廣東省深圳市龍崗區(qū)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

龍崗區(qū)20222023學(xué)年第一學(xué)期高一期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.本試卷共5頁(yè)，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.2.答題前，請(qǐng)將學(xué)校、班級(jí)、姓名和考號(hào)用規(guī)定的筆寫在答題卡指定的位置上，并將條形碼粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū).請(qǐng)保持條形碼整潔、不污損.3.本卷試題，考生必須在答題卡上按規(guī)定作答；凡在試卷、草稿紙上作答的，其答案一律無效.答題卡必須保持清潔，不能折疊.4.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡選擇題答題區(qū)內(nèi)對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；非選擇題答案必須用規(guī)定的筆，按作答題目的序號(hào)，寫在答題卡非選擇題答題區(qū)內(nèi).5.考試結(jié)束，請(qǐng)將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題：“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】寫出全稱命題的否定即可.【詳解】“”的否定是：.故選：C.2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式求出答案.【詳解】.故選：C3.集合，是自然數(shù)集，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合A中元素范圍，再求即可.【詳解】由已知，.故選：D.4.設(shè)，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先解出兩個(gè)不等式，然后根據(jù)充分性和必要性的定義去判斷得答案.【詳解】，，可以推出，故充分性滿足；不能推出，故必要性不滿足；則是的充分不必要條件.故選：A.5.當(dāng)時(shí)，在同一平面直角坐標(biāo)系中，與的圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由定義域和，使用排除法可得.【詳解】的定義域?yàn)椋蔄D錯(cuò)誤；BC中，又因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤，B正確.故選：B6.將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，再向左平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變，所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖像的伸縮和平移變換得到，再整體代入即可求得對(duì)稱軸方程.【詳解】將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，得到，再向左平移個(gè)單位，得到，令，，則，.顯然，時(shí)，對(duì)稱軸方程為，其他選項(xiàng)不符合.故選：B7.設(shè)實(shí)數(shù)滿足，函數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.6【答案】A【解析】【分析】將函數(shù)變形為，再根據(jù)基本不等式求解即可得答案.【詳解】解：由題意，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為.故選：A．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方8.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：駕駛?cè)搜褐械木凭看笥冢ɑ虻扔冢┖量?毫升，小于毫克/毫升的情況下駕駛機(jī)動(dòng)車屬于飲酒駕車；含量大于（或等于）毫克/毫升的情況下駕駛機(jī)動(dòng)車屬于醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員一天晚上點(diǎn)鐘喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到毫克/毫升．如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小時(shí)的速度減少，則他次日上午最早（）點(diǎn)（結(jié)果取整數(shù)）開車才不構(gòu)成酒駕．（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得不等式，解不等式可求得，由此可得結(jié)論.【詳解】假設(shè)經(jīng)過小時(shí)后，駕駛員開車才不構(gòu)成酒駕，則，即，，則，，次日上午最早點(diǎn)，該駕駛員開車才不構(gòu)成酒駕.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】先利用不等式性質(zhì)得到，再利用不等式性質(zhì)逐一判斷選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】由知，，，即，故，所以，A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；由知，，，則，故C正確；由知，，則，故，即，D正確.故選：CD.10.已知函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（）A.B.函數(shù)是定義域上的增函數(shù)C.函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)D.方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解【答案】AC【解析】【分析】直接計(jì)算的值，可判斷A選項(xiàng)；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)；解方程可判斷C選項(xiàng)；解方程可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在上不單調(diào)，故函數(shù)在定義域上不單調(diào)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由，可得，當(dāng)時(shí)，由，可得.綜上所述，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，由，可得，解得或.綜上所述，方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，D錯(cuò).故選：AC.11.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值可能為（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由且，可得出，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得出，其中，確定的可能取值，即可得出的取值范圍.【詳解】因?yàn)榍?，則，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，其中，所以，，其中，解得，其中，所以，，可得，，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：ACD.12.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.若的定義域?yàn)?，則；B.若的值域?yàn)?，則或；C.若，則的單調(diào)遞減區(qū)間為；D.若在上單調(diào)遞減，則.【答案】BD【解析】【分析】依次判斷每個(gè)選項(xiàng)，根據(jù)定義域?yàn)榈玫?，A錯(cuò)誤；根據(jù)值域?yàn)榈玫交?，B正確；取特殊值排除C，根據(jù)單調(diào)性得到，D正確，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：的定義域?yàn)?，則，解得，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：的值域?yàn)?，則，解得或，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，取不滿足定義域，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：在上單調(diào)遞減，則,，解得，正確.故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知扇形的面積為9，圓心角為2rad，則扇形的弧長(zhǎng)為______．【答案】6【解析】【分析】聯(lián)立公式和，即可得到本題答案.【詳解】設(shè)半徑為，弧長(zhǎng)為，由題得，，，②代入①得，，所以，則.故答案為：614.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值為_______.【答案】【解析】【分析】先利用奇偶性得，再代入計(jì)算即可.【詳解】是定義在上的奇函數(shù),,又當(dāng)時(shí)，，.故答案為：.15若，則_____________．【答案】【解析】【分析】把轉(zhuǎn)化為二次齊次分式，然后弦化切代入計(jì)算．【詳解】．故答案為：．16.若存在常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)滿足：和恒成立，則稱此直線為和的“隔離直線”.已知函數(shù)，，若函數(shù)和之間存在隔離直線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由對(duì)任意的恒成立，可得出，由可得出，結(jié)合基本不不等式可得出的取值范圍，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若函數(shù)和之間存在隔離直線，則對(duì)任意的，，可得，，可得，對(duì)任意的，，則，當(dāng)時(shí)，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，故.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17設(shè)，已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)并集和補(bǔ)集的概念即可求出結(jié)果；（2）由題意可得，解不等式組即可求出結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，且，則，所以或；【小問2詳解】因，且，所以需滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.函數(shù)的定義域?yàn)锳.（1）求A；（2）若函數(shù)在A上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)有意義直接列不等式求出定義域，即可得到集合；（2）根據(jù)函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，分為單調(diào)增函數(shù)和單調(diào)減函數(shù)兩種情況，求出的取值范圍.【小問1詳解】由題可知，解得，故集合.【小問2詳解】由題意,可得的圖像開口向上，對(duì)稱軸是直線，則當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)時(shí)，，解得；當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)時(shí)，，解得；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍.19.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中的圖像與軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式，并寫出它的遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1），（2）最大值是，最小值是【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解，（2）由整體代換法求解，【小問1詳解】由圖知，，，，，由得，故遞增區(qū)間是【小問2詳解】時(shí)，，，在區(qū)間上的最大值是，最小值是20.已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù).（1）求值，試判斷的單調(diào)性，并用定義證明；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1），在上單調(diào)遞減，證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由函數(shù)奇偶性的定義可求得實(shí)數(shù)的值，判斷出函數(shù)為上的減函數(shù)，然后任取、且，作差，變形后判斷的符號(hào)，即可證得結(jié)論成立；（2）由函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【小問1詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，則，即，即，解得，所以，，則函數(shù)為上的減函數(shù)，證明如下：任取、且，則，所以，，則，所以，函數(shù)為上的減函數(shù)；【小問2詳解】解：由且函數(shù)為上的減函數(shù)，則，解得，因此，滿足不等式的的取值范圍是.21.濟(jì)南市地鐵項(xiàng)目正在如火如荼的進(jìn)行中，通車后將給市民出行帶來便利，已知某條線路通車后，列車的發(fā)車時(shí)間間隔t（單位：分鐘）滿足，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，列車載客量與發(fā)車時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)時(shí)列車為滿載狀態(tài)，載客量為500人，當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為372人，記列車載客量為.（1）求的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，列車的載客量；（2）若該線路每分鐘的凈收益為（元），問當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值.【答案】（1）；（2）發(fā)車時(shí)間間隔為4分鐘時(shí)，每分鐘的凈收益最大為132元.【解析】【分析】（1）由題設(shè)，有且，求k值，進(jìn)而寫出其分段函數(shù)的形式即可.（2）由（1）寫出解析式，討論、求最大值即可.【小問1詳解】由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，令，又發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為372人，∴，解得.∴，故時(shí)，，所以當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，列車的載客量為人.【小問2詳解】由（1）知：，∵時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，∴上，而上，單調(diào)遞減，則，綜上，時(shí)間間隔為4分鐘時(shí)，每分鐘的凈收益最大為132元.22.已知常數(shù)，函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集（用區(qū)間表示）；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（3）設(shè)，若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和不大于，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由對(duì)數(shù)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得解；（2）函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程有2個(gè)不等實(shí)根，化簡(jiǎn)并換元后可轉(zhuǎn)化為方程在上只有兩解，利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)求解；（3）求出函數(shù)最大最小值后可得，化簡(jiǎn)可得恒