2024年全國一卷數(shù)學(xué)新高考題型細分S13圓錐曲線解答題10

2024年全國一卷新高考題型細分S13——圓錐曲線大題10試卷主要是2024年全國一卷新高考地區(qū)真題、模擬題，合計202套。其中全國高考真題4套，廣東47套，山東22套，江蘇18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。題目設(shè)置有尾注答案，復(fù)制題干的時候，答案也會被復(fù)制過去，顯示在文檔的后面，雙擊尾注編號可以查看。方便老師備課選題。題型純粹按照個人經(jīng)驗進行分類，沒有固定的標(biāo)準(zhǔn)?！秷A錐曲線——大題》題目主要按長短順序排版，具體有：短，中，長，涉后導(dǎo)數(shù)等，大概206道題。每道題目后面標(biāo)注有類型和難度，方便老師備課選題。長1：（2024年閩J21三明檢測）19．已知平面直角坐標(biāo)系中，有真命題：函數(shù)的圖象是雙曲線，其漸近線分別為直線和y軸．例如雙曲線的漸近線分別為x軸和y軸，可將其圖象繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到雙曲線的圖象．

(1)求雙曲線的離心率；（19．(1)(2)是定值(3)【分析】（1）設(shè)雙曲線的實軸長為，虛軸長為，由雙曲線的兩條漸近線為x軸和y軸得出，根據(jù)離心率公式計算即可；（2）不妨設(shè)是雙曲線在第一象限的點，則，，，，得出過點的切線方程，與兩漸近線方程聯(lián)立，得出點得坐標(biāo)，由即可得出；（3）由題意將函數(shù)，，點，，，繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，得到雙曲線，，，再得出直線與的交點為，結(jié)合韋達定理及對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求出面積的最小值．【詳解】（1）設(shè)雙曲線的實軸長為，虛軸長為，因為雙曲線的兩條漸近線為x軸和y軸，所以兩漸近線之間的夾角為，所以，所以．（2）不妨設(shè)是雙曲線在第一象限的點，則19．(1)(2)是定值(3)【分析】（1）設(shè)雙曲線的實軸長為，虛軸長為，由雙曲線的兩條漸近線為x軸和y軸得出，根據(jù)離心率公式計算即可；（2）不妨設(shè)是雙曲線在第一象限的點，則，，，，得出過點的切線方程，與兩漸近線方程聯(lián)立，得出點得坐標(biāo)，由即可得出；（3）由題意將函數(shù)，，點，，，繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，得到雙曲線，，，再得出直線與的交點為，結(jié)合韋達定理及對勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求出面積的最小值．【詳解】（1）設(shè)雙曲線的實軸長為，虛軸長為，因為雙曲線的兩條漸近線為x軸和y軸，所以兩漸近線之間的夾角為，所以，所以．（2）不妨設(shè)是雙曲線在第一象限的點，則，，，，則過點的切線方程為：，即，與雙曲線漸近線聯(lián)立，即，，解得或，設(shè)，則,，因為，所以，所以面積是定值2．

（3）由的圖象是雙曲線，漸近線為軸與直線，則兩漸近線的夾角為，故，兩漸近線夾角的平分線所在直線方程為，聯(lián)立得，或，則雙曲線的，所以，則將圖象繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到雙曲線的圖象，直線與軸夾角為，故直線的圖象繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到直線，同理可得點，繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得到，且點為右支上的點，設(shè)，則，由題知，過的直線斜率不為0，設(shè)該直線方程，因為點為右支上的點，所以且，所以，由得，，，，則，即，因為由圖象知直線的斜率存在，所以，故直線的方程為：，令，，由得，，所以直線過定點，同理可得直線也過定點，所以直線與的交點為，則，令，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，，則，即所以，故面積的最小值為．

【點睛】方法點睛：當(dāng)三角形三個頂點均為動點時，求面積比較困難，此時可以將其中一個或兩個點轉(zhuǎn)化為定點（或證明為頂點），再研究三角形面積的最值．（2024年蘇J06三市調(diào)研）18.已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左，右頂點和坐標(biāo)原點，點為橢圓上異于的一動點，面積的最大值為.

（1）求的方程；

（2）過橢圓的右焦點的直線與交于兩點，記的面積為，過線段的中點作直線的垂線，垂足為，設(shè)直線的斜率分別為.

①求的取值范圍；（【答案】（1）（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率以及面積的最大值，構(gòu)造方程解方程可得的方程為；（2）①聯(lián)立橢圓與直線方程得出的面積的表達式，利用對勾函數(shù)單調(diào)性即可求得的取值范圍為；②利用中點坐標(biāo)公式求得，得出斜率表達式即可得，可得為定值.【小問1詳解】由題意知，解得，所以的方程為；【小問2詳解】①易知，【答案】（1）（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率以及面積的最大值，構(gòu)造方程解方程可得的方程為；（2）①聯(lián)立橢圓與直線方程得出的面積的表達式，利用對勾函數(shù)單調(diào)性即可求得的取值范圍為；②利用中點坐標(biāo)公式求得，得出斜率表達式即可得，可得為定值.【小問1詳解】由題意知，解得，所以的方程為；【小問2詳解】①易知，設(shè)直線方程為，如下圖所示：聯(lián)立，消去可得，所以，且，可得，令，可得，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得在時單調(diào)遞增；所以可得；即的取值范圍為.②易知，可得；所以；因此為定值.（2024年魯J05日照一模）19.已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為經(jīng)過點且傾斜角為的直線l與橢圓交于A，B兩點（其中點A在x軸上方），且的周長為8．將平面沿x軸向上折疊，使二面角為直二面角，如圖所示，折疊后A，B在新圖形中對應(yīng)點記為，．

（1）當(dāng)時，

①求證：；

②求平面和平面所成角的余弦值；（【答案】（1）①證明過程見解析；②（2），理由見解析【解析】【分析】（1）①根據(jù)橢圓定義得到，結(jié)合離心率得到，求出，得到橢圓方程，聯(lián)立直線方程和橢圓，得到，得到⊥，結(jié)合二面角為直二面角，得到線面垂直，證明出結(jié)論；②建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，從而求出面面角的余弦值；（2）設(shè)折疊前，折疊后對應(yīng)的，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)折疊前后的周長關(guān)系得到，變形得到，代入兩根之和，兩根之積，求出，進而求出的值.【小問1詳解】①由橢圓定義可知，【答案】（1）①證明過程見解析；②（2），理由見解析【解析】【分析】（1）①根據(jù)橢圓定義得到，結(jié)合離心率得到，求出，得到橢圓方程，聯(lián)立直線方程和橢圓，得到，得到⊥，結(jié)合二面角為直二面角，得到線面垂直，證明出結(jié)論；②建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，從而求出面面角的余弦值；（2）設(shè)折疊前，折疊后對應(yīng)的，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)折疊前后的周長關(guān)系得到，變形得到，代入兩根之和，兩根之積，求出，進而求出的值.【小問1詳解】①由橢圓定義可知，所以的周長，所以，因為離心率為，故，解得，則，由題意，橢圓的焦點在軸上，所以橢圓方程為，直線，即，聯(lián)立得，解得或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為點A在x軸上方，所以，故⊥，折疊后有⊥，因為二面角為直二面角，即平面⊥，交線為，平面，所以⊥平面，因為平面，所以⊥；②以為坐標(biāo)原點，折疊后的軸負半軸為軸，原軸為軸，原軸正半軸為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，其中平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令得，故，設(shè)平面與平面的夾角為，則，故平面與平面的夾角的余弦值為；【小問2詳解】設(shè)折疊前，折疊后對應(yīng)的，設(shè)直線方程為，將直線與橢圓方程聯(lián)立得，，則，在折疊前可知，折疊后，在空間直角坐標(biāo)系中，，，由，，故，所以①，分子有理化得，所以②，由①②得，因為，故，即，將代入上式得，兩邊平方后，整理得，即，解得，因為，所以.【點睛】出題非常新穎，將立體幾何和解析幾何結(jié)合，考查學(xué)生的綜合能力，在解決圖形的翻折問題時，應(yīng)找出其中變化的量和沒有變化的量，包括位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，通常翻折后還在同一平面上的元素之間的位置關(guān)系不發(fā)生變化，不在同一平面上的元素之間的位置關(guān)系發(fā)生變化，解題時應(yīng)抓住不變量，利用平面幾何知識或建立空間直角坐標(biāo)系進行求解.（2024年魯J04青島一適）18.已知O為坐標(biāo)原點，點W為：和的公共點，，與直線相切，記動點M的軌跡為C．

（1）求C的方程；

（2）若，直線與C交于點A，B，直線與C交于點，，點A，在第一象限，記直線與的交點為G，直線與的交點為H，線段AB的中點為E．

①證明：G，E，H三點共線；（【答案】（1）（2）①證明見解析；②16【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題目條件列式化簡可得軌跡；（2）①設(shè)線段的中點為，利用向量證明G，E，F(xiàn)三點共線，同理H，E，F(xiàn)三點共線，進而可得結(jié)論；②將四邊形面積轉(zhuǎn)化為四邊形GAHB面積，將直線和拋物線聯(lián)立，利用韋達定理，求出直線和直線的方程，則可求出坐標(biāo)，然后利用面積公式求解最值即可.【小問1詳解】設(shè)，【答案】（1）（2）①證明見解析；②16【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題目條件列式化簡可得軌跡；（2）①設(shè)線段的中點為，利用向量證明G，E，F(xiàn)三點共線，同理H，E，F(xiàn)三點共線，進而可得結(jié)論；②將四邊形面積轉(zhuǎn)化為四邊形GAHB面積，將直線和拋物線聯(lián)立，利用韋達定理，求出直線和直線的方程，則可求出坐標(biāo)，然后利用面積公式求解最值即可.【小問1詳解】設(shè)，與直線的切點為N，則，所以化簡得，所以C的方程為：；【小問2詳解】①設(shè)線段的中點為，因為，所以可設(shè)，，又因為，所以G，E，F(xiàn)三點共線，同理，H，E，F(xiàn)三點共線，所以G，E，H三點共線．②設(shè)，，，，AB中點為E，中點為F，將代入得：，所以，，所以，同理，，（均在定直線上）因為，所以△EAT與△EAH面積相等，與△EBH面積相等；所以四邊形的面積等于四邊形GAHB的面積，設(shè)，，直線，即整理得：直線，又因為，所以，同理，直線，，所以所以所以四邊形GAHB面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時取等號，所以四邊形面積的最大值為16．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為四邊形GAHB的面積，還有充分利用第一問中的點共線求出的橫坐標(biāo)，可以給求面積帶來便利.（2024年魯J03臨沂一模）19.動圓與圓和圓都內(nèi)切，記動圓圓心的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線的方程為，則曲線上一點處的切線方程為：，試運用該性質(zhì)解決以下問題：點為直線上一點（不在軸上），過點作的兩條切線，切點分別為.

（i）證明：直線過定點；(【答案】（1）（2）（i）證明見解析，（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求解點的軌跡方程；（2）（i）根據(jù)題意中性質(zhì)求解出兩條切線方程，代入點坐標(biāo)后，得出直線的方程，從而得出定點坐標(biāo)；

（ii）聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，由韋達定理得出，進而求解出的定點坐標(biāo)，表示出，由基本不等式得出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)動圓的半徑為，由題意得圓和圓的半徑分別為，，因為與，都內(nèi)切，所以，，所以，又【答案】（1）（2）（i）證明見解析，（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求解點的軌跡方程；（2）（i）根據(jù)題意中性質(zhì)求解出兩條切線方程，代入點坐標(biāo)后，得出直線的方程，從而得出定點坐標(biāo)；

（ii）聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，由韋達定理得出，進而求解出的定點坐標(biāo)，表示出，由基本不等式得出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)動圓的半徑為，由題意得圓和圓的半徑分別為，，因為與，都內(nèi)切，所以，，所以，又，，故，所以點的軌跡是以，為焦點的橢圓，設(shè)的方程為：，則，，所以，故的方程為：.【小問2詳解】

（i）證明：設(shè)，，，由題意中的性質(zhì)可得，切線方程為，切線方程為，因為兩條切線都經(jīng)過點，所以，，故直線的方程為：，顯然當(dāng)時，，故直線經(jīng)過定點.

（ii）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，整理得，由韋達定理得，又，所以直線的方程為，令得，，所以直線經(jīng)過定點，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：(1)“特殊探路，一般證明”，即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；(3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.（2024年粵J44梅州二月檢）19.有一種曲線畫圖工具如圖1所示，是滑槽的中點，短桿可繞轉(zhuǎn)動，長桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽滑動，且.當(dāng)栓子在滑槽內(nèi)做往復(fù)運動時，帶動繞轉(zhuǎn)動，跟蹤動點的軌跡得到曲線，跟蹤動點的軌跡得到曲線，以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.

（1）分別求曲線和的方程；（【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由點的軌跡和圓的定義可確定曲線的方程；由待定系數(shù)法可知，設(shè)，結(jié)合已知，解出，代入圓方程可得曲線的方程.（2）由點到直線的距離公式求出到直線的距離，因為與相切，得到的關(guān)系，直線與聯(lián)立，結(jié)合韋達定理表示出，進而得到面積的代數(shù)式，再求出面積乘積的范圍即可.【小問1詳解】因為，所以的軌跡是以原點為圓心，半徑為1的圓，所以曲線的方程為；設(shè)，由題意可知，所以，由于不恒為零，所以，所以，又，代入可得，所以的方程為.【小問2詳解】易知，設(shè)，則點到直線【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由點的軌跡和圓的定義可確定曲線的方程；由待定系數(shù)法可知，設(shè)，結(jié)合已知，解出，代入圓方程可得曲線的方程.（2）由點到直線的距離公式求出到直線的距離，因為與相切，得到的關(guān)系，直線與聯(lián)立，結(jié)合韋達定理表示出，進而得到面積的代數(shù)式，再求出面積乘積的范圍即可.【小問1詳解】因為，所以的軌跡是以原點為圓心，半徑為1的圓，所以曲線的方程為；設(shè)，由題意可知，所以，由于不恒為零，所以，所以，又，代入可得，所以的方程為.【小問2詳解】易知，設(shè)，則點到直線的距離，點到直線的距離，因為與相切，所以，由，消去，得，，，所以，所以，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以的面積與的面積乘積的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）求點的軌跡方程一般用軌跡方程和定義或待定系數(shù)法；（2）圓錐曲線中求面積的最值通常用基本不等式求解，具體為：直曲聯(lián)立，用韋達定理表示出面積的表達式，注意表示式中只能含有一個未知數(shù)，然后再結(jié)合變量的范圍和基本不等式求最值，注意取等號的條件.（2024年粵J25深圳一調(diào)）19.已知動點與定點的距離和到定直線的距離的比為常數(shù)．其中，且，記點的軌跡為曲線．

（1）求的方程，并說明軌跡的形狀；（【答案】（1）答案見解析（2）①證明見解析；②存在；【解析】【分析】（1）設(shè)，由題意可得，結(jié)合橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解；（2）設(shè)點，其中且.（?。┯煽芍c共且，設(shè)：，聯(lián)立的方程，利用韋達定理表示，進而表示出，結(jié)合（1）化簡計算即可；由橢圓的定義，由得，，進而表示出，化簡計算即可；（ii）由（?。┛芍c共線，且，設(shè)：，聯(lián)立的方程，利用韋達定理表示，計算化簡可得，結(jié)合由內(nèi)切圓性質(zhì)計算即可求解.【小問1詳解】設(shè)點，由題意可知，即，經(jīng)化簡，得的方程為，當(dāng)時，曲線是焦點在軸上的橢圓；【答案】（1）答案見解析（2）①證明見解析；②存在；【解析】【分析】（1）設(shè)，由題意可得，結(jié)合橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解；（2）設(shè)點，其中且.（?。┯煽芍c共且，設(shè)：，聯(lián)立的方程，利用韋達定理表示，進而表示出，結(jié)合（1）化簡計算即可；由橢圓的定義，由得，，進而表示出，化簡計算即可；（ii）由（?。┛芍c共線，且，設(shè)：，聯(lián)立的方程，利用韋達定理表示，計算化簡可得，結(jié)合由內(nèi)切圓性質(zhì)計算即可求解.【小問1詳解】設(shè)點，由題意可知，即，經(jīng)化簡，得的方程為，當(dāng)時，曲線是焦點在軸上的橢圓；當(dāng)時，曲線是焦點在軸上的雙曲線．【小問2詳解】設(shè)點，其中且，（?。┯桑?）可知的方程為，因為，所以，因此，三點共線，且，（法一）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，得，則，由（1）可知，所以，所以為定值1；（法二）設(shè)，則有，解得，同理由，解得，所以，所以為定值1；由橢圓定義，得，，解得，同理可得，所以．因為，所以的周長為定值．（ⅱ）當(dāng)時，曲線的方程為，軌跡為雙曲線，根據(jù)（ⅰ）的證明，同理可得三點共線，且，（法一）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，得，，（*）因為，所以，將（*）代入上式，化簡得，（法二）設(shè)，依條件有，解得，同理由，解得，所以．由雙曲線的定義，得，根據(jù)，解得，同理根據(jù)，解得，所以，由內(nèi)切圓性質(zhì)可知，，當(dāng)時，（常數(shù)）．因此，存在常數(shù)使得恒成立，且．【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．（2024年冀J01某市一模）19.已知橢圓：（，）的左、右焦點分別為、，離心率為，經(jīng)過點且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點（其中點在軸上方），的周長為8．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負半軸和軸所確定的半平面（平面）互相垂直．

①若，求異面直線和所成角的余弦值；（【答案】（1）；（2）①；②存在；．【解析】【分析】（1）由的周長可求出的值，從而由離心率的值可求得，進而由橢圓中的關(guān)系求出的值，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）①直線l的方程為，與橢圓方程聯(lián)立求出點的坐標(biāo)，再建立空間直角坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，從而可得，再利用空間向量的夾角公式即可求解.②由8，可得，設(shè)折疊前，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理代入上式化簡整理即可求出的值，從而可得直線l的斜率，進而可得tan的值.【詳解】解：（1【答案】（1）；（2）①；②存在；．【解析】【分析】（1）由的周長可求出的值，從而由離心率的值可求得，進而由橢圓中的關(guān)系求出的值，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）①直線l的方程為，與橢圓方程聯(lián)立求出點的坐標(biāo)，再建立空間直角坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，從而可得，再利用空間向量的夾角公式即可求解.②由8，可得，設(shè)折疊前，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理代入上式化簡整理即可求出的值，從而可得直線l的斜率，進而可得tan的值.【詳解】解：（1）由橢圓的定義知：，所以的周長，所以，又橢圓離心率為，所以，所以，，由題意，橢圓的焦點在軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①由直線：與，聯(lián)立求得，（因為點在軸上方）以及，再以為坐標(biāo)原點，折疊后原軸負半軸，原軸，原軸正半軸所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．記異面直線和所成角為，則；②設(shè)折疊前，，折疊后，在新圖形中對應(yīng)點記為，，，，由，，故，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得，，，在折疊后的圖形中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（原軸仍然為軸，原軸正半軸為軸，原軸負半軸為軸）；，，所以，（i）又，所以，（ii）由（i）（ii）可得，因為，所以，即，所以，解得，因為，所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)折疊前、后三角形周長的變化，得到，進而根據(jù)兩點間的距離公式及韋達定理進行求解.（2024年浙J02嘉興一中一模，冀J04石家莊二中一模）21.已知為雙曲

線上異于左、右頂點的一個動點，雙曲線的左、右焦點分別為，且．當(dāng)時，的最小內(nèi)角為．

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）連接，交雙曲線于另一點，連接，交雙曲線于另一點，若．

①求證：為定值；（【答案】（1）（2）①證明見解析；②或．【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線定義得出，由題意可知，，根據(jù)余弦定理計算可得，再根據(jù)雙曲線的關(guān)系計算即可；（2）①設(shè)，，，由，，將代入雙曲線聯(lián)立方程求解即可，②由①可知【答案】（1）（2）①證明見解析；②或．【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線定義得出，由題意可知，，根據(jù)余弦定理計算可得，再根據(jù)雙曲線的關(guān)系計算即可；（2）①設(shè)，，，由，，將代入雙曲線聯(lián)立方程求解即可，②由①可知，根據(jù)題意建立等式求解即可求解.【小問1詳解】由雙曲線的定義知，，由題意可得，，在中，由余弦定理知，解得，因為，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】①設(shè)，，，，由，即，所以同理，由，得，將的坐標(biāo)代入曲線得，，將的坐標(biāo)代入曲線得，，所以為定值；②由①知，，，因為點在雙曲線上，所以或，即或．【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出A，B兩點坐標(biāo)，代入雙曲線中得到與的關(guān)系.（2024年冀J35部分中學(xué)評估）19．已知橢圓C的中心在原點O、對稱軸為坐標(biāo)軸，、是橢圓上兩點．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（19．(1)

(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法，設(shè)橢圓C的方程為，帶入點運算即可；（2）（i）設(shè)直線和相關(guān)點，結(jié)合橢圓方程分析可知，結(jié)合基本不等式運算求解；（ii）聯(lián)立方程，根據(jù)三點共線結(jié)合韋達定理可得，聯(lián)立直線方程運算求解即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓C的方程為，將A、B代入得，解得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意得，，設(shè)直線MN的方程為，，，，則．

（i）由題意可得：，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，（或，）時等號成立．

（ii）聯(lián)立方程，消去x得，由19．(1)

(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法，設(shè)橢圓C的方程為，帶入點運算即可；（2）（i）設(shè)直線和相關(guān)點，結(jié)合橢圓方程分析可知，結(jié)合基本不等式運算求解；（ii）聯(lián)立方程，根據(jù)三點共線結(jié)合韋達定理可得，聯(lián)立直線方程運算求解即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓C的方程為，將A、B代入得，解得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意得，，設(shè)直線MN的方程為，，，，則．

（i）由題意可得：，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，（或，）時等號成立．

（ii）聯(lián)立方程，消去x得，由得且，故，，即由、S、T三點共線得，即；由、N、T三點共線得，即；兩式相加得，則直線OT斜率為，可得直線OT方程為由得，即．故直線OT與直線MN的交點在定直線上．【點睛】方法點睛：求解定值問題的三個步驟（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．（2024年粵J124廣州天河三模）20．一般地，當(dāng)且時，方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓．已知橢圓，橢圓（且）是橢圓C的相似橢圓，點P為橢圓上異于其左，右頂點M，N的任意一點．（20．(1)，理由見解析

(2)7【分析】對小問（1）可通過聯(lián)立直線與橢圓，得到線段與線段的中點相同；對小問（2）可先求出點與點，再根據(jù)點在橢圓上，求出直線與直線斜率之間的關(guān)系，然后設(shè)斜率為參數(shù)求解.【詳解】（1）將橢圓與直線聯(lián)立：，整理得；，，設(shè)交點，，由韋達定理：，同理，將與直線聯(lián)立可得：，，設(shè)交點，，由韋達定理：，，即線段與線段的中點相同.故.（2）橢圓的離心率為，則，的方程為：，可得，由題意可知直線，斜率均存在且不為零.設(shè)，將點代入橢圓，，令，則；寫出直線方程：，：，已知點和點都在橢圓內(nèi)部，故一定有兩個交點.聯(lián)立與，整理得：20．(1)，理由見解析

(2)7【分析】對小問（1）可通過聯(lián)立直線與橢圓，得到線段與線段的中點相同；對小問（2）可先求出點與點，再根據(jù)點在橢圓上，求出直線與直線斜率之間的關(guān)系，然后設(shè)斜率為參數(shù)求解.【詳解】（1）將橢圓與直線聯(lián)立：，整理得；，，設(shè)交點，，由韋達定理：，同理，將與直線聯(lián)立可得：，，設(shè)交點，，由韋達定理：，，即線段與線段的中點相同.故.（2）橢圓的離心率為，則，的方程為：，可得，由題意可知直線，斜率均存在且不為零.設(shè)，將點代入橢圓，，令，則；寫出直線方程：，：，已知點和點都在橢圓內(nèi)部，故一定有兩個交點.聯(lián)立與，整理得：；設(shè)，，由韋達定理：，，，同理，將替代成可得，可得，故的值為7.【點睛】方法點睛：