的內(nèi)角，所以A+B+C=π.②由①②，得B=.③由a、b、c成等比數(shù)例，有b2=ac.④由余弦定理及③，可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac。再由④，得a2+c2-ac=ac。即(a—c）2=0,因此a=c.⑤從而有A=C.由②③⑤，得A=B=C=。所以△ABC為等邊三角形.8.設(shè)拋物線y2=2px（p＞0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點C在拋物線的準線上,且BC∥x軸，證明直線AC經(jīng)過原點O。解析：本題應(yīng)先畫出圖形，將文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言及圖形語言，借助圖形的直觀,幫助分析思路方法，可用綜合法的形式進行表述。證明：拋物線方程為y2=2px(p＞0），焦點為F（，0），所以過點F的直線AB的方程為x=my+代入拋物線方程得：y2—2pmy—p2=0,若記A（x1,y1）,B(x2，y2)，則y1，y2是該方程的兩個根.所以y1y2=-p2.因為BC∥x軸,且點C在準線x=-上,所以點C的坐標為（-,y2)，故直線CO的斜率為k=即k也是直線OA的斜率,所以直線AC經(jīng)過原點O。9.已知：如圖，α⊥β，b⊥β且bα.求證：b∥α.證明：設(shè)α∩β=m，在α內(nèi)作直線c⊥m。b與c重合或b∥c.矛盾，于是，b與c不重合。b∥α。10。已知：a2+b2=1，x2+y2=1，求證：ax+by≤1.證明:方法一：用綜合法∵2ax≤a2+x2,2by≤b2+y2∴2（ax+by）≤a2+b2+x2+y2又a2+b2=1，x2+y2=1∴2（ax+by)≤2,∴ax+by≤1方法二:用分析法要證ax+by≤1成立，只要證1—(ax+by)≥0只要證:2-2ax-2by≥0，又∵a2+b2=1x