蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)常考點(diǎn)微專(zhuān)題提分精練專(zhuān)題32與角平分線(xiàn)+余角補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算(原卷版+解析)

專(zhuān)題32與角平分線(xiàn)+余角補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算1．如圖，O是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，OC為任意一條射線(xiàn)，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．(1)圖中∠AOD的補(bǔ)角是；∠BOD的余角是．(2)已知∠COD＝40°，求∠COE的度數(shù)．2．如圖，點(diǎn)O在直線(xiàn)AB上，CO⊥AB，∠2﹣∠1＝34°，OE是∠AOD的平分線(xiàn)，OF⊥OE．(1)求∠AOE的度數(shù)．(2)找出圖中與∠BOF互補(bǔ)的角，并求出∠BOF補(bǔ)角的度數(shù)．3．，點(diǎn)，分別在、上運(yùn)動(dòng)不與點(diǎn)重合．(1)如圖①，、分別是和的平分線(xiàn)，隨著點(diǎn)、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AO=BO時(shí)；(2)如圖②，若是的平分線(xiàn)，的反向延長(zhǎng)線(xiàn)與的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，隨著點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求的度數(shù)；如果會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖③，延長(zhǎng)至，延長(zhǎng)至，已知，的平分線(xiàn)與的平分線(xiàn)及其延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)、，在中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的倍，求的度數(shù)．4．點(diǎn)O為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線(xiàn)OC，使∠AOC=120°,一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．(1)如圖1，將三角板DOE的一邊OD與射線(xiàn)OB重合時(shí)，則∠COD=∠COE；(2)如圖2，將圖1中的三角板DOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)OC恰好是∠BOE的角平分線(xiàn)時(shí)，求∠COD的度數(shù)；(3)將圖1中的三角尺DOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為度，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，能否使∠AOE=3∠COD？若能，求出的度數(shù)；若不能，說(shuō)明理由.5．如圖，直線(xiàn)AB與CD相交于點(diǎn)O，OE是∠COB的平分線(xiàn)，．(1)若，求∠AOD的度數(shù)；(2)試判斷OF是否平分∠AOC，并說(shuō)明理由．6．如圖1，已知射線(xiàn)OB在∠AOC內(nèi)，若滿(mǎn)足∠BOC+∠AOC＝180°，則稱(chēng)射線(xiàn)OB為∠BOC與∠AOC的“互補(bǔ)線(xiàn)”．(1)如圖2，已知點(diǎn)O是直線(xiàn)AD上一點(diǎn)，射線(xiàn)OB、OC在直線(xiàn)AD同側(cè)，且射線(xiàn)OC平分∠BOD．試說(shuō)明：射線(xiàn)OB為∠BOC與∠AOC的“互補(bǔ)線(xiàn)”；(2)如圖3，已知直線(xiàn)AB、CD相交于點(diǎn)O，射線(xiàn)OE為∠BOC與∠BOE的“互補(bǔ)線(xiàn)”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度數(shù)；(3)如圖4，已知射線(xiàn)OB為∠BOC與∠AOC的“互補(bǔ)線(xiàn)”，且射線(xiàn)OE、OF分別平分∠AOC、∠BOC，試判斷∠BOC+∠EOF的度數(shù)是否為定值，若為定值，求出定值的度數(shù)；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．如圖，與互為補(bǔ)角，與互為余角，且．(1)求的度數(shù)；(2)若平分，求的度數(shù)．8．若A、O、B三點(diǎn)共線(xiàn)，，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處（注：，）．(1)如圖1，使三角板的長(zhǎng)直角邊OD在射線(xiàn)OB上，則____________°；(2)將圖1中的三角板DOE繞點(diǎn)O以每秒2°的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2位置，此時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值；(3)將圖2中的三角板DOE再繞點(diǎn)O以每秒5°的速度按順時(shí)針轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)一周，經(jīng)過(guò)秒后，直線(xiàn)OC恰好平分，求的值．9．如圖，直線(xiàn)AB，CD相交于點(diǎn)O，OF⊥CD，OE平分∠BOC．(1)若∠BOE＝60°，求∠DOE的度數(shù)；(2)若∠BOD：∠BOE＝2：3，求∠AOF的度數(shù)．10．已知：射線(xiàn)在的內(nèi)部，，，平分．(1)如圖，若點(diǎn)，，在同一條直線(xiàn)上，是內(nèi)部的一條射線(xiàn)，請(qǐng)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，并求的度數(shù)；(2)若，直接寫(xiě)出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．11．如圖（1），直線(xiàn)、相交于點(diǎn)，直角三角板邊落在射線(xiàn)上，將三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°．(1)如圖（2），設(shè)，當(dāng)平分時(shí)，求（用表示）(2)若，①如圖（3），將三角板旋轉(zhuǎn)，使落在內(nèi)部，試確定與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．②若三角板從初始位置開(kāi)始，每秒旋轉(zhuǎn)5°，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為，當(dāng)與互余時(shí)，求的值．12．如圖，直線(xiàn)、相交于點(diǎn)，，．(1)若，則__________．(2)從（1）的時(shí)刻開(kāi)始，若將繞以每秒15的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，求運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，直線(xiàn)平分．(3)從（1）的時(shí)刻開(kāi)始，若將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，如果射線(xiàn)是的角平分線(xiàn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此過(guò)程中與的數(shù)量關(guān)系．（不考慮與、重合的情況）13．如圖，直線(xiàn)AB與CD相交于點(diǎn)O，OE是∠COB的平分線(xiàn)，OE⊥OF．（1）圖中∠BOE的補(bǔ)角是；（2）若∠COF=2∠COE，求△BOE的度數(shù)；（3）試判斷OF是否平分∠AOC，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．如圖，直線(xiàn)AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，OG⊥CD．（1）已知∠AOC＝38°12'，求∠BOG的度數(shù)；（2）如果OC是∠AOE的平分線(xiàn)，那么OG是∠EOB的平分線(xiàn)嗎？說(shuō)明理由．15．已知直線(xiàn)AB和CD交于點(diǎn)O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．（1）當(dāng)α＝30°時(shí)，則∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．（2）當(dāng)α＝60°時(shí)，射線(xiàn)OE′從OE開(kāi)始以12°/秒的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)射線(xiàn)OF′從OF開(kāi)始以8°/秒的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線(xiàn)OE′轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)射線(xiàn)OF′也停止轉(zhuǎn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多少秒射線(xiàn)OE′與射線(xiàn)OF′第一次重合？（3）在（2）的條件下，射線(xiàn)OE′在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，當(dāng)∠E′OF′＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出射線(xiàn)OE′轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為_(kāi)________秒．專(zhuān)題32與角平分線(xiàn)+余角補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算1．如圖，O是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，OC為任意一條射線(xiàn)，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．(1)圖中∠AOD的補(bǔ)角是；∠BOD的余角是．(2)已知∠COD＝40°，求∠COE的度數(shù)．【答案】(1)∠BOD，∠COD；∠COE，∠AOE．(2)50°【分析】（1）根據(jù)互為補(bǔ)角的和等于180°、互為余角的和為90°分別找出即可；（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義表示出∠BOC與∠AOC，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義即可得解．（1）解：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠BOD＝∠COD，∠AOE＝∠COE，∴∠COE+∠COD＝∠AOE+∠BOD＝×180°＝90°，∴∠BOD+∠COE＝90°，∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠AOD+∠COD＝180°，∴∠AOD的補(bǔ)角是∠BOD和∠COD；∠BOD的余角是∠COE和∠AOE．故答案為：∠BOD，∠COD；∠COE，∠AOE．（2）∵OD平分∠BOC，∠COD＝40°，∴∠BOC＝2∠COD＝80°，由題意可知，∠AOB是平角，∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝180°﹣80°＝100°，∵OE平分∠AOC，∴∠COE∠AOC＝50°．【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角的概念，角度的計(jì)算，以及角平分線(xiàn)的定義，準(zhǔn)確識(shí)圖并熟記概念是解題的關(guān)鍵．2．如圖，點(diǎn)O在直線(xiàn)AB上，CO⊥AB，∠2﹣∠1＝34°，OE是∠AOD的平分線(xiàn)，OF⊥OE．(1)求∠AOE的度數(shù)．(2)找出圖中與∠BOF互補(bǔ)的角，并求出∠BOF補(bǔ)角的度數(shù)．【答案】(1)59°(2)∠AOF；21°【分析】（1）根據(jù)垂線(xiàn)的定義確定∠COB＝∠AOC＝90°，進(jìn)而得到∠1+∠2＝90°，再根據(jù)∠2﹣∠1＝34°用∠1表示∠2，進(jìn)而可求出∠1的度數(shù)，根據(jù)角的和差關(guān)系求出∠AOD的度數(shù)，最后根據(jù)角平分線(xiàn)的定義即可求出∠AOE．（2）根據(jù)補(bǔ)角的定義即可得出圖中與∠BOF互補(bǔ)的角．根據(jù)垂線(xiàn)的定義確定∠EOF＝90°，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求出∠BOF補(bǔ)角的度數(shù)．（1）解：∵CO⊥AB，∴∠COB＝∠AOC＝90°．∴∠1+∠2＝90°．∵∠2﹣∠1＝34°，∴∠2=∠1+34°．∴∠1+∠1+34°=90°．∴∠1=28°．∴∠AOD＝∠AOC+∠1＝90°+28°＝118°．∵OE是∠AOD的平分線(xiàn)，∴．（2）解：點(diǎn)O在直線(xiàn)AB上，∴∠AOF+∠BOF=180°．∴圖中與∠BOF互補(bǔ)的角是∠AOF．∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°．∴∠AOF＝∠EOF﹣∠AOE＝21°．【點(diǎn)睛】本題考查垂線(xiàn)的定義，角的和差關(guān)系，角平分線(xiàn)的定義，補(bǔ)角的定義，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．3．，點(diǎn)，分別在、上運(yùn)動(dòng)不與點(diǎn)重合．(1)如圖①，、分別是和的平分線(xiàn)，隨著點(diǎn)、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AO=BO時(shí)；(2)如圖②，若是的平分線(xiàn)，的反向延長(zhǎng)線(xiàn)與的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，隨著點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求的度數(shù)；如果會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖③，延長(zhǎng)至，延長(zhǎng)至，已知，的平分線(xiàn)與的平分線(xiàn)及其延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)、，在中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的倍，求的度數(shù)．【答案】(1)135°(2)∠D的度數(shù)不隨A、B的移動(dòng)而發(fā)生變化，值為45°(3)60°或45°【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理、兩角互余、角平分線(xiàn)性質(zhì)即可求解；（2）利用對(duì)頂角相等、兩角互余、兩角互補(bǔ)、角平分線(xiàn)性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及角平分線(xiàn)的性質(zhì)不難得出=90°，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，所以不確定是哪個(gè)角是哪個(gè)角的三倍，所以需要分情況討論；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍．（1）解：∵、分別是和的平分線(xiàn)，∴∠EBA=∠OBA，∠BAE=∠BAO，∵，∴∠EAB+EBA=90°，∵∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°，∴，，，，；（2）解：

∠D的度數(shù)不隨A、B的移動(dòng)而發(fā)生變化，設(shè)∠BAD=α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO=2α，∵∠AOB=90°，∴∠ABN=180°-∠ABO=∠AOB+∠BAO=90+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC=45°+α，∵∠ABC=180°-∠ABD=∠D+∠BAD，∴∠D=∠ABC-∠BAD=45°+α-α=45°；（3）解：∵∠BAO與∠BOQ的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，∴∠AOE=135°，∴，，，，∵AE、AF分別是∠BAO和∠OAG的平分線(xiàn)，∴，在△AEF中，若有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，則①當(dāng)∠EAF=3∠E時(shí)，得∠E=30°，此時(shí)∠ABO=60°；②當(dāng)∠EAF=3∠F時(shí)，得∠E=60°，此時(shí)∠ABO=120°＞90°，舍去；③當(dāng)∠F=3∠E時(shí)，得，此時(shí)∠ABO=45°；．④當(dāng)∠E=3∠F時(shí)，得，此時(shí)∠ABO=135°＞90°，舍去．綜上可知，∠ABO的度數(shù)為60°或45°．【點(diǎn)睛】前兩問(wèn)熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的兩銳角互余、對(duì)頂角相等、角平分線(xiàn)性質(zhì)等角的關(guān)系即可求解；第三問(wèn)需先證明=90°，再分情況進(jìn)行討論，熟練運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．點(diǎn)O為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線(xiàn)OC，使∠AOC=120°,一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．(1)如圖1，將三角板DOE的一邊OD與射線(xiàn)OB重合時(shí)，則∠COD=∠COE；(2)如圖2，將圖1中的三角板DOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)OC恰好是∠BOE的角平分線(xiàn)時(shí)，求∠COD的度數(shù)；(3)將圖1中的三角尺DOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為度，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，能否使∠AOE=3∠COD？若能，求出的度數(shù)；若不能，說(shuō)明理由.【答案】(1)2(2)(3)或【分析】（1）由鄰補(bǔ)角和余角的定義求出兩個(gè)角，即可得出結(jié)論；（2）由角平分線(xiàn)的定義可得，再根據(jù)，從而可求解；（3）分兩種情況討論：①是內(nèi)；②在外，分析清楚角關(guān)系求解即可．（1）解：，與射線(xiàn)重合，，，，，故答案為：2；（2）解：由（1）得，，是的角平分線(xiàn)，，，；（3）解：能，①當(dāng)是內(nèi)時(shí)，有：，，則，解得：；②當(dāng)在外時(shí)，有：，，則，解得：．綜上所述，的度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，余角和補(bǔ)角，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚角與角之間的關(guān)系．5．如圖，直線(xiàn)AB與CD相交于點(diǎn)O，OE是∠COB的平分線(xiàn)，．(1)若，求∠AOD的度數(shù)；(2)試判斷OF是否平分∠AOC，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)垂直的定義先求解再利用角平分線(xiàn)的定義求解結(jié)合對(duì)頂角的定義可得答案；（2）由垂直的定義及補(bǔ)角的性質(zhì)可得結(jié)論．(1)解：∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，即∠COF+∠COE=90°，∵∠COF=2∠COE，∴∠COF=60°，∠COE=30°，∵OE是∠COB的平分線(xiàn)，∴∠COB=2∠COE=60°．∴∠AOD=∠COB=60°．(2)解：OF平分∠AOC，理由如下：∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，即∠COF+∠COE=90°，∠AOF+∠BOE=90°，∵OE是∠COB的平分線(xiàn)，∴∠EOB=∠COE，∴∠AOF=∠COF，即OF平分∠AOC．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線(xiàn)的定義、垂直的定義、余角與補(bǔ)角，掌握它們的概念與性質(zhì)是解決此題關(guān)鍵．6．如圖1，已知射線(xiàn)OB在∠AOC內(nèi)，若滿(mǎn)足∠BOC+∠AOC＝180°，則稱(chēng)射線(xiàn)OB為∠BOC與∠AOC的“互補(bǔ)線(xiàn)”．(1)如圖2，已知點(diǎn)O是直線(xiàn)AD上一點(diǎn)，射線(xiàn)OB、OC在直線(xiàn)AD同側(cè)，且射線(xiàn)OC平分∠BOD．試說(shuō)明：射線(xiàn)OB為∠BOC與∠AOC的“互補(bǔ)線(xiàn)”；(2)如圖3，已知直線(xiàn)AB、CD相交于點(diǎn)O，射線(xiàn)OE為∠BOC與∠BOE的“互補(bǔ)線(xiàn)”，若∠AOD＝136°，求∠DOE的度數(shù)；(3)如圖4，已知射線(xiàn)OB為∠BOC與∠AOC的“互補(bǔ)線(xiàn)”，且射線(xiàn)OE、OF分別平分∠AOC、∠BOC，試判斷∠BOC+∠EOF的度數(shù)是否為定值，若為定值，求出定值的度數(shù)；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)定義直接求解即可；（2）根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得，進(jìn)而根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求得，根據(jù)對(duì)頂角相等可得，進(jìn)而根據(jù)角的和求解即可；（3）根據(jù)角平分線(xiàn)的意義，以及角度的和差計(jì)算可得，即可求得答案．（1）證明：OC平分∠BOD射線(xiàn)OB為∠BOC與∠AOC的“互補(bǔ)線(xiàn)”（2）射線(xiàn)OE為∠BOC與∠BOE的“互補(bǔ)線(xiàn)”，（3）射線(xiàn)OB為∠BOC與∠AOC的“互補(bǔ)線(xiàn)”，射線(xiàn)OE、OF分別平分∠AOC、∠BOC，【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，等角的補(bǔ)角相等，根據(jù)鄰補(bǔ)角求角度，角平分線(xiàn)的意義，幾何圖形中角度的和差關(guān)系，理解題意，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．7．如圖，與互為補(bǔ)角，與互為余角，且．(1)求的度數(shù)；(2)若平分，求的度數(shù)．【答案】(1)72°(2)126°【分析】（1）由與互為余角，得到+=90°，由．即可求出∠BOC；（2）求出∠AOC的度數(shù)，根據(jù)平分，求出∠AOE，即可得到∠BOE．(1)解：∵與互為余角，∴+=90°，∵．∴5=90°，∴=18°，∠BOC=72°；(2)解：∵∠AOC+=180°，∠BOC=72°，∴∠AOC=108°，∵平分，∴∠AOE=∠AOC=54°，∴∠BOE=180°-∠AOE=126°．【點(diǎn)睛】此題考查了余角的定義，角平分線(xiàn)求角度的計(jì)算，角度的和差計(jì)算，正確掌握余角定義及角平分線(xiàn)定義是解題的關(guān)鍵．8．若A、O、B三點(diǎn)共線(xiàn)，，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處（注：，）．(1)如圖1，使三角板的長(zhǎng)直角邊OD在射線(xiàn)OB上，則____________°；(2)將圖1中的三角板DOE繞點(diǎn)O以每秒2°的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2位置，此時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值；(3)將圖2中的三角板DOE再繞點(diǎn)O以每秒5°的速度按順時(shí)針轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)一周，經(jīng)過(guò)秒后，直線(xiàn)OC恰好平分，求的值．【答案】(1)50(2)25秒(3)11或47【分析】（1）由余角的性質(zhì)可求解；（2）由角的數(shù)量關(guān)系列出等式可求解；（3）分兩種情況討論即可.（1）解：∵∠DOE＝90°，∠BOC＝40°，∴∠COE=∠DOE-∠BOC＝90°-40°=50°，故答案為：50；（2）解：∵三角板DOE繞點(diǎn)O以每秒2°的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，∴經(jīng)過(guò)t秒，∠COD=∠BOD-∠BOC=2t-40o，∠AOE=90o-2t，∵，∴2t-40o=（90o-2t），解得t=25.即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為25秒.（3）解：圖2中∠AOE=90o-2t=40o，∠D1OE1=∠DOE=90o∵三角板DOE再繞點(diǎn)O以每秒5°的速度按順時(shí)針轉(zhuǎn)方向旋轉(zhuǎn)一周，情況①如圖：經(jīng)過(guò)秒后，∠EOE1=5t∵直線(xiàn)OC恰好平分，∴∵∠BOC=40o∠AOC=∠AOE+∠EOE1+=140o即40o+5t+45o=140o解得：t=11；情況②如圖：此時(shí)有：5t-10o-45o=180o，解得t=47故的值為11或47.【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，角平分線(xiàn)的定義，平角的性質(zhì)等知識(shí)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．9．如圖，直線(xiàn)AB，CD相交于點(diǎn)O，OF⊥CD，OE平分∠BOC．(1)若∠BOE＝60°，求∠DOE的度數(shù)；(2)若∠BOD：∠BOE＝2：3，求∠AOF的度數(shù)．【答案】(1)∠DOE=120°；(2)∠AOF=45°．【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義，得出∠EOC=∠BOE=60°，利用鄰補(bǔ)角定義求出∠DOE即可；（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義，∠BOD：∠BOE=2：3，求出∠BOD，再根據(jù)對(duì)頂角可求出∠AOC，利用垂直，求出∠AOF．（1）解：∵OE平分∠BOC，∠BOE=60°，∴∠EOC=∠BOE=60°，∴∠DOE=180°-60°=120°；（2）解：∵∠BOD：∠BOE=2：3，設(shè)∠BOD=x，則∠COE＝∠BOE＝x，∵∠COE+∠BOE+∠BOD=180°，∴x+x+x=180°，∴x=45°，即∠BOD=45°，∵OF⊥CD，∠AOC=∠BOD=45°，∴∠COF=90°，∴∠AOF=90°-45°=45°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)定義，鄰補(bǔ)角定義，對(duì)頂角性質(zhì)，垂直定義，角的計(jì)算等；正確找出各個(gè)角之間的關(guān)系是正確計(jì)算的關(guān)鍵．10．已知：射線(xiàn)在的內(nèi)部，，，平分．(1)如圖，若點(diǎn)，，在同一條直線(xiàn)上，是內(nèi)部的一條射線(xiàn)，請(qǐng)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，并求的度數(shù)；(2)若，直接寫(xiě)出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)圖見(jiàn)解析，99°(2)當(dāng)射線(xiàn)在的內(nèi)部時(shí)，；當(dāng)射線(xiàn)在的外部時(shí)，【分析】（1）作出∠AOD的平分線(xiàn)OE，根據(jù)∠AOC:∠BOC=9:1求出∠BOC=18°，依據(jù)∠COD=2∠COB得∠COD=36°，從而可求∠AOD=126°，根據(jù)OE平分∠AOD得∠DOE=63°,從而可求出的度數(shù)；（2）分兩種情況考慮：當(dāng)射線(xiàn)在的內(nèi)部時(shí)，先求出∠AOD=∠AOC-∠COD=7α,，根據(jù)角平分線(xiàn)得出；當(dāng)射線(xiàn)在的外部時(shí)，先求出∠AOD=∠AOC+∠COD=11α,根據(jù)角平分線(xiàn)得出．（1）解：補(bǔ)全圖形，如圖所示：

∵點(diǎn)A，，在同一條直線(xiàn)上，∴(平角的定義)．∵，∴，．∵，∴．∴．∵平分，∴(角平分線(xiàn)的定義)．∴（2）解：當(dāng)射線(xiàn)在的內(nèi)部時(shí)，如圖，∵，∴∠AOC=9α，∵∴∴∠AOD=∠AOC-∠COD=7α,∵平分∴∠DOE=∠AOD=α，∴∠COE=∠COD+∠DOE=2α+α=α；當(dāng)射線(xiàn)在的外部時(shí)，如圖，∵，∴∠AOC=9α，∵∴，∠BOD=α∴∠AOD=∠AOC+∠COD=11α,∵平分∴∠DOE=∠AOD=α，∴∠COE=∠DOE-∠COD=α-2α=α．【點(diǎn)睛】本題是有關(guān)角的計(jì)算，考查了角平分線(xiàn)的定義、平角定義以及角的和差倍分，注意利用數(shù)形結(jié)合的思想．11．如圖（1），直線(xiàn)、相交于點(diǎn)，直角三角板邊落在射線(xiàn)上，將三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°．(1)如圖（2），設(shè)，當(dāng)平分時(shí)，求（用表示）(2)若，①如圖（3），將三角板旋轉(zhuǎn)，使落在內(nèi)部，試確定與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．②若三角板從初始位置開(kāi)始，每秒旋轉(zhuǎn)5°，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為，當(dāng)與互余時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)①，理由見(jiàn)解析；②4秒或22秒【分析】（1）利用角的和差關(guān)系求解再利用角平分線(xiàn)的含義求解即可；（2）①設(shè)，再利用角的和差關(guān)系依次求解，

，，從而可得答案；②由題意得：與重合是第18秒，與重合是第8秒，停止是36秒．再分三種情況討論：如圖，當(dāng)時(shí)

，，如圖，當(dāng)時(shí)

，，如圖，當(dāng)時(shí)，，，再利用互余列方程解方程即可.（1）解：

∵平分

∴（2）解：①設(shè)，則，

∴∴，∴②由題意得：與重合是第18秒，與重合是第8秒，停止是36秒．如圖，當(dāng)時(shí)

，，則，

∴如圖，當(dāng)時(shí)

，，則，方程無(wú)解，不成立如圖，當(dāng)時(shí)，，，則，

∴綜上所述秒或22秒【點(diǎn)睛】本題考查的是角的和差運(yùn)算，角平分線(xiàn)的定義，角的動(dòng)態(tài)定義的理解，互為余角的含義，清晰的分類(lèi)討論是解本題的關(guān)鍵.12．如圖，直線(xiàn)、相交于點(diǎn)，，．(1)若，則__________．(2)從（1）的時(shí)刻開(kāi)始，若將繞以每秒15的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，求運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，直線(xiàn)平分．(3)從（1）的時(shí)刻開(kāi)始，若將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，如果射線(xiàn)是的角平分線(xiàn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此過(guò)程中與的數(shù)量關(guān)系．（不考慮與、重合的情況）【答案】(1)30°(2)11或23秒(3)或【分析】（1）根據(jù)，，利用余角性質(zhì)得出∠EOB=90°-∠COE=90°-30°=60°，根據(jù)，利用余角性質(zhì)得出∠BOF=90°-∠EOB=90°-60°=30°即可；（2）解分兩種情形，平分，得出，，設(shè)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)根據(jù)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)的角度列方程，平分，，根據(jù)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)的角度列方程，解方程即可；（3）分四種情況OE在∠COB內(nèi)，OE在∠AOC內(nèi)，OE在∠AOD內(nèi)，OE在∠DOB內(nèi)，根據(jù)射線(xiàn)是的角平分線(xiàn)∠COP=∠EOP，利用角的和差計(jì)算即可．（1）解：∵，，∴∠EOB=90°-∠COE=90°-30°=60°，∵，∴∠BOF=90°-∠EOB=90°-60°=30°，故答案是：30°；（2）解分兩種情形，情況一∵平分，∴，∴，設(shè)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，平分，根據(jù)題意得：，解得：；情況二∵平分，∴，設(shè)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，平分，根據(jù)題意得：，解得：；綜上：運(yùn)動(dòng)11或23秒時(shí)，直線(xiàn)平分；（3）解：∵射線(xiàn)是的角平分線(xiàn)∴∠COP=∠EOP，∠AOC=∠EOF=90°，∴∠AOP=90°+∠COP=90°+∠POE，∵∠COE=∠BOF，∴∠POE=，∴，∵∠COE=∠BOF，射線(xiàn)是的角平分線(xiàn)，∴∠POC=，∴∠AOP=90°-∠COP=90°-，∴，∵∠COE=90°+∠COF=∠BOF，射線(xiàn)是的角平分線(xiàn)，∴∠POC=，∴∠AOP=90°-∠COP=90°-，∴，∵∠COE=90°+∠BOE=∠BOF，射線(xiàn)是的角平分線(xiàn)，∴∠POC=，∴∠AOP=90°+∠COP=90°+，∴；綜上：或．【點(diǎn)睛】本題考查余角定義，角平分線(xiàn)有關(guān)的運(yùn)算，一元一次方程，分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，掌握余角定義，角平分線(xiàn)有關(guān)的運(yùn)算，一元一次方程，分類(lèi)討論思想的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．13．如圖，直線(xiàn)AB與CD相交于點(diǎn)O，OE是∠COB的平分線(xiàn)，OE⊥OF．（1）圖中∠BOE的補(bǔ)角是；（2）若∠COF=2∠COE，求△BOE的度數(shù)；（3）試判斷OF是否平分∠AOC，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）∠AOE和∠DOE；（2）∠BOE=30°；（3）OF平分AOC．理由見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)補(bǔ)角的定義，依據(jù)圖形可直接得出答案；（2）根據(jù)互余和∠COF＝2∠COE，可求出∠COF、∠COE，再根據(jù)角平分線(xiàn)的意義可求答案；（3）根據(jù)互余，互補(bǔ)、角平分線(xiàn)的意義，證明∠FOA＝∠COF即可．【詳解】解：（1）∵∠AOE＋∠BOE＝∠AOB＝180°，∠COE＋∠DOE＝∠COD＝180°，∠COE＝∠BOE∴∠BOE的補(bǔ)角是∠AOE，∠DOE故答案為：∠AOE或∠DOE；（2）∵OE⊥OF．∠COF＝2∠COE，∴∠COF＝×90°＝60°，∠COE＝×90°＝30°，∵OE是∠COB的平分線(xiàn)，∴∠BOE＝∠COE＝30°；（3）OF平分∠AOC，∵OE是∠COB的平分線(xiàn)，OE⊥OF．∴∠BOE＝∠COE，∠COE＋∠COF＝90°，∵∠BOE＋∠EOC＋∠COF＋∠FOA＝180°，∴∠COE＋∠FOA＝90°，∴∠FOA＝∠COF，即，OF平分∠AOC．【點(diǎn)睛】考查互為余角、互為補(bǔ)角、角平分線(xiàn)的意義，解題的關(guān)鍵是熟知：如果兩角之和等于180°，那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角.其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的補(bǔ)角；?如果兩個(gè)角的和是直角，那么稱(chēng)這兩個(gè)角“互為余角”，簡(jiǎn)稱(chēng)“互余”，也可以說(shuō)其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．14．如圖，直線(xiàn)AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，OG⊥CD．（1）已知∠AOC＝38