模擬檢測(cè)卷03（理科）-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（解析版）

2025年高考數(shù)學(xué)模擬考試卷

高三數(shù)學(xué)（理科）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1,本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)

考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3,回答第II卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

4.測(cè)試范圍：高中全部知識(shí)點(diǎn)。

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.若甘■（aeR）是純虛數(shù)，則°=（）

A.-1B.1C.-9D.9

【答案】A

【分析】先將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)純虛數(shù)列出方程組求解即可.

a+3i（〃+3i）（3—i）3a+3（9—a）.

【詳解】

3+i-（3+i）（3-i）-1010

3a+3八

---------=0

因?yàn)檠允羌兲摂?shù)，妙101

(9-?)…一，

10

故選：A.

2.已知集合叔={了b=3，工>1},2V={j|j=log3x,0<x<l},則()

A.{y|o<J<1}B.{引0<了<1}C.{yl1<y<l}D.0

【答案】D

【分析】確定M=N=?|"0},再計(jì)算交集得到答案.

【詳解】M={y\y=3^x,xN={y=logs》,。<x<1}={y<0},

則McN=0.

故選：D

3.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

1

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

D.271

【答案】C

【分析】先由三視圖還原為幾何體，再利用柱體的體積公式求解即可.

【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖，

該幾何體是由兩個(gè)四分之一圓（半徑為廠=1）組成的圖形作為底面，高為"=2的柱體,

所以該幾何體體積為V=Sh=2x—7tr2/z=—nxl2x2=7i.

42

故選：C.

4.如圖，正方形48CD的邊長(zhǎng)為2,圓A半徑為1,點(diǎn)P在圓A上運(yùn)動(dòng)，則而.麗的取值范圍是（）

A.[2,6]B.[2行,6伺

【答案】C

【分析】由向量的加法可得麗?麗=（詼+市）?瓦5,再由向量數(shù)量積的運(yùn)算即可得解.

【詳解】設(shè)刀與麗的夾角為夕，則0"4兀，

BPBD=（BA+APyBD=TA^+~APBD

=2x2V2cos45°+lx3/2co的

=4+2^2COS6，

因?yàn)?1COS01,

所以4-2后《麗?麗（4+26，

故選：C

5.已知16cos?——3cos2。=3,貝ljcos6=（）.

2

A.一嶼B.--C.fD.叵

3333

【答案】B

【分析】根據(jù)倍角與半角公式COS?2=生”，cos20=2cos20-l

22

2

將題目化為3cos2。-4cos0-4=0,因式分解，然后根據(jù)三角函數(shù)的有界性對(duì)cos。的值進(jìn)行取舍，由此得

解.

nni.「eqn

【詳解】解：由16cos2?-3COS20=3,將(^2=了°,cos26=2cos?8-1代入化簡(jiǎn)

222

^8(1+COS6>)-3(2COS26>-1)=3,

2

即3cos之e-4cos6-4=0,解得cos6=2(舍去)或cos6=-§,

故選；B.

6.已知函數(shù)/(x)=|x|+sin2x,設(shè)毛，x2eR,則/(%)>/(%)成立的一個(gè)必要不充分條件是()

A.再〉工2B.工2〉玉

C.再+%2>0D.卜1|〉工2

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性可知函數(shù)/(%)為偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以"%)在(-8,0)

上單調(diào)遞減，結(jié)合可得舉例說(shuō)明即可判斷選項(xiàng)A、B,將選項(xiàng)C、D變形即可判斷.

【詳解】函數(shù)〃x)的定義域?yàn)榧埃?/p>

則函數(shù)/(-x)=\-x\+sin2(-x)=|x|+sin2x=f(x),

所以函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=x+sin2x,

f(x)=l+2sinxcosx=(sinx+cosjc)2>0,

所以/(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，所以“X)在(-叫0)上單調(diào)遞減.

若/(不)>/(七)，則㈤>周，即

A：若再=1,馬=-2,滿足士>馬，但/⑴</(-2)=/(2),反之也不成立，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

B：若再=4,%=5,滿足%>無(wú)1，則/(4)</(5),反之，若/'(占)>/仁)，不一定馬>玉，故選項(xiàng)B錯(cuò)

誤；

C：由演+々>?？傻糜?gt;-々，但不一定有了(占)>/@2),所以充分性不成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

D：由同可得/(不)>/(%)，但由［(XJA/G)不一定能推出|網(wǎng)|八2，故D正確.

故選：D.

7.小明買(mǎi)了4個(gè)大小相同顏色不同的冰墩墩(北京冬奧會(huì)吉祥物)隨機(jī)放入3個(gè)不同袋子中，則每個(gè)袋

子至少放入一個(gè)冰墩墩的概率是()

【答案】D

【分析】由計(jì)數(shù)原理可求出4個(gè)冰墩墩隨機(jī)放入3個(gè)不同袋子的種數(shù)，利用組合中的分組分配問(wèn)題求出每

個(gè)袋子至少放入一個(gè)冰墩墩的種數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.

【詳解】小明將4個(gè)大小相同顏色不同的冰墩墩隨機(jī)放入3個(gè)不同袋子中，有3'=81種不同的放法，

若每個(gè)袋子至少放入一個(gè)冰墩墩，則分2步進(jìn)行分析：

①將4個(gè)冰墩墩分為3組，有C；=6種分組方法，②將分好的3組放入3個(gè)不同的袋子中，有A；=6種情

況，則有6x6=36種方法，所以所求的概率為3失6=不4

o19

故選：D

8.設(shè)函數(shù)f(x)=cos(s+e)(是常數(shù)，。>0,0<夕苫)，若〃x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且

/1一2］=一/［*］=一/［野)’則函數(shù)是“X)的最小正周期是，)

兀3

A.—B.乃C.一兀D.2兀

22

【答案】B

【分析】根據(jù)單調(diào)性可求出0<。46,再根據(jù)題意得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)［己,。］對(duì)稱，關(guān)于直線x=g對(duì)稱，得到

3

等式組，通過(guò)作差分析可得。=2或。=6,最后檢驗(yàn)即可.

【詳解】若/“)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則卜生2曾+芻,.』46,

L2424J2co2424

?,??曰=-/悌=-4引

則/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,“X)的圖象關(guān)于直線X=三對(duì)稱，

7T7兀7r

：.CDX—+(p=kTt+—,KEZ｛l),

兀

且+O=〃兀，左,〃cz,②

兩式相減，可得G=4(〃-左)-2,又因?yàn)?<G?6,故①=2或G=6.

當(dāng)°=2時(shí)，則結(jié)合0<夕<］和①式可得夕=(，/(%)=cos(2x+m；

JT

當(dāng)0=6時(shí),則結(jié)合0<夕<5和②可得夕不存在，

綜上/(x)=cos^2x+y^.

故它的最小正周期為42兀=兀，

2

故選：B.

23

9.已知。=一，,c=ln5-ln4,則。也。的大小關(guān)系為()

5"AC

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

［答案］c

【分析】構(gòu)造函數(shù)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性比較值的大小.

【詳解】設(shè)〃x)=e'-x-l,

則廣(x)=e=l,

當(dāng)x>0時(shí)，/z(x)>0,當(dāng)x<0時(shí)，/(x)<0,

所以/(%)在(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增，在(-",0)單調(diào)遞減，

所以/(X)mm="°)=°，

所以/(x)20ne、—x—INOndNx+l,在R上恒成立，

N32

所以b=e5>---\-\=—=a，

55

設(shè)g(x)=lnx-x+l,

則W(x),-1，

當(dāng)了>1時(shí)，gr(x)<0,當(dāng)0<%<1時(shí)，gz(x)>0,

所以g(x)在(L+8)上單調(diào)遞減，在(0」)單調(diào)遞增，

所以gOOmaxngOblT+lH，

所以g(x)<Onlnx—x+lWOnlnxVx—l,在(0,+。)上恒成立，

5512

所以。=In5-In4=In—<—\=—<—=a,

4445

從而有b>a>c,

故選：C.

10.已知數(shù)列｛4｝滿足%+1=〃；-%+1(〃EN*),且q=2023,若存在正偶數(shù)次使得

(―1)〃；+(—1)靖+…+(-1)a；+加=2022〃］〃2…〃冽成立'則加二()

A.2016B.2018C.2020D.2022

4

【答案】D

a—1

【分析】由。“+1=d-+1得?！?，由此可得化簡(jiǎn)為“2…%;

an

由%=4-%+1及正偶數(shù)m得㈠廣+(T/X=*「心,由此可化簡(jiǎn)

(-1)14；+(_])2W+卜(—1)小靖，最后建立等式關(guān)系求得m值.

Q—1

【詳解】由題意，a^=an+l+an-l,故

an

2022a四.??%,=2022,

ax-1a2-1am-1

,：m為正偶數(shù),J(—l)'i%-+(—15%=一(品+41-1)+(金+1+篇T)=am+x-am_x,

「?左邊=(。3_。1)+(〃5一/)+…+(5+1_%-1)+加=am+l~a\+m，

此時(shí)，Q冽+i-4+加=am+l-1,

m=ax—l=2022.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:⑴化簡(jiǎn)生出…冊(cè)的方法是用累乘法，利用％二④1?各項(xiàng)相乘相消后即可.

anT

(2)化簡(jiǎn)(-1)'普+(-1)2片+--+(-1)"'al的方法是用累加法，利用(-Ipa,ti+(f"'力=。,用一%_各項(xiàng)相力口

相消后即可.

11.已知兩點(diǎn)/,M在雙曲C：W-g=l(a>0,b>0)的右支上，點(diǎn)N與點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，W交y軸于點(diǎn)

ab

N,若在_1_劉7，且麗?+8次.涼=0，則雙曲線C的離心率為()

A.V5B.y/6C.V?D.2V2

【答案】D

【分析】設(shè)。為48的中點(diǎn)，設(shè)5(占,必乂再<0,“<0),可(3,%)，Q(x0,y0),x^x2,利用點(diǎn)差的方法

表示出⑥時(shí)=與血，結(jié)合題意繼而表示出N(0,8yJ,推出七v=-?%,根據(jù)上期=左.即可求得。，

b的關(guān)

a%再

系，從而可求雙曲線離心率.

如圖，不妨設(shè)/在第一象限，取2”的中點(diǎn)。，連接。。,

因?yàn)?。為N8的中點(diǎn)，故。0//“，

8(XQJ(X[<0,乂<0),M(x2,y2),Q(x0,y0),xl^x2)

B,M在雙曲線上，貝I]￡,兩式相減可得，上$__上發(fā)=(),

x2y2ab

L2b2

即出而出看=%屋"

5

故凝材飛=!即七

a"o

又因?yàn)榇?，萬(wàn)7,則。8，。。，即L/°=T，

所以*?%=-1,即2=一互,所以心材=-琪，

占x0y0再a~X]

又ON2+iOA-ON=0,則|ON|2=-81OA\ON\cosZAON,

gp|OA?|=-8104|cosZAON=&削,故N（0,8%）,

所以左如=8乂一弘=一互,（fffkBM=kBN,故_"__么，

-玉X[aX[%]

故勺=7,則雙曲線C的離心率為e=J"=j+g=2后,

根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知，當(dāng)/在第四象限時(shí)，同理可求得e=2行，

當(dāng)/在雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)，由于4B_L/M,此時(shí)與雙曲線相切，不合題意，

故雙曲線C的離心率為e=20，

故選：D.

12.已知函數(shù)"X）的定義域?yàn)镽,g（x）=（x-l）/（x）,若“2-x）是奇函數(shù)，〃l-x）是偶函數(shù)，且g（ll）=20,

50

貝1j￡g（￡）=（）

k=l

A.-46B.-47C.-48D.-49

【答案】c

【分析】由奇偶函數(shù)的對(duì)稱性得〃尤）是周期為4的周期函數(shù)，/（2）=/（4）=---=/（50）=0,再結(jié)合

8（11）=20得〃1）=-2,進(jìn)而結(jié)合對(duì)稱性得〃3）=-〃1）=2,再計(jì)算求和即可；

【詳解】解:因?yàn)?。-力是偶函數(shù),所以〃l-x）=〃l+x）,即“2-尤）^（x）,

故/（x）的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱.

因?yàn)椤?-月是奇函數(shù)，所以〃2-x）+〃2+x）=0,即/（2-x）=-/（2+x）,

故/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2,0）對(duì)稱，

所以/（2+x）=-/（x）,/（4+x）=-/（x+2）=/（x）,

所以，〃x）是周期為4的周期函數(shù)，

對(duì)于〃1一尤）=〃1+尤）,令x=l,得/（0）=/（2）,

對(duì)于〃2_x）+〃2+x）=0,令x=0,得/⑵=0

又/（x）是周期為4的周期函數(shù)，

所以/（0）=〃4）,所以〃2）=〃4）,

所以，/（2）=/（4）=-=/（50）=0

所以g（2）=g（4）=.-=g（50）=0.

因?yàn)間（ii）=io/（ii）=ioy■⑶=-10/■⑴=20,

所以7（1）=-2,

對(duì)于“2-x）+〃2+x）=0,令x=l,得/。）+/（3）=0,即7（3）一⑴,

所以/（3）=-/。）=2

所以g（l）+g⑶=0+2/（3）=2/（3）=4,g⑸+g⑺=4/⑸+6〃7）="⑴+6〃3）=2/⑶=4,

g(45)+g(47)=44/(45)+46/(47)=44/(1)+46/(3)=2/(3)=4,

50

所以￡g⑹=(g(2)+g(4)+…+g(50))+(g(l)+g⑶)+(g(5)+g⑺)+

k=l

???+(g(45)+g(47))+g(49)=4xl2+48/(l)=-48.

6

故選：c

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于結(jié)合奇偶函數(shù)的對(duì)稱性得到函數(shù)的周期性，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)周期

性得到g（2）=g（4）=--=g（50）=0,/（3）=-/（1）=2,進(jìn)而利用周期性求解.

第II卷

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5-3x+2力"展開(kāi)式中不含y的項(xiàng)的系數(shù)和為64,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】15625

【分析】根據(jù)題意，令了的指數(shù)為0,得（5-3""，再令x=l,得（5-3x+2y）"的展開(kāi)式中不含y的項(xiàng)的系

數(shù)和為（5-3）",解得"，再求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).

【詳解】（5-3x+2y）"展開(kāi)式中不含y的項(xiàng)，即展開(kāi)式中y的指數(shù)為0,即（5-3x）"的展開(kāi)式，

再令x=L得（5-3工+2力"展開(kāi)式中不含了的項(xiàng)的系數(shù)和為（5-3）"=64,，片6,

求（5-3x+2力6展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng),由（5—3x+2y『=［5—（3工一2司）了,

所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C：X56=15625.

故答案為：15625

14.已知點(diǎn)/（6,0）,點(diǎn)尸在拋物線V=i6x上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)3在曲線卜-4）2+必=1上運(yùn)動(dòng)，則畏的最小值

是?

【答案】2V41-6

【分析】由拋物線的定義轉(zhuǎn)化后求解

【詳解】拋物線/=16尤的焦點(diǎn)為尸（4,0）,設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)（x,y）,則|尸W=x+4

|PA|2=（x-6）2+y2=（x-6）2+16x=x?+4x+36,

由題意當(dāng)|可|=|尸F(xiàn)|+l=x+5時(shí)，"=/+以+36,

\PB\X+5

人unil二|尸/「?-5）2+4。-5）+36戶一67+4141，

令x+5=J則x=/-5,~L=1——L————L------=---------------=;+——6,

\PB\ttt

41.—

由基本不等式知神亍22回，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立

故圈■的最小值為2面一6■

故答案為：2歷-6

15.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為'（S,產(chǎn)0）,7；為數(shù)列｛5｝的前"項(xiàng)積，滿足E,+7；=S"Z（〃為正整數(shù)），

其中4=%,給出下列四個(gè)結(jié)論：①％=2;②%=，；③｛北｝為等差數(shù)列；④S”但,其中所有

正確結(jié)論的序號(hào)是.

［答案］①W

【分析】根據(jù)關(guān)系式S,+（=S“Z，當(dāng)”=1時(shí)，即可求得％的值；由S,+7；=S,Z得7；=工，當(dāng)〃之2

時(shí)，可得北.1=占7，兩式相除整理可證明［G二］為等差數(shù)列，即可求得，，從而可求得十,凡,由此

得以判斷各結(jié)論.

【詳解】因?yàn)镾“+（=S"Z（"eN*）,

7

所以當(dāng)〃=1時(shí)，d+7]=E=2%=",解得％=2或4=0,

又s“片0,所以%W0,故%=2,故①正確;

S.

因?yàn)镾“+7；=S“Z，易得'+1,所以北=

5-11

S“T

當(dāng)“22時(shí)，T_=—

nx3,LT

5“，:九一1

所以,則s“

小邑-1S〃T5?-lSR

1二==]+」11

所以,則=1,

5?-l九一1九T

-11I

又----=-----=1

S「1ax-\

11

所以是以白=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列,

S「1

11+("1)X1=〃，則s"="1

所以

S“Tn

經(jīng)檢驗(yàn)，E=%=2滿足上式，所以子=,故④正確；

n

〃+1

S“

所以《=n=〃+1,則北_7；1=(〃+1)_H>2,

S,T纖1_1

n

所以⑵｝為等差數(shù)列，故③正確；

〃+1nn2-l-n21

當(dāng)〃22時(shí),%=S"-S"T

nn-\

又4=2不符合上式,

2,〃二1

所以%=1故②錯(cuò)誤?

n(n—\

故答案為：①(M).

16.為弘揚(yáng)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學(xué)校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎(jiǎng)杯

由一個(gè)銅球和一個(gè)托盤(pán)組成，如圖①，已知球的體積為多，托盤(pán)由邊長(zhǎng)為4的正三角形銅片沿各邊中點(diǎn)

的連線垂直向上折疊而成，如圖②.有下列四個(gè)結(jié)論：

①經(jīng)過(guò)三個(gè)頂點(diǎn)4B,C的球的截面圓的面積為:

②異面直線4D與CF所成的角的余弦值為￡

O

③直線AD與平面DEF所成的角為y

④球離球托底面。所的最小距離為6+逅_]

3

8

F

cB

D

圖①圖②

其中正確的命題是.（請(qǐng)將正確命題的序號(hào)都填上）

［答案］②（W）

【分析】取。￡,防中點(diǎn)N,M利用給定條件證明NN/平面DFE判斷③；證明4B//MW7/DH求異面

直線夾角判斷②；求出“BC外接圓半徑，結(jié)合球面的截面圓性質(zhì)計(jì)算判斷①，④作答.

【詳解】取?！?防中點(diǎn)N,M,連接AB,BC,AC,BM,MN,AN,如圖，

CE------------K

D^-

因?yàn)檎切?，則8M_L￡F,而平面班產(chǎn)_L平面。星，平面3E尸Pl平面。尸￡=￡尸，u平面

BEF,

于是得工平面DbE,同理平面。尸￡,即即////N,BM=AN=6

因此，四邊形4BAW是平行四邊形，有4B//MW//D尸，同理/。//￡/,8（?//?！?

16

AB=AC=BC=MN=—DF=1,“3C外接圓半徑廠=二

23

TT

經(jīng)過(guò)三個(gè)頂點(diǎn)4B,C的球的截面圓是“3C的外接圓，其面積為①不正確；

連接因NC//MR/C=MR=1,則四邊形/CFM是平行四邊形，AMIICF,

即有/M4D是異面直線4D與CF所成的角或其補(bǔ)角，AM=CF=2,A/MD中，40=2,DM=6

2AD-AM8

jr

因/N1平面。底￡,則/4DE是直線4。與平面。防所成的角，而ZADE=§,③正確；

體積為與的球半徑式，由"得尺=1,由①知，球心到平面/8C的距離i=

由①，同理可得點(diǎn)C到平面。底￡的距離為6，即平面4BC與平面。FE的距離為名,

所以球面上的點(diǎn)到球托底面。跖的最小距離為8河-（夫-4/）=6+4-1，④正確，

所以正確的命題是②③④.

故答案為：②（W

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：異面直線所成的角的取值范圍是（0,，，當(dāng)求出角的余弦值為負(fù)時(shí)，要取其相反數(shù)作

為異面直線夾角余弦.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個(gè)試題考

9

生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.在中，內(nèi)角4民C的對(duì)邊分別為生6,c,JLasin^=c(sinC-2sinS)+Z?(sinC+sinS).

(1)求角A；

(2)若A/BC為銳角三角形，求6(8-°)的取值范圍.

2a

【答案】

【分析】(1)角換邊，在利用余弦定理求解；

(2)邊換角，將待求表達(dá)式表示成關(guān)于8的三角函數(shù)，利用銳角三角形條件求出8的范圍，最后再求表達(dá)

式的范圍即可.

(1)

因?yàn)閍sinZ=c(sinC-2sin5)+6(sinC+sinS),所以由正弦定理得/=c(c-26)+6(c+6),整理得

b2+c2-a2=be,由余弦定理得cos」="—―=^-.因?yàn)?</<乃，所以/=1.

2bc23

(2)

由正弦定理得左僅一。;jl.sinB-sinC=sinB—sinC=sinB—sin［二:工］.

2a2sin/(3)3J

2

因?yàn)椤?BC為銳角三角形，所以./

為71,口?！肛*Lt、I兀7CTC

解得一<5<一，所以一一<B——<—,

62636

所以一;—,

故百伍一c)

的取值范圍為

2a

18.某網(wǎng)絡(luò)/尸尸在平臺(tái)開(kāi)展了一項(xiàng)有獎(jiǎng)闖關(guān)活動(dòng)，并對(duì)每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分，競(jìng)猜活動(dòng)共五關(guān)，規(guī)定:

上一關(guān)不通過(guò)則不進(jìn)入下一關(guān)，本關(guān)第一次未通過(guò)有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會(huì)，兩次均未通過(guò)，則闖關(guān)失敗，且

各關(guān)能否通過(guò)相互獨(dú)立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項(xiàng)活動(dòng).

(1)若甲第一關(guān)通過(guò)的概率為I，第二關(guān)通過(guò)的概率為:，求甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率；

(2)已知該闖關(guān)活動(dòng)累計(jì)得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前

400名發(fā)放獎(jiǎng)勵(lì)，

①假設(shè)該闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問(wèn)甲能否獲得獎(jiǎng)勵(lì),

請(qǐng)說(shuō)明理由；

②丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為201分，351分以上共有57人”，請(qǐng)

結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)幫助丙辨別乙所說(shuō)信息的真?zhèn)?

附：若隨機(jī)變量Z~N(〃,cP),則尸(〃一+o■卜0.6827；尸(〃一2。WXV〃+=0.9545；

P(〃-3bVXV〃+3o?卜0.9973.

【答案】⑴3

6

⑵①能，理由見(jiàn)解析；②乙所說(shuō)為假

【分析】(1)利用獨(dú)立事件的概率公式，結(jié)合甲闖關(guān)的可能情況求解即可；

(2)①利用正態(tài)分布的對(duì)稱性及3b法則，求得前400名參賽者的最低得分即可判斷；

②假設(shè)乙所說(shuō)為真，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性及3b法則，證得丙的分?jǐn)?shù)為430分是小概率事件，從而得以判

10

斷.

【詳解】（1）設(shè)4：第i次通過(guò)第一關(guān)，Bi：第i次通過(guò)第二關(guān)，甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率為P,

由題意知P=*4片）+尸（彳4耳）+尸（4萬(wàn)劣）+川?&瓦當(dāng)）

尸⑷尸（4）+尸閭尸（4）尸⑻+尸⑷尸闖尸（員）+尸閭尸（4）尸闖尸（四）

323231-1x3.1-2X2_5_

=-x—x--1——x：x

43443443T6~'

（2）設(shè)此次闖關(guān)活動(dòng)的分?jǐn)?shù)記為X~N（〃Q2）.

①由題意可知〃=171,

57(〃-2bVXV〃+2司1-0,9545.,

因?yàn)閊^=0.0228,且尸(X>4+2°)==

22

351-171

所以〃+2CF=351,則。=二90；

2

=400…/r/、1-尸(〃-cr4XW〃+cr)1-0.6827

而五通二。16,且尸(X〉〃+oj=?0.1587<0.16,

22

所以前400名參賽者的最低得分高于〃+。=261,

而甲的得分為270分，所以甲能夠獲得獎(jiǎng)勵(lì)；

②假設(shè)乙所說(shuō)為真，則〃=201,

1-尸<//+2CT)_1-0.9545

P(X>ju+2a)=?0.0228,

22

57351-201.

而——=0.0228,所以=75,

25002

從而〃+3。=201+3義75=426<430,

l-P(X/-3cr<X<〃+3cr)1-09973

而尸(X2"+3b)=——-------?0.0013<0.005,

22

所以X2必+3b為小概率事件，即丙的分?jǐn)?shù)為430分是小概率事件，可認(rèn)為其不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生了，

所以可認(rèn)為乙所說(shuō)為假.

19.如圖①，已知△/2'C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，。是/夕的中點(diǎn)，DH±B'C,如圖②，將AHD"沿

邊?！ǚ壑痢?ZV/.

圖①圖②

⑴在線段BC上是否存在點(diǎn)尸，使得/尸〃平面8DH?若存在，求等的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

FC

（2）若平面BHC與平面BDA所成的二面角的余弦值為1,求三棱錐B-DCH的體積.

BF1

【答案】⑴存在，-=-

（2）f

【分析】（1）利用線線平行證明AM〃平面5。//,MF〃平面BDH,證得平面4WF7/平面5D/7,可得/尸〃

平面BDH；

（2）利用已知二面角的余弦值，可以利用向量法或幾何法求三棱錐8-OC"的高，結(jié)合體積公式求解.

11

BF

【詳解】（1）存在點(diǎn)尸滿足題意，且黑=：1，理由如下：

在圖①中，取B'C的中點(diǎn)M,連接力則4V/7/0H,

在圖②中，AMHDH,41/0平面BOH,DHu平面BDH,

所以〃平面且與2=工；

MC2

在線段上取點(diǎn)廠使B黃F=11,

連接則川7/3H,同理可得W〃平面瓦汨，

又因?yàn)镸Fc41/=M,平面所以平面力MF〃平面跳汨，

又因?yàn)閆尸u平面所以4尸〃平面

圖①圖②

（2）在圖②中，DH1HC,DH1HB,HCcHB=H,HC,HBu平面BHC,所以D〃_L平面8HC,

法一：以〃為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

cG）

,D0,拳0,

k27

設(shè)/即兀=6€（0㈤，則3^cos0,O,^sin^j,

1、―?

DB=—cos^,-，一sin。,DA=

2227

設(shè)平面5D4的法向量為加=（%,為z）,

z

m-DB=—cos0---y+—sin9=0

22?V3（l+cos0）日口一百（1+COS。）,

則，令>=1，則％=—G,z=、--------L，即加=

一R1sin。sineJ

m?DA=—x+7=0

22

易知平面BHC的一個(gè)法向量3=（0,1,0）,

1

若平面5"。與平面以切所成的二面角的余弦值為;，則2

1+COS03

3+1+3

sin。

化簡(jiǎn)整理得：*5

所以哈B,sin。=^^,cos6=工，所以5!1，c°，^^|，

54408081

12

則三棱錐3-OCH的高為姮，.

8

又因?yàn)榈酌娣eS='*2、也=逋，

“DCH2228

所以三棱錐8-。的體積為外口儂=」x述

B-DCH38864

法二：延長(zhǎng)40,CH相交于點(diǎn)N,事實(shí)上點(diǎn)N即為點(diǎn)9，

則平面BHCc平面BDA=BN,

過(guò)H作HTLBN,垂足為7,連接。T,

因?yàn)椤?gt;〃_L平面BHC,BNu平面BHC,所以DHLBN,

又HTcDH=H,HT,DHuBN工平面DTH,所以3N,平面D7H,

DTu平面DTH,則BN_LZ）r,所以NOTH即為平面與平面8D4所成的二面角的平面角,

即cos/DTH=；,所以tan/DTH=272，

W2,即I

即tanZDTH^—2

THTH

又BH=NH=g,所以BN=2NT=M

24

在中，設(shè)點(diǎn)3到NH的距離為為，由等面積法可得兒9=BMW,解得/,=巫

8

即三棱錐8-。CH的高人=姮，又ADS的面積為上叵,

88

所以三棱錐的體積為憶=1姮=

38864

20.P為圓/:（x+2y+j?=36上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,0）,線段尸3的垂直平分線交直線/P于點(diǎn)。.

（1）求點(diǎn)。的軌跡方程C;

⑵在（1）中曲線C與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為4和4，M,N為曲線C上異于4、4的兩點(diǎn)，直線跖V不

過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且不與坐標(biāo)軸平行.點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為S,若直線4s與直線4N相交于點(diǎn)7,直

線。7與直線兒W相交于點(diǎn)R,證明：在曲線。上存在定點(diǎn)E,使得△砂E的面積為定值，并求該定值.

22

【答案】⑴二+匕=1

95

⑵證明見(jiàn)解析，胃25

6

【分析】（1）依題意可得忸。|=|尸。即可得到|/。|+忸。|=6>4=|/創(chuàng)，根據(jù)橢圓的定義得到點(diǎn)0的軌跡

是以A、3為焦點(diǎn)的橢圓，從求出。、c、b,即可得解；

（2）設(shè)”（%,必）、N（x2,y2）,直線MM的方程為尤=〃"+”（加/0,〃/0）,聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、

2x6加

列出韋達(dá)定理，設(shè)7（%/。），由7、S、4三點(diǎn)共線及7、N、4三點(diǎn)共線得到3=_從而得到直

線。7的方程，再聯(lián)立直線。7與直線及W的方程，求出&在定直線/:x=-3上，要使A助E的面積為定值，

此時(shí)點(diǎn)E一定為過(guò)點(diǎn)3且與直線/平行的直線x=2與橢圓C的交點(diǎn)，求出E點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出三角形的面

積.

【詳解】（1）解：?.?直線8尸的垂直平分線交直線/尸于點(diǎn)。

13

■■\BQ\=\PQ\,.-.\AQ\+\BQ\=\AQ\+\PQ\=6＞4回,

,由橢圓的定義可知，點(diǎn)。的軌跡是以A、8為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=6,2c=4

22

a=3、c=2,貝Ib=yja-c=V5，

22

???點(diǎn)。的軌跡方程為土+匕=1.

95

（2）證明：設(shè)”（再,必）、N（x2,y2）,直線7W的方程為l=叩+〃（冽

x=my+n

，22得(5冽2+9)/+10冽砂+5〃2-45=0,

與橢圓方程聯(lián)立，得xy1

—+—=1

195

則A=180（5m2-n2+9）＞0由根與系數(shù)的關(guān)系得%%=號(hào)::10mn

必+%=一

5m2+9

由⑴知4（一3,0）,由（3,0）,設(shè)7（%,%）,

由7、S、4三點(diǎn)共線得上由7、N、a三點(diǎn)共線得』&=

則2%=%+3?/―3=^-3?X2-3

、九%%%y2

myx+〃-3++〃-3=2川+(〃.