六年級數(shù)學(xué)下第5單元數(shù)學(xué)廣角-鴿巢問題第1課時鴿巢問題1教案新人教版

“鴿巢原理”最早是由19世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出并被運(yùn)用于解決數(shù)學(xué)問題，所以又稱“狄利克雷原理”，也稱之為“抽屜原理”?！傍澇苍怼睂?shí)際上是一種解決某種特定結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)或生活問題的模型，是一種數(shù)學(xué)的思想方法。本單元的三道例題，有著各自不同的作用。例1描述的是“抽屜原理”的最簡單情況。通過本例的教學(xué)，使學(xué)生感知這類問題的基本結(jié)構(gòu)，掌握兩種思考的方法——枚舉和假設(shè)，理解問題中關(guān)鍵詞語“總有”“至少”的含義，形成對“抽屜原理”的初步認(rèn)識。例2描述了“抽屜原理”更為一般的形式，提升學(xué)生對“抽屜原理”的理解水平。例2即是“把多于kn個元素放入n個集合，總有一個集合里至少有（k+1）個元素”。若k為1，就是例1的情況了，可見例1只是例2的一個特例。例3是“抽屜原理”的具體運(yùn)用，是一個運(yùn)用逆向思維來解決問題的例子。例3是在學(xué)生通過例1和例2的學(xué)習(xí)，對“抽屜”“物體”及其相互之間關(guān)系有一定的認(rèn)識后，依托這一數(shù)學(xué)模型來分析和解決相關(guān)的實(shí)際問題。教科書以學(xué)生熟悉的或者感興趣的材料作為學(xué)習(xí)素材，緩解學(xué)習(xí)難度帶來的壓力，并以直觀素材和實(shí)踐操作作為基礎(chǔ)，幫助學(xué)生積累對“抽屜原理”的感性認(rèn)識，逐步提升思維。教科書例題（習(xí)題）的編排也非常關(guān)注細(xì)節(jié)，充分考慮學(xué)生學(xué)習(xí)的重、難點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生抓住關(guān)鍵，建立模型?！俺閷显怼笔且活愝^為抽象和艱澀的數(shù)學(xué)問題，對全體學(xué)生而言都具有一定的挑戰(zhàn)性。當(dāng)學(xué)生的思維能力比較弱時，學(xué)習(xí)中面臨的壓力會更大?！俺閷显怼敝噪y，一是難在模型的建立上，二是難在它的應(yīng)用。其實(shí)“鴿巢問題”的理論本身并不復(fù)雜,甚至可以說是顯而易見的，學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中已有一定的感性經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)時可以充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，放手讓學(xué)生自主思考，使學(xué)生逐步學(xué)會運(yùn)用一般性的數(shù)學(xué)方法來思考問題。同時，“鴿巢問題”具有“模型化”特征，在教學(xué)中還應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生“模型”思想，從現(xiàn)實(shí)素材中找出最本質(zhì)的特征，將具體問題“數(shù)學(xué)化”。1.在直觀操作中理解“抽屜原理”的有關(guān)概念，初步了解“抽屜原理”的結(jié)構(gòu)特征。教學(xué)時要借助教具，讓學(xué)生在親身經(jīng)歷（看到、摸到）的基礎(chǔ)上，深刻感知分的過程和分的結(jié)果，積累對“抽屜原理”的感性認(rèn)識。這既可分解學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，又可使學(xué)生充分地理解“總有”“至少”等特定術(shù)語的含義，清晰地建立“待分物品”和“抽屜”之間的關(guān)系。2.讓學(xué)生初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過程。在數(shù)學(xué)上，一般是用反證法對“抽屜原理”進(jìn)行嚴(yán)格證明的。在小學(xué)階段，雖然并不需要學(xué)生對涉及“抽屜原理”的相關(guān)現(xiàn)象給出嚴(yán)格的、形式化的證明，但仍可引導(dǎo)學(xué)生用直觀的方式對某一具體現(xiàn)象進(jìn)行“就事論事”式的解釋。在教學(xué)的過程中教師可以鼓勵學(xué)生借助學(xué)具、實(shí)物操作或畫草圖的方式進(jìn)行“說理”。實(shí)際上，通過“說理”的方式來理解“抽屜原理”的過程就是一種數(shù)學(xué)證明的雛形。通過這樣的方式，有助于逐步提高學(xué)生的邏輯思維能力，為以后學(xué)習(xí)較為嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明作準(zhǔn)備。3.要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的“模型思想”?！俺閷蠁栴}”的變式很多，應(yīng)用更具靈活性。當(dāng)我們面對一個具體的問題時，要引導(dǎo)學(xué)生先判斷某個問題是否屬于用“抽屜原理”可以解決的范疇，如果可以，就要找出該問題中什么是“待分的東西”，什么是“抽屜”，思考如何尋找隱藏在其背后的“抽屜問題”的一般化模型。這個過程，實(shí)際上是學(xué)生經(jīng)歷將具體問題“數(shù)學(xué)化”的過程，是從復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)素材中尋找本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型的過程。這樣的過程，可有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，尤其是可增強(qiáng)學(xué)生對“模型思想”的體驗(yàn)，增強(qiáng)運(yùn)用能力。第1課時鴿巢問題（1）教學(xué)內(nèi)容教科書P68例1，完成教科書P71“練習(xí)十三”中第1題。教學(xué)目標(biāo)1.理解“鴿巢原理”（“抽屜原理”）的基本形式，并能初步運(yùn)用“抽屜原理”解決相關(guān)的實(shí)際問題或解釋相關(guān)的現(xiàn)象。2.通過操作、觀察、比較、說理等數(shù)學(xué)活動，經(jīng)歷“抽屜原理”教學(xué)筆記的形成過程，體會和掌握邏輯推理思想和模型思想。3.體會數(shù)學(xué)知識在日常生活中的廣泛應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究意識。教學(xué)重點(diǎn)經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，理解“總有”和“至少”的含義，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解釋生活中的簡單問題。教學(xué)難點(diǎn)理解“抽屜原理”，建立基本的模型。教學(xué)準(zhǔn)備課件。教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)身邊的問題情境，揭示課題師：同學(xué)們，一年有幾個季節(jié)？【學(xué)情預(yù)設(shè)】一年有4個季節(jié)。師：我們班每個小組有6名同學(xué)，老師有一個大膽的猜測：一個小組中總有一個季節(jié)里至少有2人過生日，你知道這句話的意思嗎？“總有”和“至少”表示什么意思？【學(xué)情預(yù)設(shè)】預(yù)設(shè)1：一定有一個季節(jié)里至少有2人出生。（教師追問：至少2人是什么意思呢？）預(yù)設(shè)2：最少2人，可能有3人、4人、5人、6人。師：那老師的猜測對不對呢？請各小組現(xiàn)場統(tǒng)計(jì)一下?！緦W(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生現(xiàn)場統(tǒng)計(jì)后，得到的結(jié)論都是一個小組中總有一個季節(jié)（春、夏、秋、冬）里至少有2人過生日。師：老師為什么猜得這么準(zhǔn)呢？這里面藏著我們今天要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，下面就讓我們到課堂上來揭曉這個秘密吧！二、經(jīng)歷過程，初步感知“鴿巢原理”模型1.呈現(xiàn)問題，引出探究。教學(xué)筆記【教學(xué)提示】調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，引發(fā)學(xué)生的思考，突破“總有”“至少”這兩個關(guān)鍵詞的理解。課件出示教科書P68例1。師：誰來解釋“總有”“至少”這兩個詞的意思？【學(xué)情預(yù)設(shè)】預(yù)設(shè)1：就是一定有1個筆筒里最少放2支鉛筆。預(yù)設(shè)2：至少放2支鉛筆就是2支或2支以上。師：這幾個同學(xué)解釋得對嗎？有什么辦法來證明呢？請你用自己喜歡的方式來表達(dá)想法。（學(xué)生擺一擺、畫一畫、寫一寫。）2.用枚舉法研究問題?！緦W(xué)情預(yù)設(shè)】預(yù)設(shè)1：我是用畫一畫的方法來證明：預(yù)設(shè)2：我用擺一擺的方法來證明：預(yù)設(shè)3：我寫出了8種放法：（4，0，0）、（0，4，0）、（3，1，0）、（0，1，3）、（2，2，0）、（2，1，1）、（2，0，2）、（1，2，1）。預(yù)設(shè)4：我寫出了4種放法：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。3.匯報交流。師：有的同學(xué)用畫一畫、擺一擺、寫一寫的方法來證明把4教學(xué)筆記【教學(xué)提示】教學(xué)這個環(huán)節(jié)時，應(yīng)放手讓學(xué)生自主探索，對于學(xué)生可能出現(xiàn)的實(shí)物模擬、圖示、數(shù)的分解等分析方法，只要是合理的，都要予以鼓勵。支鉛筆放進(jìn)3個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少放2支鉛筆這個結(jié)論。你有什么想法呢？【學(xué)情預(yù)設(shè)】預(yù)設(shè)1：第一個同學(xué)只畫了一種放法，一種情況太少了。預(yù)設(shè)2：我認(rèn)為題目中說“不管怎么放”，（4，0，0）和（0，4，0）可以看作是一種放法，（3，1，0）和（0，1，3）也可以看作是一種放法，還有（2，2，0）和（2，0，2）可以看作是一種放法，（2，1，1）和（1，2，1）可以看作是一種放法。預(yù)設(shè)3：我覺得第2個同學(xué)和第4個同學(xué)找到了所有的放法。師：在放的時候怎樣才能做到不重復(fù)、不遺漏？（有序地放，教師演示課件。）根據(jù)學(xué)生的回答，教師板書4種不同的放法：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。4.引導(dǎo)觀察，初步感知模型。師：看來，4支鉛筆放進(jìn)3個筆筒里，一共有4種放法。請你觀察這4種放法，是不是不管怎么放，總有一個筆筒里至少放2支鉛筆呢？【學(xué)情預(yù)設(shè)】引導(dǎo)學(xué)生觀察這4種不同的放法，發(fā)現(xiàn)每一種放法中最多的那一個筆筒里最少都有2支鉛筆。師小結(jié)：每種放法中，放得最多的這個筆筒里最少放了2支鉛筆。最少2支，有的超過了2支，我們就說“至少”2支。因此“把4支鉛筆放進(jìn)3個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆”這句話是正確的?！驹O(shè)計(jì)意圖】“總有”“至少”這兩個關(guān)鍵詞，學(xué)生總是很難理解，所以學(xué)習(xí)第一個例題時，先出示結(jié)論，給學(xué)生一個思維導(dǎo)向。然后借助擺一擺、畫一畫、寫一寫、說一說這些辦法，分析、交流，使學(xué)生真正理解——不管怎么放，總有一個筆筒里至少放了2支鉛筆，初步建立模型。三、提升思維，構(gòu)建“鴿巢原理”模型教學(xué)筆記1.課件出示習(xí)題。師：剛才我們通過不同的方法驗(yàn)證了“把4支鉛筆放進(jìn)3個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆”這句話是正確的。請你借助剛才的經(jīng)驗(yàn)猜一猜，把5支鉛筆放進(jìn)4個盒子，總有一個盒子至少要放進(jìn)幾支鉛筆?！緦W(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生會說出總有一個盒子至少要放進(jìn)2支鉛筆。師：猜測正確嗎？請大家驗(yàn)證一下。2.學(xué)生用自己的方式（擺一擺、畫一畫、寫一寫）來驗(yàn)證。【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生可能得出6種放法：（5，0，0,0）、（4，1，0,0）、（3,2,0,0）、（3,1,1,0）、（2,2,1,0）、（2,1,1,1）。教師根據(jù)學(xué)生發(fā)言板書。師：仔細(xì)觀察，如果老師說“總有一個盒子里至少要放進(jìn)3支鉛筆”，你同意嗎？【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生會說出每一種擺法中最多的那一個盒子里最少放了2支鉛筆，所以應(yīng)該是總有一個盒子里至少要放進(jìn)2支鉛筆。3.用假設(shè)法探究問題。師：經(jīng)過大家的證明，我們發(fā)現(xiàn)把5支鉛筆放進(jìn)4個盒子，總有一個盒子至少要放進(jìn)2支鉛筆。現(xiàn)在我們回頭看，剛才研究了把4支鉛筆放進(jìn)3個筆筒里，不管怎么放，總有一個筆筒里至少放2支鉛筆的問題，這兩個問題都采用了一一枚舉的方法來研究，枚舉法是研究問題的一種基本方法。那么100支鉛筆放進(jìn)99個盒子，總有一個盒子至少要放進(jìn)多少支鉛筆呢？如果還用枚舉法來研究，你有什么想法？我們能不能找到一種更為直接的方法，只擺一種情況，也能得到這個結(jié)論呢?引導(dǎo)學(xué)生觀察黑板上板書的枚舉法，提出問題：觀察哪種方法最能說明，總有一個盒子里至少放了2支鉛筆呢？【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生會發(fā)現(xiàn)（2,1,1）和（2,1,1,1）這兩種放法，教學(xué)筆記【教學(xué)提示】放手讓學(xué)生驗(yàn)證時，也要注意指導(dǎo)學(xué)生有序思考。教師進(jìn)一步追問：這種分法,實(shí)際就是先怎么分的，引導(dǎo)學(xué)生說出“平均分”。師：為什么要先平均分?【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生會說出：先平均分,余下1支，不管放在哪個盒子里，一定會出現(xiàn)“總有一個盒子里至少有2支”。師：你能用算式來表示這一過程嗎？【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生會說出：4÷3=1……1，1+1=2；5÷4=1……1，1+1=2；教師追問：算式中的兩個1表示的意思相同嗎？引導(dǎo)學(xué)生說出第一個“1”表示每個盒子里放1支，第二個“1”表示平均分后剩下的一支。教師根據(jù)學(xué)生發(fā)言板書。師小結(jié)：在研究剛才的兩個問題時，我們先是用枚舉法把所有的放法都列舉出來，發(fā)現(xiàn)總有一個盒子里至少放的鉛筆支數(shù)；枚舉的放法雖然很直觀，但數(shù)據(jù)大了就不方便，由此我們又從所有的放法中找到了最簡便的一種，假設(shè)每個盒子里都放一個，剩下的一個再任意放進(jìn)其中的一個盒子中，這樣就能很快地找到至少數(shù)，這種方法叫做假設(shè)法，它蘊(yùn)含了平均分的思想。最后我們用算式簡明地表示出了平均分的過程。［教師板書：枚舉法假設(shè)法（平均分）算式］【設(shè)計(jì)意圖】枚舉法是一種很直觀的研究問題的方法，但是當(dāng)數(shù)據(jù)較大時，再用枚舉法就會顯得麻煩，因此教師引導(dǎo)學(xué)生觀察各種分法，提出核心問題：“哪種方法最能說明，總有一個盒子里至少放了2支鉛筆呢？”讓學(xué)生體會平均分的思想，繼而用算式來表示解決問題的過程。經(jīng)歷了從具體到抽象的過程，逐步建立模型，培養(yǎng)了學(xué)生的符號意識。4.類推與歸納。課件出示表格。教學(xué)筆記師：同學(xué)們請任意選擇一組數(shù)據(jù)畫一畫或算一算，你有什么發(fā)現(xiàn)？【學(xué)情預(yù)設(shè)】引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：只要鉛筆的數(shù)量比盒子的數(shù)量多1，那么總有一個盒子里至少要放進(jìn)2支鉛筆。如果將（n+1）支鉛筆放入n個盒子（n是非0自然數(shù)），總有一個盒子里至少放進(jìn)了2支鉛筆?！驹O(shè)計(jì)意圖】在經(jīng)歷了枚舉法、假設(shè)法后，在不斷改變數(shù)據(jù)（鉛筆數(shù)比盒子數(shù)多1）的探究中，引導(dǎo)學(xué)生歸納得出一般性結(jié)論，構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型。四、運(yùn)用模型，解釋應(yīng)用1.知識鏈接。師：今天我們學(xué)習(xí)的知識就是“鴿巢問題”，“鴿巢原理”也叫“抽屜原理”?？吹竭@個課題，你有什么疑問嗎？［板書課題：鴿巢問題（1）］【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生可能會問“鴿巢”是什么意思？也沒有發(fā)現(xiàn)有“抽屜”。讓學(xué)生自學(xué)教科書P70“你知道嗎？”，然后進(jìn)行交流。師：把10個蘋果放進(jìn)9個抽屜，總有一個抽屜里至少放了2個蘋果，叫“抽屜原理”；6只鴿子飛進(jìn)5個鴿巢，總有一個鴿巢至少飛進(jìn)2只鴿子，叫“鴿巢原理”；把5支鉛筆放進(jìn)4個盒子，總有一個盒子里至少放了2支鉛筆，可以叫“盒子原理”；把8個面包放進(jìn)7個袋子，總有一個袋子里至少放了2個面包，可以叫什么呢？（袋子原理）教學(xué)筆記【教學(xué)提示】讓學(xué)生充分表達(dá)自己的想法，表述時注意語言的完整性。2.運(yùn)用“鴿巢原理”解釋生活中的現(xiàn)象。師：其實(shí)“鴿巢原理”“抽屜原理”在生活中隨處可見，它其實(shí)就是解決這一類問題的一種方法，一個模型。在解決問題時，弄清楚什么是“待分的物體”，什么是“抽屜”?，F(xiàn)在你能解釋課前我們留下的問題嗎？我們班每個小組有6名同學(xué)，總有一個季節(jié)里至少有2人過生日，這里藏著什么秘密呢？【學(xué)情預(yù)設(shè)】把6名同學(xué)看成“待分的物體”，4個季節(jié)看成“抽屜”，6÷4=1……2，1+1=2，所以總有一個季節(jié)里至少有2人過生日。（教師可以追問：為什么不是總有一個季節(jié)里至少有3人過生日？學(xué)生可以用假設(shè)法來解釋。）【設(shè)計(jì)意圖】模型思想的培養(yǎng)需要經(jīng)歷構(gòu)建的過程，在學(xué)生理解了抽屜原理后，通過介紹“鴿巢原理”“抽屜原理”的小知識，引導(dǎo)學(xué)生理解“盒子原理”“袋子原理”……讓學(xué)生體會它其實(shí)就是解決這一類問題的一種方法，一個模型，發(fā)展抽象能力、推理能力和應(yīng)用能力。3.課件出示撲克牌問題。師：你能運(yùn)用今天所學(xué)的知識進(jìn)行解釋嗎？【學(xué)情預(yù)設(shè)】引導(dǎo)學(xué)生說出：一副撲克牌共54張，去掉兩張王牌，剩下方塊、紅桃、梅花、黑桃四種花色各13張。我們把4種花色看成“4