第15講最值問題之阿氏圓（PAkPB）（原卷）

第15講最值問題之阿氏圓（PA+k·PB）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓C，分別交AC、BC于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則12PA+PB的最小值為模型特征：點(diǎn)p在圓上運(yùn)動(dòng)（和胡不歸對(duì)比）解題思路：①“12PA+PB”，注意這個(gè)12，題中一定會(huì)給比值為②在CA（圓心和圓外點(diǎn)的連線）邊上取點(diǎn)M使得CM=2，連接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=1③k的本質(zhì)是圓心和圓心和直線外的點(diǎn)的連線的比值，若本題改為求PA+kPB最小值，根據(jù)圓C半徑與CB之比為2:3，k應(yīng)為2④取點(diǎn)方法：P為動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)P,D重合，因此當(dāng)M時(shí)CD中點(diǎn)時(shí)，滿足CM=1⑤題目的本質(zhì)：CM問題轉(zhuǎn)化為PM+PB最小值，直接連BM即可．【變式】如圖，在扇形COD中，∠COD=90°，OC=3,A是OC中點(diǎn)，OB=2,P是弧CD上一點(diǎn)，則PB+2PA的最小值為?！窘馕觥窟B接OP,轉(zhuǎn)化2PA。故延長(zhǎng)OC至E，使CE=2OP則△OAP∽△OPE得OAOP=APPE→PE=2AP→PB+2PA=PB+PE，即PB+2PA的最小值即為線段B一、單選題1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則13AP＋BP的最小值為（

A．7 B．52 C．4+10 D．二、填空題2．如圖，在⊙O中，點(diǎn)A、點(diǎn)B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，點(diǎn)C在OA上，且OC=2AC，點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是劣弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+2DM的最小值為___________．3．如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，A(0,4)，B(4,0)，P是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OP=2，連接AP、BP，則BP+12AP4．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則2PA＋PB的最小值為________．5．如圖，在△ABC中，∠B=90°,AB=CB=2，以點(diǎn)B為圓心作圓B與AC相切，點(diǎn)P為圓B上任一動(dòng)點(diǎn)，則PA+22PC6．如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的EF上任意一點(diǎn)，連接BP，CP，則12BP+CP的最小值是_____7．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，⊙B的半徑為2，點(diǎn)P是⊙B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD﹣12PC的最大值為_____8．如圖所示，∠ACB=60°，半徑為2的圓O內(nèi)切于∠ACB．P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM、PN分別垂直于∠ACB的兩邊，垂足為M、N，則PM+2PN的取值范圍為___________．9．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D.連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是________.三、解答題10．如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，求：①AP+1②2AP+BP，③13④AP+3BP的最小值．11．如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C為頂點(diǎn)的正方形CDEF（C、D、E、F四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列）可以繞點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且CD＝2，連接AF，BD（1）求證：△BDC≌△AFC（2）當(dāng)正方形CDEF有頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)，直接寫出BD＋22AD（3）直接寫出正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過程中，BD＋22AD12．如圖，點(diǎn)A、B在⊙O上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在OB上，且OD＝4，動(dòng)點(diǎn)P在⊙O上．求2PC＋PD的最小值．13．如圖1，拋物線y=ax2+bx-4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使四邊形ABPC的面積為16，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖2，過點(diǎn)B作BF⊥BC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)F，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作⊙C，點(diǎn)Q為⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求2414．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B（1）求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形AMBC面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；（3）如圖2，若P點(diǎn)是半徑為2的⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PA，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，PC+12PA15．如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(3，0)，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB=3OA=3OC，∠OAC的平分線AD交y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)A且垂直于AD的直線l交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是x軸下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF⊥x軸，垂足為（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)FH=HP時(shí)，求m的值；（3）當(dāng)直線PF為拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，以點(diǎn)H為圓心，12HC為半徑作⊙H，點(diǎn)Q為⊙H上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求16．已知△CDE與△ABC有公共頂點(diǎn)C，△CDE為等邊三角形，在△ABC中，∠BAC=120°．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，連接AD，已知四邊形ABDC