3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)人教A版

數(shù)學(xué)必修第一冊1.理解函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具.2.在實(shí)際情境中,會(huì)選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律.3.會(huì)應(yīng)用一次函數(shù)、二次函數(shù)和冪函數(shù)模型解決一些簡單的實(shí)際問題.課程標(biāo)準(zhǔn)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)1

常見的函數(shù)模型1.一次函數(shù)模型形如y=kx+b(k≠0)的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型,應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)及圖象解題時(shí),應(yīng)注意:(1)一次函數(shù)有單調(diào)遞增(一次項(xiàng)系數(shù)為正)和單調(diào)遞減(一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù))兩種情況;(2)一次函數(shù)的圖象是一條直線.2.二次函數(shù)模型形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函數(shù)模型是二次函數(shù)模型.二次函數(shù)模型是重要的數(shù)學(xué)模型之一,依據(jù)實(shí)際問題建立二次函數(shù)的解析式后,利用配方法求最值簡單易懂,有時(shí)也可以依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值,從而解決利潤最大、用料最省等問題.3.分段函數(shù)模型這個(gè)模型實(shí)質(zhì)是一次函數(shù)、正比例函數(shù)(形如y=kx,k≠0)、反比例函數(shù)

、二次函數(shù)模型中兩種及以上的綜合.4.冪函數(shù)模型y=axα+b(a,b,α為常數(shù),a≠0,α≠1).思考辨析函數(shù)模型在實(shí)際應(yīng)用中,函數(shù)的自變量有什么特點(diǎn)?提示

在實(shí)際應(yīng)用中,函數(shù)的自變量x往往具有實(shí)際意義,如x表示件數(shù)時(shí),x≥0,且x∈Z等.在解答時(shí),必須要考慮這些實(shí)際意義.自主診斷[蘇教版教材例題]某計(jì)算機(jī)集團(tuán)公司生產(chǎn)某種型號計(jì)算機(jī)的固定成本為200萬元,生產(chǎn)每臺(tái)計(jì)算機(jī)的可變成本為3000元,每臺(tái)計(jì)算機(jī)的售價(jià)為5000元.分別寫出總成本C(單位:萬元)、單位成本P(單位:萬元)、銷售收入R(單位:萬元)以及利潤L(單位:萬元)關(guān)于總產(chǎn)量x(單位:臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式.解

總成本與總產(chǎn)量的關(guān)系為C=200+0.3x,x∈N*.銷售收入與總產(chǎn)量的關(guān)系為R=0.5x,x∈N*.利潤與總產(chǎn)量的關(guān)系為L=R-C=0.2x-200,x∈N*.知識點(diǎn)2

實(shí)際問題的函數(shù)建模實(shí)際問題的函數(shù)建模是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵,結(jié)合對函數(shù)性質(zhì)的研究,通過解決數(shù)學(xué)問題達(dá)到解決實(shí)際問題的目的.一般步驟為:(1)設(shè)恰當(dāng)?shù)淖兞?研究實(shí)際問題中量與量之間的關(guān)系,確定變量之間的關(guān)系,并用x,y分別表示問題中的變量.(2)建立函數(shù)模型:將變量y表示為x的函數(shù),在中學(xué)數(shù)學(xué)階段,我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù)的解析式,注意函數(shù)的定義域.(3)求解函數(shù)模型:根據(jù)已知條件求解函數(shù)模型.(4)給出實(shí)際問題的解:將數(shù)學(xué)模型的解還原為實(shí)際問題的解,得出實(shí)際問題的解.思考辨析在實(shí)際問題中,哪種情境下我們一般建立函數(shù)模型?提示

當(dāng)問題情境中存在兩個(gè)變量,這兩個(gè)變量存在對應(yīng)關(guān)系,表現(xiàn)在一個(gè)變量隨著另一個(gè)的變化而變化,此時(shí)我們選擇建立函數(shù)模型.自主診斷1.某商場以每件30元的價(jià)格購進(jìn)一種商品,試銷售中發(fā)現(xiàn),這種商品每天的銷量m(單位:件)與每件的售價(jià)x(單位:元)滿足一次函數(shù)m=162-3x.若要每天獲得最大的銷售利潤,每件商品的售價(jià)應(yīng)定為(

)A.30元

B.42元

C.54元

D.越高越好B解析

設(shè)每天的銷售利潤為y元,則y=(x-30)(162-3x),30≤x≤54,整理得y=-3(x-42)2+432,當(dāng)x=42時(shí),y取得最大值.故每件商品的售價(jià)定為42元時(shí),每天才能獲得最大的銷售利潤.2.[2024福建高三模擬]某公司市場營銷部員工的個(gè)人月收入y(單位:元)與月銷售量x(單位:百件)成一次函數(shù)關(guān)系,其對應(yīng)關(guān)系如圖所示.由圖示信息可知,月銷售量為3百件時(shí)員工的月收入是(

)A.2100元 B.2400元C.2700元 D.3000元C解析

設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0),解得k=300,b=1

800,故公司市場營銷部員工的個(gè)人月收入與月銷售量之間的函數(shù)關(guān)系為y=300x+1

800,令x=3,可得y=300×3+1

800=2

700元,故選C.3.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為2000萬元,并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品,成本增加10萬元.又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù),K(Q)=40Q-Q2,則總利潤L(Q)的最大值是

萬元.

2500重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的應(yīng)用【例1】

在一次會(huì)展期間某企業(yè)向展銷商銷售一種商品,根據(jù)市場調(diào)查,每件商品售價(jià)x(單位:元)與銷量t(單位:萬件)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,又知供貨價(jià)格與銷量成反比,比例系數(shù)為50.(注:每件產(chǎn)品利潤=售價(jià)-供貨價(jià)格)(1)求售價(jià)為20元時(shí)的銷量及此時(shí)的供貨價(jià)格;(2)當(dāng)售價(jià)為多少時(shí)總利潤最大,并求出最大利潤.解

(1)由題圖知每件商品的售價(jià)與銷量之間的函數(shù)關(guān)系為一次函數(shù),設(shè)t=kx+b,供貨價(jià)格為y元.當(dāng)售價(jià)為20元時(shí),銷量為t=-20+30=10(萬件).又供貨價(jià)格與銷量成反比,比例系數(shù)為50,規(guī)律方法1.一次函數(shù)模型的重要特征是均勻變化,且滿足條件的點(diǎn)在一條直線上,求解時(shí)可設(shè)一次函數(shù)模型為y=kx+b,利用待定系數(shù)法建立方程(組)求k,b.2.二次函數(shù)模型的解析式為g(x)=ax2+bx+c(a≠0).在函數(shù)建模中,它占有重要的地位.在根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)解析式后,可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法結(jié)合函數(shù)的定義域求最值.變式訓(xùn)練1甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對外出租,下面是兩公司經(jīng)理的一段對話:甲公司經(jīng)理:如果我公司每輛汽車月租費(fèi)3000元,那么50輛汽車可以全部租出.如果每輛汽車的月租費(fèi)每增加50元,那么將少租出1輛汽車.另外,公司為每輛租出的汽車支付月維護(hù)費(fèi)200元.乙公司經(jīng)理:我公司每輛汽車月租費(fèi)3500元,無論是否租出汽車,公司均需一次性支付月維護(hù)費(fèi)共計(jì)1850元.說明:①汽車數(shù)量為整數(shù);②月利潤=月租車費(fèi)-月維護(hù)費(fèi);③兩公司月利潤差=月利潤較高公司的利潤-月利潤較低公司的利潤.在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下,根據(jù)上述信息,當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為10輛時(shí),甲公司的月利潤是

元;當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為

輛時(shí),兩公司的月利潤相等.

4800037解析

由題意可得[(50-10)×50+3

000]×10-200×10=48

000元,所以當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為10輛時(shí),甲公司的月利潤是48

000元.設(shè)每個(gè)公司租出的汽車為x輛,設(shè)兩公司的月利潤分別為y甲,y乙,月利潤差為y元,則y甲=[(50-x)×50+3

000]x-200x,y乙=3

500x-1

850,由題意可得y甲=y乙,∴-50x2+5

300x=3

500x-1

850,解得x=37或x=-1(舍),∴當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為37輛時(shí),兩公司的月利潤相等.探究點(diǎn)二分段函數(shù)模型的應(yīng)用【例2】

某種商品在30天內(nèi)每件的銷售價(jià)格P(單位:元)與時(shí)間t(t∈N*)(單位:天)的函數(shù)關(guān)系用如圖的兩條線段表示,該商品在30天內(nèi)日銷售量Q(單位:件)與時(shí)間t(t∈N*)(單位:天)之間的關(guān)系如下表:t/天5102030Q/件35302010(1)根據(jù)提供的圖象(如圖),寫出該商品每件的銷售價(jià)格P與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式;(2)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),且已知Q與t之間為一次函數(shù)關(guān)系,寫出日銷售量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式;(3)求該商品日銷售金額y(單位:元)的最大值,并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天(日銷售金額=每件的銷售價(jià)格×日銷售量).(2)日銷售量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為Q=-t+40(0<t≤30,t∈N*).當(dāng)0<t<25,t=10時(shí),y取最大值900;當(dāng)25≤t≤30,t=25時(shí),y取最大值,此時(shí)y=(25-70)2-900=1

125.∴第25天時(shí),該商品日銷售金額的最大值為1

125元.規(guī)律方法1.分段函數(shù)主要是每一段的變化規(guī)律不全相同,可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問題,將各段的變化規(guī)律分別找出來,再將其合到一起,要注意各段自變量的取值范圍,特別是端點(diǎn)值.2.分段函數(shù)的最大值是各段最大值中最大的,分段函數(shù)的最小值是各段最小值中最小的.變式訓(xùn)練2某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召,因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn):某珍惜水果樹的單株產(chǎn)量W(單位:千克)與施用肥料x(單位:千克)滿足如下關(guān)系:W(x)=肥料成本投入為10x元,其他成本投入(如培育管理、施肥等人工費(fèi))為20x元.已知這種水果的市場售價(jià)大約為15元/千克,且銷售暢通供不應(yīng)求,記該水果樹的單株利潤為f(x)(單位:元).(1)寫單株利潤f(x)關(guān)于施用肥料x的關(guān)系式;(2)當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí),該水果單株利潤最大?最大利潤是多少?解

(1)依題意f(x)=15W(x)-10x-20x,∵465<480,∴當(dāng)x=4時(shí),f(x)max=480.∴當(dāng)施用肥料為4千克時(shí),種植該果樹單株獲得的最大利潤是480元.探究點(diǎn)三冪函數(shù)模型的應(yīng)用【例3】

為了給消費(fèi)者帶來放心的蔬菜,某農(nóng)村合作社每年投入資金200萬元,搭建甲、乙兩個(gè)無公害蔬菜大棚,每個(gè)大棚至少要投入資金20萬元,其中甲大棚種西紅柿,乙大棚種黃瓜.根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P(單位:萬元)、種黃瓜的年收入Q(單位:萬元)與各自的資金投入a1,a2(單位:萬元)滿足P=80+4,Q=a2+120.設(shè)甲大棚的資金投入為x(單位:萬元),每年兩個(gè)大棚的總收入為f(x)(單位:萬元).(1)求f(50)的值;(2)試問如何安排甲、乙兩個(gè)大棚的資金投入,才能使總收入f(x)最大.解

(1)當(dāng)甲大棚的資金投入為50萬元時(shí),乙大棚資金投入為150萬元,變式訓(xùn)練3某民營企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資的函數(shù)模型為y=k1x,B產(chǎn)品的利潤與投資的函數(shù)模型為y=k2xα(利潤和投資的單位為百萬元),其關(guān)系分別如圖①,圖②所示.(1)分別求出A,B兩種產(chǎn)品的利潤與投資的函數(shù)關(guān)系式.(2)該企業(yè)已籌集到資金1千萬元,并準(zhǔn)備全部投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)中,問怎樣分配這1千萬元,才能使企業(yè)獲得最大利潤,其最大利潤為多少?(精確到萬元)(2)設(shè)投資B產(chǎn)品x百萬元,則投資A產(chǎn)品(10-x)百萬元,故當(dāng)投資A產(chǎn)品844萬元,投資B產(chǎn)品156萬元時(shí),總利潤最大,最大值約為578萬元.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1.一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關(guān)于時(shí)間t變化的圖象如圖所示,那么圖象所對應(yīng)的函數(shù)模型是(

)A.一次函數(shù)模型 B.二次函數(shù)模型C.分段函數(shù)模型 D.無法確定C解析

由s與t的圖象,可知t分4段,則函數(shù)模型為分段函數(shù)模型.

2.網(wǎng)上購鞋常?？吹较旅孢@樣一張表,第一行可以理解為腳的長度,第二行是我們習(xí)慣稱呼的“鞋號”.習(xí)慣稱為“30號”的童鞋,對應(yīng)的腳實(shí)際尺寸為(

)A.150mm B.200mm C.180mm D.210mm中國鞋碼實(shí)際標(biāo)準(zhǔn)(mm)220225230235240245250255260265中國鞋碼習(xí)慣叫法(號)34353637383940414243B解析

設(shè)腳的長度為y

mm,對應(yīng)的鞋碼為x碼,則由表可得y與x的關(guān)系式為y=5x+50,當(dāng)x=30時(shí),y=5×30+50=200.故選B.

3.生產(chǎn)一定數(shù)量商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本,某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)的生產(chǎn)成本為

x2+2x+20萬元,商品的售價(jià)是每件20元,為獲取最大利潤(利潤=收入-成本),該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為(

)A.9萬件 B.18萬件

C.22萬件 D.36萬件B解析

由題意可得,獲得最大利潤時(shí)的收入是20x萬元,

當(dāng)且僅當(dāng)x=18時(shí),取最大值,即為獲取最大利潤,該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)18萬件商品.4.在固定電壓差(電壓為常數(shù))的前提下,當(dāng)電流通過圓柱形的電線時(shí),其電流強(qiáng)度I(單位:安)與電線半徑r(單位:毫米)的三次方成正比.若已知電流通過半徑為4毫米的電線時(shí),電流強(qiáng)度為320安,則電流通過半徑為3毫米的電線時(shí),電流強(qiáng)度為(

)A.60安

B.240安

C