專題12正方形的性質(zhì)與判定（專題測試）

專題12正方形的性質(zhì)與判定專題測試學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、選擇題1．（2018春?鎮(zhèn)海區(qū)期末）下列說法中正確的是（）A．有一個角是直角的四邊形是矩形 B．兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．兩條對角線互相垂直平分的四邊形是正方形 D．兩條對角線相等的菱形是正方形【點(diǎn)撥】依據(jù)矩形、菱形和正方形的判定方法，即可得到正確結(jié)論．【解析】解：A．有一個角是直角的四邊形不一定是矩形，故本選項錯誤；B．兩條對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，故本選項錯誤；C．兩條對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故本選項錯誤；D．兩條對角線相等的菱形是正方形，故本選項正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形、菱形和正方形的判定，正方形的判定沒有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．2．（2019春?諸暨市期末）已知：如圖，M是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，且MC＝MD＝AD，則∠AMB的度數(shù)為（）A．120° B．135° C．145° D．150°【點(diǎn)撥】利用等邊三角形和正方形的性質(zhì)求得∠ADM＝30°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠MAD的度數(shù)，從而求得∠BAM＝∠ABM的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和求得∠AMB的度數(shù)．【解析】解：∵M(jìn)C＝MD＝AD＝CD，∴△MDC是等邊三角形，∴∠MDC＝∠DMC＝∠MCD＝60°，∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADM＝30°，∴∠MAD＝∠AMD＝75°，∴∠BAM＝15°，同理可得∠ABM＝15°，∴∠AMB＝180°﹣15°﹣15°＝150°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得有關(guān)角的度數(shù)，難度不大．3．（2019春?樂清市期末）如圖，在正方形ABCD中，E為邊BC上一點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊至△ABE處，BE與AC交于點(diǎn)F，若∠EFC＝69°，則∠CAE的大小為（）A．10° B．12° C．14° D．15°【點(diǎn)撥】利用正方形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)很容易求出∠CAE的大?。窘馕觥拷猓骸摺螮FC＝69°，∠ACE＝45°，∴∠BEF＝69+45＝114°，由折疊的性質(zhì)可知：∠BEA＝∠BEF＝57°，∴∠BAE＝90﹣57＝33°，∴∠EAC＝45﹣33＝12°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題運(yùn)用了正方形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)，關(guān)鍵是計算要準(zhǔn)確．4．（2019春?蕭山區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，正方形ABCD，BEFG的面積分別為m，n，H為線段DF的中點(diǎn)，則BH的長為（）A． B． C． D．【點(diǎn)撥】連接BD、BF，由正方形的性質(zhì)可得：∠CBD＝∠FBG＝45°，∠DBF＝90°，再應(yīng)用勾股定理求BD、BF和DF，最后應(yīng)用“直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半”可求得BH．【解析】解：如圖，連接BD、BF，∵四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，∴∠A＝∠E＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠EBF＝∠FBG＝45°，∵正方形ABCD，BEFG的面積分別為m，n，∴∠DBF＝90°，BD＝，BF＝∴在Rt△BDF中，DF＝＝，∵H為線段DF的中點(diǎn)，∴BH＝DF＝，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形邊的關(guān)系、勾股定理、直角三角形性質(zhì)等，解題關(guān)鍵添加輔助線構(gòu)造直角三角形．5．（2019秋?麗水期末）如圖，以△ABC的三條邊為邊，分別向外作正方形，連接EF，GH，DJ，如果△ABC的面積為8，則圖中陰影部分的面積為（）A．28 B．24 C．20 D．16【點(diǎn)撥】過E作EM⊥FA交FA的延長線于M，過C作CN⊥AB交AB的延長線于N，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EM＝CN，于是得到S△AEF＝S△ABC＝8，同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，于是得到結(jié)論．【解析】解：過E作EM⊥FA交FA的延長線于M，過C作CN⊥AB交AB的延長線于N，∴∠M＝∠N＝90°，∠EAM+∠MAC＝∠MAC+∠CAB＝90°，∴∠EAM≌△CAN，∴EM＝CN，∵AF＝AB，∴S△AEF＝AF?EM，S△ABC＝AB?CN＝8，∴S△AEF＝S△ABC＝8，同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，∴圖中陰影部分的面積＝3×8＝24，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2019秋?奉化區(qū)期末）如圖，平行四邊形HEFG的四個頂點(diǎn)分別在正方形ABCD的四條邊上．NE∥AD，分別交DC，HG，AB于點(diǎn)N，M，E，且CG＝MN．要求得平行四邊形HEFG的面積，只需知道一條線段的長度．這條線段可以是（）A．EH B．AE C．EB D．DH【點(diǎn)撥】作輔助線，構(gòu)建正方形MEBP，證明DG＝BE＝BM，根據(jù)平行四邊形和正方形、三角形面積的關(guān)系得：S△EFM＝S?GHEF＝S正方形MEBP，所以求得平行四邊形HEFG的面積，只需知道一條線段BE的長度即可．【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝BC，CD∥AB，∵NE∥AD，∴NE＝AD＝BC，∵CG＝MN，∴DG＝EM，連接EG，F(xiàn)M，過M作MP⊥BC于P，∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴GH＝EF，GH∥EF，∴∠EGH＝∠FEG，∵DC∥AB，∴∠DGE＝∠BEG，∴∠DGH＝∠BEF，在△GDH和△EBF中，∵，∴△GDH≌△EBF（AAS），∴DG＝BE，∴EM＝BE，∴四邊形MEBP是正方形，∴S△EFM＝S?GHEF＝S正方形MEBP，∴S?GHEF＝S正方形MEBP，∴求得平行四邊形HEFG的面積，只需知道BE即可；故選：C．【點(diǎn)睛】此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形和四邊形的面積等知識．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．7．（2019春?越城區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)EF分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點(diǎn)G．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，則△BCG的周長為（）A．7 B．3+ C．8 D．3+【點(diǎn)撥】根據(jù)陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，得出陰影部分的面積為6，空白部分的面積為3，進(jìn)而依據(jù)△BCG的面積以及勾股定理，得出BG+CG的長，進(jìn)而得出其周長．【解析】解：∵陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，∴陰影部分的面積為×9＝6，∴空白部分的面積為9﹣6＝3，由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面積與四邊形DEGF的面積相等，均為×3＝，∠CBE＝∠DCF，∵∠DCF+∠BCG＝90°，∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，設(shè)BG＝a，CG＝b，則ab＝，又∵a2+b2＝32，∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，即（a+b）2＝15，∴a+b＝，即BG+CG＝，∴△BCG的周長＝+3，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形面積問題．解題時注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．8．（2019春?永康市期末）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于O，BE平分∠ABO交AC于E，CF⊥BE于F，交BD于G，則下列結(jié)論：①OE＝OG；②CE＝CB；③△ABE≌△BCG；④CF平分∠BCE．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【點(diǎn)撥】根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得OB⊥OC，BO＝CO，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得∠EBO+∠BEO＝90°，∠BEC+∠ECF＝90°，再根據(jù)與角的關(guān)系，可得∠EBO＝∠ECF，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)OE＝OG，故①正確；根據(jù)角平分線的定義得到∠EBO＝45°＝22.5°，得到∠ECF＝∠BCF，求得CF平分∠BCE，故④正確；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CE＝CB，故②正確；根據(jù)全等三角形的判定兩點(diǎn)得到△ABE≌△BCG（SAS），故③正確．【解析】證明：∵正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∴OB⊥OC，BO＝CO，∴∠EOB＝∠COG＝90°．∵CF⊥BE于點(diǎn)F，∴∠CFE＝∠CFB＝90°．∴∠EBO+∠BEO＝90°，∠BEC+∠ECF＝90°，∴∠EBO＝∠ECF．在△BEO和△CGO中，，∴△BEO≌△CGO（AAS），∴OE＝OG，故①正確；∵∠ABO＝∠BCO＝45°，BE平分∠ABO交AC于E，∴∠EBO＝45°＝22.5°，∵∠EOF＝∠EBO＝22.5°，∴∠BOF＝45°﹣22.5°＝22.5°，∴∠ECF＝∠BCF，∴CF平分∠BCE，故④正確；∵CF⊥BE，∴CE＝CB，故②正確；∵∠ABE＝∠BCG＝22.5°，∵△BEO≌△CGO，∴BE＝CG，∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCG（SAS），故③正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了正方形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2018春?慈溪市期末）如圖，在給定的一張平行四邊形紙片上按如下操作：連結(jié)AC，作AC的垂直平分線MN分別交AD、AC、BC于M、O、N，連結(jié)AN，CM，則四邊形ANCM是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．無法判斷【點(diǎn)撥】利用MN垂直平分AC得到AO＝CO，∠AOM＝90°，再由AD∥BC得到∠MAC＝∠NCA，則可證明△AOPM≌△CON，所以O(shè)M＝ON，于是根據(jù)菱形的判定方法可判斷四邊形ANCM是菱形；【解析】證明：∵M(jìn)N垂直平分AC，∴AO＝CO，∠AOM＝90°，又∵AD∥BC，∴∠MAC＝∠NCA，在△AOPM和△CON中，，∴△AOPM≌△CON，∴OM＝ON，∴AC和MN互相垂直平分，∴四邊形ANCM是菱形；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了菱形的判定．10．（2019春?富陽區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，BE與CF相交于點(diǎn)P，設(shè)AB＝a．得到以下結(jié)論：①BE⊥CF；②AP＝a；③CP＝a則上述結(jié)論正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【點(diǎn)撥】先證明△CDF≌△BCE，可得到∠CEB＝∠CFD，繼而證得∠EPC＝90°，故①正確；延長CF交BA延長線于點(diǎn)M，再證明△CFD和△MFA，可得CD＝MA＝AB＝a，由BP⊥CF，根據(jù)“AP為Rt△MPB斜邊BM上的中線，是斜邊的一半，”即可得：AP＝BM＝×2a＝a，故②正確；由勾股定理和面積可得：CP＝a，故③正確；即可得出結(jié)論．【解析】解：在△CDF和△BCE中∴△CDF≌△BCE（SAS）∴∠CEB＝∠CFD∵∠DCF+∠CFD＝90°∴∠DCF+∠CEB＝90°∴∠EPC＝90°∴①正確；如圖延長CF交BA延長線于點(diǎn)M，在△CFD和△MFA中∴△CFD≌△MFA（ASA）∴CD＝MA＝AB＝a，∵BP⊥CF∴AP為Rt△MPB斜邊BM上的中線，是斜邊的一半，即AP＝BM＝×2a＝a，∴②正確；∵CP⊥BE∴CP×BE＝CE×BC＝∵BE＝＝＝∴CP＝＝＝∴③正確故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，三角形面積，勾股定理，全等三角形判定和性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，解題關(guān)鍵是全等三角形判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用．二、填空題11．（2018春?麗水期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，要使矩形ABCD成為正方形，應(yīng)添加的一個條件是AB＝BC（答案不唯一）．【點(diǎn)撥】根據(jù)正方形的判定添加條件即可．【解析】解：添加的條件可以是AB＝BC．理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四邊形ABCD是正方形．故答案為：AB＝BC（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定的應(yīng)用，能熟記正方形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：有一組鄰邊相等的矩形是正方形，對角線互相垂直的矩形是正方形．此題是一道開放型的題目，答案不唯一，也可以添加AC⊥BD．12．（2019春?蒼南縣期末）如圖，長方形ABCD平移得到長方形A1B1C1D1，A1B1交BC于點(diǎn)E，A1D1交CD于點(diǎn)F，若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，四邊形A1ECF為正方形，AB＝20cm，AD＝10cm，則陰影部分的面積為100cm2．【點(diǎn)撥】根據(jù)矩形和平移的性質(zhì)得到AB＝CD＝A1B1＝20，AD＝BC＝A1D1＝10，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到BE＝CE＝BC＝5，由正方形的性質(zhì)得到A1E＝CE＝CF＝A1F＝5，求得DF＝EB1＝20﹣5＝15，根據(jù)三角形和正方形的面積公式即可得到結(jié)論．【解析】解：∵長方形ABCD平移得到長方形A1B1C1D1，∴AB＝CD＝A1B1＝20，AD＝BC＝A1D1＝10，∵點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，∴BE＝CE＝BC＝5，∵四邊形A1ECF為正方形，∴A1E＝CE＝CF＝A1F＝5，∴D1F＝A1D1＝5，∴DF＝EB1＝20﹣5＝15，∵∠DFD1＝∠A1FC＝∠BEB1＝∠A1EC＝90°，∴陰影部分的面積＝S+S+S＝+5×5+＝100cm2．故答案為：100．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，三角形面積的計算，熟練掌握矩形和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2019春?永康市期末）如圖，正方形ABCD中，BE平分∠ABD交AD于E，EF⊥BD于F，F(xiàn)P⊥AB于P，已知正方形ABCD的邊長BC＝2，則AP的長是2﹣．【點(diǎn)撥】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ADB＝∠ABD＝45°，∠A＝90°，根據(jù)角平分線的定義得到AE＝EF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到DF＝EF，PB＝PF，設(shè)AE＝EF＝DF＝x，得到DE＝x，求得DF＝2﹣2，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】解：∵正方形ABCD中，∠ADB＝∠ABD＝45°，∠A＝90°，∵EF⊥BD于F，BE平分∠ABD，∴AE＝EF，∵FP⊥AB，∴△DEF與△BPF是等腰直角三角形，∴DF＝EF，PB＝PF，設(shè)AE＝EF＝DF＝x，∴DE＝x，∵AD＝2，∴（1+）x＝2，BD＝2，∴x＝2﹣2，∴DF＝2﹣2，∴BF＝2﹣（2﹣2）＝2，∴PB＝BF＝，∴AP＝AB﹣PB＝2﹣，故答案為：2﹣．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定義，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．14．（2019春?蒼南縣期末）如圖，在正方形ABCD中，G是對角線BD上的點(diǎn)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F(xiàn)分別為垂足，連結(jié)EF．設(shè)M，N分別是AB，BG的中點(diǎn)，EF＝5，則MN的長為2.5．【點(diǎn)撥】連接AG，CG，根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形CFGE是矩形，求得CG＝EF＝5，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG＝CG＝5，由三角形中位線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】解：連接AG，CG，∵在正方形ABCD中，∠BCD＝90°，∵GE⊥CD，GF⊥BC，∴四邊形CFGE是矩形，∴CG＝EF＝5，∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，∵BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG＝5，∵M(jìn)，N分別是AB，BG的中點(diǎn)，∴MN＝AG＝2.5，故答案為：2.5．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．15．（2019春?鄞州區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AD上的一動點(diǎn)，以CE為邊，在CE的右側(cè)構(gòu)造正方形CEFG，連結(jié)AF，則AF的最小值為3．【點(diǎn)撥】過F作FH⊥ED，利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定得出△EFH≌△EDC，進(jìn)而利用勾股定理解答即可．【解析】解：過F作FH⊥ED，∵正方形CEFG，∴EF＝EC，∠FEC＝∠FED+∠DEC＝90°，∵FH⊥ED，∴∠FED+∠EFH＝90°，∴∠DEC＝∠EFH，且EF＝EC，∠FHE＝∠EDC＝90°，∴△EFH≌△EDC（AAS），∴EH＝DC＝2，F(xiàn)H＝ED，∴AF＝＝＝∴當(dāng)AE＝1時，AF的最小值為3故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定得出△EFH≌△EDC．三、解答題16．（2019春?西湖區(qū)期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為12，點(diǎn)E在DC邊上，點(diǎn)G在BC的延長線上，設(shè)正方形CEFG的面積為S1，以線段AD和DE為鄰邊的矩形的面積為S2，且S1＝S2．（1）求線段DE的長．（2）若H為BC邊上一點(diǎn)，CH＝5，連接DH，DG，判斷△DHG的形狀．【點(diǎn)撥】（1）設(shè)正方形CEFG的邊長為a，則DE＝12﹣a，由S1＝S2．得出方程a2＝×12×（12﹣a），解得：a＝8，得出DE＝4；（2）由勾股定理得出DH＝＝13，DG＝＝4，求出GH＝CG+CH＝13，得出DH＝GH即可．【解析】解：（1）設(shè)正方形CEFG的邊長為a，∵正方形ABCD的邊長為12，∴DE＝12﹣a，∵S1＝S2．∴a2＝×12×（12﹣a），解得：a＝8，或a＝﹣24（舍去），∴DE＝12﹣8＝4；（2）△DHG是等腰三角形；理由如下：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，∴∠DCH＝∠DCG＝90°，CD＝12，CG＝8，∴DH＝＝＝13，DG＝＝＝4，∵CH＝5，∴GH＝CG+CH＝13，∴DH＝GH，∴△DHG是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．17．（2019春?嵊州市期末）如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，OC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．已知，OA＝2，OC＝4，點(diǎn)D為x軸上一動點(diǎn)，以BD為一邊在BD右側(cè)作正方形BDEF．（1）若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)D在OA的延長線上，且EA＝EB，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）若OE＝2，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)正方形的邊長相等和矩形的對邊相等，可得OE的長，從而得E的坐標(biāo)；（2）作輔助線，先根據(jù)EA＝EB可知EG是AB的垂直平分線，證明△BAD≌△DHE（ASA），可得結(jié)論；（3）分兩種情況：點(diǎn)D在點(diǎn)A的左側(cè)和右側(cè)，過E作EH⊥x軸于H，構(gòu)建全等三角形，設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論．【解析】解：（1）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時，如圖1，∴BD＝OC＝4，∵四邊形BDFE是正方形，∴BD＝DE＝4，∠BDE＝90°，∵OA＝2，∴OE＝OA+AE＝2+4＝6，∴E（6，0）；（2）如圖2，過E作EG⊥AB于G，作EH⊥x軸于H，∵EB＝EA，∴AG＝BG＝2，∵∠AGC＝∠GAH＝∠AHE＝90°，∴四邊形AGEH是矩形，∴EH＝AG＝2，∵四邊形BDEF是正方形，∴BD＝DE，∠BDE＝90°，∴∠ADB+∠EDH＝∠ADB+∠ABD＝90°，∴∠EDH＝∠ABD，∵∠BAD＝∠DHE＝90°，∴△BAD≌△DHE（ASA），∴DH＝AB＝4，AD＝EH＝2，∴OH＝8，∴E（8，2）；（3）分兩種情況：①D在點(diǎn)A的右側(cè)時，如圖3，過E作EH⊥x軸于H，由（2）知：△BAD≌△DHE，∴DH＝AB＝4，AD＝EH，設(shè)AD＝x，則EH＝x，OH＝2+4+x＝6+x，在Rt△OEH中，由勾股定理得：OE2＝OH2+EH2，∴，解得：x＝2或﹣8（舍），∴E（8，2）；②D在點(diǎn)A的左側(cè)時，如圖4，過E作EH⊥x軸于H，由（2）知：△BAD≌△DHE，∴DH＝AB＝4，AD＝EH，設(shè)AD＝x，則EH＝x，OH＝x﹣2﹣4＝x﹣6，在Rt△OEH中，由勾股定理得：OE2＝OH2+EH2，∴＝x2+（x﹣6）2，解得：x＝8或﹣2（舍），∴OH＝8﹣6＝2，∴E（﹣2，﹣8）；綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（8，2）或（﹣2，﹣8）．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形和矩形的性質(zhì)和判定、勾股定理及一元二次方程，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題．18．（2019春?西湖區(qū)校級月考）現(xiàn)有正方形ABCD和一個以O(shè)為直角頂點(diǎn)的三角板，移動三角板，使三角板兩直角邊所在直線分別與直線BC，CD交于點(diǎn)M，N．（1）如圖1，若點(diǎn)O與點(diǎn)A重合，則OM與ON的數(shù)量關(guān)系是OM＝ON；（2）如圖2，若點(diǎn)O在正方形的中心（即兩對角線交點(diǎn)），則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)O在正方形的內(nèi)部（含邊界）的任意一點(diǎn)時，OM＝ON都成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，請?zhí)骄慨?dāng)點(diǎn)O的位置滿足什么條件時，有OM＝ON．【點(diǎn)撥】（1）如圖1，根據(jù)△OBM與△ODN全等，可以得出OM與ON相等的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，連接AC、BD，則通過判定△BOM≌△CON，可以得到OM＝ON；（3）如圖3，過點(diǎn)O作OE⊥BC，作OF⊥CD，可以通過判定△MOE≌△NOF，得出OM＝ON．【解析】解：（1）若點(diǎn)O與點(diǎn)A重合，則OM與ON的數(shù)量關(guān)系是：OM＝ON；理由：如圖1，∵四邊形ABCD時正方形，∴AB＝AD，∠ADC＝∠ABM＝∠BAD＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，在△ABM和△ADN中，∴△ABM≌△ADN（ASA），∴OM＝ON，故答案為：OM＝ON，（2）仍成立．證明：如圖2，連接AC、BD，則由正方形ABCD可得，∠BOC＝90°，BO＝CO，∠OBM＝∠OCN＝45°，∵∠MON＝90°，∴∠BOM＝∠CON，在△BOM和△CON中，，∴△BOM≌△CON（ASA），∴OM＝ON；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)O在正方形的內(nèi)部（含邊界）的任意一點(diǎn)時，OM＝ON不一定都成立，當(dāng)點(diǎn)O的位置在對角線AC上時，有OM＝ON．理由是：如圖3，過點(diǎn)O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分別為E、F，則∠OEM＝∠OFN＝90°，∵點(diǎn)O的位置在對角線AC上∴OE＝OF，又∵∠C＝90°，∴∠EOF＝90°＝∠MON，∴∠MOE＝∠NOF，在△MOE和△NOF中，，∴△MOE≌△NOF（ASA），∴OM＝ON．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的探究題，主要考查了四邊形中的正方形，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．解題時需要運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)，以及角平分線的判定定理．19．（2019秋?余杭區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AE交BC于點(diǎn)P，交DC的延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)P為AE的中點(diǎn)．（1）求證：點(diǎn)P也是BC的中點(diǎn)；（2）若CB⊥AB，且DP＝，CD＝，AB＝4，求AP的長；（3）在（2）的條件下，若線段AE上有一點(diǎn)Q，使得△ABQ是等腰三角形，求AQ的長．【點(diǎn)撥】（1）由平行線的性質(zhì)得出∠CEP＝∠BAP，∠ECP＝∠ABP，由點(diǎn)P為AE的中點(diǎn)，得出PE＝PA，由AAS證得△CEP≌△BAP，即可得出結(jié)論；（2）由CB⊥AB，AB∥CD，得出∠DCP＝∠ABP＝90°，在Rt△DCP中，CP＝＝3，由（1）得CP＝PB＝3，在Rt△ABP中，AP＝＝5；（3）①當(dāng)AQ＝AB時，AQ＝AB＝4；②當(dāng)BA＝BQ時，過點(diǎn)B作BN⊥AQ于N，則AN＝NQ，由S△ABP＝AB?BP＝AP?BN，求出BN＝，在Rt△ABN中，AN＝＝，則AQ＝2AN＝；③當(dāng)AQ＝QB時，證明QB＝AQ＝QP，則AQ＝AP＝．【解析】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠CEP＝∠BAP，∠ECP＝∠ABP，∵點(diǎn)P為AE的中點(diǎn)，∴PE＝PA，在△CEP和△BAP中，，∴△CEP≌△BAP（AAS），∴PC＝PB，∴點(diǎn)P也是BC的中點(diǎn)；（2）解：∵CB⊥AB，AB∥CD，∴∠DCP＝∠ABP＝90°，在Rt△DCP中，CP＝＝＝3，由（1）得：CP＝PB＝3，在Rt△ABP中，AP＝＝＝5；（3）解：①當(dāng)AQ＝AB時，AQ＝AB＝4；②當(dāng)BA＝BQ時，過點(diǎn)B作BN⊥AQ于N，如圖1所示：則AN＝NQ，S△ABP＝AB?BP＝AP?BN，即4×3＝5BN，∴BN＝，在Rt△ABN中，AN＝＝＝，∴AQ＝2AN＝；③當(dāng)AQ＝QB時，如圖2所示：∵AQ＝QB，∴∠QAB＝∠QBA，∵∠QAB+∠QPB＝90°，∠QBA+∠QBP＝90°，∴∠QPB＝∠QBP，∴QB＝QP，∴QB＝AQ＝QP，∴AQ＝AP＝；綜上所述，△ABQ是等腰三角形，AQ的長為4或或．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、分類討論等知識；熟練掌握平行線的性質(zhì)與勾股定理是解題的關(guān)鍵．20．（2020?蕭山區(qū)模擬）如圖，在正方形ABCD中，P是邊BC上的一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)為E，連接AE．連接DE并延長交射線AP于點(diǎn)F，連接BF．（1）若∠BAP＝α，直接寫出∠ADF的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?；（2）求證：BF⊥DF；（3）連接CF，用等式表示線段AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【點(diǎn)撥】（1）由軸對稱的性質(zhì)得出∠EAP＝∠BAP＝α，AE＝AB，由正方形的性質(zhì)得出∠BAD＝90°，AB＝AD，得出∠DAE＝90°﹣2α，AD＝AE，由等腰三角形的性質(zhì)即可得出答案；（2）由軸對稱的性質(zhì)得出∠AEF＝∠ABF，AE＝AB．得出AE＝AD．由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADE＝∠AED．證出∠BFD+∠BAD＝180°，得出∠BFD＝90°即可；（3）過點(diǎn)B作BM⊥BF交AF于點(diǎn)M，證明△BMF是等腰直角三角形，得出BM＝BF，F(xiàn)M＝BF，證明△AMB≌△CFB（SAS），得出AM＝CF，即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：由軸對稱的性質(zhì)得：∠EAP＝∠BAP＝α，AE＝AB，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠DAE＝90°﹣2α，AD＝AE，∴∠ADF＝∠AED＝（180°﹣∠DAE）＝（90°+2α）＝45°+α；（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于直線AP對稱，∴∠AEF＝∠ABF，AE＝AB．∴AE＝AD．∴∠ADE＝∠AED．∵∠AED+∠AEF＝180°，∴在四邊形ABFD中，∠ADE+∠ABF＝18