專題01平行線的判定與性質(zhì)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)

專題01平行線的判定與性質(zhì)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一平行公理的應(yīng)用題型二“三線八角”判定直線平行題型三平行線判定的綜合題型四平行線性質(zhì)的綜合題型五根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度題型六平行線的性質(zhì)在生活中的實(shí)際應(yīng)用題型七平行線的判定與性質(zhì)綜合（折疊問題）題型八平行線的判定與性質(zhì)綜合（旋轉(zhuǎn)問題）【經(jīng)典例題一平行公理的應(yīng)用】【例1】（2021春·湖北鄂州·七年級統(tǒng)考期中）對于同一平面內(nèi)的三條直線a，b，c，給出下列5個論斷：①a∥b；②b∥c；③a∥c；④a⊥b；⑤a⊥c．以其中兩個論斷作為題設(shè)，一個論斷作為結(jié)論，組成一個你認(rèn)為不正確的命題是()A．已知①②則③ B．已知②⑤則④ C．已知②④則③ D．已知④⑤則②【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定定理對每個命題仔細(xì)分析，判斷其對錯．【詳解】解：A．根據(jù)平行線的傳遞性，由①②可得到③，所以A為真命題；B．根據(jù)平行線的性質(zhì)和垂直的定義，由②⑤可得④，所以B為真命題；C．根據(jù)平行線的性質(zhì)和垂直的定義，由②④可得b⊥c，所以C為假命題；D．根據(jù)平行線的判定，由④⑤可得②，所以D為真命題．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了命題的敘述形式，利用了平行線的判定方法．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）下列說法中是真命題正確的個數(shù)有（

）個（1）若ab，bd，則ad；（2）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；（3）兩條直線不相交就平行；（4）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)平行線的定義與判定、垂線的性質(zhì)、平行公理對各小題分析判斷后即可得解．【詳解】（1）若ab，bd，則ad，故原說法正確；（2）過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故原說法錯誤；（3）在同一平面內(nèi)，兩條直線不相交就平行，故原說法錯誤；（4）同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故原說法錯誤．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行公理，平行線的性質(zhì)定義，垂線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握課本內(nèi)容．【變式2】（2020春·黑龍江牡丹江·七年級校考期中）給出下列說法：（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；（2）平面內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交；（3）相等的兩個角是對頂角；（4）三條直線兩兩相交，有三個交點(diǎn)；（5）若a⊥b，b⊥c，則a⊥c．其中正確的有________個【答案】1【分析】根據(jù)各小題的描述情況，判斷各小題的正誤，即可得到答案．【詳解】解：（1）∵兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，故（1）不正確；（2）∵平面內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交，故（2）正確；（3）∵對頂角相等，但相等的角不一定是對頂角，故（3）不正確；（4）∵三條直線兩兩相交，也可能是交于同一個點(diǎn)，故（4）不正確；（5）∵若ab，bc，則ac，故（5）不正確，正確的只有（2）一個選項(xiàng)，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考察了平面內(nèi)直線的位置關(guān)系，平行公理的應(yīng)用、直線相交交點(diǎn)個數(shù)問題，解題的關(guān)鍵在于畫出題意所示的直線位置圖，以此判斷說法的正誤．【變式3】（2021春·七年級課時練習(xí)）探索與發(fā)現(xiàn)：(1)若直線a1⊥a2，a2∥a3，則直線a1與a3的位置關(guān)系是__________，請說明理由．(2)若直線a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，則直線a1與a4的位置關(guān)系是________．(直接填結(jié)論，不需要證明)(3)現(xiàn)在有2011條直線a1，a2，a3，…，a2011，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，請你探索直線a1與a2011的位置關(guān)系．【答案】（1）a1⊥a3，理由詳見解析；（2）a1∥a4；（3）a1⊥a2011.【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同位角相等得出相等的角，再根據(jù)垂直的定義解答；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論即可判定垂直；（3）根據(jù)規(guī)律發(fā)現(xiàn)，與腳碼是偶數(shù)的直線互相平行，與腳碼是奇數(shù)的直線互相垂直，根據(jù)此規(guī)律即可判斷．【詳解】（1）a1⊥a3．理由如下：如圖1，∵a1⊥a2，∴∠1=90°，∵a2∥a3，∴∠2=∠1=90°，∴a1⊥a3；（2）同（1）的解法，如圖2，直線a1與a4的位置關(guān)系是：a1∥a4；（3）直線a1與a3的位置關(guān)系是：a1⊥a2⊥a3，直線a1與a4的位置關(guān)系是：a1∥a4∥a5，以四次為一個循環(huán)，⊥，⊥，∥，∥以此類推，a1∥a2009，a1⊥a2010，所以直線a1與a2011的位置關(guān)系是：a1⊥a2011．【點(diǎn)睛】本題考查了平行公理的推導(dǎo)，作出圖形更有利于規(guī)律的發(fā)現(xiàn)以及規(guī)律的推導(dǎo)．【經(jīng)典例題二“三線八角”判定直線平行】知識點(diǎn)：同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角兩條直線被第三條線所截，可得八個角，即“三線八角”，如圖6所示。（1）同位角：可以發(fā)現(xiàn)∠1與∠5都處于直線的同一側(cè)，直線、的同一方，這樣位置的一對角就是同位角。圖中的同位角還有∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8。（2）內(nèi)錯角：可以發(fā)現(xiàn)∠3與∠5都處于直線的兩旁，直線、的兩方，這樣位置的一對角就是內(nèi)錯角。圖中的內(nèi)錯角還有∠4與∠6。（3）同旁內(nèi)角：可以發(fā)現(xiàn)∠4與∠5都處于直線的同一側(cè)，直線、的兩方，這樣位置的一對角就是同旁內(nèi)角。圖中的同旁內(nèi)角還有∠3與∠6。知識點(diǎn)：平行線判定判定方法（1）：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡單說成：同位角相等，兩直線平行。幾何語言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）判定方法（2）：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行?！摺?＝∠3∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）判定方法（3）：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行?！摺?＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）【例2】（2022春·湖北省直轄縣級單位·七年級?？计谥校⒁桓比前灏慈鐖D放置，則下列結(jié)論①；②如果，則有；③如果，則有；④如果，必有，其中正確的有（

）A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)∠1+∠2=∠3+∠2即可證得①；根據(jù)求出∠1與∠E的度數(shù)大小即可判斷②；利用∠2求出∠3，與∠B的度數(shù)大小即可判斷③；利用求出∠1，即可得到∠2的度數(shù)，即可判斷④.【詳解】∵∠1+∠2=∠3+∠2=90，∴∠1=∠3，故①正確；∵，∴∠E=60，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，故②正確；∵，∴，∵,∴∠3=∠B,∴,故③正確；∵，∴∠CFE=∠C，∵∠CFE+∠E=∠C+∠1，∴∠1=∠E=,∴∠2=90∠1=，故④正確，故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查互余角的性質(zhì)，平行線的判定及性質(zhì)，熟練運(yùn)用解題是關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）在鋪設(shè)鐵軌時，兩條直軌必須是互相平行的，如圖，已經(jīng)知道是直角，那么再度量圖中已標(biāo)出的哪個角，不能判斷兩條直軌是否平行(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】因?yàn)椤?是直角，只要找出與∠2互為同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的其他角，根據(jù)平行線的判定定理判定即可得到正確答案．【詳解】因?yàn)椤?是直角，∠4和∠2是同位角，如果度量出，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，∠5和∠2是內(nèi)錯角，如果度量出，根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，∠3和∠2是同旁內(nèi)角，如果度量出，根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，所以答案為：A．【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行的判定定理，解決本題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線的判定定理．【變式2】（2022秋·八年級課時練習(xí)）將一塊三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如圖方式放置，使A，B兩點(diǎn)分別落在直線m，n上，對于給出的五個條件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2∠1．能判斷直線mn的有__．（填序號）【答案】①④⑤【分析】根據(jù)平行線的判定方法和題目中各個小題中的條件，逐一判斷是否可以得到m∥n，從而可以解答本題．【詳解】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°，∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2，∴mn，故①符合題意；∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，∴m和n不一定平行，故②不符合題意；∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，∴m和n不一定平行，故③不符合題意；過點(diǎn)C作CEm，∴∠3=∠4，∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5，∴∠1=∠5，∴ECn，∴mn，故④符合題意；∵∠ABC=∠2∠1，∴∠2=∠ABC+∠1，∴mn，故⑤符合題意；故答案為：①④⑤．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式3】（2022春·北京·七年級?？计谥校?shù)學(xué)課上，同學(xué)提出如下問題：如何證明“兩直線平行，同位角相等”？老師說這個證明可以用反證法完成，思路及過程如下：如圖1，我們想要證明“如果直線，被直線所截，，那么”小貼士反證法不是直接從命題的已知得出結(jié)論，而是假設(shè)命題的結(jié)論不成立，由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立．在某些情形下，反證法是很有效的證明方法。如圖2，假設(shè)，過點(diǎn)作直線，使，依據(jù)基本事實(shí)（1）___________，可得．這樣過點(diǎn)就有兩條直線，都平行于直線，這與基本事實(shí)（2）___________矛盾說明的假設(shè)是不對的，于是有．【答案】

同位角相等，兩直線平行

過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行【分析】根據(jù)平行線的判定定理和平行公理解答即可．【詳解】解：假設(shè)，過點(diǎn)作直線，使，依據(jù)基本事實(shí)同位角相等，兩直線平行，可得．這樣過點(diǎn)就有兩條直線，都平行于直線，這與基本事實(shí)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行矛盾，說明的假設(shè)是不對的，于是有．故答案為：同位角相等，兩直線平行；過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行【點(diǎn)睛】本題考查的是反證法，熟記平行線的判定定理和平行公理是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三平行線判定的結(jié)合】【例3】（2021春·山東淄博·八年級?？计谥校┤鐖D，，C點(diǎn)在EF上，，BC平分，且．下列結(jié)論：①AC平分；②；③；④．其中結(jié)論正確的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及角度的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)即可進(jìn)行一一求解判斷.【詳解】根據(jù)，BC平分，且可得∠1+∠BCD=90°，∠BCD=∠DCF，又∠DCF+∠ECD=180°，∴∠1=∠ECD，故AC平分，①正確；∵AC平分，∴∠1=∠ECA,∵∴∠1，∴，②正確；∵EF∥AB，∴∠FCB=∠B，∴∠B=∠DCB，∵∠1+∠DCB=90°，∴，③正確；∵EF∥AB，∴∠ECA=∠CAD，∵∠1=∠ECA∴∠1=∠CAD∵∠CDB是△ACD的一個外角，∴∠CAD=∠1+∠CAD=2∠1，④正確；故選D【點(diǎn)睛】此題主要考查平行線的角度計(jì)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖像的特點(diǎn)進(jìn)行求解.【變式訓(xùn)練】【變式1】（2021春·山東青島·七年級青島經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，點(diǎn)在上，連接，下列說法正確的是（

）.A．因?yàn)椋訠．因?yàn)椋訡．因?yàn)?，所以D．因?yàn)?，所以【答案】C【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.觀察各個選項(xiàng)中角的數(shù)量關(guān)系（相等或互補(bǔ)）、位置關(guān)系是否符合上述三個定理，即可判斷所給選項(xiàng)是否正確.【詳解】A.因?yàn)楹褪峭詢?nèi)角，所以根據(jù)不能得到，故A選項(xiàng)錯誤；B.因?yàn)楹筒皇峭唤且膊皇莾?nèi)錯角，所以根據(jù)不能得到，故B選項(xiàng)錯誤；C.因?yàn)楹褪峭詢?nèi)角，所以根據(jù)可以得到，故本選項(xiàng)正確；D.和雖然是同位角，但根據(jù)只可以得出，故本選項(xiàng)錯誤.故本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定定理，在這里①判斷兩條直線是否平行，是根據(jù)角的數(shù)量關(guān)系（相等或互補(bǔ)）和位置關(guān)系去判定的，只有同時滿足兩種關(guān)系，才可根據(jù)定理判斷平行；②完整的定理前面有一句兩直線被第三條直線所截，找準(zhǔn)截線和被截線很關(guān)鍵（例如D選項(xiàng)和是同位角，它們的被截線是AB和DE）.【變式2】（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，a、b、c三根木棒釘在一起，，現(xiàn)將木棒a、b同時順時針旋轉(zhuǎn)一周，速度分別為18度/秒和3度/秒，兩根木棒都停止時運(yùn)動結(jié)束，則___________秒后木棒a，b平行．【答案】2或14或50或110【分析】設(shè)t秒后木棒a，b平行，分四種情況討論：當(dāng)秒時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，即可求解．【詳解】解：設(shè)t秒后木棒a，b平行，根據(jù)題意得：當(dāng)秒時，，解得：t=2；當(dāng)時，，解得：t=14；當(dāng)時，木棒a停止運(yùn)動，當(dāng)時，，解得：t=10；（不合題意，舍去）當(dāng)時，或，解得：t=50或t=110；綜上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行．故答案為：2或14或50或110【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，一元一次方程的應(yīng)用，明確題意，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）（1）學(xué)習(xí)了平行線以后，香橙同學(xué)想出了過一點(diǎn)畫一條直線的平行線的新方法，她是通過折紙做的，過程如（圖1）．①請你仿照以上過程，在圖2中畫出一條直線b，使直線b經(jīng)過點(diǎn)P，且，要求保留折紙痕跡，畫出所用到的直線，指明結(jié)果．無需寫畫法：②在（1）中的步驟（b）中，折紙實(shí)際上是在尋找過點(diǎn)P的直線a的線．（2）已知，如圖3，，BE平分，CF平分．求證：（寫出每步的依據(jù)）．【答案】（1）①見解析；②垂；（2）見解析【分析】（1）①過點(diǎn)折紙，使痕跡垂直直線，然后過點(diǎn)折紙使痕跡與前面的痕跡垂直，從而得到直線；②步驟（b）中，折紙實(shí)際上是在尋找過點(diǎn)的直線的垂線．（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再利用角平分線的定義得到，然后根據(jù)平行線的判定得到結(jié)論．【詳解】（1）解：①如圖2所示：②在（1）中的步驟（b）中，折紙實(shí)際上是在尋找過點(diǎn)的直線的垂線．故答案為垂；（2）證明：平分，平分（已知），，（角平分線的定義），（已知），（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），（等量代換），（等式性質(zhì)），（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行線的性質(zhì)與判定．【經(jīng)典例題四平行線性質(zhì)的綜合】【例4】（2022春·浙江嘉興·七年級?？计谥校┤鐖D，AB//CD，∠1＝∠ABF，CE平分∠DCF，設(shè)∠ABE＝∠1，∠E＝∠2，∠F＝∠3，則∠1、∠2、∠3的數(shù)量關(guān)系是（

）A．∠1+2∠2+∠3＝360° B．2∠2+∠3—∠1＝360°C．∠1+2∠2—∠3＝90° D．3∠1+∠2+∠3＝360°【答案】A【分析】過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，根據(jù)題意得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，，可得，，，，即可得，，則，，得，即可得，進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)E作，過點(diǎn)F作，∵，CE平分，，∴，，∵，∴，，∴，，，，∴，，即，，∴，∴故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線，解題的關(guān)鍵是理解題意并掌握這些知識點(diǎn)．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022春·廣西河池·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)在的上方，連接，，是延長線上的一點(diǎn)，連接，已知，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以計(jì)算出∠GCF和∠GCB的度數(shù)，然后即可計(jì)算出∠BCF的度數(shù)．【詳解】解：過點(diǎn)C作GCAB，如圖所示：∵ABED，∴ABEDGC，∴∠GCB＋∠ABC＝180°，∠GCF＋∠EFC＝180°，∵∠CFD＝50°，∠ABC＝130°，∴∠GCF＝130°，∠GCB＝50°，∴∠BCF＝∠GCF?∠GCB＝130°?50°＝80°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式2】（2022春·江西九江·七年級統(tǒng)考期末）為了提醒司機(jī)不要疲勞駕駛，高速公路上安裝了如圖1所示的激光燈，圖2是激光位于初始位置時的平面示意圖，其中，是直線上的兩個發(fā)射點(diǎn)，，現(xiàn)激光繞點(diǎn)以每秒3度的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時激光繞點(diǎn)以每秒2度的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為秒，當(dāng)時，的值為________．【答案】12【分析】根據(jù)當(dāng)時，，建立等式即可求解．【詳解】解：設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為秒后，，由題意得：，，解得：，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)時，得出．【變式3】（2022秋·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）（1）【問題】如圖1，若，，．則______；（2）【問題歸納】如圖1，若，請猜想，，之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（3）【聯(lián)想拓展】如圖2，，點(diǎn)在的上方，問，，之間有何數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論．【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）．【分析】（1）過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可求解；（2）借助（1）的思路即可證明；（3）過點(diǎn)作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，即可得，結(jié)合可求解．【詳解】（1）如圖1，過點(diǎn)作，∵，，∴．∴又∵，∴，∴；故答案為：．（2）猜想：，理由如下：如圖1，過點(diǎn)作，∵，，∴．∴又∵，∴，∴．（3），理由：如圖2，過點(diǎn)作，則，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，添加輔助線，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題五根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度】【例5】（（2022春·浙江杭州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，，設(shè)，，正確的選項(xiàng)是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】如圖，利用平行線的判定和性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖：的頂點(diǎn)分別為，延長交直線與點(diǎn)，當(dāng)，則，∴，∵，∴，∴，即：，解得：，∴；A、無法求出∠2的度數(shù)，選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B、無法求出∠3的度數(shù)，選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C、，，選項(xiàng)錯誤，不符合題意；D、，選項(xiàng)正確，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022春·河北唐山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，于點(diǎn)，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，過點(diǎn)H作，過點(diǎn)F作，根據(jù)平行線的性質(zhì)定理進(jìn)行解答即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)H作，過點(diǎn)F作，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022春·安徽安慶·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，點(diǎn)M位于AB與CD之間且在EF的右側(cè)．（1）若，則______°；（2）若，與的角平分線交于點(diǎn)N，則的度數(shù)為______．（用含n的式子表示）【答案】

270

【分析】（1）過點(diǎn)M作MPAB，則ABCDMP，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得答案；（2）過點(diǎn)N作NQAB，則ABCDNQ，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等和角平分線的定義可得答案．【詳解】解：（1）過點(diǎn)M作MPAB，∵ABCD，∴ABCDMP，∴∠1=∠MEB，∠2=∠MFD，∵∠M=∠1+∠2=90°，∴∠MEB+∠MFD=90°，∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD=180°+180°=360°，∴∠AEM+∠CFM=360°90°=270°．故答案為：270；（2）過點(diǎn)N作NQAB，∵ABCD，∴ABCDNQ，∴∠3=∠NEB，∠4=∠NFD，∴∠NEB+∠NFD=∠3+∠4=∠ENF，∵∠BEM與∠DFM的角平分找交于點(diǎn)N，∵∠NEB=∠MEB，∠DFN=∠MFD，∴∠3+∠4=∠BEN+∠DFN=（∠MEB+∠MFD），由（1）得，∠MEB+∠MFD=∠EMF，∴∠ENF=∠EMF=n°．故答案為：n°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理和角平分線的定義是解題關(guān)鍵．【變式3】（2022春·黑龍江齊齊哈爾·七年級統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐(1)問題情境：圖中，，，，求的度數(shù)．小明的思路是：過作，通過平行線性質(zhì)來求．按小明的思路，易求得的度數(shù)為______；（直接寫出答案）(2)問題遷移：圖中，直線，為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接、．若，，試求的度數(shù)；(3)問題拓展：圖中，直線，則、、之間的數(shù)量關(guān)系為______．【答案】(1)(2)(3)【分析】對于（1），作，通過平行線性質(zhì)可得∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，再代入，，即可求；對于（2），作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APE=∠A=50°，∠EPD=180°150°=30°，即可求出的度數(shù)；對于（3），作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CDP=∠DPE，∠FPA+∠PAB=180°，又∠FPA=∠DPF∠APD，即可得出∠CDP+∠PAB∠APD=180°．（1）如圖，過作，∵AB//CD，∴，∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°．∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠PCE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．故答案為：；（2）過點(diǎn)作，∵∠A=50°，∴∠APE=∠A=50°，∵，∴，∴∠CDP+∠EPD=180°．∵∠D=150°，∴∠EPD=180°150°=30°，∴∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°；（3）∠CDP+∠PAB∠APD=180°．如圖，過點(diǎn)作，則，∴∠CDP=∠DPF，∠FPA+∠PAB=180°，∵∠FPA=∠DPF∠APD，∴∠DPF∠APD+∠PAB=180°，∴∠CDP+∠PAB∠APD=180°．故答案為：∠CDP+∠PAB∠APD=180°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六平行線的性質(zhì)在生活中的實(shí)際應(yīng)用】【例6】（2022春·江蘇南通·七年級?？茧A段練習(xí)）一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行前進(jìn)，那么兩次拐彎的角度是（

）A．第一次右拐30°，第二次左拐150°B．第一次左拐30°，第二次右拐30°C．第一次左拐30°，第二次左拐150°D．第一次右拐30°，第二次右拐30°【答案】B【分析】根據(jù)兩條直線平行的性質(zhì)：兩條直線平行，同位角相等．再根據(jù)題意得：兩次拐的方向不相同，但角度相等．【詳解】解：如圖，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，由于平行前進(jìn)，可以得到∠1＝∠2．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)．注意要想兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行前進(jìn)，則拐的方向應(yīng)相反，角度應(yīng)相等．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022春·江蘇連云港·七年級校考階段練習(xí)）如圖，修建一條公路，從王村沿北偏東方向到李村，從李村沿北偏西方向到張村，從張村到杜村的公路平行從王村到李村的公路，則張杜兩村公路與李張兩村公路方向夾角的度數(shù)為（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線同位角相等和同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)，即可完成求解．【詳解】∵王村沿北偏東方向到李村∴∵從張村到杜村的公路平行從王村到李村的公路，且從李村沿北偏西方向到張村∴∴張杜兩村公路與李張兩村公路方向夾角的度數(shù)為故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了方位角、平行線的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線同位角相等和同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)，從而完成求解．【變式2】（2022春·云南昆明·七年級統(tǒng)考期末）《七彩云南》少數(shù)民族傳統(tǒng)藝術(shù)表演，是七彩云南歡樂世界的王牌演藝節(jié)目，它薈萃云南人文之美，深受觀眾喜愛．在展演中，舞臺上的燈光由燈帶上位于點(diǎn)和點(diǎn)的兩盞激光燈控制．如圖，光線與燈帶的夾角，當(dāng)光線與燈帶的夾角______時，．【答案】140°或40°【分析】當(dāng)AB與在AC同側(cè)時，CB′∥AB，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；當(dāng)AB與CB"在AC異側(cè)時，CB"∥AB，內(nèi)錯角相等．【詳解】解：如下圖：當(dāng)AB與CB′在AC同側(cè)時，當(dāng)CB′∥AB時，∵∠CAB+∠ACB′=180°∴∠ACB′=140°當(dāng)AB與CB"在AC異側(cè)時，當(dāng)CB"∥AB時，∠CAB=∠ACB"=40°答案：140°或40°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)及需要由分論討論的思想求解．【變式3】（2022春·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期末）去年汛期期間，防汛指揮部在某重要河流的一段危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看河水及兩岸河堤的情況．如圖1，燈A射線自AM順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BP順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是15度/秒，燈B轉(zhuǎn)動的速度是5度/秒．假定這一帶兩岸河堤是平行的，即PQMN，且∠BAN=45°．(1)若燈B射線先轉(zhuǎn)動4秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？(2)如圖2，兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達(dá)AN之前．若燈A射出的光束與燈B射出的光束交于點(diǎn)C，過C作CD⊥AC交PQ于點(diǎn)D，則在轉(zhuǎn)動過程中，∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請直接寫出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由．【答案】(1)2秒或17秒(2)不變，【分析】（1）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動x秒時兩燈的光束互相平行，分兩種情況進(jìn)行討論：①在燈A射線轉(zhuǎn)到AN之前；②在燈A射線轉(zhuǎn)到AN之后．分別求得x的值即可．（2）設(shè)燈A轉(zhuǎn)動的時間為x秒，根據(jù)角的和差關(guān)系分別用含x的代數(shù)式表示出∠BAC和∠BCD，即可得到兩角的數(shù)量關(guān)系．(1)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動x秒時兩燈的光束互相平行，①當(dāng)0＜x＜12時，15x＝(x＋4)×5，解得x＝2；②12＜x＜24時，180?15(x?12)＝(4＋x)×5，解得x＝17；③24＜x＜32時，15(x?24)＝(4＋x)×5，解得x＝38，38＞32，不符合題意，舍去．綜上所述，當(dāng)A燈轉(zhuǎn)動2秒或17秒時兩燈的光束互相平行．(2)設(shè)燈A轉(zhuǎn)動的時間為x秒，則∠MAC＝15x，∠PBC＝5x．∴∠CAN＝180°?15x，∴∠BAC＝45°?（180°?15x）＝15x?135°，∵PQ∥MN，∴∠BCA＝∠PBC＋∠CAN＝180°?10x．∵∠ACD＝90°，∴∠BCD＝90°?∠BCA＝10x?90°＝10（x?9°），∵∠BAC＝15x?135°＝15（x?9°），∴∠BAC：∠BCD＝3：2，即2∠BAC＝3∠BCD．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及角的和差關(guān)系，分類討論是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七平行線的判定與性質(zhì)綜合（折疊問題）】【例7】（2022春·浙江杭州·七年級校考期中）一條兩邊沿互相平行的圍巾按圖所示折疊，已知∠DAB∠ABC=8°，且DFCG，則∠DAB+2∠ABC=（）度．A．130 B．131 C．132 D．133【答案】B【分析】將圍巾展開，利用折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)推導(dǎo)即可．【詳解】解：如圖，將圍巾展開，則∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，設(shè)∠ABC=x，則∠DAB=x+8°，∵CDAB，∴∠ADM=∠DAB=∠ADF=x+8°，∵DFCG，∴∠FDC=∠KCG=2x，∵∠FDC+∠FDM=180°，即2x+2（x+8°）=180°，解得x=41°，∴∠DAB+2∠ABC=（x+8°）+2x=131°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)，根據(jù)∠FDC+∠FDM=180°列方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022春·黑龍江牡丹江·七年級校考期末）一張長方形紙條按如圖所示折疊，EF是折痕，若∠EFB=35°，則：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上結(jié)論正確的有（

）A．①②③④ B．②③④ C．①②③ D．①②【答案】A【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，即可判斷①③；再利用平行線的性質(zhì)可得、的度數(shù)，即可判斷②；再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得的度數(shù)，進(jìn)而可得的度數(shù)，即可判斷④【詳解】解：∵四邊形ABCD是長方形∴由折疊的性質(zhì)可得故①正確故③正確故②正確又由折疊的性質(zhì)可得：故④正確故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)．【變式2】（2022春·福建福州·七年級?？计谥校┤鐖D（1）紙片ABCD（ADBC），將CD按如圖（2）所示沿著DE折疊至DC′，DC′與線段BC交于F，∠BFD=m，點(diǎn)E在線段BC上，若將AD按如圖（3）所示沿著DO折疊至DA′，且A′在線段DC的延長線上，點(diǎn)O在線段BC上，則∠ODE=__________．（用含m的式子表示）【答案】【分析】設(shè)∠CDE=x，∠DCE=y，由圖（1）折疊性質(zhì)可得：∠C’DE=∠CDE=x，由平行線性質(zhì)可得∠ADF=180°m，則∠ADC=180°m+2x，由圖（2）折疊性質(zhì)可得：∠ADO=∠CDO=，最后可得∠ODE的度數(shù)．【詳解】解：設(shè)∠CDE=x，∠DCE=y，由圖（1）折疊性質(zhì)可得：∠C’DE=∠CDE=x，∵∠BFD=m，ADBC，∴∠BFD+∠ADF=180°，∴∠ADF=180°m，∴∠ADC=180°m+2x，由圖（2）折疊性質(zhì)可得：∠ADO=∠CDO=，∴∠ODE=∠CDO∠CDE=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及角的有關(guān)計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．【變式3】（2022秋·貴州銅仁·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，將一張上、下兩邊平行（即ABCD）的紙帶沿直線MN折疊，EF為折痕．(1)試說明∠1＝∠2；(2)已知∠2＝54°，求∠BEF的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連續(xù)兩次利用定理“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”即可求證；（2）先利用求出，再利用求出，最后利用關(guān)系式求解即可．【詳解】（1）解：證明：∵，∴．∵，∴，∴．（2）∵，∠2＝54°∴．根據(jù)折疊的性質(zhì)知：，∴．又∵，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握平行的性質(zhì)和折疊前后對應(yīng)的角相等是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八平行線的判定與性質(zhì)綜合（旋轉(zhuǎn)問題）】【例8】（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，△OAB為等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD為等邊三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），滿足OC＞OA，△OCD繞點(diǎn)O從射線OC與射線OA重合的位置開始，逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度為α（0°＜α＜360°），下列說法正確的是（）A．當(dāng)α＝15°時，DC∥ABB．當(dāng)OC⊥AB時，α＝45°C．當(dāng)邊OB與邊OD在同一直線上時，直線DC與直線AB相交形成的銳角為15°D．整個旋轉(zhuǎn)過程，共有10個位置使得△OAB與△OCD有一條邊平行【答案】A【分析】設(shè)OC與AB交點(diǎn)為M，OD與AB交點(diǎn)為N，當(dāng)α＝15°時，可得∠OMN＝α+∠A＝60°，可證DC∥AB；當(dāng)OC⊥AB時，α+∠A＝90°，可得α＝30°；當(dāng)邊OB與邊OD在同一直線上時，應(yīng)分兩種情況，則直線DC與直線AB相交形成的銳角也有兩種情況；整個旋轉(zhuǎn)過程，因OC、OB、OD、OA都有交點(diǎn)，只有AB和CD存在平行，根據(jù)圖形的對稱性可判斷有兩個位置使得△OAB與△OCD有一條邊平行．【詳解】解：設(shè)OC與AB交點(diǎn)為M，OD與AB交點(diǎn)為N，當(dāng)α＝15°時，∠OMN＝α+∠A＝60°，∴∠OMN＝∠C，∴DC∥AB，故A正確；當(dāng)OC⊥AB時，α+∠A＝90°或α﹣180°＝90°﹣∠A，∴α＝45°或225°，故B錯誤；當(dāng)邊OB與邊OD在同一直線上時，應(yīng)分兩種情況，則直線DC與直線AB相交形成的銳角也有兩種情況，故C錯誤；整個旋轉(zhuǎn)過程，因OC、OB、OD、OA都有交點(diǎn)，只有AB和CD存在平行，根據(jù)圖形的對稱性可判斷有兩個位置使得△OAB與△OCD有一條邊平行，故D錯誤；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，垂直的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022春·江蘇宿遷·七年級校考階段練習(xí)）為了亮化某景點(diǎn)，石家莊市在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、QP上分別放置A、B兩盞激光燈，如圖所示．A燈發(fā)出的光束自AM逆時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，B燈發(fā)出的光束自BP逆時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉(zhuǎn)動30°，B燈每秒轉(zhuǎn)動10°，B燈先轉(zhuǎn)動2秒，A燈才開始轉(zhuǎn)動，當(dāng)B燈光束第一次到達(dá)BQ之前，兩燈的光束互相平行時A燈旋轉(zhuǎn)的時間是（）A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒【答案】C【分析】設(shè)燈旋轉(zhuǎn)的時間為秒，求出的取值范圍為，再分①，②和③三種情況，先分別求出和的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此建立方程，解方程即可得．【詳解】解：設(shè)燈旋轉(zhuǎn)的時間為秒，燈光束第一次到達(dá)所需時間為秒，燈光束第一次到達(dá)所需時間為秒，燈先轉(zhuǎn)動2秒，燈才開始轉(zhuǎn)動，，即，由題意，分以下三種情況：①如圖，當(dāng)時，，，，，，即，解得，符合題設(shè)；②如圖，當(dāng)時，，，，，，即，解得符合題設(shè)；③如圖，當(dāng)時，，，同理可得：，即，解得，不符題設(shè)，舍去；綜上，燈旋轉(zhuǎn)的時間為1秒或秒，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、一元一次方程的幾何應(yīng)用等知識點(diǎn)，正確求出時間的取值范圍，并據(jù)此分三種情況討論是解題關(guān)鍵．【變式2】（2022春·江西南昌·七年級校考階段練習(xí)）如圖，直線EF上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠DCF=60°，∠EAB=70°，射線AB、CD分別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉(zhuǎn)動，在射線CD轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，使得CD與AB平行所有滿足條件的時間t=_____．【答案】5秒或95秒【分析】分①AB與CD在EF的兩側(cè)，分別表示出∠ACD與∠BAC，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行，列式計(jì)算即可得解；②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計(jì)算即可得解；③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計(jì)算即可得解．【詳解】∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，分三種情況：如圖①，AB與CD在EF的兩側(cè)時，∠ACD＝120°?(3t)°，∠BAC＝110°?t°，要使，則∠ACD＝∠BAC，即120°?(3t)°＝110°?t°，解得t＝5；如圖②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)時，∠DCF＝360°?(3t)°?60°＝300°?(3t)°，∠BAC＝110°?t°，要使，則∠DCF＝∠BAC，即300°?(3t)°＝110°?t°，解得t＝95；如圖③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)時，∠DCF＝(3t)°?(180°?60°＋180°)＝(3t)°?300°，∠BAC＝t°?110°，要使，則∠DCF＝∠BAC，即(3t)°?300°＝t°?110°，解得t＝95，此時∠BAC＝t°?110°＜0°，∴此情況不存在．綜上所述，當(dāng)時間t的值為5秒或95秒時，CD與AB平行．故答案為：5秒或95秒．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，讀懂題意并熟練掌握平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵，要注意分情況討論．【變式3】（2022春·北京·七年級?？计谥校耙粠б宦贰弊屩袊褪澜缏?lián)系更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖所示，燈A射線從開始順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射線從開始順時針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒，燈轉(zhuǎn)動的速度是每秒．假定主道路是平行的，即，且．(1)填空：______；(2)若燈射線先轉(zhuǎn)動秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈射線到達(dá)之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？(3)若兩燈同時開始轉(zhuǎn)動，兩燈射出的光束交于點(diǎn)，且，則在燈射線到達(dá)之前，轉(zhuǎn)動的時間為______秒．【答案】(1)60(2)秒或秒(3)或【分析】（1）設(shè)，則，根據(jù)，可列出關(guān)于x的等式，解出x即可求解；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)時，根據(jù)，可得；當(dāng)時，根據(jù)，可得；（3）分類討論當(dāng)時和當(dāng)時，畫出圖形，分別根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合題意構(gòu)建方程解決問題即可．（1）設(shè)，則，∵，即，∴，∴．故答案為：60；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動秒，兩燈的光束互相平行，由題意可知，．當(dāng)時，如圖，，．，，．，解得；當(dāng)時，如圖，，．，，．∵，∴，，解得

．綜上所述，當(dāng)30秒或110秒時，兩燈的光束互相平行；（3）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動時間為秒，當(dāng)時，過點(diǎn)作，，，，，，，，又，∴，解得：，∴，此時與共線，不符合題意；當(dāng)時，同的圖可得，則，解得：；如圖中，當(dāng)時，同可知．因?yàn)榇藭r，，解得：．綜上可知，t的值為100或140．故答案為：100或140．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，平行公理及推論，一元一次方程的應(yīng)用．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．【培優(yōu)檢測】1．下列說法中，正確的是（）A．不相交的兩條直線是平行線B．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行C．從直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線段叫做點(diǎn)到這條直線的距離D．在同一平面內(nèi)，一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則與另一條也垂直．【答案】D【分析】運(yùn)用平行線，垂線的定義，點(diǎn)到直線的距離及平行公理及推論判定即可．【詳解】A、不相交的兩條直線是平行線，要在同一平面內(nèi)的前提條件下，故A選項(xiàng)錯誤；B、過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故B選項(xiàng)錯誤；C、從直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線段叫做點(diǎn)到這條直線的距離，應(yīng)為垂線段的長度，故C選項(xiàng)錯誤；D、在同一平面內(nèi)，一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則與另一條也垂直，故D選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線，垂線的定義，點(diǎn)到直線的距離及平行公理及推論，解題的關(guān)鍵是熟記定義與性質(zhì)．2．在探究平行線的判定——基本事實(shí)：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行時，老師布置了這樣的任務(wù)：請同學(xué)們分組在學(xué)案上（如圖），用直尺和三角尺畫出過點(diǎn)P與直線AB平行的直線PQ；并思考直尺和三角尺在畫圖過程中所起的作用．小菲和小明所在的小組是這樣做的：他們選取直尺和含有45°角的三角尺，用平移三角尺的畫圖方法畫出AB的平行線PQ，并將實(shí)際畫圖過程抽象出平面幾何圖形（如圖）．以下是小菲和小明所在小組關(guān)于直尺和三角尺作用的討論：①在畫平行線的過程中，三角尺由初始位置靠著直尺平移到終止位置，實(shí)際上就是先畫∠BMD=45°，再過點(diǎn)P畫∠BMD=45°②由初始位置的三角尺和終止位置的三角尺各邊所在直線構(gòu)成一個“三線八角圖”，其中QP為截線③初始位置的三角尺和終止位置的三角尺在“三線八角圖”中構(gòu)成一組同位角④在畫圖過程中，直尺可以由直線CD代替⑤在“三線八角圖”中，因?yàn)锳B和CD是截線，所以，可以下結(jié)論“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”其中，正確的是（

）A．①②⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．③④⑤【答案】B【分析】這種畫法就是畫同位角∠DMB和∠DEP相等，從而判斷PQ∥AB，從而根據(jù)平行線的判定定理對各小題進(jìn)行判斷．【詳解】在畫平行線的過程中，三角尺由初始位置靠著直尺平移到終止位置，實(shí)際上就是先畫∠BMD=45°，再過點(diǎn)P畫∠BMD=45°，所以①正確；由初始位置的三角尺和終止位置的三角尺各邊所在直線構(gòu)成一個“三線八角圖”，其中CD為截線，所以②錯誤；初始位置的三角尺和終止位置的三角尺在“三線八角圖”中構(gòu)成一組同位角，所以③正確；在畫圖過程中，直尺可以由直線CD代替，所以④正確；⑤在“三線八角圖”中，因?yàn)锳B和PQ是一組平行線，CD為截線，所以，可以下結(jié)論“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”，所以⑤錯誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行線的判定．3．如圖，直線、與直線相交，給出下列條件：①；②；③；④．能判斷的是（

）．A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．①③【答案】B【分析】直接利用平行線的判定方法分別分析得出答案．【詳解】：①∵∠1=∠2，∴a∥b，故此選項(xiàng)正確；②∠3=∠5無法得出a∥b，故此選項(xiàng)錯誤；③∵∠4+∠7=180°，∴a∥b，故此選項(xiàng)正確；④∵∠5+∠3=180°，∴∠2+∠5=180°，∴a∥b，故此選項(xiàng)正確；綜上所述，正確的有①③④．故選B．【點(diǎn)睛】此題考查平行線的判定，正確把握平行線的幾種判定方法是解題關(guān)鍵．4．將一副三角板頂點(diǎn)重合，三角板ABC繞點(diǎn)A順時針轉(zhuǎn)動的過程中，∠EAB度數(shù)符合下列條件時，三角尺不存在一組邊平行的是（三角板邊AB＝AE）（）A．∠EAB＝30° B．∠EAB＝45° C．∠EAB＝60° D．∠EAB＝75°【答案】C【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的判定依次判斷，可求解．【詳解】當(dāng)∠EAB=30°時．∵∠CAB=90°，∴∠CAE=60°=∠E，∴AC∥DE，故A不合題意；當(dāng)∠EAB=45°，∴∠BAD=45°=∠B，∴BC∥AD，故B不合題意；當(dāng)∠EAB=60°時，三角尺不存在一組邊平行．當(dāng)∠EAB=75°時，如圖，延長AB交DE于點(diǎn)M，∴∠BAD=15°，∴∠EMA=∠D+∠MAB=45°=∠ABC，∴BC∥DE．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的判定，熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．5．如圖所示，下列推理正確的選項(xiàng)是（

）①若，則AB//CD

②若AD//BC，則∠A=∠，③若AB//CD，則，④若AB//CD，則∠A+∠4+∠1=180°⑤若，則AD//BCA．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤【答案】D【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行判斷．【詳解】①若∠1=∠2，則AB∥CD，依據(jù)：內(nèi)錯角相等，兩直線平行，故正確；②若AD∥BC，則∠A=∠3，故錯誤；③若AB∥CD，則∠3＝∠4，故錯誤；④若AB//CD，則∠A+∠4+∠1=180°，依據(jù)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故正確；⑤若，則AD//BC．依據(jù)：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，故正確；所以正確的有①④⑤.故選D．【點(diǎn)睛】考查了平行線的判定與性質(zhì)．平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．6．如圖，，，,，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)作一條直線，過點(diǎn)作一條直線，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，，然后計(jì)算，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得，最后根據(jù)計(jì)算即可得解.【詳解】過點(diǎn)作一條直線，過點(diǎn)作一條直線，，，，，，，.故選.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，此類題目，難點(diǎn)在于拐點(diǎn)作平行線.7．如圖，E在線段BA的延長線上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點(diǎn)，連CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK內(nèi)部有射線GM，GM平分∠FGC．則下列結(jié)論：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定定理得到，故①正確；由平行線的性質(zhì)得到∠AGK=∠CKG，等量代換得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正確；根據(jù)平行線同旁內(nèi)角互補(bǔ)得，再根據(jù)題目已知∠CKG＝∠CGK，得，又根據(jù)，得，但根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明GD=GC，故③錯誤；設(shè)∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，∴∠EAD=∠B，∴，故①正確；∴∠AGK=∠CKG，∵∠CKG=∠CGK，∴∠AGK=∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正確；∵，∴，∵∠CKG＝∠CGK，∴，∴，又∵，∴，∴，要使，就要使且，∴就要GD=GC，但題目沒給出這個條件且利用現(xiàn)有條件也無法證明GD=GC，∴故③錯誤；設(shè)∠AGM=α，∠MGK=β，∴∠AGK=α+β，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK=∠AGK=α+β，∵GM平分∠FGC，∴∠FGM=∠CGM，∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，∴37°+α=β+α+β，∴β=18.5°，∴∠MGK=18.5°，故④錯誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，對頂角性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．8．如圖，已知長方形紙片ABCD，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AD和BC上，且∠EFC=37°，點(diǎn)H和點(diǎn)G分別是邊AD和BC上的動點(diǎn)，現(xiàn)將點(diǎn)A，B，C，D分別沿EF，GH折疊至點(diǎn)N，M，P，K，若MNPK，則∠KHD的度數(shù)為（）A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°【答案】D【分析】分兩種情況討論，①當(dāng)在上方時，延長、相交于點(diǎn)，根據(jù)，推出，得到，求出的度數(shù)，再根據(jù)即可求解；②當(dāng)在下方時，延長、相交于點(diǎn)，根據(jù)，推出，得到，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：①當(dāng)在上方時，延長、相交于點(diǎn)，如圖所示∵∴∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴②當(dāng)在下方時，延長、相交于點(diǎn)，如圖所示∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折、平行線的判定和性質(zhì)、對頂角等知識點(diǎn)，分情況討論，畫出對應(yīng)圖形進(jìn)行求解是解答本題的關(guān)鍵．9．如圖，已知直線、被直線所截，，E是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不在直線、、上），設(shè)，．下列各式：①，②，③，④，的度數(shù)可能是（）A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】由題意根據(jù)點(diǎn)E有6種可能位置，分情況進(jìn)行討論，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解即可．【詳解】解：（1）如圖1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C=βα．（2）如圖2，過E2作AB平行線，則由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，∴∠AE2C=α+β．（3）如圖3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C=αβ．（4）如圖4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，∴∠AE4C=360°αβ．（5）（6）當(dāng)點(diǎn)E在CD的下方時，同理可得∠AEC=αβ或βα．綜上所述，∠AEC的度數(shù)可能為βα，α+β，αβ，360°αβ，即①②③④．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時注意兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等以及分類討論．10．為了亮化某景點(diǎn)，石家莊市在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、QP上分別放置A、B兩盞激光燈，如圖所示．A燈發(fā)出的光束自AM逆時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，B燈發(fā)出的光束自BP逆時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉(zhuǎn)動30°，B燈每秒轉(zhuǎn)動10°，B燈先轉(zhuǎn)動2秒，A燈才開始轉(zhuǎn)動，當(dāng)B燈光束第一次到達(dá)BQ之前，兩燈的光束互相平行時A燈旋轉(zhuǎn)的時間是（）A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒【答案】C【分析】設(shè)燈旋轉(zhuǎn)的時間為秒，求出的取值范圍為，再分①，②和③三種情況，先分別求出和的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此建立方程，解方程即可得．【詳解】解：設(shè)燈旋轉(zhuǎn)的時間為秒，燈光束第一次到達(dá)所需時間為秒，燈光束第一次到達(dá)所需時間為秒，燈先轉(zhuǎn)動2秒，燈才開始轉(zhuǎn)動，，即，由題意，分以下三種情況：①如圖，當(dāng)時，，，，，，即，解得，符合題設(shè)；②如圖，當(dāng)時，，，，，，即，解得符合題設(shè)；③如圖，當(dāng)時，，，同理可得：，即，解得，不符題設(shè)，舍去；綜上，燈旋轉(zhuǎn)的時間為1秒或秒，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、一元一次方程的幾何應(yīng)用等知識點(diǎn)，正確求出時間的取值范圍，并據(jù)此分三種情況討論是解題關(guān)鍵．11．觀察如圖所示的長方體.(1)用符號表示下列兩棱的位置關(guān)系：AB___A′B′，AA′_____AB，D′A′_____D′C′，AD______BC．(2)A′B′與BC所在的直線是兩條不相交的直線，它們_____平行線.（填“是”或“不是”）【答案】

∥

⊥

⊥

∥

不是【分析】（1）根據(jù)長方體的性質(zhì)進(jìn)行填空；（2）根據(jù)平行線的定義進(jìn)行填空．【詳解】解：（1）如圖，在矩形ABB1A1中，AB∥A′B′，AA′⊥AB；在矩形A′B′C′D′中，D′A′⊥D′C′；在矩形ABCD中，AD∥BC．故答案分別是：∥，⊥，⊥，∥；（2）根據(jù)圖示知，直線A′B′與BC不在同一平面內(nèi)，所以它們雖然沒有交點(diǎn)，但是它們也不平行．故答案為：不是．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的定義、垂直的定義．注意，在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交（重合除外）．12．如圖，現(xiàn)給出下列條件：①，②，③，④，⑤.其中能夠得到AB//CD的條件是_______.(只填序號)【答案】①②⑤【分析】根據(jù)平行線的判定定理對各小題進(jìn)行逐一判斷即可【詳解】解：①∵∠1=∠B，∴AB//CD，故本小題正確；②∵∠2=∠5，∴AB//CD，故本小題正確；③∵∠3=∠4，∴AD//BC，故本小題錯誤；④∵∠1=∠D，∴AD//BC，故本小題錯誤；⑤∵∠B+∠BCD=180°，∴AB//CD，故本小題正確．故答案為①②⑤．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定，熟知同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行是解答此題的關(guān)鍵．13．如圖所示，下列結(jié)論正確的有_____(把所有正確結(jié)論的序號都選上)①若AB∥CD，則∠3＝∠4；②若∠1＝∠BEG，則EF∥GH；③若∠FGH+∠3＝180°，則EF∥GH；④若AB∥CD，∠4＝62°，EG平分∠BEF，則∠1＝59°．【答案】①③④【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】解：①若AB∥CD，則∠3=∠4；正確；②若∠1=∠BEG，則AB∥CD；錯誤；③若∠FGH+∠3=180°，則EF∥GH；正確④∵AB∥CD，∴∠3=∠4=62°，∵∠BEF=180°∠4=118°，∵EG平分∠BEF，∴∠2=59°，∴∠1=180°∠2∠3=59°，正確；故答案為①③④．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握平行線的定義是解題關(guān)鍵．14．如圖，直線上有兩點(diǎn)、，分別引兩條射線、，與在直線異側(cè)．若，射線、分別繞點(diǎn)，點(diǎn)以度秒和度秒的速度同時順時針轉(zhuǎn)動，設(shè)時間為秒，在射線轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，當(dāng)時間的值為______時，與平行．【答案】2秒或38秒【分析】分與在的兩側(cè)，分別表示出與，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行，列式計(jì)算即可得解；旋轉(zhuǎn)到與都在的右側(cè)，分別表示出與，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計(jì)算即可得解；旋轉(zhuǎn)到與都在的左側(cè)，分別表示出與，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：存在．分三種情況：如圖，與在的兩側(cè)時，，，，，要使，則，即，解得；此時，；旋轉(zhuǎn)到與都在的右側(cè)時，，，，，要使，則，即，解得，此時，；旋轉(zhuǎn)到與都在的左側(cè)時，，，，，要使，則，即，解得，此時，，此情況不存在．綜上所述，當(dāng)時間的值為秒或秒時，與平行．故答案為：秒或秒．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，讀懂題意并熟練掌握平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵，要注意分情況討論．15．如圖，直線分別與直線，相交于點(diǎn)，，且．點(diǎn)在直線，之間，連接，，射線是的平分線，在的延長線上取點(diǎn)，連接，若，，則的度數(shù)為___________．【答案】##度【分析】過分別作的平行線，，則，設(shè)，則，，設(shè)，分別表示出，，利用等式的性質(zhì)得到，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖，過分別作的平行線，，則，設(shè)，則，∵射線是的平分線，∴，∵，，，設(shè)∴，∴①，∵∵②∴由①②可得∵，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．已知，平分，，，則___________．【答案】##30度【分析】作于，作于，則，設(shè)，則，，再根據(jù)角平分線的定義可得，設(shè)，則，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，，，從而可得，代入可求出的值，由此即可得．【詳解】解：如圖，作于，作于，則，設(shè)，則，，平分，，設(shè)，則，，，，，，，，，又，，解得，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行公理推論、平行線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造平行線是解題關(guān)鍵．17．如圖已知：ABCD，CDEF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下結(jié)論：①AB∥EF；②2∠1?∠4=90°；③2∠3?∠2=180°；④∠3+∠4=135°，其中，正確的結(jié)論有____．（填序號）【答案】①②③④【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)逐一分析判斷即可．【詳解】解：∵ABCD，CDEF，∴ABEF，故①正確；∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠1，∵ABCD，∴∠BAC+∠2=180°，∴2∠1+∠2=180°（1），∵AC⊥CE，∴∠2+∠4=90°（2），∴（1）（2）得，2∠1∠4=90°，故②正確；∵ABEF，∴∠BAE+∠3=180°，∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠BAE，∴∠1+∠3=180°，∴2∠1+2∠3=360°（3），∵2∠1+∠2=180°（1），（3）（1）得，2∠3∠2=180°，故③正確；∵CDEF，∴∠CEF+∠4=180°，∴∠3+∠AEC+∠4=180°，∵AE⊥CE，∴∠1+∠AEC=90°，∴∠AEC=90°∠1，∴∠3+∠4∠1=90°，∵2∠1∠4=90°，∴∠1=45°+∠4，∴∠3+∠4=135°，故④正確．綜上，正確的結(jié)論有：①②③④．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練應(yīng)用判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．18．已知，點(diǎn)、分別為、上的點(diǎn)，點(diǎn)、、為、內(nèi)部的點(diǎn)，連接、、、、、，于，，，平分，平分，則（小于平角）的度數(shù)為______．【答案】【分析】過點(diǎn)，做平行于，根據(jù)平行線的傳遞性及性質(zhì)得，同理得出，令，則，，則，通過等量關(guān)系先計(jì)算出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及等量代換進(jìn)行求解．【詳解】解：過點(diǎn)，做平行于，如下圖：，，則，，同理可得：，令，則，，則，則，，，，平分，平分，，，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加適當(dāng)?shù)妮o助線，找到角之間的關(guān)系，利用等量代換的思想進(jìn)行計(jì)算求解．19．已知：三角形ABC和三角形DEF位于直線MN的兩側(cè)中，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且，其中，，，點(diǎn)E、F均落在直線MN上．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時，求證：；聰明的小麗過點(diǎn)C作，并利用這條輔助線解決了問題．請你根據(jù)小麗的思考，寫出解決這一問題的過程．（2）將三角形DEF沿著NM的方向平移，如圖2，求證：；（3）將三角形DEF沿著NM的方向平移，使得點(diǎn)E移動到點(diǎn)，畫出平移后的三角形DEF，并回答問題，若，則________．（用含的代數(shù)式表示）【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；．【分析】（1）過點(diǎn)C作，得到，再根據(jù)，，得到，進(jìn)而得到，最后證明；（2）先證明，再證明，得到，問題得證；（3）根據(jù)題意得到，根據(jù)（２）結(jié)論得到∠DEF=∠ECA=，進(jìn)而得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：（1）過點(diǎn)C作，，，，，，，，，；

（2）解：，，又，，，，，，；（3）如圖三角形DEF即為所求作三角形．

∵，∴，由（2）得，DE∥AC，∴∠DEF=∠ECA=，∵，∴∠ACB=，∴，∴∠A=180°=．故答案為為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，三角形的內(nèi)角和等知識，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識，根據(jù)題意畫出圖形是解題關(guān)鍵．20．（1）學(xué)習(xí)了平行線以后，香橙同學(xué)想出了過一點(diǎn)畫一條直線的平行線的新方法，她是通過折紙做的，過程如（圖1）．①請你仿照以上過程，在圖2中畫出一條直線b，使直線b經(jīng)過點(diǎn)P，且，要求保留折紙痕跡，畫出所用到的直線