第十章 概率 章末小結(jié)及測(cè)試（原卷版）（人教版2019必修第二冊(cè)）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二

第十章概率章末小結(jié)及測(cè)試考法一事件的類型【例1-1】（2023陜西）在12件同類產(chǎn)品中，有10件正品和2件次品，從中任意抽出3件．其中為必然事件的是（

）．A．3件都是正品 B．至少有1件是次品C．3件都是次品 D．至少有1件是正品【例1-2】（2023陜西漢中）（多選）同時(shí)拋擲兩枚均勻的骰子，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差為，則表示的隨機(jī)事件不可能是（

）A．第一枚擲出5點(diǎn)，第二枚擲出2點(diǎn) B．第一枚擲出3點(diǎn)，第二枚擲出3點(diǎn)C．第一枚擲出1點(diǎn)，第二枚擲出2點(diǎn) D．第一枚擲出6點(diǎn)，第二枚擲出2點(diǎn)【例1-3】（2023江蘇）（多選）下列現(xiàn)象中，是隨機(jī)現(xiàn)象的有（

）A．在一條公路上，交警記錄某一小時(shí)通過(guò)的汽車(chē)超過(guò)300輛B．若a為整數(shù)，則a＋1為整數(shù)C．發(fā)射一顆炮彈，命中目標(biāo)D．檢查流水線上一件產(chǎn)品是合格品還是次品考法二事件的關(guān)系與運(yùn)算【例2-1】（2024云南）（多選）對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，設(shè)是樣本空間，是隨機(jī)事件，是樣本點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【例2-2】（2024湖北）（多選）在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率分別是0.2，0.3，0.5，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．與是互斥事件，也是對(duì)立事件 B．是必然事件C． D．【例2-3】（2023江蘇無(wú)錫）（多選）已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，，則（

）A． B．C．若A與B互斥，則 D．一定有【例2-4】（2024山東）文具盒中有圓珠筆3支，鋼筆2支，從中無(wú)放回地任取3支．(1)用集合A表示事件“3支都是圓珠筆”；(2)用集合B表示事件“恰有2支是圓珠筆”；(3)用集合C表示事件“恰有1支是圓珠筆”；(4)用A，B，C表示；(5)解釋事件，，，的含義．考法三古典概型【例3-1】（2024廣西·開(kāi)學(xué)考試）某環(huán)保小組共有5名成員，其中男成員有2人，現(xiàn)從這5人中隨機(jī)選出3人去某社區(qū)進(jìn)行環(huán)保宣傳.(1)求所選的3人中恰有1名男成員的概率；(2)求所選的3人中至少有2名女成員的概率.【例3-2】（2024·四川成都）2023世界科幻大會(huì)在成都舉辦，為了讓同學(xué)們更好地了解科幻，某學(xué)校舉行了以“科幻成都，遇見(jiàn)未來(lái)”為主題的科幻知識(shí)通關(guān)賽，并隨機(jī)抽取了該校50名同學(xué)的通關(guān)時(shí)間（單位：分鐘）作為樣本，發(fā)現(xiàn)這些同學(xué)的通關(guān)時(shí)間均位于區(qū)間，然后把樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，六組，經(jīng)過(guò)整理繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）．(1)計(jì)算a的值，并估算該校同學(xué)通關(guān)時(shí)間低于60分鐘的概率；(2)擬在通關(guān)時(shí)間低于60分鐘的樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的同學(xué)中隨機(jī)選取2位同學(xué)贈(zèng)送科幻大會(huì)入場(chǎng)券，求此2人的通關(guān)時(shí)間均位于區(qū)間的概率．考法四概率的性質(zhì)【例4-1】（2024新疆昌吉·開(kāi)學(xué)考試）（多選）下列命題正確的是（

）A．對(duì)立事件一定是互斥事件B．若為不可能事件，則C．若事件，，兩兩互斥，則D．事件，滿足，則，是對(duì)立事件【例4-2】（2024浙江杭州）（多選）已知事件A，B，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．如果，那么B．如果A與B互斥，那么C．如果A與B相互獨(dú)立，那么D．如果A、B與C兩兩互斥，那么【例4-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是隨機(jī)事件，且，則．【例4-4】（2023湖北武漢·期中）已知事件與事件互斥，若，，那么.【例4-5】（2023上海寶山）已知事件與事件互斥，如果，，那么.考法五事件的相互獨(dú)立【例5-1】（2023河南）有4個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字，從中不放回隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則下列關(guān)系成立的是（

）A．與相互獨(dú)立B．與相互獨(dú)立 C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立【例5-2】（2024·云南昆明）甲、乙、丙三人參加一次考試，考試的結(jié)果相互獨(dú)立，他們合格的概率分別為，，，則三人中恰有兩人合格的概率是（

）A． B． C． D．考法六綜合運(yùn)用【例6-1】（2024·內(nèi)蒙古赤峰）為了營(yíng)造濃厚的讀書(shū)氛圍，激發(fā)學(xué)生的閱讀興趣，凈化學(xué)生的精神世界，赤峰市教育局組織了書(shū)香校園知識(shí)大賽，全市共有名學(xué)生參加知識(shí)大賽初賽，所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間內(nèi)，組委會(huì)將初賽成績(jī)分成組：加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)試估計(jì)這名學(xué)生初賽成績(jī)的平均數(shù)及中位數(shù)（同一組的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中間值作為代表）；（中位數(shù)精確到0.01）(2)組委會(huì)在成績(jī)?yōu)榈膶W(xué)生中用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取人，然后再?gòu)某槿〉娜酥腥芜x取人進(jìn)行調(diào)查，求選取的人中恰有人成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率.【例6-2】（2023廣東茂名）“猜燈謎”又叫“打燈謎”，是元宵節(jié)的一項(xiàng)活動(dòng)，出現(xiàn)在宋朝．南宋時(shí)，首都臨安每逢元宵節(jié)時(shí)制迷，猜謎的人眾多．開(kāi)始時(shí)是好事者把謎語(yǔ)寫(xiě)在紙條上，貼在五光十色的彩燈上供人猜．因?yàn)橹i語(yǔ)既能啟迪智慧又饒有興趣，所以流傳過(guò)程中深受社會(huì)各階層的歡迎．在一次元宵節(jié)猜燈謎活動(dòng)中，共有20道燈謎，三位同學(xué)獨(dú)立競(jìng)猜，甲同學(xué)猜對(duì)了12道，乙同學(xué)猜對(duì)了8道，丙同學(xué)猜對(duì)了n道．假設(shè)每道燈謎被猜對(duì)的可能性都相等．(1)任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人猜對(duì)的概率；(2)任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人猜對(duì)的概率為，求n的值．單選題1．（2023重慶渝中）甲、乙兩人比賽下中國(guó)象棋，若甲獲勝的概率是，下成和棋的概率是，則乙獲勝的概率是（

）A． B． C． D．2.（2024湖北孝感）假設(shè)，且A與B相互獨(dú)立，則（

）A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.583．（2024廣東惠州）下列關(guān)于概率的命題，錯(cuò)誤的是（

）A．對(duì)于任意事件A，都有B．必然事件的概率為1C．如果事件A與事件B對(duì)立，那么一定有D．若A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則4．（2023陜西咸陽(yáng)）奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)會(huì)旗中央有5個(gè)互相套連的圓環(huán)，顏色自左至右，上方依次為藍(lán)、黑、紅，下方依次為黃、綠，象征著五大洲．在手工課上，老師將這5個(gè)環(huán)分發(fā)給甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)，每人分得1個(gè)，則事件“甲分得紅環(huán)”與“乙分得紅環(huán)”是（

）A．對(duì)立事件 B．互斥且對(duì)立事件C．互斥但不對(duì)立事件 D．既不互斥又不對(duì)立事件5．（2023四川遂寧）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：“點(diǎn)數(shù)為”，其中；“點(diǎn)數(shù)不大于2”，“點(diǎn)數(shù)大于2”，“點(diǎn)數(shù)大于4”下列結(jié)論是判斷錯(cuò)誤的是

（

）A．與互斥 B．，C． D．，為對(duì)立事件6．（2024安徽淮北）擲一枚骰子，設(shè)事件出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于3，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，則（

）A． B．事件A與是互斥事件C．出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2 D．事件A與是對(duì)立事件7．2024陜西商洛）在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事件，，，的概率分別為，，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．與是互斥事件，也是對(duì)立事件B．與是互斥事件，也是對(duì)立事件C．與是互斥事件，但不是對(duì)立事件D．與是互斥事件，也是對(duì)立事件8．（2023湖南）甲、乙兩人對(duì)同一個(gè)靶各射擊一次，設(shè)事件“甲擊中靶”，事件“乙擊中靶”，事件“靶未被擊中”，事件“靶被擊中”，事件“恰一人擊中靶”，對(duì)下列關(guān)系式（表示的對(duì)立事件，表示的對(duì)立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正確的關(guān)系式的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．多選題9．（2023山東棗莊·期末）已知為兩個(gè)事件，，，則的值可能為（

）A． B． C． D．10．（2024四川攀枝花）某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，記事件為“第一次中靶”，事件為“至少一次中靶”，事件為“至多一次中靶”，事件為“兩次都沒(méi)中靶”.下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．與是互斥事件C． D．與是互斥事件，且是對(duì)立事件11．（2023·廣東廣州·期末）下列關(guān)于概率的命題，正確的是（

）A．對(duì)于任意事件，都有B．必然事件的概率為1C．如果事件與事件互斥，那么一定有D．若，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則12．（2024·貴州貴陽(yáng)）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（

）A．乙發(fā)生的概率為 B．丙發(fā)生的概率為C．甲與丁相互獨(dú)立 D．丙與丁互為對(duì)立事件填空題13．（23-24高一上·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）下列現(xiàn)象中，是確定性現(xiàn)象的是．①長(zhǎng)度為3，4，5的三條線段可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形；②打開(kāi)電視機(jī)，正好在播新聞；③從裝有3個(gè)黃球、5個(gè)紅球的袋子中任意摸4個(gè)，全部都是黃球；④下周六是晴天．14．（2024山西朔州）口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同的小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，“取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，“取出的2球至少有一個(gè)白球”，“取出的兩球不同色”，“取出的2球中至多有一個(gè)白球”.下列判斷中正確的序號(hào)為.①與為對(duì)立事件；②與是互斥事件；③與是對(duì)立事件：④；⑤.15（2023全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）一只袋子中裝有7個(gè)紅玻璃球，3個(gè)綠玻璃球，從中無(wú)放回地任意抽取兩次，每次只取一個(gè)，取得兩個(gè)紅球的概率為，取得兩個(gè)綠球的概率為，則至少取得一個(gè)紅球的概率為.16．（2024廣東梅州）某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級(jí)，其中甲級(jí)屬正品，乙、丙兩級(jí)屬次品.若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級(jí)產(chǎn)品的概率為0.03，出現(xiàn)丙級(jí)產(chǎn)品的概率為0.01，則對(duì)成品任意抽查一件抽得正品的概率為.解答題17．（2024四川瀘州）已知甲?乙?丙參加某項(xiàng)測(cè)試時(shí)，通過(guò)的概率分別為0.6，0.8，0.9，而且這3人之間的測(cè)試互不影響．(1)求甲?乙?丙都通過(guò)測(cè)試的概率；(2)求甲?乙?丙至少有一人通過(guò)測(cè)試的概率；(3)求甲?乙?丙恰有有兩人通過(guò)測(cè)試的概率．18．（2023安徽合肥）某工廠對(duì)生產(chǎn)的一批零件的尺寸進(jìn)行測(cè)量，共計(jì)測(cè)量20000個(gè)，測(cè)量所得數(shù)據(jù)如下頻率分布直方圖所示：(1)求圖中的值以及尺寸在內(nèi)的零件數(shù)量；(2)求這批零件尺寸的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替，結(jié)果精確到0.1）；(3)現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從尺寸在和內(nèi)的零件中隨機(jī)抽取6個(gè)，再?gòu)倪@6個(gè)零件中任取2個(gè)，求至少有1個(gè)零件的尺寸在內(nèi)的概率．19．（2023湖南長(zhǎng)沙·開(kāi)學(xué)考試）2023年底，某商業(yè)集團(tuán)總公司根據(jù)相關(guān)評(píng)分細(xì)則，對(duì)其所屬25家商業(yè)連鎖店進(jìn)行了年度考核評(píng)估，將各連鎖店的評(píng)估分?jǐn)?shù)按，，，分成4組，其頻率分布直方圖如圖所示．總公司還依據(jù)評(píng)估得分，將這些連鎖店劃分為A、、、四個(gè)等級(jí)，等級(jí)評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)如表所示．評(píng)估分?jǐn)?shù)評(píng)定等級(jí)A(1)估計(jì)該商業(yè)集團(tuán)各連鎖店評(píng)估得分的第64百分位數(shù)；(2)從評(píng)估分?jǐn)?shù)不小于80的連鎖店中隨機(jī)抽取2家介紹營(yíng)銷經(jīng)驗(yàn)，求至少抽到1家A等級(jí)的概率．20．（2023·四川成都）設(shè)甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器是否需要照顧相互之間沒(méi)有影響，已知在某一小時(shí)內(nèi)，甲、乙都不需要照顧的概率為0.6，甲、丙都不需要照顧的概率為0.4，乙、丙都需要照顧的概率為0.125.(1)分別求甲、乙、丙每臺(tái)機(jī)器在這一小時(shí)內(nèi)不需要照顧的概率；(2)計(jì)算這一小時(shí)內(nèi)至少有一臺(tái)機(jī)器不需要照顧的概率.21．（2023福建廈門(mén)）第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日在北京國(guó)家體育場(chǎng)開(kāi)幕，“冬奧熱”在國(guó)民中迅速升溫.某電視臺(tái)舉辦“冬奧會(huì)”知識(shí)挑戰(zhàn)賽，初賽環(huán)節(jié)，每位選手先從A（滑雪），B（滑冰），C（冰球）三類問(wèn)題中選擇一類.該類題庫(kù)隨機(jī)提出一個(gè)問(wèn)題，該選手若回答錯(cuò)誤則被淘汰，若回答正確則需從余下兩類問(wèn)題中選擇一類繼續(xù)回答.該類題庫(kù)隨機(jī)提出一個(gè)問(wèn)題，該選手若回答正確則取得復(fù)賽資格，本輪比賽結(jié)束，否則該選手需要回答由最后一類題庫(kù)隨機(jī)提出的兩個(gè)問(wèn)題，兩個(gè)問(wèn)題均回答正確該選手才可取得復(fù)賽資格，否則被淘汰.已知選手甲能正確回答A，B兩類問(wèn)題的概率均為，能正確回答C類問(wèn)題的概率為，每題是否回答正確與回答順序無(wú)關(guān)，且各題回答正確與否相互獨(dú)立.(1)已知選手甲先選擇A類問(wèn)題且回答正確，接下來(lái)他等可能地選擇B，C中的一類問(wèn)題繼續(xù)回答，求他能取得復(fù)賽資格的概率；(2)為使取得復(fù)賽資格的概率最大，選手