專(zhuān)題04點(diǎn)圓模型-2024年中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建（原卷版）

專(zhuān)題04點(diǎn)圓模型題型解讀｜模型構(gòu)建｜通關(guān)試練動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題是中考和各類(lèi)模擬考試的重要和難點(diǎn)題型，綜合考查學(xué)生解析幾何知識(shí)和思維能力.該題型一般在填空題或解答題的其中一問(wèn)出現(xiàn)，具有一定的難度，致使該考點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn).掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問(wèn)題解決的一般思路，是中考專(zhuān)題復(fù)習(xí)的一個(gè)重要途徑.本專(zhuān)題就動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓弧型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握.模型01定義型點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，且AB長(zhǎng)度固定，則點(diǎn)B的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓.模型02直徑所對(duì)的角為直角（直角模型）一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓??；如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，∠APB=90°，則動(dòng)點(diǎn)P是以AB為直徑的圓或圓弧.模型03等弦對(duì)等角模型一條定邊所對(duì)的角始終為定角，則定角頂點(diǎn)軌跡是圓?。鐖D，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，∠APB為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓弧.模型01定義型考｜向｜預(yù)｜測(cè)點(diǎn)圓模型的定義型該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，目前與綜合性大題結(jié)合考試，作為其中一問(wèn)，難度系數(shù)不大，在各類(lèi)考試中都以中檔題為主.解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是結(jié)合圓的定義判定動(dòng)點(diǎn)變化的特點(diǎn)，結(jié)合圓和其它幾何的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題.答｜題｜技｜巧第一步：根據(jù)題意判定動(dòng)點(diǎn)的變化特性第二步：找準(zhǔn)定點(diǎn)和定長(zhǎng)（圓心和半徑）第三步：結(jié)合圓、三角形、四邊形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題，一般情況下會(huì)涉及最值問(wèn)題例1．（2022·廣西）如圖，在△ABC中，，，，點(diǎn)D在AC邊上，且，動(dòng)點(diǎn)P在BC邊上，將△PDC沿直線PD翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，則△AEB面積的最小值是（

）A． B． C．2 D．例2．（2022·北京）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為．模型02直角模型考｜向｜預(yù)｜測(cè)點(diǎn)圓問(wèn)題中的直角模型該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度，該題型主要考查對(duì)圓性質(zhì)的的理解.實(shí)際題型中會(huì)結(jié)合直角三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)數(shù)形結(jié)合的討論是解題的關(guān)鍵.許多實(shí)際問(wèn)題的討論中需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成求固定圖形問(wèn)題.答｜題｜技｜巧第一步：觀察圖形特點(diǎn)，找準(zhǔn)直角頂點(diǎn)和定長(zhǎng)（圓的直徑）；第二步：利用圓與直角三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題；第三步：涉及最值問(wèn)題的圖形要考慮線段的轉(zhuǎn)化，熟練掌握共線問(wèn)題、將軍飲馬問(wèn)題、垂線段問(wèn)題等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)；第四步：數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析、解答例1．（2021·山東）如圖，在正方形ABCD中，，E為邊AB上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上一點(diǎn)．連接DE和AF交于點(diǎn)G，連接BG．若，則BG的最小值為_(kāi)_________．例2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)并且使，點(diǎn)，則的最小值為．模型03等弦對(duì)等角考｜向｜預(yù)｜測(cè)點(diǎn)圓問(wèn)題中的等圓對(duì)等角模型主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握.該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度.該題型主要考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí)，可利用：“一定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解.解題時(shí)會(huì)考查了矩形，圓，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造對(duì)應(yīng)圖形解決問(wèn)題，屬于中考中的壓軸題．答｜題｜技｜巧第一步：觀察圖形特點(diǎn)，確定定弦和定角；第二步：根據(jù)題意準(zhǔn)確分析出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，并構(gòu)建適當(dāng)圖形（三角形居多）；第三步：利用四邊形、隱圓、直角三角形或相似的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)解題；例1．（2022·江蘇）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為2，若動(dòng)點(diǎn)E滿足，則線段長(zhǎng)的最大值為．例2．（2023·重慶）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊中，點(diǎn)，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，交于點(diǎn)，連接，則的最小值為．1.（2023·廣東）如圖，四邊形為矩形，，．點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)．，則的最小值為（

）A． B． C． D．2.（2023·湖南）如圖，菱形ABCD邊長(zhǎng)為4，∠A＝60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．33．（2023·山西）如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，過(guò)點(diǎn)B作射線AP的垂線，垂足為Q，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．4．（2023·廣州）如圖，等邊三角形ABC和等邊三角形ADE，點(diǎn)N，點(diǎn)M分別為BC，DE的中點(diǎn)，AB＝6，AD＝4，△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，MN的最大值為．5．（2023·云南）如圖，在Rt△ABC中，，，BC＝2，線段BC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到BD，連AD，E為AD的中點(diǎn)，連接CE，則CE的最大值是．6．（2023·貴州）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，且線段EF＝4，點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為．7．（2022?天津）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，點(diǎn)E在BC上，且CE＝4BE，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，使得∠CME＝45°，連接AM，則線段AM的最小值為．8．（2023·貴陽(yáng)）如圖，矩形中，，，點(diǎn)，分別是，邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為．9．（2023·安徽）等腰直角中，，，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)填度數(shù)度時(shí)，可以取最大值，最大值等于．10．（2023·廣西）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D，E分別是AB，BC邊上的點(diǎn)，且AC＝CD＝3，連接AE，DE，∠CAE+∠AEB＝180°．（1）當(dāng)∠B＝22.5°時(shí)，求證：CD平分∠ACB；（2）當(dāng)CD＝BD時(shí)，求的值；（3）如圖②，若點(diǎn)F是線段AC上一點(diǎn)，且AF＝1，連接DF，EF，EF交CD于點(diǎn)G，求△DEF面積的最大值．1．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，C重合），連接AP，作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，則線段MC的最小值為（）A．2 B． C．3 D．2．如圖，正方形的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)是邊上另一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A．5 B． C．6 D．3．如圖，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．連接BD，CE，將△繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中當(dāng)最大時(shí)，△ACE的面積為（

）．A．6 B． C．9 D．4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，在AD上取一點(diǎn)E，使∠DAC＝∠DCE，連接BE，則BE的最小值為（）A．2﹣3 B． C．﹣2 D．5．如圖，點(diǎn)P是正六邊形ABCDEF內(nèi)一點(diǎn)，AB＝4，當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，連接PD，則線段PD的最小值是（）A． B． C．6 D．6．如圖，矩形ABCD的邊AB＝8，AD＝6，M為BC的中點(diǎn)，P是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠ADP＝∠PAB，N為邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PN，MN，則PN+MN的最小值為．7．如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且BD＝CE，連接AD，BE交于點(diǎn)F，連接CF，則∠AFB＝，CF的最小值是．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是斜邊AB上任意一點(diǎn)，連接EF，將△AEF沿EF對(duì)折得到△DEF，連接DB，則△BDF周長(zhǎng)的最小值是．9．如圖，在邊長(zhǎng)為3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊上的一點(diǎn)，且AM＝AD，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C．則A′C長(zhǎng)度的最小值是．10.如圖，線段為的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長(zhǎng)的最大值為．11．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2，若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠ACP，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．12．如圖，中，，，，是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，連接，則線段長(zhǎng)的最小值為．13．（1）【學(xué)習(xí)心得】小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺(jué)到一些幾何問(wèn)題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易．例如：如圖1，在中，，，是外一點(diǎn)，且，求的度數(shù)，若以點(diǎn)為圓心，為半徑作輔助圓，則點(diǎn)、必在上，是的圓心角，而