專題11.6期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)之大題壓軸重難點(diǎn)題型（舉一反三）（滬科版）（原卷版）

專題11.6期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)之大題壓軸重難點(diǎn)題型【滬科版】【題型1二元一次方程組與不等式的綜合應(yīng)用題】【例1】（2021秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期末）截至12月25日，全國累計(jì)報(bào)告接種新型冠狀病毒疫苗超過12億劑次．為了滿足市場需求，某公司計(jì)劃投入10個(gè)大、小兩種車間共同生產(chǎn)同一種新型冠狀病毒疫苗，已知1個(gè)大車間和2個(gè)小車間每周能生產(chǎn)疫苗共35萬劑，2個(gè)大車間和1個(gè)小車間每周能生產(chǎn)疫苗共40萬劑，每個(gè)大車間生產(chǎn)1萬劑疫苗的平均成本為90萬元，每個(gè)小車間生產(chǎn)1方劑疫苗的平均成本為80萬元．（1）該公司每個(gè)大車間、小車間每周分別能生產(chǎn)疫苗多少萬劑？（2）若投入的10個(gè)車間每周生產(chǎn)的疫苗不少于135萬劑，請(qǐng)問一共有幾種投入方案，并求出每周生產(chǎn)疫苗的總成本最小值？【變式11】（2021?奉化市期末）某中學(xué)開學(xué)初到商場購買A、B兩種品牌的足球，購買A種品牌的足球50個(gè)，B種品牌的足球25個(gè)，共花費(fèi)4500元．已知購買一個(gè)B種品牌的足球比購買一個(gè)A種品牌的足球多花30元．（1）求購買一個(gè)A種品牌、一個(gè)B種品牌的足球各需多少元？（2）學(xué)校為了響應(yīng)習(xí)總書記“足球進(jìn)校園”的號(hào)召，決定再次購進(jìn)A、B兩種品牌的足球50個(gè)，正好趕上商場對(duì)商品價(jià)格進(jìn)行調(diào)整，A種品牌的足球售價(jià)比第一次購買時(shí)提高4元，B種品牌的足球按第一次購買時(shí)售價(jià)的九折出售，如果學(xué)校此次購買A、B兩種品牌的足球的總費(fèi)用不超過第一次花費(fèi)的70%，則這次學(xué)校最多可以購買多少個(gè)B種品牌的足球？【變式12】（2022?長垣市期末）書法是中華民族的文化瑰寶，是人類文明的寶貴財(cái)富，是我國基礎(chǔ)教育的重要內(nèi)容．某學(xué)校準(zhǔn)備為學(xué)生的書法課購買一批毛筆和宣紙，已知購買40支毛筆和100張宣紙需要280元；購買30支毛筆和200張宣紙需要260元．（1）求毛筆和宣紙的單價(jià)；（2）某超市給出以下兩種優(yōu)惠方案：方案A：購買一支毛筆，贈(zèng)送一張宣紙；方案B：購買200張宣紙以上，超出的部分按原價(jià)打八折，毛筆不打折．學(xué)校準(zhǔn)備購買毛筆50支，宣紙若干張（超過200張）．選擇哪種方案更劃算？請(qǐng)說明理由．【變式13】（2021春?荔灣區(qū)期末）“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”已成為社會(huì)關(guān)注的熱門話題，小明從市場得知如下信息：甲商品每件售價(jià)為90元，乙商品每件售價(jià)為10元，銷售1件甲商品和4件乙商品可獲得利潤45元，銷售2件甲商品和3件乙商品可獲得利潤65元．（1）求甲、乙商品的進(jìn)貨價(jià)格；（2）小明計(jì)劃用不超過3500元的資金購進(jìn)甲、乙商品共100件進(jìn)行銷售，設(shè)小明購進(jìn)甲商品a件，求a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若要求甲，乙商品全部銷售完后獲得的利潤不少于1450元，請(qǐng)說明小明有哪些可行的進(jìn)貨方案，并計(jì)算哪種進(jìn)貨方案的利潤最大，最大利潤是多少？【題型2二元一次方程組與不等式組的綜合應(yīng)用題】【例2】（2021春?黃石港區(qū)期末）某商店購進(jìn)甲、乙兩種商品，每件甲商品的進(jìn)貨價(jià)比每件乙商品的進(jìn)貨價(jià)高40元，已知15件甲商品的進(jìn)貨總價(jià)比26件乙商品的進(jìn)貨總價(jià)低60元．（1）求甲、乙每件商品的進(jìn)貨價(jià)；（2）若甲、乙兩種商品共進(jìn)貨100件，要求兩種商品的進(jìn)貨總價(jià)不高于8080元，同時(shí)甲商品按進(jìn)價(jià)提高10%后的價(jià)格銷售，乙商品按進(jìn)價(jià)提高25%后的價(jià)格銷售，兩種商品全部售完后的銷售總額不低于9250元，問共有幾種進(jìn)貨方案？（3）在條件（2）下，并且不再考慮其他因素，若甲乙兩種商品全部售完，哪種方案利潤最大？最大利潤是多少？【變式21】（2021春?隨縣期末）實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，打造鄉(xiāng)村美麗家園．為解決某鎮(zhèn)鄉(xiāng)村灌溉問題，縣政府部門招標(biāo)一工程隊(duì)，負(fù)責(zé)完成在某村山腳下修建一座水庫的土方施工任務(wù)．該工程隊(duì)有A，B兩種型號(hào)的挖掘機(jī)，已知4臺(tái)A型和2臺(tái)B型挖掘機(jī)同時(shí)施工一小時(shí)挖土150立方米；3臺(tái)A型和7臺(tái)B型挖掘機(jī)同時(shí)施工一小時(shí)挖土195立方米．每臺(tái)A型挖掘機(jī)一小時(shí)的施工費(fèi)用為300元，每臺(tái)B型挖掘機(jī)一小時(shí)的施工費(fèi)用為180元．（1）分別求每臺(tái)A型，B型挖掘機(jī)一小時(shí)挖土多少立方米？（2）若不同數(shù)量的A型和B型挖掘機(jī)共12臺(tái)同時(shí)施工4小時(shí)，至少完成1080立方米的挖土量，且總費(fèi)用不超過12960元，問施工時(shí)有哪幾種調(diào)配方案？【變式22】（2021春?黃岡期末）為落實(shí)“菜籃子”工程，我市某綠色無公害蔬菜基地的甲、乙兩種植戶，他們種植了A、B兩類蔬菜，兩種植戶種植的兩類蔬菜的種植面積與總收入如表：種植戶種植A類蔬菜面積（單位：畝）種植B類蔬菜面積（單位：畝）總收入（單位：元）甲3112500乙2316500說明：不同種植戶種植的同類蔬菜每畝平均收入相等．（1）求A、B兩類蔬菜每畝平均收入各是多少元？（2）某種植戶準(zhǔn)備租20畝地用來種植A、B兩類蔬菜，為了使總收入不低于63000元，且種植A類蔬菜的面積多于種植B類蔬菜的面積（兩類蔬菜的種植面積均為整數(shù)），求該種植戶所有種植方案．（3）在（2）中，該種植戶選擇哪種方案，能使總收入最大？最大總收入是多少？【變式23】（2021春?硚口區(qū)期末）某商場若購進(jìn)2部甲型號(hào)和3部乙型號(hào)，共需7400元；若購進(jìn)3部甲型號(hào)和5部乙型號(hào)，共需11700元．（1）求甲、乙型號(hào)每部的進(jìn)價(jià)；（2）商場計(jì)劃用不少于44400元且不多于50000元的資金購進(jìn)這兩種型號(hào)共30部．①求有多少種進(jìn)貨方案；②若每部甲，乙型號(hào)的售價(jià)分別為2500元，1950元，為了促銷．商場決定每售出一部乙型號(hào)，返還顧客現(xiàn)金a元（a≥150，且a為50的整數(shù)倍），要使每一種進(jìn)貨方案（全都售完）獲利均不低于15300元，求a的值．【題型3乘法公式的幾何背景】【例3】（2021春?蘇州期末）閱讀：若x滿足（60﹣x）（x﹣40）＝30，求（60﹣x）2+（x﹣40）2的值．解：設(shè)（60﹣x）＝a，（x﹣40）＝b，則（60﹣x）（x﹣40）＝ab＝，a+b＝（60﹣x）+（x﹣40）＝，所以（60﹣x）2+（x﹣40）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝．請(qǐng)仿照上例解決下面的問題：（1）補(bǔ)全題目中橫線處；（2）已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，求（30﹣x）2+（x﹣20）2的值；（3）若x滿足（2023﹣x）2+（2022﹣x）2＝2021，求（2023﹣x）（x﹣2022）的值；（4）如圖，正方形ABCD的邊長為x，AE＝10，CG＝25，長方形EFGD的面積是400，四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是長方形，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果必須是一個(gè)具體數(shù)值）．【變式31】（2021秋?揭西縣期末）【知識(shí)回顧】七年級(jí)學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時(shí)，遇到這樣一類題“代數(shù)式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值與x的取值無關(guān)，求a的值”，通常的解題方法是：把x、y看作字母，a看作系數(shù)合并同類項(xiàng)，因?yàn)榇鷶?shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項(xiàng)的系數(shù)為0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，則a＝﹣3．【理解應(yīng)用】（1）若關(guān)于x的多項(xiàng)式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值與x的取值無關(guān)，求m值；（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值與x無關(guān)，求y的值；【能力提升】（3）7張如圖1的小長方形，長為a，寬為b，按照?qǐng)D2方式不重疊地放在大長方形ABCD內(nèi)，大長方形中未被覆蓋的兩個(gè)部分（圖中陰影部分），設(shè)右上角的面積為S1，左下角的面積為S2，當(dāng)AB的長變化時(shí)，S1﹣S2的值始終保持不變，求a與b的等量關(guān)系．【變式32】（2021秋?石獅市期末）乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2給出了a+b、a2+b2與ab的數(shù)量關(guān)系，靈活的應(yīng)用這個(gè)關(guān)系，可以解決一些數(shù)學(xué)問題．（1）若a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；（2）若m滿足（11﹣m）2+（m+9）2＝10，求（11﹣m）（m+9）的值；（3）如圖，點(diǎn)E、G分別在正方形ABCD的邊AD、AB上，且BG＝DE+1，以AG為一邊作正方形AGJK，以AE的長為邊長過點(diǎn)E作正方形GFIH，若長方形AEFG的面積是2116【變式33】（2021秋?溫嶺市期末）學(xué)習(xí)了平方差、完全平方公式后，小聰同學(xué)對(duì)學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)公式非常感興趣，他通過上網(wǎng)查閱，發(fā)現(xiàn)還有很多數(shù)學(xué)公式，如立方和公式：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3，他發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用立方和公式可以解決很多數(shù)學(xué)問題，請(qǐng)你也來試試?yán)昧⒎胶凸浇鉀Q以下問題：（1）【公式理解】公式中的字母可以代表任何數(shù)、字母或式子．①化簡：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝；②計(jì)算：（993+1）÷（992﹣99+1）＝；（2）【公式運(yùn)用】已知：1x+x＝5，求（3）【公式應(yīng)用】如圖，將兩塊棱長分別為a、b的實(shí)心正方體橡皮泥揉合在一起，重新捏成一個(gè)高為a+b2的實(shí)心長方體，問這個(gè)長方體有無可能是正方體，若可能，a【題型4因式分解的應(yīng)用】【例4】（2021春?東陽市期末）閱讀理解：我們一起來探究代數(shù)式x2+2x+5的值，探究一：當(dāng)x＝1時(shí)，x2+2x+5的值為；當(dāng)x＝2時(shí)，x2+2x+5的值為，可見，代數(shù)式的值因x的取值不同而變化．探究二：把代數(shù)式x2+2x+5進(jìn)行變形，如：x2+2x+5＝x2+2x+1+4＝（x+1）2+4，可以看出代數(shù)式x2+2x+5的最小值為，這時(shí)相應(yīng)的x＝．根據(jù)上述探究，請(qǐng)解答：（1）求代數(shù)式﹣x2﹣8x+17的最大值，并寫出相應(yīng)x的值．（2）把（1）中代數(shù)式記為A，代數(shù)式9y2+12y+37記為B，是否存在，x，y的值，使得A與B的值相等？若能，請(qǐng)求出此時(shí)x?y的值，若不能，請(qǐng)說明理由．【變式41】（2021秋?墾利區(qū)期末）我們已經(jīng)學(xué)過將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法等等．①分組分解法：例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）．②拆項(xiàng)法：例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）．（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）4x2+4x﹣y2+1；②（拆項(xiàng)法）x2﹣6x+8；（2）已知：a、b、c為△ABC的三條邊，a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周長．【變式42】（2021春?寧波期末）閱讀理解并解答：【方法呈現(xiàn)】（1）我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式．在運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解時(shí)，關(guān)鍵是判斷這個(gè)多項(xiàng)式是不是一個(gè)完全平方式，同樣地，把一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行局部因式分解可以來解決代數(shù)式值的最小（或最大）問題．例如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2．則這個(gè)代數(shù)式x2+2x+3的最小值是，這時(shí)相應(yīng)的x的值是．【嘗試應(yīng)用】（2）求代數(shù)式﹣x2+14x+10的最?。ɑ蜃畲螅┲担懗鱿鄳?yīng)的x的值．【拓展提高】（3）將一根長300cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個(gè)正方形，則這兩個(gè)正方形面積之和有最?。ɑ蜃畲螅┲?？若有，求此時(shí)這根鐵絲剪成兩段后的長度及這兩個(gè)正方形面積的和；若沒有，請(qǐng)說明理由．【變式43】（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）我們知道對(duì)于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如：由圖1可得到（a+b）2＝a2+2ab+b2（1）寫出由圖2所表示的數(shù)學(xué)等式；（2）寫出由圖3所表示的數(shù)學(xué)等式；（3）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝1．求①ab+bc+ca的值；②a3+b3+c3﹣3abc的值．【題型5分式方程的應(yīng)用】【例5】（2021春?諸暨市期末）4月份以來，印度疫情再次爆發(fā)，需要大量制氧機(jī)，我國一企業(yè)接到一批制氧機(jī)外貿(mào)訂單急需大量工人生產(chǎn)制氧機(jī)，該企業(yè)招聘了一批工人，按照熟練程度，分為一級(jí)、二級(jí)和三級(jí)，其中每名一級(jí)工人生產(chǎn)30臺(tái)的時(shí)間與每名三級(jí)工人生產(chǎn)10臺(tái)的時(shí)間相同，已知一名一級(jí)工人每天比一名三級(jí)工人多生產(chǎn)6臺(tái)．（1）求每名一級(jí)工人和每名三級(jí)工人每天分別生產(chǎn)多少臺(tái)制氧機(jī)？（2）為了最大限度提高產(chǎn)量，該企業(yè)決定每月花費(fèi)90000元（全部用完）招聘一、二、三級(jí)工人合計(jì)18人，其中各級(jí)工人至少1人，已知二級(jí)工人每天生產(chǎn)量是三級(jí)工人的2倍，一級(jí)、二級(jí)、三級(jí)工人每月的工資分別為6000，5000元，3500元，問該企業(yè)應(yīng)如何安排招聘方案，使得每天生產(chǎn)制氧機(jī)的臺(tái)數(shù)最多？最多為多少臺(tái)？【變式51】（2021春?嘉興期末）某車行經(jīng)營A，B兩種型號(hào)的電瓶車，已知A型車和B型車的進(jìn)貨價(jià)格分別為1500元和2500元．（1）該車行去年A型車銷售總額為8萬元，今年A型車每輛售價(jià)比去年降低200元，若今年A型車的銷售量與去年相同，則A型車銷售額將比去年減少10%，求去年每輛A型車的售價(jià)．（2）今年第三季度該車行計(jì)劃用3萬元再購進(jìn)A，B兩種型號(hào)的電瓶車若干輛，問：①一共有幾種進(jìn)貨方案；②在（1）的條件下，已知每輛B型車的利潤率為24%，①中哪種方案利潤最大，最大利潤是多少？（利潤＝售價(jià)﹣成本，利潤率=利潤成本【變式52】（2021春?上虞區(qū)期末）隨著5G網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的快速發(fā)展，市場對(duì)5G產(chǎn)品的需求越來越大．某5G產(chǎn)品生產(chǎn)廠家承接了27000個(gè)電子元件的生產(chǎn)任務(wù)，計(jì)劃安排甲、乙兩個(gè)車間共50名工人，合作生產(chǎn)20天完成．已知甲車間每人每天生產(chǎn)25個(gè)，乙車間每人每天生產(chǎn)30個(gè)．（1）求甲、乙兩個(gè)車間各有多少名工人將參與生產(chǎn)？（2）為提前完成生產(chǎn)任務(wù)，該廠家設(shè)計(jì)了兩種生產(chǎn)方案：方案1：甲車間租用先進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備，工人的工作效率可提高20%，乙車間維持不變；方案2：乙車間再臨時(shí)招聘若干名工人（工作效率與原工人相同），甲車間維持不變．若設(shè)計(jì)的這兩種生產(chǎn)方案，廠家完成生產(chǎn)任務(wù)的時(shí)間相同，求乙車間需要臨時(shí)招聘的工人數(shù)．【變式53】（2021春?北侖區(qū)期末）甲、乙兩公司全體員工踴躍參與“攜手防疫，共渡難關(guān)”捐款活動(dòng)，甲公司共捐款80000元，乙公司共捐款160000元，如圖是甲、乙兩公司員工的一段對(duì)話．（1）甲、乙兩公司各有多少人？（2）現(xiàn)甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購買A、B兩種防疫物資，A種防疫物資每箱15000元，B種防疫物資每箱12000元．若購買B防疫物資不少于10箱，并恰好將捐款用完，有幾種購買方案？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出來（注A、B兩種防疫物資均需購買，并按整箱配送）．【題型6平行線的判定與性質(zhì)綜合】【例6】（2021秋?蓮湖區(qū)期末）已知，AB∥CD，直線MN與直線AB、CD分別交于點(diǎn)E、F．（1）如圖1，若∠1＝58°，求∠2的度數(shù)；（2）如圖2，∠BEF與∠EFD的角平分線交于點(diǎn)P，EP與CD交于點(diǎn)G，H是MN上一點(diǎn)，且GH⊥EG．求證：PF∥GH．（3）如圖3，在（2）的條件下．連接PH，K是GH上一點(diǎn)使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK．問∠HPQ的大小是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，說明理由．【變式61】（2021秋?安溪縣期末）如圖，直線AB∥CD，直線EF與AB、CD分別交于點(diǎn)G、H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安將一個(gè)含30°角的直角三角板PMN按如圖①放置，使點(diǎn)N、M分別在直線AB、CD上，且在點(diǎn)G、H的右側(cè)，∠P＝90°，∠PMN＝60°．（1）填空：∠PNB+∠PMD∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）若∠MNG的平分線NO交直線CD于點(diǎn)O，如圖②．①當(dāng)NO∥EF，PM∥EF時(shí)，求α的度數(shù)；②小安將三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，在平移的過程中求∠MON的度數(shù)（用含α的式子表示）．【變式62】（2021秋?沙坪壩區(qū)期末）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連結(jié)CE．（1）如圖1，若CE平分∠ACD，過點(diǎn)E作EM⊥CE交CD于點(diǎn)M，試說明∠A＝2∠CME；（2）如圖2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度數(shù)；（3）如圖3，過點(diǎn)E作EM⊥CE交∠DCE的平分線于點(diǎn)M，MN⊥CM交AB于點(diǎn)N，CH⊥AB，垂足為H．若∠ACH=12∠ECH，請(qǐng)直接寫出∠MNB與∠【變式63】（2021秋?南崗區(qū)校級(jí)期末）已知：直線AB∥CD，一塊三角板EFH，其中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．（1）如圖1，三角板EFH的頂點(diǎn)H落在直線CD上，并使EH與直線AB相交于點(diǎn)G，若∠2＝2∠1，求∠1的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)三角板EFH的頂點(diǎn)F落在直線AB上，且頂點(diǎn)H仍在直線CD上時(shí)，EF與直線CD相交于點(diǎn)M，試確定∠E、∠AFE、∠MHE的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，當(dāng)三角板EFH的頂點(diǎn)F落在直線AB上，頂點(diǎn)H在AB、CD之間，而頂點(diǎn)E恰好落在直線CD上時(shí)得△EFH，在線段EH上取點(diǎn)P，連接FP并延長交直線CD于點(diǎn)T，在線段EF上取點(diǎn)K，連接PK并延長交∠CEH的角平分線于點(diǎn)Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF，求證：PQ∥FH．【題型7平行線的判定與性質(zhì)綜合（作平行線）】【例7】（2021秋?封丘縣期末）綜合與探究問題情境：“公路村村通”的政策讓公路修到了山里，蜿蜒的盤山公路連接了山里與外面的世界．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師把山路抽象成圖1所示的樣子，并提出了一個(gè)問題：如圖1，AB∥CD，∠B＝125°，∠C＝25°，求∠BPC的度數(shù)．小康的解法如下：解：如圖1，過點(diǎn)P作PQ∥AB．∵AB∥CD，∴PQ∥CD（根據(jù)1）．∵AB∥PQ，∴∠B+∠BPQ＝180°（根據(jù)2）．…（1）①小康的解法中的根據(jù)1是指；②根據(jù)2是指．（2）按照上面小康的解題思路，完成小康剩余的解題過程．（3）聰明的小明在圖1的基礎(chǔ)上，將圖1變?yōu)閳D2，其中AB∥CD，∠B＝125°，∠PQC＝65°，∠C＝145°，求∠BPQ的度數(shù)．【變式71】（2021秋?肇東市校級(jí)期末）已知直線l1∥l2，l3和l1，l2分別交于C，D點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在線l1，l2上，且位于l3的左側(cè)，點(diǎn)P在直線l3上，且不和點(diǎn)C，D重合．（1）如圖1，有一動(dòng)點(diǎn)P在線段CD之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：∠APB＝∠1+∠2；（2）如圖2，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在C點(diǎn)之上運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想∠APB、∠1、∠2有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式72】（2021秋?東營期末）（1）（問題）如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度數(shù)．（2）（問題遷移）如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在AB的上方，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（3）（聯(lián)想拓展）如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF＝60°，∠PFC＝120°，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，直接寫出∠G的度數(shù)．【變式73】（2021秋?雁江區(qū)期末）如圖1，AB∥CD，定點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，在平行線AB，CD之間有一動(dòng)點(diǎn)P，滿足0°＜∠EPF＜180°．（1）試問∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？解：由于點(diǎn)P是平行線AB，CD之間有一動(dòng)點(diǎn)，因此需要對(duì)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論：如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在EF的左側(cè)時(shí)，∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足數(shù)量關(guān)系為：；如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在EF的右側(cè)時(shí)，∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖3，EQ，F(xiàn)Q分別平分∠PEB和∠PFD，且點(diǎn)P在EF左側(cè)．①若∠EPF＝60°，則∠EQF＝；②猜想∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；③如圖4，若∠BEQ與∠DFQ的角平分線交于點(diǎn)Q1，∠BEQ1與∠DFQ1的角平分線交于點(diǎn)Q2，∠BEQ2，與∠DFQ2的角平分線交于點(diǎn)Q3；此次類推，則∠EPF與∠EQ2021F滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出結(jié)果）【題型8平行線的判定與性質(zhì)綜合（含旋轉(zhuǎn)）】【例8】（2021秋?太康縣期末）如圖，將一副三角板中的兩個(gè)直角頂點(diǎn)C疊放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．【觀察猜想】（1）∠BCD與∠ACE的數(shù)量關(guān)系是；∠BCE與∠ACD的數(shù)量關(guān)系是；【類比探究】（2）若保持三角板ABC不動(dòng)，繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)三角板DCE，試探究當(dāng)∠ACD等于多少度時(shí)CE∥AB，畫出圖形并簡要說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度數(shù)；并直接寫出此時(shí)DE與AC的位置關(guān)系．【變式81】（2021秋?常寧市期末）長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況，如圖1，燈A射線自AM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是a°/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是b°/秒，且a、b滿足|a﹣3|+（a+b﹣4）2＝0．假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．（1）求a、b