專(zhuān)題09【五年中考+一年模擬】幾何壓軸題-備戰(zhàn)2023年成都中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類(lèi)匯編(原卷版+解析)

專(zhuān)題09幾何壓軸題1．（2022?成都）如圖，在矩形中，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），連接，以為邊在直線的右側(cè)作矩形，使得矩形矩形，交直線于點(diǎn)．【嘗試初探】（1）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，與始終保持相似關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．【深入探究】（2）若，隨著點(diǎn)位置的變化，點(diǎn)的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)是線段中點(diǎn)時(shí)，求的值．【拓展延伸】（3）連接，，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的值（用含的代數(shù)式表示）．2．（2021?成都）在中，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，其中點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，連接，，直線交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2020?成都）在矩形的邊上取一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)，且時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，延長(zhǎng)，與的角平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．4．（2019?成都）如圖1，在中，，，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合）．以為頂點(diǎn)作，射線交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)（如圖，求的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某個(gè)位置，使得？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2018?成都）在中，，，，過(guò)點(diǎn)作直線，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△（點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，射線，分別交直線于點(diǎn)，．（1）如圖1，當(dāng)與重合時(shí)，求的度數(shù)；（2）如圖2，設(shè)與的交點(diǎn)為，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)，分別在，的延長(zhǎng)線上時(shí)，試探究四邊形的面積是否存在最小值．若存在，求出四邊形的最小面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．（2022?武侯區(qū)校級(jí)模擬）在菱形中，，，是射線上一點(diǎn)，連接，將沿折疊，得到△．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)，且時(shí)，求的度數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（3）連接，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．7．（2022?武侯區(qū)模擬）如圖，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，在線段上取一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．（1）如圖1，若．（ⅰ）當(dāng)，且時(shí)，求的度數(shù)；（ⅱ）試探究線段與之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，若，當(dāng)時(shí)，求的值．8．（2022?成華區(qū)模擬）在中，，，點(diǎn)為斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線折疊，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，求的值；（3）連接，是否存在點(diǎn)，使，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．（2022?錦江區(qū)模擬）如圖1，在矩形中，平分交于，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．（1）求證：①；②；（2）求證：；（3）如圖2，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，連接，．若，，當(dāng)有最大值時(shí)，求的長(zhǎng)．10．（2022?金牛區(qū)模擬）已知是矩形的對(duì)角線，將沿折疊得到，與交點(diǎn)為．（1）如圖1，求證：；（2）連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，如圖2，①若，，求的值；②若，求的值．11．（2022?天府新區(qū)模擬）如圖1，和中，，，邊與相交于點(diǎn)，且，連接，．（1）求的值；（2）如圖2，連接，，將繞著點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，若，，當(dāng)，，三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，求的長(zhǎng)度．12．（2022?青羊區(qū)模擬）在中，，，是邊上一點(diǎn)，連接．（1）如圖1，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與垂直，求證：；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作，為垂足，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，將（1）中的以點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是，，為上任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，若，，最大值為，最小值為，求的值．13．（2022?高新區(qū)模擬）在中，，，點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，作關(guān)于對(duì)稱(chēng)的圖形△．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上，且，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，若，連接，是的中點(diǎn)，連接，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求線段長(zhǎng)度的最大值．14．（2022?雙流區(qū)模擬）如圖，在菱形中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，菱形的對(duì)角線交于點(diǎn)，連接．已知，．（1）求證：；（2）連接交于點(diǎn)，求的值；（3）已知點(diǎn)為折線上一動(dòng)點(diǎn)，連接．當(dāng)線段的長(zhǎng)為何值時(shí)，與互為余角，并求此時(shí)直線與直線所夾銳角的正切值．15．（2022?溫江區(qū)模擬）在中，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連接，若，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接和，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求的最小值；（3）試探究、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系（用含的式子表示），并證明．16．（2022?新都區(qū)模擬）如圖，在中，，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度先沿方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再沿方向向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，以、為鄰邊構(gòu)造，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．（1）當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求和的面積；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，設(shè)的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）連接，直接寫(xiě)出將分成的兩部分圖形面積相等時(shí)的值．17．（2022?青羊區(qū)校級(jí)模擬）（1）如圖①，在三角形紙片中，，，，將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，求的長(zhǎng)；（2）如圖②，在三角形紙片中，，，將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，求的值；（3）如圖③，在三角形紙片中，，，，將沿過(guò)頂點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．（?。┣缶€段的長(zhǎng)；（ⅱ）若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊得到△，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求的取值范圍．18．（2022?龍泉驛區(qū)模擬）圖形的世界豐富且充滿變化，用數(shù)學(xué)的眼光觀察它們，奇妙無(wú)比．問(wèn)題情景：數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們以等腰三角形紙片為背景進(jìn)行探究性活動(dòng)．如圖，已知為等腰三角形，，，為邊上一點(diǎn)（不與，重合），將沿翻折后得到，連接．操作發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，與交于點(diǎn)，求證：；探究發(fā)現(xiàn)：（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；探究拓廣：（3）若，當(dāng)時(shí)，求的面積．19．（2022?錦江區(qū)校級(jí)模擬）（1）模型研究如圖①，在中，，為邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．則；（2）模型應(yīng)用如圖②，在中，．若，，求的長(zhǎng)；（3）模型遷移如圖③，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，，，交的延長(zhǎng)線于．若，，求的面積．20．（2022?新都區(qū)模擬）如圖，和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)為射線與的交點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：；（2）若，，①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，求的長(zhǎng)；②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，直接寫(xiě)出線段長(zhǎng)度的值．21．（2022?錦江區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，在正方形中，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在上方作正方形，連接，，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．若，求線段的長(zhǎng)；（3）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求的最小值．22．（2022?高新區(qū)校級(jí)模擬）（1）問(wèn)題探究：如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別在邊、上，于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊、上，．①判斷與的數(shù)量關(guān)系：；②推斷：的值為；（無(wú)需證明）（2）類(lèi)比探究：如圖（2），在矩形中，為常數(shù)）．將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，得到四邊形，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，四邊形中，，，，，點(diǎn)、分別在邊、上，求的值．23．（2022?郫都區(qū)模擬）在四邊形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，連接、并延長(zhǎng)，分別交，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、．（1）如圖1，若四邊形是正方形，，連接，求證：；（2）如圖2，若四邊形是菱形，，，設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖3，若四邊形是矩形，，，，求的長(zhǎng)．24．（2022?成都模擬）如圖，在矩形中，，，平分交于點(diǎn)．連接，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到△．（1）如圖1，連接，，求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)恰好落在直線上時(shí)，若，求的值；（3）如圖3，連接，當(dāng)與交于點(diǎn)時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明．25．（2022?青羊區(qū)校級(jí)模擬）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①，已知四邊形是正方形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）．連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，．①小明探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，，并給出如下不完整的證明過(guò)程，請(qǐng)幫他補(bǔ)充完整．證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)．②進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的度數(shù)為．【類(lèi)比遷移】（2）如圖②，四邊形為矩形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，，，當(dāng)，，時(shí)，求的長(zhǎng)；【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，已知四邊形為菱形，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，若恰好落在菱形的邊上（不與頂點(diǎn)重合），求的長(zhǎng)．26．（2022?錦江區(qū)校級(jí)模擬）取一張矩形紙片，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線折疊得．（1）如圖1，連接，，，當(dāng)時(shí)，試判斷的形狀；（2）如圖2，連接，當(dāng)，的最大值與最小值的和為20時(shí)，求線段的值；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在邊上，分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△，分別連接，，取中點(diǎn)連接，試探究線段與的數(shù)量關(guān)系．27．（2022?郫都區(qū)模擬）如圖，矩形中，點(diǎn)為對(duì)角線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，連接，探究線段、、的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，若面積的最大值為6，求的長(zhǎng)．28．（2022?雙流區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，在菱形中，是對(duì)角線，，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，連接與相交于點(diǎn)．（1）求的度數(shù)．（2）如圖2，作交于點(diǎn)，若，，求的值．（3）如圖3，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，當(dāng)構(gòu)成等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．29．（2022?簡(jiǎn)陽(yáng)市模擬）已知在正方形中，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)．（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)，．若，試探究四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，連結(jié)，在上截取，點(diǎn)，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)．若正方形的面積為32，直接寫(xiě)出周長(zhǎng)的最小值．30．（2022?武侯區(qū)校級(jí)模擬）在矩形中，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接．（1）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，將沿翻折，使點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上點(diǎn)處，交于點(diǎn)．①如圖1，若，求的度數(shù)；②如圖2，當(dāng)，且時(shí)，求的長(zhǎng)．（2）在②所得矩形中，將矩形沿進(jìn)行翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，求的長(zhǎng)．31．（2022?青羊區(qū)校級(jí)模擬）在中，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與、重合），連接，分別以，為斜邊向右側(cè)作等腰直角三角形和等腰直角三角形，連接．（1）當(dāng)點(diǎn)在的外部時(shí)，求證：；（2）如圖1，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，求的面積；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，其它條件不變，連接，若，求的長(zhǎng)．32．（2022?成都模擬）如圖，在等腰中，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作分別交，于點(diǎn)，，連接，，且滿足．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求的值；（3）當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某個(gè)位置，使得？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．33．（2022?郫都區(qū)模擬）（1）如圖①，已知四邊形是正方形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，．求證：；（2）如圖②，四邊形為矩形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，，．如果，，，求的長(zhǎng)；（3）如圖③，已知四邊形為方形，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在菱形的邊上時(shí)（頂點(diǎn)除外），如果，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)的長(zhǎng)．34．（2022?青白江區(qū)模擬）（1）如圖1，在正方形中，點(diǎn)、分別在邊和上，于點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，在矩形中，將矩形折疊，得到四邊形，交于點(diǎn)，點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕交邊于，交邊于，連接交于點(diǎn)；①若，且，，求與的長(zhǎng)；②先閱讀下面內(nèi)容，再解決提出的問(wèn)題，當(dāng)時(shí)，我們可以利用配方法求出此時(shí)的取值范圍．由題意可知，即，顯然此時(shí)或，所以或，如圖3，若，，請(qǐng)根據(jù)前述方法直接寫(xiě)出的最大值及此時(shí)的長(zhǎng)．專(zhuān)題09幾何壓軸題1．（2022?成都）如圖，在矩形中，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），連接，以為邊在直線的右側(cè)作矩形，使得矩形矩形，交直線于點(diǎn)．【嘗試初探】（1）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，與始終保持相似關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．【深入探究】（2）若，隨著點(diǎn)位置的變化，點(diǎn)的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)是線段中點(diǎn)時(shí)，求的值．【拓展延伸】（3）連接，，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，求的值（用含的代數(shù)式表示）．【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：（1）四邊形和四邊形是矩形，，，，，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，與始終保持相似關(guān)系；（2）如圖1，是線段中點(diǎn)，，設(shè)，，則，，，由（1）知：，，即，，，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；綜上，的值是．（3）分兩種情況：①如圖2，，設(shè)，，四邊形是矩形，，，，，矩形矩形，，，，由（1）知：，，，，，；②如圖3，，矩形矩形，，，，，，，，共線，，，，，，，，，由①可知：，，，由勾股定理得：，，（負(fù)值舍），，綜上，的值是或．2．（2021?成都）在中，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，其中點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，連接，，直線交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：（1），，，，，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上，，，△中，，；（2）過(guò)作交于，過(guò)作于，如圖：繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，，，，，，，中，，，，，，中，，同理，，，，，，；（3）存在最小值1，理由如下：過(guò)作交延長(zhǎng)線于，連接，如圖：繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，，，，，而，，，，，，，，在和△中，，△，，即是中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，是△的中位線，，要使最小，只需最小，此時(shí)、、共線，的最小值為，最小為．3．（2020?成都）在矩形的邊上取一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)，且時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，延長(zhǎng)，與的角平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：（1）四邊形是矩形，，將沿翻折，使點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處，，，，，，，四邊形是矩形，，，；（2）將沿翻折，使點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處，，，又矩形中，，，，，，，，，，，，，，，．（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，，設(shè)，平分，，，，，設(shè)，則，，，解得．．．4．（2019?成都）如圖1，在中，，，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合）．以為頂點(diǎn)作，射線交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)（如圖，求的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某個(gè)位置，使得？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：，，，，，．（2）解：如圖2中，作于．在中，設(shè)，則，由勾股定理，得到，，或（舍棄），，，，，，，，，，，，，，，．（3）點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，存在某個(gè)位置，使得．理由：作于，于，于．則，四邊形為矩形，，，，，，，，在中，由勾股定理，得，，，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，由點(diǎn)不與點(diǎn)重合，可知為等腰三角形，，，，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，存在某個(gè)位置，使得，此時(shí)．5．（2018?成都）在中，，，，過(guò)點(diǎn)作直線，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△（點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，射線，分別交直線于點(diǎn)，．（1）如圖1，當(dāng)與重合時(shí)，求的度數(shù)；（2）如圖2，設(shè)與的交點(diǎn)為，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)，分別在，的延長(zhǎng)線上時(shí)，試探究四邊形的面積是否存在最小值．若存在，求出四邊形的最小面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)可得：，，，，，，，，，，；（2）為的中點(diǎn)，，由旋轉(zhuǎn)可得，，，，，，，，，，；（3），最小，即最小，，法一：（幾何法）取的中點(diǎn)，，，即，當(dāng)最小時(shí)，最小，，即與重合時(shí)，最小，，，的最小值，；法二（代數(shù)法）設(shè)，，由射影定理得：，當(dāng)最小時(shí)，最小，，當(dāng)時(shí)，“”成立，，的最小值，．6．（2022?武侯區(qū)校級(jí)模擬）在菱形中，，，是射線上一點(diǎn)，連接，將沿折疊，得到△．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在左側(cè)，且時(shí)，求的度數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（3）連接，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：（1）如圖1中，設(shè)交于點(diǎn)．由翻折的性質(zhì)可知，，，，，；（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．四邊形是菱形，，，，由翻折的性質(zhì)可知，，，，，在中，，，，；（3）如圖3中，連接，，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)．，，，，，，，，，可以假設(shè)，，，，，，在中，則有，解得或（舍去），，，，設(shè)，則，，，，，，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，．如圖4中，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，同法可得，，，，設(shè)，則，，，，，，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，，綜上所述，滿足條件的的值為或．7．（2022?武侯區(qū)模擬）如圖，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，在線段上取一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．（1）如圖1，若．（?。┊?dāng)，且時(shí)，求的度數(shù)；（ⅱ）試探究線段與之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，若，當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：（1）將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，；，理由如下：過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，，，，，，又，，，，，，，，，又，，；（3）過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，，，，，，又，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，，，．8．（2022?成華區(qū)模擬）在中，，，點(diǎn)為斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線折疊，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，求的值；（3）連接，是否存在點(diǎn)，使，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：，，，，沿直線折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，，，；（2）解：設(shè)，、交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖：，，，，，，，由折疊可知，，，又，，又，．，設(shè)，則，，，，，解答，，，，△是等腰直角三角形，，，，答：的值為；（3）解：存在點(diǎn)，使，理由如下：①當(dāng)在左側(cè)時(shí)，過(guò)作于，如圖：沿直線折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，，，，△是等邊三角形，，，，，，，在中，設(shè)，則，，、是等腰直角三角形，，，，；②當(dāng)在右側(cè)時(shí)，過(guò)作于，如圖：同理可得，△是等邊三角形，，，、是等腰直角三角形，，在中，設(shè)，則，，，，，，綜上所述，的值為或．9．（2022?錦江區(qū)模擬）如圖1，在矩形中，平分交于，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．（1）求證：①；②；（2）求證：；（3）如圖2，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，連接，．若，，當(dāng)有最大值時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：①如圖1中，四邊形是矩形，，，平分，，，，．②證明：連接交于點(diǎn)，連接，，，四邊形是矩形，，，，，，，，五點(diǎn)共圓，．（2）證明：，又，，，，都是等腰直角三角形，，，，，；（3）解：四邊形是矩形，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，當(dāng)，，共線時(shí)，的值最大，如圖中，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，在中，，；如圖中，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，同法可得，綜上所述，的長(zhǎng)為或．10．（2022?金牛區(qū)模擬）已知是矩形的對(duì)角線，將沿折疊得到，與交點(diǎn)為．（1）如圖1，求證：；（2）連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，如圖2，①若，，求的值；②若，求的值．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：將沿折疊得到，，，，四邊形是矩形，，，，，，，；（2）解：①如圖，連接，將沿折疊得到，，平分，垂直平分，，四邊形是矩形，，，，，在中，，①設(shè)與相交于點(diǎn)，則，，，，，，，在中，，，的值為，②由①知，是的中位線，，，設(shè)，，則，，，，，解得，，，．11．（2022?天府新區(qū)模擬）如圖1，和中，，，邊與相交于點(diǎn)，且，連接，．（1）求的值；（2）如圖2，連接，，將繞著點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否為定值，若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，若，，當(dāng)，，三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，求的長(zhǎng)度．【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：（1）不妨設(shè)，，，，，，；（2），理由如下：，，即：，，，，，即：，又，，；（3）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上是，由（2）得，，，，，同理可得：，，，，如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，綜上所述：或．12．（2022?青羊區(qū)模擬）在中，，，是邊上一點(diǎn)，連接．（1）如圖1，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與垂直，求證：；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作，為垂足，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，將（1）中的以點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是，，為上任意一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，若，，最大值為，最小值為，求的值．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：如圖1，設(shè)的延長(zhǎng)線交于，，，，，，在和中，，，；（2）證明：如圖2，作交的延長(zhǎng)線于，，，，，，，，，，，在和中，，，，，；（3）解：如圖3，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，為半徑的圓，設(shè)上的高是，垂足為，則的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，運(yùn)動(dòng)的軌跡是大圓和小圓圍成的圓環(huán)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與小圓交于，此時(shí)最小，為，，延長(zhǎng)交大圓于，最大，，，，，，，．13．（2022?高新區(qū)模擬）在中，，，點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，作關(guān)于對(duì)稱(chēng)的圖形△．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上，且，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，若，連接，是的中點(diǎn)，連接，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求線段長(zhǎng)度的最大值．【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：（1）由題意可得：，，，，，；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，設(shè)，，則，，，，，，，由題意可得：，，，；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作于，取的中點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)作于，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，有最大值，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，又，，，，，，在中，由勾股定理可得：，的最大值為．14．（2022?雙流區(qū)模擬）如圖，在菱形中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，菱形的對(duì)角線交于點(diǎn)，連接．已知，．（1）求證：；（2）連接交于點(diǎn)，求的值；（3）已知點(diǎn)為折線上一動(dòng)點(diǎn)，連接．當(dāng)線段的長(zhǎng)為何值時(shí)，與互為余角，并求此時(shí)直線與直線所夾銳角的正切值．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，，，在和中，，，；（2）解：如圖1中，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，連接，連接交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)．與互為余角，，，，，，，，，，，，，，，，，．如圖3中，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，連接交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)．，，，，，，，，，，，，，，，，綜上所述，滿足條件的直線與直線所夾銳角的正切值為或1．15．（2022?溫江區(qū)模擬）在中，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連接，若，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接和，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求的最小值；（3）試探究、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系（用含的式子表示），并證明．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：，，，，，，，，，；（2）解：如圖2，，，，，，，，，，，，，取的中點(diǎn)，連接，，，設(shè)，，，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，的最小值為；（3）解：．證明：如圖2，取的中點(diǎn)，，，，，，，，，為的中點(diǎn)，，，在中，，．16．（2022?新都區(qū)模擬）如圖，在中，，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度先沿方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再沿方向向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，以、為鄰邊構(gòu)造，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．（1）當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求和的面積；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，設(shè)的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）連接，直接寫(xiě)出將分成的兩部分圖形面積相等時(shí)的值．【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，，，，，，為的中位線，，；（2）①如圖1，當(dāng)時(shí)，作于，則，，；②如圖，當(dāng)時(shí)，作于，則，，同法可得；綜上：；（3）當(dāng)點(diǎn)落在直線上時(shí)，將分成的兩部分面積相等，有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在上，且點(diǎn)在上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，，，，四邊形是平行四邊形，，在與中，，，，，，，，，解得，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在上符合題意，作于，，，，，，，，解得，綜上：或．17．（2022?青羊區(qū)校級(jí)模擬）（1）如圖①，在三角形紙片中，，，，將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，求的長(zhǎng)；（2）如圖②，在三角形紙片中，，，將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，求的值；（3）如圖③，在三角形紙片中，，，，將沿過(guò)頂點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．（?。┣缶€段的長(zhǎng)；（ⅱ）若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊得到△，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：（1），，，，將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，，，，；（2）如圖②中，，，由題意垂直平分線段，，，，，，，，，，；（3）（?。┤鐖D③中，由折疊的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，，，；（ⅱ）如圖③中，，，，，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，，，，．18．（2022?龍泉驛區(qū)模擬）圖形的世界豐富且充滿變化，用數(shù)學(xué)的眼光觀察它們，奇妙無(wú)比．問(wèn)題情景：數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們以等腰三角形紙片為背景進(jìn)行探究性活動(dòng)．如圖，已知為等腰三角形，，，為邊上一點(diǎn)（不與，重合），將沿翻折后得到，連接．操作發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，與交于點(diǎn)，求證：；探究發(fā)現(xiàn)：（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；探究拓廣：（3）若，當(dāng)時(shí)，求的面積．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：，，將沿翻折后得到，，，，，，；（2）延長(zhǎng)到，使，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，設(shè)，，，，，，，，，，，，，，，將沿翻折后得到，，又，，，，又，△，，又，，，即，，即；（3）①在上截取，使，連接，過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)，，，，，解得，，，，，，，折疊，，，，，，，，，，是直角三角形，，，，，，，，；②如圖，在上截取，使，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，同理求出，，，是直角三角形，，，．19．（2022?錦江區(qū)校級(jí)模擬）（1）模型研究如圖①，在中，，為邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．則；（2）模型應(yīng)用如圖②，在中，．若，，求的長(zhǎng)；（3）模型遷移如圖③，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，，，交的延長(zhǎng)線于．若，，求的面積．【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：（1）在中，，，，是的外角，，故答案為：；（2）如圖1，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于，作于，，，由（1）得，，，，，，，；（3）如圖2，作交延長(zhǎng)線于，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)弧，交于，作于，，，，設(shè)，則，，，由（1）知：，，，由（2）模型知：，，四邊形是矩形，，，，，，．20．（2022?新都區(qū)模擬）如圖，和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)為射線與的交點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：；（2）若，，①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，求的長(zhǎng)；②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，直接寫(xiě)出線段長(zhǎng)度的值．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：和是等腰直角三角形，，，，，，，，又是等腰直角三角形，，；（2）解：①和是等腰直角三角形，，，，，，，，，又，，，，，，；②當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，點(diǎn)在線段上，，，，，；如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理．綜上所述可得的長(zhǎng)為或．21．（2022?錦江區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，在正方形中，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在上方作正方形，連接，，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．若，求線段的長(zhǎng)；（3）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求的最小值．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，四邊形是正方形，，，，在和中，，；（2）解：作于，，，，，，，設(shè)，，，，，，解得（負(fù)值舍去），；（3）解：四邊形是正方形，，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，則的最小值為的長(zhǎng)，由勾股定理得，，的最小值為．22．（2022?高新區(qū)校級(jí)模擬）（1）問(wèn)題探究：如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別在邊、上，于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊、上，．①判斷與的數(shù)量關(guān)系：；②推斷：的值為；（無(wú)需證明）（2）類(lèi)比探究：如圖（2），在矩形中，為常數(shù)）．將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，得到四邊形，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，四邊形中，，，，，點(diǎn)、分別在邊、上，求的值．【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：（1）①證明：四邊形是正方形，，．．，．．，．故答案為：．②結(jié)論：．理由：，，，，四邊形是平行四邊形，，，，．故答案為：1．（2）結(jié)論：．理由：如圖2，作于．，，，，，，，，四邊形是矩形，，．（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，連接，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，且，，且，，，，，，，（不合題意，舍去），，，由（2）的結(jié)論可知：．23．（2022?郫都區(qū)模擬）在四邊形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，連接、并延長(zhǎng)，分別交，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、．（1）如圖1，若四邊形是正方形，，連接，求證：；（2）如圖2，若四邊形是菱形，，，設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖3，若四邊形是矩形，，，，求的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，，，，同理，，，，，，，，，；（2）解：四邊形是菱形，，，，，，，同理，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖，取中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，，，且是中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，且，四邊形是平行四邊形，且，，四邊形是正方形，，四邊形是正方形，且，由（2）可得：，，，，，，，，故的長(zhǎng)為．24．（2022?成都模擬）如圖，在矩形中，，，平分交于點(diǎn)．連接，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到△．（1）如圖1，連接，，求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)恰好落在直線上時(shí)，若，求的值；（3）如圖3，連接，當(dāng)與交于點(diǎn)時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：，，，，，，即，；（2）如圖1，四邊形是矩形，，平分，，，，，，由（1）知：，，，，在中，由勾股定理得，，，，綜上所述：；（3）如圖2，，理由如下：于，（1）得，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，，．25．（2022?青羊區(qū)校級(jí)模擬）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①，已知四邊形是正方形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）．連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，．①小明探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，，并給出如下不完整的證明過(guò)程，請(qǐng)幫他補(bǔ)充完整．證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)．②進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的度數(shù)為．【類(lèi)比遷移】（2）如圖②，四邊形為矩形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，，，當(dāng)，，時(shí)，求的長(zhǎng)；【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，已知四邊形為菱形，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，若恰好落在菱形的邊上（不與頂點(diǎn)重合），求的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）①證明：如圖①，延長(zhǎng)由對(duì)稱(chēng)可知，，，，四邊形是正方形，，，在和中，，．②解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，由對(duì)稱(chēng)可知，四邊形是正方形，，，由①得到，，故答案為：．（2）解：如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)可知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，是的中位線，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，由（1）①得，，，，，，，，是的中位線，．（3）解：如圖3，當(dāng)落在上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，四邊形是菱形，，，，，，同理證得，，，；如圖4，當(dāng)落在上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出，，，四邊形是菱形，，，，，，，，，又，，，，設(shè)，則，，，解得，，綜上所述，或．26．（2022?錦江區(qū)校級(jí)模擬）取一張矩形紙片，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線折疊得．（1）如圖1，連接，，，當(dāng)時(shí)，試判斷的形狀；（2）如圖2，連接，當(dāng)，的最大值與最小值的和為20時(shí)，求線段的值；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在邊上，分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△，分別連接，，取中點(diǎn)連接，試探究線段與的數(shù)量關(guān)系．【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：（1）結(jié)論：是等邊三角形．理由：如圖1中，由翻折變換的性質(zhì)可知，，四邊形是矩形，，，，，，在和中，，，，，是等邊三角形；（2）如圖2中，連接，由題意，的最大值為線段的長(zhǎng)，設(shè)，則最小值為，當(dāng)，，共線時(shí)，的值最小，，，，，，；（3）結(jié)論：．理由：如圖3中，延長(zhǎng)到，使得，連接，，．，，，△，，，由翻折的性質(zhì)可知，，，，，，又，，，△，，，，，，，，△是等腰直角三角形，．27．（2022?郫都區(qū)模擬）如圖，矩形中，點(diǎn)為對(duì)角線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，連接，探究線段、、的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，若面積的最大值為6，求的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：如圖1，連接，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，在和中，，，，，，，在四邊形中，，，，，，；（2）如圖2，作于，作于，，四邊形是矩形，，四邊形是矩形，，，，即：，，，，，，，，，，在中，設(shè)，，，，，，，，，；（3）如圖3，作于，設(shè)，，，，，，，，，，，，．28．（2022?雙流區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，在菱形中，是對(duì)角線，，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，連接與相交于點(diǎn)．（1）求的度數(shù)．（2）如圖2，作交于點(diǎn)，若，，求的值．（3）如圖3，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，當(dāng)構(gòu)成等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：（1）四邊形是菱形，，，，是等邊三角形．，，，，；（2）如圖2中，延長(zhǎng)至點(diǎn)使得．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，；（3）如圖中，當(dāng)時(shí)，連接交于點(diǎn)，連接，．，點(diǎn)在的垂直平分線上，垂直平分線段，點(diǎn)在上，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．如圖中，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，，，，，，，，，，在中，，，在中，，，整理得，，解得或（舍棄），，．綜上所述，或．29．（2022?簡(jiǎn)陽(yáng)市模擬）已知在正方形中，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)．（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)，．若，試探究四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，連結(jié)，在上截取，點(diǎn)，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)．若正方形的面積為32，直接寫(xiě)出周長(zhǎng)的最小值．【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：（1）如圖1，連結(jié)，點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，四邊形是正方形，，．．，．在四邊形中，，．即；（2）四邊形是平行四邊形，理由如下：如圖2，連接．，．，．在中，，，又四邊形是正方形，，，又，．．，．．又．四邊形是平行四邊形；（3）周長(zhǎng)的最小值為．如圖3，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連結(jié)，，．連結(jié)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)．，則周長(zhǎng)的最小值為的長(zhǎng)，由對(duì)稱(chēng)知．．．，．．．，．．，．，．于點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，取中點(diǎn)，則．當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)最?。钚≈禐?，最小值為．周長(zhǎng)的最小值為．30．（2022?武侯區(qū)校級(jí)模擬）在矩形中，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接．（1）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，將沿翻折，使點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上點(diǎn)處，交于點(diǎn)．①如圖1，若，求的度數(shù)；②如圖2，當(dāng)，且時(shí)，求的長(zhǎng)．（2）在②所得矩形中，將矩形沿進(jìn)行翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線