2024-2025學(xué)年河南省高三年級(jí)上冊(cè)開學(xué)摸底測(cè)試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年河南省高三上學(xué)期開學(xué)摸底測(cè)試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

小A—=|x|%2—4x—1<0)jAD_

1已知集合I，…I/,則川那-()

A.0B.{0}c.{051}D.{-1,0,1)

2—z

2.七婪一i1，[JillZ7—(k、)

z

ii.

A.iB.2iC.-+-1D.1+i

22

已知向量若

3.3=(1,i),B=(o,i).(5+.3,則;1=()

A.-1B.1C.2D.0

4.已知sin2o—cos2a=l,且cosawO,則tana=()

c-D.V2

A.0B.12

5.將4個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子中，且每個(gè)盒子最多只能裝3個(gè)球,則不同的放法有(

A60種B.64種C.78種D.81種

b

6.己知2"=b,2=3,10gz,6=c,則()

A.b+l=acB.3b+a=c

C.ac+a=2bD.b-ac

7.已知函數(shù)/(x)=/sin(tox+°)(/>0,0>0,0<°<兀)的部分圖象如圖所示，將/(x)的圖象

向左平移［個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x())=l，貝！=)

A.1B.2C.2GD.V15

2

8.已知E是雙曲線C:/-匕=1的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)廠的直線與。交于48兩點(diǎn)（點(diǎn)48在。的同

3

一支上），且叫=2叫,則|/同=（）

,1327

A.6B.8C.—D.—

24

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.為了解某新品種玉米的畝產(chǎn)量（單位：千克）情況，從種植區(qū)抽取樣本，得到該新品種玉米的畝

產(chǎn)量的樣本均值亍=500,樣本方差/=400.已知原品種玉米的畝產(chǎn)量X服從正態(tài)分布

A^（430,202）,假設(shè)新品種玉米的畝產(chǎn)量y服從正態(tài)分布N（元,1）,則（）（若隨機(jī)變量z服

從正態(tài)分布N（,則P（Z<〃—CT”0.1587）

A.P（X>480）<0.2B,P（X<480）>0.8

C.P（r<480）<0.2D,P（r>520）>0.2

10.已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽J（肛）=w（x）+^（y）,則（）

A./（0）=0B./（-1）=0

c./（x）是偶函數(shù)D./Qj-/（2）<0

II.如圖，球。被一個(gè)距離球心d（d〉0）的平面截成了兩個(gè)部分，這兩個(gè)部分都叫作球缺，截面叫

作球缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直徑被截后所得的線段叫作球缺的高.球冠

的面積公式為S=2成〃，球缺的體積公式為廠=1兀（3氏-笈）笈2,其中R為球的半徑，〃為球

缺的高，記兩個(gè)球缺的球冠面積分別為百,邑(81＜邑)，兩個(gè)球缺的體積分別為匕右(匕＜七)，則

下列結(jié)論正確的是()

13,

A.若4=—R,則兩個(gè)球缺的底面面積均為一成2

216

5.1V,5

若5=3'則玄=17

R岳，1

C.若42不，則

R匕、7

口?若公了則小而

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.

12.已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)乘積為北，若《=看，則￡,=.

13.已知E為橢圓C:二+g=l的右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為。上一點(diǎn)，若△0"為等邊三

a2b2

角形，則C的離心率為.

14.已知函數(shù)/■(x)=4"+(a-2)x-2“-2a/有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則。的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.-8C的內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為a1,c,已知6+4°=冬夕°/

273

(1)求cosC；

(2)若c=2,。為邊上一點(diǎn)，且4DLZC,求AZCD的面積.

16.如圖，在三棱錐P—45C中，。為/C的中點(diǎn)，平面P05J_平面4BC,Zk4BC是等腰直角三

角形，AB±BC,AC=PA=y/2,PB=^3.

P

(2)求二面角C-R4-8的正弦值.

17.在拋物線C:X2=2py(p>0)上有一系列點(diǎn)片&,x),鳥(9,外),…，匕(匕J"),"eN+,以點(diǎn)

々為圓心的圓勺與x軸都相切，且圓勺與圓匕M彼此外切.已知西=1,點(diǎn)片到。的焦點(diǎn)的距離為

(2)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

2

(3)設(shè)a=梟,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S".

18.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?。，若存在正?shí)數(shù)。，使得對(duì)于任意xe。，有x+ae。，且

/(x+a)>f(x),則稱/(x)是。上的“。距增函數(shù)”.

(1)已知函數(shù)/(x)=x+sinx,證明：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a,/(x)是R上的距增函數(shù)”；

(2)若/(x)=x3—x是R上的“0距增函數(shù)，，，求。的取值范圍；

/、fx+l.x<0.

(3)已知/(x)=<,,八是定義在R上的“2距增函數(shù)”，求6的取值范圍.

[xmx+x>0

19.甲、乙兩人各有六張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1,1,3,3,5,5,乙

的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,2,4,4,6,6,兩人進(jìn)行六輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的

卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后

各自棄置此輪所選的卡片(棄置的卡片在此后的輪次中不能使用).

(1)求甲的總得分為0的概率；

(2)求甲的總得分為1的概率；

(3)若X,.為隨機(jī)變量，則E￡琲￡?.記甲的總得分為y,求￡(y)

\Z=1)i=l

2024-2025學(xué)年河南省高三上學(xué)期開學(xué)摸底測(cè)試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1,已知集合4={一?}產(chǎn)邛―<01貝"「人()

A.0B.{0}C.{0,1}D.{-1,0,1)

【正確答案】C

【分析】解一元二次不等式得集合B,再進(jìn)行交集運(yùn)算即可.

【詳解】：B=x2-4x-1<o},:.B=卜|2-芯<x<2+6)

^A5={0,l}.

故選：c.

2.若2zw=—i,則2=()

z

.11.

A.iB.2iC.—l—iD.1+i

22

【正確答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算求出z即可.

2-z22

【詳解】依題意，——=——1=—i,則一二1—i,

ZZZ

22(1+i)2+2i

所以1+i.

2

故選：D

3.己知向量1==若僅+焉)，很，則；1=()

A.-1B.1C.2D.0

【正確答案】A

【分析】由向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式可得答案.

【詳解】由G=(I,1),3=(0,1),則iZ=i，

因?yàn)?所以限B+%B2=O，即I+X=O,解得2=_I.

故選：A

4.已知sin2o—cos2a=l,且cosaw0,貝ijtana=()

A.0B.1C.1D.V2

【正確答案】B

【分析】利用二倍角公式公式推導(dǎo)出sina=cosa,即可求出tana.

【詳解】因?yàn)閟in2a-cos2a=1,所以2sinacosa-2cos%+l=l，

sina

即sinacosaucos2a，因?yàn)閏osaw0，貝！Isina=cosa，所以tana=----=1.

coscr

故選：B

5.將4個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子中，且每個(gè)盒子最多只能裝3個(gè)球，則不同的放法有()

A.60種B.64種C.78種D.81種

【正確答案】C

【分析】利用間接法，4個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子中的放法減去將4個(gè)球放入同一個(gè)盒子

中的放法即得.

【詳解】不考慮每個(gè)盒子最多只能裝3個(gè)球，有34種放法.

若將4個(gè)球放入同一個(gè)盒子中，有3種放法.

故不同的放法有34-3=78種.

故選：C.

6.已知2"=仇2"=3,10gzi6=c,貝!]()

A.b+\=acB.3b+a=c

C.ac+a=2bD.b=ac

【正確答案】A

【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)互化、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式計(jì)算找到關(guān)系式；

【詳解】因?yàn)?。=因2)=3,所以。=log2Ab=log23,,

?c=log2Z?-log66=log26=log23+l,故6+l=ac

故選：A.

7.已知函數(shù)/(x)=/sin(&x+e)(/>0,0>0,0<°<兀)的部分圖象如圖所示，將/(x)的圖象

向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x0)=l，則|/(%)卜()

1I/7TIx

w

A.1B.2C.2^3D.V15

【正確答案】D

【分析】由圖象找到周期求出根據(jù)圖象中已知點(diǎn)代入求出9，/,得到函數(shù)解析式，再利用函數(shù)

的圖象變換規(guī)律得出g(x),計(jì)算得出結(jié)果.

37JT327T

【詳解】由圖可知一7=------=—,則T=L=兀，解得|同=2.

4884畫11

因?yàn)?>0,所以0=2.

因?yàn)?(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)［個(gè),。］,所以/［胃］=25E［彳+9］=

:0,

所以［+°=(左eZ),解得°=也一］(左eZ)

TT

因?yàn)?＜。＜兀，所以夕二w

因?yàn)?(X)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,2后)，所以/(o)=/sin；=2后，解得4=4.

故/(x)=4sin[2x+"],g(x)=4sin2|x+—|+—=4cos|2x+—|.

因?yàn)間(%)=4cos1,所以cos

4

|/(x0)|=4sin(2x0+^

故選：D.

8.已知廠是雙曲線c：/—22=1的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)少的直線與。交于48兩點(diǎn)（點(diǎn)48在。的同

3

一支上），且忸刊=21刊,則（）

【正確答案】D

【分析】首先由雙曲線方程求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并設(shè)出過點(diǎn)尸的直線方程》=加7-2（加〉0）,然后

借助直線與雙曲線聯(lián)立，得到必,為和與積的關(guān)系，再由忸E|=2|4F|,得到w%的等量關(guān)系，從

而解出見必的值，最后根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出以同得長(zhǎng).

由C:=1可得廠（―2,0）.根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)過點(diǎn)尸的直線為x=⑺-2（加〉0）,

x=my-2,

2

聯(lián)立2可得（3加2-l^y-12my+9=0

X

3

設(shè)/（“Jig%）,則乂+力=拚，為力=高?①

由忸川=2|/刊,則而=2或，又而=（—2—乙，一%），⑼=&+2,%）所以f=2九②

12〃z24m12m24m9

由①②可得凹=——7,8=,所以———x---

3m-13m2-13m~-13m~-13m2-1

解得m=或機(jī)=_fZ（舍）,3^/35

%=-----

3535

所以|48|=J1+加2.瓦—%|=-^=x3%/=27

~4

故選：D.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.為了解某新品種玉米的畝產(chǎn)量（單位：千克）情況，從種植區(qū)抽取樣本，得到該新品種玉米的畝

產(chǎn)量的樣本均值元=500,樣本方差/=400.已知原品種玉米的畝產(chǎn)量X服從正態(tài)分布

A^（430,202）,假設(shè)新品種玉米的畝產(chǎn)量y服從正態(tài)分布N（T,$2）,則（）（若隨機(jī)變量z服

從正態(tài)分布N（,則「伍<〃—o■卜0.1587）

AP（X>480）<0.2B,P（X<480）>0.8

C.P（r<480）<0.2D,P（r>520）>0.2

【正確答案】ABC

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)及3。原則，以及條件一一判斷即可.

【詳解】依題可知，y-TV（500,202）

P（Y<480）=P（Y<500-20）=P（Y>500+20）?0.1587<0.2,故C正確，D錯(cuò)誤.

因?yàn)閄~N（430,202）,所以p（x>450）=P（X>430+20）=P（X<430-20）-0.1587,

P(X>480)<P(X>450)<0.2,A正確.

因?yàn)镻(X<450)=1-P(X>450)a1—0.1587=0.8413,所以P(X<480)>P(X<450)>0,8,

B正確.

故選：ABC

10.已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽J（盯）=0（x）+獷（y）,則（）

A./（0）=0B./(-1)=0

C./（x）是偶函數(shù)

【正確答案】ABD

【分析】A.令x=y=0求解判斷；B.分別令x=y=l,x=y=-1求解判斷；C.令y=-1利用函

數(shù)奇偶性定義判斷；D.令x=4/=2求解判斷.

2

【詳解】令x=y=0,得/（0）=0,A正確.

令*=>=1,得=+所以=

令X=y=—1,得/（1）=—/（T）—/（T），所以/（—1）=0,B正確.

令y=—1,得〃—x）=—所以/（x）是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤.

令x=；/=2,得/（l）=2/1g]+g/（2）=0,所以

L—I2

/⑵=一”[￡|，/&}/（2）=—4/g]<0,D正確.

故選：ABD

11.如圖，球。被一個(gè)距離球心d（d〉0）的平面截成了兩個(gè)部分，這兩個(gè)部分都叫作球缺，截面叫

作球缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直徑被截后所得的線段叫作球缺的高.球冠

的面積公式為S=2成球缺的體積公式為「=；兀（3R-笈）笈2,其中R為球的半徑，〃為球

缺的高，記兩個(gè)球缺的球冠面積分別為E，邑（E<邑），兩個(gè)球缺的體積分別為匕匕（匕<6）,則

下列結(jié)論正確的是(

B.若王"則

3V227

RS1

c.若八行,則}

J%，

R匕、7

D?若公"則十就

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)勾股定理結(jié)合圓的面積公式計(jì)算判斷A錯(cuò)誤；根據(jù)截面的面積和球的體積公式根據(jù)不

同條件計(jì)算進(jìn)行判斷BCD.

【詳解】對(duì)于A,設(shè)這兩個(gè)球缺的底面圓半徑為，則/+/=氏2,

133

因?yàn)楫a(chǎn)+屋=氏2,d=_R,解得/=—氏2,該圓的面積為一成2,A錯(cuò)誤.

244

對(duì)于B,設(shè)兩個(gè)球缺的高分別為4,為(4<〃2)，則hi+h2=2R.

S12兀防1R3

由U}=得亍端=1，則均=34,所以4+3%=2火，解得％=均=R.

匕=等，同理得仁=哈，所以?二盤出正確.

S_2jiRh\_\_R-d_dRR

對(duì)于c,x.設(shè)——x9由—Gd<R,得1<XW3,則

S22jiRh2h2R+dd3

d

Sx-1,2

—}L=---=1-----，c正確.

S?x+1x+1

_(2R+d)(R_d)2(2x+l)(x-l)2_2丁-341

對(duì)于D,

X=1兀(3氏_初必=(2R_d)(R+dY=(2X-1)(X+1)2=2X3+3X2-1-

n2［12%2(X2—1

由dW—,得X23.設(shè)函數(shù)/(x)=;一,，則/'(x)=7------------2，

3八)2X3+3X2-1(2X3+3X2-1

/'(x)>0在［3,+s)上恒成立，即/(x)在［3,+8)上單調(diào)遞增，

7V7

所以〃x"/(3)=獷，即寸》五,D正確.

zuy2NU

故選：BCD.

方法點(diǎn)睛：關(guān)于球的截面問題常用勾股定理求解截面半徑和球的半徑；

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.

12.已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)乘積為北，若m則"=.

【正確答案】1

【分析】依題意可得a3a4=1，再由下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?=4，即2a3%，顯然見70,所以a3a4=1，

則。3。4=a\a6=a2a5=1,故北=…。6=1.

故1

13.已知/為橢圓C：W+g=l的右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為。上一點(diǎn)，若△0"為等邊三

a2b1

角形，則C的離心率為.

【正確答案】V3-l##-l+V3

【分析】由條件可知△片尸歹為直角三角形，結(jié)合橢圓定義確定華。關(guān)系，由此可求離心率.

【詳解】取橢圓。的左焦點(diǎn)G，連結(jié)尸片，

\F'7T

由/\OFP為等邊三角形，則\OP\=\OF\^\OF}\,

7T

可知△片尸尸為直角三角形，且/尸方片=§，

設(shè)|W|=2c,則|尸尸|二0,|尸片|二百°,

2

可得2a=|「用+|尸尸|=（6+1卜，則■|=^j=G_l，

所以橢圓。的離心率是e=￡=百—1.

a

故答案為.、回-1

14.已知函數(shù)〃x）=4'+（"2）x2-2a/有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則。的取值范圍為.

【正確答案】（-巴―2）u（—2,—eln2）

【分析】由方程（2,+辦乂2=2x）=0有4個(gè)不同的根，且方程2*-2x=0有1，2兩個(gè)根，則方

程2、+以=0有2個(gè)不同的根，且。。-2,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2'與函數(shù)V=-ax的圖象有兩個(gè)交

點(diǎn)求解.

【詳解】解：由題意可得方程（2,+句（2工-2x）=0有4個(gè)不同的根，

方程2*—2x=0的2個(gè)根為國(guó)=l,x2=2,

則方程2"+以=0有2個(gè)不同的根，且。0-2,

即函數(shù)y=T與函數(shù)V=~ax的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)直線了=-辦與函數(shù)y=2工的圖象相切時(shí),

設(shè)切點(diǎn)為（%,2'。），因?yàn)榱?2*1112,所以《

-ax.=2X°,

解得x0=—'―=log2e,a=-eln2.

In2

要使函數(shù)y=2、與函數(shù)V=一辦的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

只需直線J=—ax的斜率大于eln2,

故。的取值范圍為（-巴-2）。（-2,-eln2）.

故o（-2,-eln2）

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.的內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為見仇。，已知b=22qz=2

273

（1）求cos。；

（2）若。=2,。為8C邊上一點(diǎn)，且4DLZC,求△ZCD的面積.

【正確答案】（1）cosC=2互

4

【分析】（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化，siiLB+-sinC=-）再由三角形內(nèi)角和可得

27

/?1

sinS=—cosC—sinC>即可求解；

22

（2）先應(yīng)用正弦定理和余弦定理求邊長(zhǎng)a/,再結(jié)合面積公式即可求解.

【小問1詳解】

因?yàn)閎+,c=2也口,所以sin8+LsinC=2Y7sitU=2Esin24=Y9.

2727737

因?yàn)閟inB=sin（4+C）=與cosC一；sinC，

福|、|6c1.?1.?/TA73ZB?2A/7

所以——cosC——sinC+—smC=-----，解得cosC=-------

22277

【小問2詳解】

sinC—------

7

由正弦定理，一=三，解得a=J7.

SIIL4sinC

由余弦定理/=/+o2-2b0cosZ，得/+26—3=0，解得6=1(/?=—3舍去).

ACV7

在Rt^ZCD中，CD=

cosC2

所以S“6=：C4.CDsinC=9?

16.如圖，在三棱錐P—45C中，。為ZC的中點(diǎn)，平面P05_L平面48C,44BC是等腰直角三

(1)證明：PA=PC；

(2)求二面角C-P/-8的正弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)上

3

【分析】(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)可得03,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得ZC_L平面P05,

然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合條件可得.

(2)作PZ)J_3O,垂足為。，連接ZU,。。，由面面垂直的性質(zhì)可得尸Z)J_平面48CD,再由

三角形全等，得出D4_Lr>C,從而建立空間坐標(biāo)系利用空間向量解決問題.

【小問1詳解】

證明：因?yàn)锳ASC是等腰直角三角形，46,8。,。為/。的中點(diǎn)，

所以ZCu平面48C,

又因?yàn)槠矫鍼OBJ_平面48C,平面008Pl平面48。=02,

所以平面POA

因?yàn)镻Ou平面P05,所以ZC,尸0,又。為ZC的中點(diǎn)，

所以△P/C是等腰三角形，故P4=PC.

【小問2詳解】

在平面P08上，作PQLBO,垂足為。，連接。4。。.

平面P05,平面48C,平面尸08n平面

又POu平面P05,所以尸平面/BCD.

由（1）P4=PC,又AC=PA=C，則△上4c為等邊三角形.

所以。尸=Z。2=逅,。3=4￡=正，

222

所以cosZBOP=尸2=_B,所以?os/DOP=—，

20P0B33

J2/--------------

DO=PO-cosZDOP=DP=y]OP2-DO2=1-

所以AD=DC=1AP2_DP2=1，在等腰直角三角形"BC中，AB=BC=1,

所以“5。與△24c全等，故N/0C=N/BC=9O。，即D4_L。。，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，￡）/所在直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

ZA

則P（O,O』）,/（1,O,O）,5（U,O）,C（O,LO）.

PA=（l,0,-l）,2g=（0,1,0）,%=（-1,1,0）.

設(shè)平面尸48的法向量為萬(wàn)=（石,%,zj,

n-PA=Q,fx-z,=0,/、

則<_即4；取西=1,可得萬(wàn)=（i,o,i）.

n-AB=0,〔乃=0,

設(shè)平面R4C的法向量為應(yīng)=（%，%/2）,

“--?,

m-PA=0,-z=0,/、

則<___?即<?取為=1,可得應(yīng)=（1,1,1）.

〔玩zc=0,[-x2+y2=o,

設(shè)二面角C-PA-B的大小為0,

nilc?--1M詞V6.?V3

則cos"=cos凡刑=\：=——，sm，=——.

11\n\-\?m\33

故二面角C-PA-B的正弦值為旦.

3

17.在拋物線C:/=2抄（,〉0）上有一系列點(diǎn)4（西,%）,巴（孫歹2卜一,￡（了“,月）,”62,以點(diǎn)

p?為圓心的圓勺與X軸都相切，且圓P“與圓月+1彼此外切.已知XI=1,點(diǎn)々到。的焦點(diǎn)的距離為

1,O<X?+1<x?,o?=—

(2)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

2

(3)設(shè)求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S..

【正確答案】（1）p=l

(2)an=n

n2+477+6

(3)S=6-

n2"

/1\]D

【分析】⑴先計(jì)算片1,—，結(jié)合設(shè)拋物線定義可得|單/仁丁+￡=1，解得P的值.

I2口2p2

（2）因?yàn)閳A々與圓月M彼此外切，得J（x“—七+）+⑴7.J2="+5,結(jié)合拋物線方程化簡(jiǎn)

11,[1

得--------=1,從而數(shù)列一卜是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而%.

七+1X“

222

（3）由（2）得b=—/,S=1▲+2—+3=+…+n上，利用錯(cuò)位相減進(jìn)而求得答案；

"2"222232"

【小問1詳解】

，]11V

P1,—,設(shè)拋物線c的焦點(diǎn)為。根據(jù)題意可知RE卜一+受=1,解得夕=1.

XI2p）2P2

【小問2詳解】

因?yàn)閳A《與圓勺+i彼此外切，所以—%+）+（第一第+J2=yn+yn+l,

2XX

則（％—X“+l）2=U+V?+l）—（匕-%+1?=包%+1=nn+l-

11,

因?yàn)?<居+1<Z，所以x“—x“+i=x“x“+i，即：―—―=1.

Xn+lXn

因?yàn)橐?=1,所,以1數(shù)列一卜是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即1一=〃.

西X"

故%=n.

【小問3詳解】

,12232/112232n

bn=菽，5“=-+TT+TT+?■?+-S?=行+Lh…+R

=#上口、#/曰1c11x31x51x71x(2〃-1)n2

兩式相減得一S=-+—^+^+―-+--1---------

222223242"*

人廠13572?-111352//-1

左北=5+域+域+外+…+〒則二級(jí)+彳+>+2"+…i----------

4?1E1J111112,-1

兩式相減侍不(=5+2區(qū)+滔+尹+…+府—77k

32〃+3

22計(jì)1

2九+3

所以［=3-

2〃

所，”3-竽n2/J+4〃+6n1+An+6

=r=3------——Bn，即邑=6---------------

18.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?。，若存在正?shí)數(shù)。，使得對(duì)于任意x,有x+ae。，且

/(%+?)>f(x),則稱/(x)是。上的“。距增函數(shù)”.

(1)已知函數(shù)/(x)=x+sinx,證明：對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a,/(x)是R上的距增函數(shù)”；

(2)若/(x)=x3—x是R上的“。距增函數(shù)”，求a的取值范圍；

/、fx+l,x<0.

(3)已知/(x)=<,,八是定義在R上的“2距增函數(shù)”，求6的取值范圍.

[xinx+Z?x,x>0

【正確答案】(1)證明見解析

(2)(2,+8)

(3)(0,+動(dòng)

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合增函數(shù)得/(x+a)〉/(x)證明/(x)是R上的

距增函數(shù)”；

(2)根據(jù)“。距增函數(shù)”的定義，可得(x+a)3-(x+a)>/-小解不等式求得。的取值范圍；

(3)根據(jù)/(x)是定義在R上的“2距增函數(shù)“，有/(x+2)>/(x),對(duì)x分類討論結(jié)合函數(shù)的單

調(diào)性求得6的取值范圍；

【小問1詳解】

證明：因?yàn)?(x)=x+sinx,所以/'(x)=l+cosxNO,所以/(x)在R上單調(diào)遞增.

對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a,x+a>x,所以/(x+a)>/(x),

所以/(x)是R上的距增函數(shù)

【小問2詳解】

因?yàn)椤猉是R上的距增函數(shù)”，所以/(x+?)>f(x),

即(x+?)3-(x+a)>x3-x,化簡(jiǎn)得3x?+3ax+a~-1>0>

所以3—+3狽+/—1=0無(wú)解，即A=9a2-12(a2-l)<0,

解得a>2(a<—2舍去).所以。的取值范圍為(2,+s).

【小問3詳解】

因?yàn)?(x)是定義在R上的“2距增函數(shù)“，所以/(x+2)>/(x).

①若xe(—oo,-2],貝”+2e(—鞏0].

因?yàn)?(x)在(-8,0]上單調(diào)遞增,所以/(x+2)>/(x)恒成立.

②若xe(—2,0],則x+2e(O,2].

因?yàn)?(x+2)>/(x),所以(x+2)ln(x+2)+b(x+2)>x+1.

令t=x+2e(0,2],貝!|/1皿+歷>/-1,即6>1-1皿一).

令函數(shù)8(。=1_1皿_；/6(0,2],則g'("=

當(dāng)時(shí)，g'⑺>0；當(dāng)時(shí)，g'(/)<0.

所以g(。在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2]上單調(diào)遞減，

所以g(/)max=g#=0,所以6>0.

③若xe(0,+8),貝！Jx+2e(2,+oo),ln(x+2)>0.

由(2)可得，要使得/(x)是定義在R上的“2距增函數(shù)”，則必須滿足b>0.

當(dāng)b>0時(shí)，/(x+2)=(x+2)ln(x+2)+b(x+2)>xln(x+2)+bx>xlnx+bx=f(x).

綜上，方的取值范圍為(0,+").

19.甲、乙兩人各有六張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1