6.2黃金分割（練習(xí)）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)（蘇科版）

第六章圖形的相似6.2黃金分割基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一．單選題1．已知點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＞BP，則下列比例式能成立的是（）A．ABAP＝BPAB B．BPAP＝ABBP C．APAB＝BP【詳解】解：根據(jù)黃金分割定義可知：AP是AB和BP的比例中項(xiàng)，∴AP2＝AB?BP，∴APAB＝BP故選：C．2．在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺(jué)美感．按此比例，如果雕像的高為3m，那么它的下部應(yīng)設(shè)計(jì)為多高？設(shè)它的下部設(shè)計(jì)高度為xm，根據(jù)題意，列方程正確的是（）A．x2＝3（x﹣3） B．x2＝3（3﹣x） C．x2＝3 D．x2＝3﹣x【詳解】解：設(shè)雕像的下部設(shè)計(jì)高度為xm，∵雕像的高為3m，∴雕像上部設(shè)計(jì)高度為（3﹣x）m，∵雕像的上部與下部的高度比等于下部與全部的高度比，∴3?xx＝∴x2＝3（3﹣x）．故選：B．3．已知點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），AB＝6，那么AP的長(zhǎng)是（）A．35﹣3 B．2﹣5 C．25﹣1 D．5﹣2【詳解】解：由于P為線(xiàn)段AB＝6的黃金分割點(diǎn)，且AP是較長(zhǎng)線(xiàn)段；則AP＝6×5?12＝3故選：A．4．矩形的兩條相鄰的邊的長(zhǎng)分別為a、b，下列數(shù)據(jù)能構(gòu)成黃金矩形（寬與長(zhǎng)的比為黃金比的矩形）的是（）A．a(chǎn)＝4，b＝5+2 B．a(chǎn)＝4，b＝5﹣2 C．a(chǎn)＝4，b＝25+4 D．a(chǎn)＝4，b＝25﹣2【詳解】解：∵寬與長(zhǎng)的比是5?1∴當(dāng)a＝4，b＝5+2時(shí)，ab＝45+2＝45當(dāng)a＝4，b＝5﹣2時(shí)，ba＝5?24當(dāng)a＝4，b＝25+4時(shí)，ab＝425+4＝2當(dāng)a＝4，b＝25﹣2時(shí)，ba＝25?24＝故選：D．5．如圖，C是AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞CB），BG＝AB，以CA為邊的正方形的面積為S1，以BC、BG為邊的正方形的面積為S2，則S1與S2的關(guān)系為（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．無(wú)法判斷【詳解】解：根據(jù)黃金分割的概念和正方形的性質(zhì)知：AC2＝AB?BC，S1S2＝AC2BC?BG＝AC2BC?AB＝AC故選：C．6．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊AB邊上的黃金分割點(diǎn)，且AE＞EB，S1表示AE為邊長(zhǎng)的正方形面積，S2表示以BC為長(zhǎng)，BE為寬的矩形面積，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面積，S3：S2的值為（）A．12 B．23 C．5?1【詳解】解：設(shè)AB＝a，∵點(diǎn)E是邊AB邊上的黃金分割點(diǎn)，AE＞EB，∴AE＝5?12AB＝5∴BE＝AB﹣AE＝a﹣5?12a＝3?∴S3：S2＝5?12a故選：C．7．“雙減”期間，某校音樂(lè)社團(tuán)購(gòu)買(mǎi)了一種樂(lè)器，如圖．樂(lè)器上的一根弦AB＝60cm，兩個(gè)端點(diǎn)A，B固定在樂(lè)器板面上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則C，D之間的距離為（）A．（305﹣30）cm B．（605﹣30）cm C．（100﹣305）cm D．（605﹣120）cm【詳解】解：∵點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，AB＝60cm，∴AC＝BD＝5?12AB＝5?12×60＝（30∴CD＝AC﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝（605﹣120）（cm）．故選：D．二．填空題8．大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹(shù)葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”（黃金比為5?12≈0.618），如圖，P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞BP），如果AB的長(zhǎng)度為10cm，那么較長(zhǎng)線(xiàn)段AP的長(zhǎng)度為【詳解】解：∵P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），AB＝10cm，∴AP＝5?12AB≈0.618×10≈6.2（故答案為：6.2．9．已知點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，若AB＝8，則線(xiàn)段AC的長(zhǎng)為．【詳解】解：∵點(diǎn)C是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，AB＝8，∴AC＝5?12AB＝45﹣4，或AC＝8﹣（45﹣4）＝12﹣4故答案為：45﹣4或12﹣45．10．當(dāng)一個(gè)人的上半身（肚臍以上的高度）與下半身（肚臍以下的高度）的比值越接近黃金分割比0.618時(shí)，越給人一種美感．某位參加空姐選拔的選手身高165cm，上半身長(zhǎng)65cm，那么她應(yīng)穿cm的鞋子才更美？（精確到1cm）．【詳解】解：設(shè)某位參加空姐選拔的選手應(yīng)穿xcm的鞋子才更美，根據(jù)題意，得：65165?65+x≈0.618，解得：∴某位參加空姐選拔的選手應(yīng)穿5cm的鞋子才更美．故答案為：5．11．已知線(xiàn)段AB，點(diǎn)P是它的黃金分割點(diǎn)，AP＞BP，設(shè)以AP為邊的等邊三角形的面積為S1，以PB、AB為直角邊的直角三角形的面積為S2，則S1與S2的關(guān)系是．【詳解】解：∵點(diǎn)P是它的黃金分割點(diǎn)，AP＞BP，∴AP：AB＝PB：AP，即AP2＝PB?AB，∵S1＝12×AP×32AP＝34AP2，S2＝12∵34＜1∴34AP2＜12AB?∴S1＜S2．故答案為：＜．12．實(shí)數(shù)a，n，m，b滿(mǎn)足a＜n＜m＜b，這四個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，N，M，B，若AM2＝BM?AB，BN2＝AN?AB，則稱(chēng)m為a，b的“大黃金數(shù)”，n為a，b的“小黃金數(shù)”，當(dāng)b﹣a＝4時(shí)，m﹣n＝．【詳解】解：由題意得：AB＝b﹣a＝4，設(shè)AM＝x，則BM＝4﹣x，∵AM2＝BM?ABx2＝4（4﹣x），解得：x＝﹣2±25，x1＝﹣2+25，x2＝﹣2﹣25（舍），∴AM＝BN＝25﹣2，∴MN＝m﹣n＝AM+BN﹣4＝2AM﹣4＝2（25﹣2）﹣4＝45﹣8．故答案為：45﹣8．13．黃金分割具有嚴(yán)格的比例性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，這一比值能夠引起人們的美感．如圖，連接正五邊形ABCDE的各條對(duì)角線(xiàn)圍成一個(gè)新的五邊形MNPQR．圖中有很多頂角為36°的等腰三角形，我們把這種三角形稱(chēng)為“黃金三角形”，黃金三角形的底與腰之比為5?12．若DM＝2，則AB＝【詳解】解：∵五邊形內(nèi)角和（5﹣2）×180°＝540°，∴∠EDC＝108°，∠DCE＝∠DEC＝36°，∴△CDM為黃金三角形，∴DMCD＝5∵DM＝2，∴CD＝5+1，∴AB＝5+1．故答案為：5+1．三．解答題14．閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：黃金分割：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus，約前408年﹣﹣前355年）發(fā)現(xiàn)：如圖1，將一條線(xiàn)段AB分割成長(zhǎng)、短兩條線(xiàn)段AP、PB，若短段與長(zhǎng)段的長(zhǎng)度之比等于長(zhǎng)段的長(zhǎng)度與全長(zhǎng)之比，即PBAP＝APAB（此時(shí)線(xiàn)段AP叫做線(xiàn)段PB，AB的比例中項(xiàng)），則可得出這一比值等于5?12（0.618…）．這種分割稱(chēng)為黃金分割，這個(gè)比值稱(chēng)為黃金比，點(diǎn)采用如下方法可以得到黃金分割點(diǎn)：如圖2，設(shè)AB是已知線(xiàn)段，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB于點(diǎn)B，且使BD＝12AB，連接DA，在DA．上截取DE＝DB，在A(yíng)B上截取AC＝AE，C就是線(xiàn)段AB（1）求證：C是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)．（2）若BD＝1，則BC的長(zhǎng)為．【詳解】（1）證明：設(shè)BD＝x，則AB＝2x，由勾股定理得：AD＝5x，∵DE＝BD＝x，∴AC＝AE＝AD﹣DE＝AD﹣BD＝（5﹣1）x，∴ACAB＝5∴C是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)；（2）解：當(dāng)BD＝1時(shí)，由（1）知AB＝2，AC＝5﹣1，∴BC＝AB﹣AC＝2﹣（5﹣1）＝3﹣5，故答案為：3﹣5．15．再讀教材：寬與長(zhǎng)的比是5?12（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱(chēng)的美感，世界各國(guó)許多著名的建筑，為取得最佳的視覺(jué)效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)，下面，我們用寬為2的矩形紙片折疊黃金矩形．（提示：第一步，在矩形紙片一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平．第二步，如圖②，把這個(gè)正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再把紙片展平．第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對(duì)角線(xiàn)AB，并把AB折到圖③中所示的AD處．第四步，展平紙片，按照所得的點(diǎn)D折出DE，使DE⊥ND，則圖④中就會(huì)出現(xiàn)黃金矩形．問(wèn)題解決：（1）圖③中AB＝（保留根號(hào)）；（2）如圖③，判斷四邊形BADQ的形狀，并說(shuō)明理由；（3）請(qǐng)寫(xiě)出圖④中所有的黃金矩形，并選擇其中一個(gè)說(shuō)明理由．【詳解】解：（1）∵四邊形MNCB是正方形，∴NC＝MN＝2，由折疊的性質(zhì)得：AC＝12NC在Rt△ABC中，AB＝AC2+BC2＝故答案為：5；（2）四邊形BADQ是菱形，理由如下：證明：由折疊可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，∵BQ∥AD，∴∠AQB＝∠DAQ，∴∠AQB＝∠BAQ，∴AB＝BQ，即AD＝AB＝BQ＝BD，∴四邊形BADQ為菱形；（3）圖④中的黃金矩形有：矩形BCDE，矩形MNDE，理由如下：∵AD＝AB＝5，AN＝AC＝1，∴CD＝5﹣1，ND＝5+1，∴CDBC＝5?12，MNND＝∴矩形BCDE，矩形MNDE是黃金矩形．提升篇提升篇16．（如圖1），點(diǎn)P將線(xiàn)段AB分成一條較小線(xiàn)段AP和一條較大線(xiàn)段BP，如果APBP＝BPAB，那么稱(chēng)點(diǎn)P為線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，設(shè)APBP＝BPAB＝k，則（1）以圖1中的AP為底，BP為腰得到等腰△APB（如圖2），等腰△APB即為黃金三角形，黃金三角形的定義為：滿(mǎn)足底腰＝腰底+（2）如圖1，設(shè)AB＝1，請(qǐng)你說(shuō)明為什么k約為0.618；（3）由線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到圖形的“黃金分割線(xiàn)”，類(lèi)似地給出“黃金分割線(xiàn)”的定義：直線(xiàn)l將一個(gè)面積為S的圖形分成面積為S1和面積為S2的兩部分（設(shè)S1＜S2），如果S1S2＝S2S，那么稱(chēng)直線(xiàn)l為該圖形的黃金分割線(xiàn)．（如圖3），點(diǎn)P是線(xiàn)段AB（4）圖3中的△ABC的黃金分割線(xiàn)有幾條？【詳解】解：（1）滿(mǎn)足寬長(zhǎng)＝長(zhǎng)（2）由BPAB＝k得：BP＝1×k＝k，則AP＝1﹣k由APBP＝BPAB得：BP2＝AP×即k2＝（1﹣k）×1，解得：k＝?1±5∵k＞0，∴k＝5?1（3）∵點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，∴APBP＝BP設(shè)△ABC的AB上的高為h，則S?APCS?BPC＝12AP×?∴S?APCS∴直線(xiàn)CP是△ABC的黃金分割線(xiàn)．（4）由（3）知，在BC邊上也存在這樣的黃金分割點(diǎn)Q，則AQ也是黃金分割線(xiàn)，設(shè)AQ與CP交于點(diǎn)W，則過(guò)點(diǎn)W的直線(xiàn)均是△ABC的黃金分割線(xiàn)，故黃金分割線(xiàn)有無(wú)數(shù)條．17．二次根式的除法，要化去分母中的根號(hào)，需將分子、分母同乘以一個(gè)恰當(dāng)?shù)亩胃剑纾夯?jiǎn)：12解：將分子、分寫(xiě)同乘以2+1得12?1＝2+1類(lèi)比應(yīng)用：（1）化簡(jiǎn)：123?（2）化簡(jiǎn)：12+1+13拓展延伸：寬與長(zhǎng)的比是5?12的矩形叫黃金矩形，如圖①，已知黃金矩形ABCD的寬（1）黃金矩形ABCD的長(zhǎng)BC＝；（2）如圖②，將圖①中的黃金矩形裁剪掉一個(gè)以AB為邊的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否為黃金矩形，并證明你的結(jié)論；（3）在圖②中，連接AE，則點(diǎn)D到線(xiàn)段AE的距離為．【詳解】解：類(lèi)比應(yīng)用：（1）化簡(jiǎn)得：123?11＝23故答案為：23+11；（2）根據(jù)題意可得：原式＝2﹣1+3﹣2+…+9﹣8＝﹣1+3＝2；拓展延伸：（1）∵寬與長(zhǎng)的比是5?1∵黃金矩形ABCD的寬AB＝1，∴黃金矩形ABCD的長(zhǎng)BC為：15?12＝2故答案為：5+1（2）矩形DCEF是黃金矩形，理由如下：由裁剪可知：AB＝AF＝BE＝EF＝CD＝1，根據(jù)黃金矩形的性質(zhì)可知：AD＝BC＝15?12＝2∴FD＝EC＝AD﹣AF＝5+12﹣1＝∴FDEF＝5?12∴矩形DCEF是黃金矩形；（3）如圖，連接AE，DE，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AE于點(diǎn)G，∵AB＝EF＝1，AD＝5+1∴AE＝12+1在△AED中，S△AED＝12×AD×EF＝12×AE×即AD×EF＝AE×DG，則5+12×1＝2×解得：DG＝10+∴點(diǎn)D到線(xiàn)段AE的距離為10+故答案為：10+18．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠BOC＝108°，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)CD分別交直線(xiàn)AB和⊙O于點(diǎn)D、E，連接OE，DE＝12AB，OD＝2．（1）求∠CDB的度數(shù)；（2）我們把有一個(gè)內(nèi)角等于36°的等腰三角形稱(chēng)為黃金三角形．它的腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)的比（或者底邊長(zhǎng)與腰長(zhǎng)的比）等于黃金分割比5?1①寫(xiě)出圖中所有的黃金三角形，選一個(gè)說(shuō)明理由；②求弦CE的長(zhǎng)；③在直線(xiàn)AB或CD上是否存在點(diǎn)P（點(diǎn)C、D除外），使△POE是黃金三角形？若存在，畫(huà)出點(diǎn)P，簡(jiǎn)要說(shuō)明畫(huà)出點(diǎn)P的方法（不要求證明）；若不存在，說(shuō)明理由．

【詳解】解：（1）∵AB是⊙O的直徑，DE＝12AB∴OA＝OC＝OE＝DE，∴∠EOD＝∠CDB，∠OCE＝∠OEC，設(shè)∠CDB＝x，則∠EOD＝x，∠OCE＝∠OEC＝2x，又∵∠BOC＝108°，∴∠CDB+∠OCD＝108°，∴x+2x＝108，x＝36°，∴∠CDB＝36°；（2）①有三個(gè)：△DOE，△COE，△COD，理由如下：∵OE＝DE，∠CDB＝36°，∴△DOE