數學互動課堂反證法

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂疏導引導1.反證法證明數學問題的理解（1）反證法的理論依據是邏輯規(guī)律中的排除律:一個事物或者是A或是，二者必居其一,反證法即證明結論的反面錯誤。從而結論正確.(2）反證法可以證明的命題的范圍相當廣泛。一般常見的如:惟一性問題，無限性問題，肯定性問題，否定性問題，存在性問題,不等式問題，等式問題，函數問題，整除問題，幾何問題等.（3)反證法中的“反設”,這是應用反證法的第一步。也是關鍵一步。“反設”的結論將是下一步“歸謬”的一個已知條件.“反設"是否正確、全面,直接影響下一步的證明.做好“反設"應明確①正確分清題設和結論;②對結論實施正確否定;③對結論否定后，找出其所有情況。例如A：大于，：不大于;不大于即小于或等于，對這兩種情況在下一步的“歸謬”中應一一證明不成立.（4）反證法的“歸謬”。它是反證法的核心.其含義是：從命題結論的假設(即把“反設"作為一個新的已知條件）及原命題的條件出發(fā)，引用一系列論據進行正確推理，推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾的結果。2.反證法證明問題的基本思路用反證法證明結論是B的命題，其思路是：假定B不成立,則B的反面成立，然后從B的反面成立的假定出發(fā)，利用一些公理、定理、定義等作出一系列正確的推理,最后推出矛盾的結果，若同時承認這個結果與題設條件,則與學過的公理、定理或定義矛盾，這矛盾只能來自“B的反面成立"這個假設，因此B必定成立?？梢姺醋C法的步驟是：否定結論→推出矛盾→否定假設→肯定結論,其中推出矛盾是證明的關鍵.3。反證法所能證明的問題類型數學中的一些基礎命題都是數學中我們經常運用的明顯事實,它們的判定方法極少，宜用反證法證明。正難則反這是應用反證法的原則,即一個命題的結論如果難于直接證明時,可考慮用反證法。另外,宜用反證法證明的題型還有：(1）一些基本命題、基本定理；(2）易導出與已知矛盾的命題；（3)“否定性”命題;（4）“唯一性”命題；(5）“必然性”命題;（6)“至多”“至少”類的命題;（7）涉及“無限"結論的命題等等.4。應用反證法證明問題時應注意的問題（1）要想得到原命題相反的判斷，必先弄清原命題的含義,即原命題包含哪幾個結論(不能縮小也不能擴大）,然后避開問題給的條件考慮可能得到的各種結論，從這些結論中把原命題所含的結論剔除,就得到原命題的相反判斷,如“是"的反面是“不是”,“有”的反面是“沒有”,“等”的反面是“不等”,“成立”的反面是“不成立”,“有限”的反面是“無限”，以上這些都是相互否定的字眼，較為易找，應注意以下的否定:“都是”的反面為“不都是”，即“至少有一個不是”（不是“都不是"）；“都有”的反面為“不都有”，即“至少一個沒有”(不是“都沒有”)；“都不是"的反面為“部分是或全部是”,即“至少有一個是”（不是“都是”）;“都沒有”的反面為“部分有或全部有”，即“至少一個有”（不是“都有”）.(2)間接論證的應用有一定困難,因為在間接證明過程中,不得不暫時離開所討論的論題,引進許多補充的材料(如結論的反面等）,致使全部考查過程復雜化。但這種方法我們務必學會.因為在實際生活以及數學和其他科學中,時常會遇到這樣的命題，當時并無直接證明它的論據，必須用間接法來證明它的真實性。（3)用反證法證明命題“若p則q"，它的全部過程和邏輯根據可以表示如下:肯定條件p“既p又q”為假“若p則q”為真.（4)應用反證法證明數學問題,一般有下面幾個步驟：第一步：分清命題“p→q”的條件和結論；第二步:作出與命題結論q相矛盾的假定q；第三步：由p和q出發(fā)，應用正確的推理方法，推出矛盾結果;第四步:斷定產生矛盾結果的原因，在于開始所作的假定q不真,于是原結論q成立,從而間接地證明了命題p→q為真.(5）第三步所說的矛盾結果，通常是指推出的結果與已知公理、已知定義、已知定理或已知條件矛盾，與臨時假定矛盾以及自相矛盾等各種情況.活學巧用例1求證：質數有無窮多.證明:如果質數的個數有限，那么我們可以將全體質數列舉如下：p1，p2,…，pk，命q=p1p2…pk+1。q總是有質因數的,但我們可證明任何一個pi（1≤i≤k）都除不盡q.假若不然,由pi除盡q，及pi除盡p1p2…pk可得到pi除盡(q-p1p2…pk）,即pi除盡1,這是不可能的.故任何一個pi都除不盡q。這說明q有不同于p1、p2,…,pk的質因數。這與只有p1,p2,…,pk是全體質數的假定相矛盾。所以質數有無窮多.點評：本題是利用反證法證明數學中的一個基礎命題，本命題若用直接方法來證明非常困難，因此宜用反證法。例2如圖,設SA、SB是圓錐SO的兩條母線,O是底面圓心,C是SB上一點，求證：AC與平面SOB不垂直.證明:假設AC⊥平鍿OB，∵直線SO在平面SOB內,∴SO⊥AC.∵SO⊥底面圓O,∴SO⊥AB.∴SO⊥平面SAB.∴平面SAB∥底面圓O.這顯然出現矛盾,∴假設不成立，即AC與平面SOB不垂直。點評：否定性地問題常用反證法。例如證明異面直線,可以假設共面，再把假設作為已知條件推導出矛盾.例3證明方程2x=3有且只有一個根。證明：∵2x=3,∴x=log23.這說明方程有一個根。下面用反證法證明方程2x=3的根是唯一的.假設方程2x=3有兩個根b1、b2(b1≠b2),則=3,=3。兩式相除，得=1。如果b1-b2＞0,則＞1，這與=1相矛盾；如果b1-b2＜0，則＜1，這也與=1相矛盾。因此b1—b2=0，則b1=b2。這就同b1≠b2相矛盾.如果方程的根多于兩個，同樣可推出矛盾。故2x=3有且只有一個根。點評:“有且只有”表示“存在且唯一”.因此，在證明此類問題時要分別從存在性和唯一性兩方面來考慮,而證明唯一性時,通常使用反證法.例4設｛an｝是公比為q的等比數列，Sn是它的前n項和.（Ⅰ）求證：數列{Sn｝不是等比數列;（Ⅱ）數列{Sn}是等差數列嗎？為什么？證明：（Ⅰ）法1(反證法）若{Sn}是等比數列,則=S1S2，即(1+q)2=a1·a1(1+q+q2）∵a1≠0,∴（1+q）2=1+q+q2,即q=0與q≠0矛盾，故｛Sn}不是等比數列。法2只需證明SnSn+2≠∵Sn+1=a1+qSn，Sn+2=a1+qSn+1∴SnSn+2—=Sn（a1+qSn+1)-(a1+qSn)Sn+1=a1(Sn-Sn+1）=—a1an+1)≠0。(Ⅱ)當q=1時，｛Sn}是等差數列.當q≠1時，｛Sn}不是等差數列，否則S1,S2,S3成等差數列.即2S2=S1+S3∴2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2)。由于a1≠0，∴2(1+q）=2+q+q2,q=q2，∵q≠1,∴q=0與q≠0矛盾。點評:本題的解答依賴于等差和等比數列的概念和性質,體現了特