13.4 課題學(xué)習(xí)+最短路徑問(wèn)題 人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)利用軸對(duì)稱、平移等變化解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題。通過(guò)學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用符號(hào)和圖形語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)的能力。教學(xué)重難點(diǎn)利用平移、軸對(duì)稱解決最短路徑問(wèn)題。教學(xué)類型探究型、啟發(fā)型、歸納型教學(xué)過(guò)程內(nèi)容畫(huà)面片頭你好，歡迎來(lái)到今天的數(shù)學(xué)微課堂。場(chǎng)景1正文講解導(dǎo)入俗話說(shuō)：“當(dāng)官不為民做主，不如回家賣紅薯”。說(shuō)到這句俗語(yǔ)，不得不聯(lián)想到宋代名相蔡襄。在北宋嘉祐年間，洛陽(yáng)江是一個(gè)鄉(xiāng)野古渡，名叫萬(wàn)安渡。這里水流湍急，嚴(yán)重地影響了兩岸居民的生活。為了解決這個(gè)問(wèn)題，蔡襄下令在這個(gè)古渡上建造一座橋。但橋建設(shè)的位置卻難住了工匠們。同學(xué)們，你能幫助工匠們解決這個(gè)難題嗎？這節(jié)課就讓我們一起來(lái)集中探究一下吧！趣味學(xué)習(xí)師：同學(xué)們，我們首先來(lái)把這個(gè)問(wèn)題來(lái)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)的語(yǔ)言。如例題1：如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN．橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）（展示不讀）師：同學(xué)們，這個(gè)問(wèn)題我們?cè)撛趺唇鉀Q呢？生：可以用畫(huà)圖的形式先把抽象的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。這個(gè)題目可以這樣畫(huà)圖：這時(shí)，只需要求出當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AM+MN+NB最?。烤褪亲疃痰穆窂?。師：那這個(gè)問(wèn)題還可以在簡(jiǎn)化嗎？生：可以。因?yàn)楹用娴膶挾仁枪潭ǖ?，也就是MN的長(zhǎng)度是固定的。當(dāng)AM+NB最小時(shí)，AM+MN+NB最小.問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AM+NB最小。師：同學(xué)們，你們真聰明！那我們?cè)撛趺凑襈點(diǎn)的位置呢？生：我們可以通過(guò)圖形的變化將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)研究過(guò)的問(wèn)題。通過(guò)觀察，我們發(fā)現(xiàn)只需要將AM沿與河岸垂直的方向平移，點(diǎn)M移動(dòng)到點(diǎn)N，點(diǎn)A移動(dòng)到A′.則：A′N=AM.這時(shí)，我們?cè)龠B接A′B，交直線b于點(diǎn)N，這樣就可以找到點(diǎn)N的位置。因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短。師：同學(xué)們，你們真聰明！那你能用文字的語(yǔ)言總結(jié)一下做題方法嗎？生：①實(shí)際問(wèn)題可以抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題。②利用平移、實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移。③把已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的問(wèn)題。師：同學(xué)們，你們總結(jié)的真到位！那我們?cè)撊绾巫C明這條路徑是最短的呢？哪位同學(xué)可以分享一下你的證明方法呢？生：要想證明路徑AMNB最短，只需要證明AM+MN+NB<AM′+M′N′+N′B即可。但是由于MN=M′N。因此，只需要證明AM+NB<AM′+N′B由平移可知AM=A′NAM′=A′N′這時(shí)，只需要證明A′N+NB<A′N′+N′B即可。因?yàn)閮牲c(diǎn)之間，線段最短。其證明過(guò)程如下：在直線b上任取一點(diǎn)N′，過(guò)N′作N′M′⊥a連接AM′，A′N′，N′B由平移性質(zhì)可知，AM=A′N，AM′=A′N′.AM+NB=A′N+NB=A′BAM′+N′B=A′N′+N′B.由兩點(diǎn)之間，線段最短可知：A′B<A′N′+N′B即AM+NB<AM′+N′B即AM+MN+NB<AM′+M′N′+N′B.（展示不讀）師：同學(xué)們，你們真棒！成功地幫助了工匠們解決了建橋的難題。但在這個(gè)過(guò)程中，大家也要學(xué)會(huì)用符號(hào)的語(yǔ)言進(jìn)行整理和表達(dá)哦！小試身手過(guò)渡：同學(xué)們，這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了最短路徑問(wèn)題（第二課時(shí)），你學(xué)會(huì)了嗎？快快拿起本子挑戰(zhàn)一下下面的練習(xí)題吧！如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面積為10，BD平分∠ABC，若M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，求CM+MN的最小值解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BC于N，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于點(diǎn)E，MN⊥BC于N∴MN＝ME，∴CE＝CM+ME＝CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面積為10，AB＝4，∴×4?CE＝10，∴CE＝．即CM+MN的最小值為5．（展示不讀）小結(jié)同學(xué)們，這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了最短路徑問(wèn)題（第二課時(shí)），你有哪些收獲呢？大家要注意以后我們?cè)诮鉀Q此類問(wèn)題時(shí)，要巧用利用軸對(duì)稱、平移等學(xué)過(guò)的知識(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段