1.4.2　充要條件-高中數(shù)學(xué)教學(xué)資料

1.4.2充要條件第一章§1.4充分條件與必要條件1.理解充要條件的意義.2.會(huì)判斷一些簡(jiǎn)單的充要條件問(wèn)題.3.能對(duì)充要條件進(jìn)行證明.學(xué)習(xí)目標(biāo)同學(xué)們，上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了充分條件與必要條件，讓我們知道了導(dǎo)致結(jié)論成立的條件可能不唯一，同樣的條件也可能得出不同的結(jié)論，但生活中還有一些實(shí)例，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”像這種條件和結(jié)論唯一的結(jié)構(gòu)，其實(shí)在我們數(shù)學(xué)上，也有很多類(lèi)似的問(wèn)題，讓我們一探究竟吧！導(dǎo)語(yǔ)隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、充要條件二、充要條件的證明三、充分條件、必要條件、充要條件的應(yīng)用內(nèi)容索引一、充要條件問(wèn)題1

下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？(1)若兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分別相等，則這兩個(gè)三角形全等；(2)若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等；(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則ac<0；(4)若A∪B是空集，則A與B均是空集.提示不難發(fā)現(xiàn)，上述命題中的命題(1)(4)和它們的逆命題都是真命題；命題(2)是真命題，但它的逆命題是假命題；命題(3)是假命題，但它的逆命題是真命題.問(wèn)題2

你能通過(guò)判斷原命題和逆命題的真假來(lái)判斷p，q的關(guān)系嗎？提示首先原命題和逆命題都是成對(duì)出現(xiàn)的，不能說(shuō)單獨(dú)的一個(gè)命題是逆命題.判斷p是q的什么條件，其實(shí)質(zhì)是判斷“若p，則q”及其逆命題“若q，則p”是真是假，原命題為真而逆命題為假，p是q的充分不必要條件；原命題為假而逆命題為真，則p是q的必要不充分條件；原命題為真，逆命題為真，則p是q的充要條件；原命題為假，逆命題為假，則p是q的既不充分也不必要條件.知識(shí)梳理如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有

，又有

，就記作

，此時(shí)，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說(shuō)p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱(chēng)為

條件.注意點(diǎn)：充要條件的判斷方法：①確定哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論；②嘗試用條件推結(jié)論；③再?lài)L試用結(jié)論推條件；④最后判斷條件是結(jié)論的什么條件.p?qq?pp?q充要例1

指出下列各組命題中，p是q的什么條件(“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”).(1)p：x＝1，q：x－1＝

；∴p是q的充分不必要條件.(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；解∵－1≤x≤5?x≥－1且x≤5，∴p是q的充要條件.(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；解由q：(x＋2)2≠y2，得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y，故p是q的必要不充分條件.(4)p：a是自然數(shù)；q：a是正數(shù).解0是自然數(shù)，但0不是正數(shù)，故p?q；故p是q的既不充分也不必要條件.反思感悟判斷充分條件、必要條件及充要條件的四種方法(1)定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假.(2)集合法：即利用集合的包含關(guān)系判斷.(3)等價(jià)法：即利用p?q與q?p的等價(jià)關(guān)系，一般地，對(duì)于條件和結(jié)論是否定形式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法.(4)傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要條件也有傳遞性.跟蹤訓(xùn)練1

指出下列各組命題中，p是q的什么條件(“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”).(1)p：三角形為等腰三角形，q：三角形存在兩角相等；解充要條件；(2)p：⊙O內(nèi)兩條弦相等，q：⊙O內(nèi)兩條弦所對(duì)的圓周角相等；解必要不充分條件；(3)p：A∩B＝?，q：A與B之一為空集；解必要不充分條件；(4)p：a能被6整除，q：a能被3整除；解充分不必要條件.二、充要條件的證明例2

求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常數(shù)且a≠0)有一正實(shí)根和一負(fù)實(shí)根的充要條件是ac<0.證明必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正實(shí)根和一負(fù)實(shí)根，∴Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝

<0，∴ac<0.充分性：由ac<0可推出Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝

<0，∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一負(fù)兩實(shí)根.反思感悟充要條件證明的兩個(gè)思路(1)直接法：證明p是q的充要條件，首先要明確p是條件，q是結(jié)論；其次推證p?q是證明充分性，推證q?p是證明必要性.(2)集合思想：記p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，則p與q互為充要條件.跟蹤訓(xùn)練2

求證：一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象過(guò)原點(diǎn)的充要條件是b＝0.證明①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn).②必要性：因?yàn)閥＝kx＋b(k≠0)的圖象過(guò)原點(diǎn)，所以當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.綜上，一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象過(guò)原點(diǎn)的充要條件是b＝0.三、充分條件、必要條件、充要條件的應(yīng)用例3

已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以q是p的充分不必要條件，即{x|1－m≤x≤1＋m}

{x|－2≤x≤10}，解得m≤3.又m>0，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|0<m≤3}.延伸探究1.若本例中“p是q的必要不充分條件”改為“p是q的充分不必要條件”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).因?yàn)閜是q的充分不必要條件，設(shè)p代表的集合為A，q代表的集合為B，所以A

B.解不等式組得m>9或m≥9，所以m≥9，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥9.2.本例中p，q不變，是否存在實(shí)數(shù)m使p是q的充要條件？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解因?yàn)閜：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).故不存在實(shí)數(shù)m，使得p是q的充要條件.反思感悟應(yīng)用充分不必要、必要不充分及充要條件求參數(shù)值(范圍)的一般步驟(1)根據(jù)已知將充分不必要條件、必要不充分條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系.(2)根據(jù)集合間的關(guān)系構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程(組)或不等式(組)求解.跟蹤訓(xùn)練3

在①充分不必要條件，②必要不充分條件，③充要條件這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的a存在，求a的取值集合M，若問(wèn)題中的a不存在，說(shuō)明理由.問(wèn)題：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在實(shí)數(shù)a，使得x∈A是x∈B成立的________？解由題意知A＝{x|0≤x≤4}，若選①，則A是B的真子集，所以1－a≤0且1＋a≥4(兩等號(hào)不能同時(shí)取得)，又a>0，解得a≥3，所以存在a，a的取值集合M＝{a|a≥3}.若選②，則B是A的真子集，所以1－a≥0且1＋a≤4(兩等號(hào)不能同時(shí)取得)，又a>0，解得0<a≤1，所以存在a，a的取值集合M＝{a|0<a≤1}.若選③，則A＝B，所以1－a＝0且1＋a＝4，又a>0，方程組無(wú)解，所以不存在滿(mǎn)足條件的a.1.知識(shí)清單：(1)充要條件概念的理解.(2)充要條件的證明.(3)充要條件的應(yīng)用.2.方法歸納：等價(jià)轉(zhuǎn)化.3.常見(jiàn)誤區(qū)：條件和結(jié)論辨別不清.課堂小結(jié)隨堂演練1.“x>0”是“x≠0”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件1234√解析由“x>0”?“x≠0”，反之不一定成立.因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要條件.12342.“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，則當(dāng)x＝5時(shí)，x2－4x－5＝0成立，但當(dāng)x2－4x－5＝0時(shí)，x＝5不一定成立.√12343.“a<b”是“<1”的A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√12344.函數(shù)y＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)的充要條件是________.解析函數(shù)y＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，m＝－2反之，若m＝－2，則y＝x2－2x＋1的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng).課時(shí)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固1234567891011121314151.“1<x<2”是“x≤2”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析設(shè)A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x≤2}，A

B.故“1<x<2”是“x≤2”的充分不必要條件.16√2.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的A.充要條件

B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件123456789101112131415√16解析若x＝1，則x2－2x＋1＝0；若x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，則x＝1.故為充要條件.123456789101112131415163.設(shè)x∈R，則“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件√解析由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.當(dāng)x≤2時(shí)不一定有0≤x≤2，而當(dāng)0≤x≤2時(shí)一定有x≤2，∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要不充分條件.123456789101112131415164.已知a，b是實(shí)數(shù)，則“a<0，且b<0”是“ab(a－b)>0”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件√解析已知a，b是實(shí)數(shù)，則若a<0，且b<0，則不一定有ab(a－b)>0，比如當(dāng)a<b<0時(shí)，ab(a－b)<0；反之，若ab(a－b)>0，則a－b和ab同號(hào)，當(dāng)a>b>0時(shí)滿(mǎn)足ab(a－b)>0，當(dāng)b<a<0時(shí)也滿(mǎn)足ab(a－b)>0，故不能確定a和b的正負(fù).故是既不充分也不必要條件.1234567891011121314155.(多選)下列選項(xiàng)中正確的是A.點(diǎn)P到圓心O的距離大于圓的半徑是點(diǎn)P在⊙O外的充要條件B.兩個(gè)三角形的面積相等是這兩個(gè)三角形全等的充分不必要條件C.A∪B＝A是B?A的必要不充分條件D.x或y為有理數(shù)是xy為有理數(shù)的既不充分也不必要條件√16√123456789101112131415166.(多選)使“x∈{x|x≤0或x>2}”成立的一個(gè)充分不必要條件是A.x≥0 B.x<0或x>2C.x∈{－1,3,5} D.x≤0或x>2√√解析從集合的角度出發(fā)，在選項(xiàng)中判斷哪個(gè)是題干的真子集，只有BC滿(mǎn)足題意.123456789101112131415167.已知△ABC，△A1B1C1，兩三角形對(duì)應(yīng)角相等是△ABC≌△A1B1C1的___________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)必要不充分解析由兩三角形對(duì)應(yīng)角相等?△ABC≌△A1B1C1；反之由△ABC≌△A1B1C1?∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.123456789101112131415168.對(duì)于集合A，B及元素x，若A?B，則x∈B是x∈A∪B的_____條件.充要解析由x∈B，顯然可得x∈A∪B；反之，由A?B，則A∪B＝B，所以由x∈A∪B可得x∈B，故x∈B是x∈A∪B的充要條件.123456789101112131415169.求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.證明充分性：因?yàn)閍＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.所以方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1.必要性：因?yàn)榉匠蘟x2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1，所以x＝1滿(mǎn)足方程ax2＋bx＋c＝0，所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.故關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.1234567891011121314151610.設(shè)命題p：

≤x≤1；命題q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.由p是q的充分不必要條件，可知A

B，123456789101112131415綜合運(yùn)用1611.“函數(shù)y＝x2－2ax＋a的圖象在x軸的上方”是“0≤a≤1”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件√解析函數(shù)y＝x2－2ax＋a的圖象在x軸的上方，則Δ＝4a2－4a<0，解得0<a<1，由集合的包含關(guān)系可知選A.1234567891011121314151612.已知x∈R，則“x2＝x＋6”是“x＝

”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件√13.集合A，B之間的關(guān)系如圖所示，p：a∈?UB，q：a∈A，則p是q的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件12345678910111213141516√解析由圖可知A是B的補(bǔ)集的真子集，故選B.1234567891011121314151614.已知“p：x>m＋3或x<m”是“q：－4<x<1”成立的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______________