專題13.9三角形中的邊角關系命題與證明章末八大題型總結（拔尖篇）（滬科版）（原卷版）

專題13.9三角形中的邊角關系、命題與證明章末八大題型總結（拔尖篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1利用三角形的中線求面積】 1【題型2利用三角形的三邊關系求線段的最值或取值范圍】 2【題型3利用三角形的三邊關系化簡或證明】 3【題型4與角平分線有關的三角形角的計算問題】 4【題型5與平行線有關的三角形角的計算問題】 6【題型6與折疊有關的三角形角的計算問題】 8【題型7坐標系中的角度探究問題】 10【題型8有關三角形角度的多結論問題】 12【題型1利用三角形的中線求面積】【例1】（2023春·貴州畢節(jié)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四邊形DEFG的面積為28，則△ABC的面積為（

）

A．60 B．56 C．70 D．48【變式11】（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF的面積為4，則四邊形AEFD的面積為．【變式12】（2023春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點C為直線AB外一動點，AB=6，連接CA、CB，點D、E分別是AB、BC的中點，連接AE、CD交于點F，當四邊形

【變式13】（2023春·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末）【問題情境】蘇科版數(shù)學課本八年級下冊上有這樣一道題：如圖1，AD是△ABC的中線，△ABC與△ABD的面積有怎樣的數(shù)量關系？小旭同學在圖1中作BC邊上的高AE，根據(jù)中線的定義可知BD=CD．又因為高AE相同，所以S△ABD=S

【深入探究】（1）如圖2，點D在△ABC的邊BC上，點P在AD上．①若AD是△ABC的中線，求證：S△APB②若BD=3DC，則S△APB【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長四邊形ABCD的各邊，使得點A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點，依次連結E、F、G、H得四邊形EFGH．①求證：S△HDG②若S四邊形ABCD=3【題型2利用三角形的三邊關系求線段的最值或取值范圍】【例2】（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠AOB<90°，點M在OB上，且OM=6，點M到射線OA的距離為a，點P在射線OA上，MP=x．若△OMP的形狀，大小是唯一確定的，則x的取值范圍是（

）

A．x=a或x≥6 B．x≥6 C．x=6 D．x=6或x>a【變式21】（2023秋·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）不等邊△ABC的兩條高的長度分別為4和12，若第三條高也為整數(shù)，那么它的長度最大值是【變式22】（2023秋·安徽·八年級期末）一個三角形的兩邊長分別為5和7，設第三邊上的中線長為x，則x的取值范圍是（

）A．x>5 B．x<7 C．2<x<12 D．1<x<6【變式23】（2023秋·浙江杭州·八年級期末）設a,b,c表示一個三角形三邊的長，且他們都是自然數(shù)，其中a≤b≤c，若b=2020，則滿足此條件的三角形共有個．【題型3利用三角形的三邊關系化簡或證明】【例3】（2023·八年級單元測試）如圖，已知點O為ΔABC內任意一點.證明：（1）OA+OB+OC>1（2）AB+AC+BC>OA+OB+OC.（3）若A，B，C為三個城鎮(zhèn)，AB+AC+BC=10km，要在ΔABC內建造供水站O向三個城鎮(zhèn)按如圖路線供水，則所需供水管長度應滿足什么條件？【變式31】（2023春·八年級課時練習）已知a，b，c是一個三角形的三邊長，化簡|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．【變式32】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖1，點P是△ABC內部一點，連接BP，并延長交AC于點D．(1)試探究AB+BC+CA與2BD的大小關系；(2)試探究AB+AC與PB+PC的大小關系；(3)如圖2，點D，E是△ABC內部兩點，試探究AB+AC與BD+DE+CE的大小關系．【變式33】（2023春·六年級單元測試）如圖，草原上有四口油井，位于四邊形ABCD的四個頂點上，現(xiàn)在要建立一個維修站H，試問H建在何處，才能使它到四口油井的距離之和HA+HB+HC+HD最小，說明理由【題型4與角平分線有關的三角形角的計算問題】【例4】（2023春·江蘇蘇州·八年級太倉市第一中學?？计谥校┤鐖D1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．(1)若∠A=60°，則∠BDC的度數(shù)為_________；(2)若∠A=α，直線MN經過點D．①如圖2，若MN∥AB，求∠NDC?∠MDB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；②如圖3，若MN繞點D旋轉，分別交線段BC,AC于點M,N，試問旋轉過程中∠NDC?∠MDB的度數(shù)是否會發(fā)生改變？若不變，求出∠NDC?∠MDB的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示），若改變，請說明理由；③如圖4，繼續(xù)旋轉直線MN，與線段AC交于點N，與CB的延長線交于點M，請直接寫出∠NDC與∠MDB的關系（用含α的代數(shù)式表示）．【變式41】（2023秋·河南漯河·八年級?？计谥校?）在圖1中，請直接寫出∠A（2）如果圖2中，∠D=40°,∠B=36°，AP與CP分別是∠DAB（3）如果圖2中∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問∠P與∠【變式42】（2023春·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）∠MON=90°，點A，B分別在OM、ON上運動(不與點O重合)．(1)如圖①，AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，隨著點A、點B的運動，當AO=BO時∠AEB=°；(2)如圖②，若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線與∠OAB的平分線交于點D，隨著點A，B的運動∠D的大小會變嗎？如果不會，求∠D的度數(shù)；如果會，請說明理由；(3)如圖③，延長MO至Q，延長BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分線與∠BOQ的平分線及其延長線相交于點E、F，在△AEF中，如果有一個角是另一個角的3倍，求∠ABO的度數(shù)．【變式43】（2023秋·安徽宣城·八年級?？计谥校┤鐖D1，∠MON=90°，點A、B分別在OM、ON上運動（不與點O重合）．(1)若BC是∠ABN的平分線，BC的反方向延長線與∠BAO的平分線交于點D．①若∠BAO=60°，則∠D=______°；②猜想：∠D的度數(shù)是否隨A，B的移動發(fā)生變化？并說明理由．(2)如圖2，若∠OAD=35∠OAB，∠NBC=35(3)若將∠MON=90°改為∠MON=120°（如圖3），∠OAD=mn∠OAB，∠NBC=mn∠NBA，其余條件不變，則∠D=______（用含【題型5與平行線有關的三角形角的計算問題】【例5】（2023春·遼寧盤錦·八年級統(tǒng)考期末）（1）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PMB=140°，∠PND=120°，求∠MPN的度數(shù)；（2）問題遷移：在（1）的條件下，如圖2，∠AMP的角平分線與∠CNP的角平分線交于點F，則∠MFN的度數(shù)為多少？請說明理由；（3）問題拓展：如圖3，AB∥CD，點P在射線OM上移動時（點P與點O，M，D三點不重合），記∠PAB=α，∠PCD=β，請直接寫出∠APC與α，β之間的數(shù)量關系．【變式51】（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD，點P在直線AB上，作∠BPM=50°，交CD于點M，點F是直線CD上的一個動點，連接PF，PE⊥CD于點E，PN平分∠MPF．

(1)若點F在點E左側且∠PFM=32°，求∠NPE的度數(shù)；(2)當點F在線段EM（不與點M，E重合）上時，設∠PFM=α°，直接寫出∠NPE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；(3)將射線PF從（1）中的位置開始以每秒10°的速度繞點P逆時針旋轉至PM的位置，轉動的時間為t秒，求當t為何值時，△FPM為直角三角形．【變式52】（2023春·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期中）如圖，AB//CD，點O在直線CD上，點P在直線AB和CD之間，∠ABP=∠PDQ=α，PD平分∠BPQ．（1）求∠BPD的度數(shù)（用含α的式子表示）；（2）過點D作DE//PQ交PB的延長線于點E，作∠DEP的平分線EF交PD于點F，請在備用圖中補全圖形，猜想EF與PD的位置關系，并證明；（3）將（2）中的“作∠DEP的平分線EF交PD于點F”改為“作射線EF將∠DEP分為1:3兩個部分，交PD于點F”，其余條件不變，連接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，請直接寫出∠FEQ=__________（用含α的式子表示）．【變式53】（2023春·湖北省直轄縣級單位·八年級?？计谥校┮阎狹N∥PQ，點D是直線(1)如圖1，現(xiàn)有一塊含30°角的直角三角板（∠CAB=30°，∠ACB=60°，∠ABC=90°），將其點A固定在直線MN上，并按圖1位置擺放，使∠MAC=30°，點B恰好落在射線DE上，此時，∠PDE=20°，求∠ABD的度數(shù)；(2)現(xiàn)將射線DE從圖1的位置開始以每秒2度的速度繞點D順時針旋轉，轉到與DQ重合時停止，三角板按圖1擺放不動，設旋轉時間為t秒，在旋轉過程中，當DE與三角板的一邊平行時，求t的值；(3)若將射線DE從圖1的位置開始以每秒2度的速度繞點D順時針旋轉，同時，將三角板ABC也從圖1的位置開始以每秒4度的速度繞點A逆時針旋轉，在旋轉過程中，∠MAC的角平分線AH與∠PDE的角平分線DF交于點O．①如圖2，當DF∥BC時，②如圖3，當DF∥BA時，【題型6與折疊有關的三角形角的計算問題】【例6】（2023秋·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期末）有一張正方形紙片ABCD，點E是邊AB上一定點，在邊AD上取點F，沿著EF折疊，點A落在點A′處，在邊BC上取一點G，沿EG折疊，點B落在點B′處．(1)如圖1，當點B落在直線A′E上時，猜想兩折痕的夾角∠FEG的度數(shù)并說明理由．(2)當∠A′EB′=13∠B′EB時，設∠A′EB′=x①試用含x的代數(shù)式表示∠FEG的度數(shù)．②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此時∠FEG的度數(shù)；若不可能，請說明理由．【變式61】（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，將一張三角形紙片ABC沿著AD折疊，使點C落在邊AB上的C處，若∠CAB=70°，則∠CAD=______°；（2）如圖2，將一張三角形紙片ABC沿著DE折疊(點D，E分別在邊AB和AC上)，并使得點A和點A′重合，若∠A=70°，則∠1+∠2=______°（3）如圖3，將長方形紙片沿著BC和BD折疊成如圖所示的形狀，BE和BI重合，①∠CBD的度數(shù)是多少？請說明理由；②如果∠IBD=58°17′，求【變式62】（2023秋·江西南昌·八年級校聯(lián)考期末）我們在小學已經學習了“三角形內角和等于180°”．在三角形紙片中，點D，E分別在邊AC，BC上，將∠C沿DE折疊，點C落在點C'(1)如圖1，當點C落在邊BC上時，若∠ADC′=58°，則∠C=______，可以發(fā)現(xiàn)∠ADC′(2)如圖2，當點C落在△ABC內部時，且∠BEC′=42°，∠AD(3)如圖3，當點C落在△ABC外部時，若設∠BEC′的度數(shù)為x，∠ADC'的度數(shù)為y，請求出∠C與【變式63】（2023春·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使得點A落A′的位置，折痕為DE(1)當點A落在四邊形BCDE的外部A′的位置且A′與點C在直線①如圖1，若∠C=90°，∠A=30°，求∠1?∠2的度數(shù)；②如圖2，請寫出∠1、∠2和∠A的關系并證明；如圖3，有一張三角形紙片ABC，∠A=30°，∠C=50°，若點E是AB邊上的固定點（AE<12AB），請在AC上找一點D，將紙片沿DE折疊，DE為折痕點A落在A′處，使A′【題型7坐標系中的角度探究問題】【例7】（2019春·遼寧葫蘆島·七年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中A(a,0)，C(0,c)且滿足(a+6)2+c+3=0，長方形（1）求點B的坐標．（2）如圖1，若點M從點A出發(fā)，以2個單位/秒的速度向右運動（不超過點O），點N從原點O出發(fā)，以1個單位/秒的速度向下運動（不超過點C），設M、N兩點同時出發(fā)，在它們運動的過程中，四邊形MBNO的面積是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求變化的范圍．（3）如圖2，E為x軸負半軸上一點，且∠CBE=∠CEB，F(xiàn)是x軸正半軸上一動點，∠ECF的平分線CD交BE的延長線于點D，在點F運動的過程中，請?zhí)骄俊螩FE與∠D的數(shù)量關系，并說明理由.【變式71】（2023春·重慶彭水·七年級統(tǒng)考期中）已知，在平面直角坐標系中，點A的坐標是a,0，B的坐標是0，b，其中a、b滿足a?12+b?3=0，將點B向左平移mm>0個單位到點C，連接AC

(1)求點A、B的坐標．(2)如圖1，若S△ABC>4(3)如圖2，若m>1，BE平分∠ABC交AC于點E（不與點A重合），射線CF交直線AB于點G，交射線BE于點M，求∠CGA，【變式72】（2023春·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期中）已知直線MN∥PQ，點A在直線MN上，點B、C為平面內兩點，AC⊥BC于點

(1)如圖1，當點B在直線MN上，點C在直線MN上方時，延長CB交直線PQ于點D，則∠CAB和∠CDP之間的數(shù)量關系是___________．(2)如圖2，當點C在直線MN上且在點A左側，點B在直線MN與PQ之間時，過點B作BD⊥AB交直線PQ于點D．為探究∠ABC與∠BDP之間的數(shù)量關系，小明過點B作BF∥MN．請根據(jù)他的思路，寫出∠ABC與∠BDP的關系，并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，作∠ABD的平分線交直線MN于點E，當∠AEB=2∠ABC時，直接寫出∠ABC的度數(shù)．(4)如圖4，當點C在直線MN上且在點A左側，點B在直線PQ下方時，過點B作BD⊥AB交直線PQ于點D．作∠ABD的平分線交直線MN于點E，當∠BDP=2∠BEN時，請補充圖形并直接寫出∠ABC的度數(shù)．【變式73】（2023春·四川自貢·七年級?？计谥校┤鐖D1，平面直角坐標系中，已知Aa,0，Bb,3，C2,0，且滿足a+3

(1)填空：a=______，b=______；(2)如圖1，在x軸上是否存在點P（P點不與點A、O、C重合），使得△ABP的面積與△ABC的面積相等？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，點D為y軸正半軸上一點，ED∥AB，且AM，DM分別平分∠CAB，∠ODE，AM交y軸于點P，求【題型8有關三角形角度的多結論問題】【例8】（2023春·福建福州·七年級