湖北省荊州市沙市中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題含答案

2022—2023學(xué)年度上學(xué)期2020級(jí)第二次月考數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：2022年9月28日一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）．A. B. C. D.2．已知，，與的夾角為，則（）A.6 B. C. D.3．若點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，，分別為的左、右焦點(diǎn)，則“”是“”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．莫高窟坐落在甘肅的敦煌，它是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大?內(nèi)容最豐富的佛教藝術(shù)勝地，每年都會(huì)吸引來(lái)自世界各地的游客參觀旅游.已知購(gòu)買莫高窟正常參觀套票可以參觀8個(gè)開放洞窟，在這8個(gè)洞窟中莫高窟九層樓96號(hào)窟?莫高窟三層樓16號(hào)窟?藏經(jīng)洞17號(hào)窟被譽(yù)為最值得參觀的洞窟.根據(jù)疫情防控的需要，莫高窟改為極速參觀模式，游客需從套票包含的開放洞窟中隨機(jī)選擇4個(gè)進(jìn)行參觀，所有選擇中至少包含2個(gè)最值得參觀洞窟的概率是（）A. B. C. D.5．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，直線與軸交于點(diǎn)，且，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A.3 B.4 C.5 D.66．函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.7．已知是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，三棱錐全部頂點(diǎn)都在表面積為的球O的球面上，則三棱錐的體積的最大值為（）．A. B. C. D.8．已知橢圓：與雙曲線有公共的焦點(diǎn)?，為曲線?在第一象限的交點(diǎn)，且的面積為2，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（）A.9 B. C.7 D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9．某旅游景點(diǎn)2021年1月至9月每月最低氣溫與最高氣溫（單位：℃）的折線圖如圖，則（）．A.1月到9月中，最高氣溫與最低氣溫相差最大的是4月B.1月到9月的最高氣溫與月份具有比較好的線性相關(guān)關(guān)系C.1月到9月的最高氣溫與最低氣溫的差逐步減小D.1月到9月的最低氣溫的極差比最高氣溫的極差大10．已知是兩個(gè)不同平面，是兩條不同直線，則下述正確的是（）A.若，則B.若，則C.若是異面直線，則與相交D.若，則11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓恒過(guò)原點(diǎn)B.圓與圓內(nèi)切C.直線被圓所截得弦長(zhǎng)的最大值為D.直線與圓相離12．已知數(shù)列，均為遞增數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為，，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．在的展開式中，x的系數(shù)是___________（用數(shù)字作答）.14．若直線（，）被圓所截得的弦長(zhǎng)為6，則的最小值為______.15．已知點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點(diǎn)P滿足，則橢圓離心率的最大值______________.16．矩形中，，現(xiàn)將沿對(duì)角線向上翻折，得到四面體，則該四面體外接球的體積為__________；設(shè)二面角的平面角為，當(dāng)在內(nèi)變化時(shí)，的范圍為__________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17．已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意的都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知在中，A，B，C為三個(gè)內(nèi)角，a，b，c為三邊，，．（1）求角B的大?。唬?）在下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求出BC邊上的中線的長(zhǎng)度．①的面積為；②的周長(zhǎng)為．19．在四棱錐中，為正三角形，四邊形為等腰梯形，M為棱AP的中點(diǎn)，且，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.20．我國(guó)在芯片領(lǐng)域的短板有光刻機(jī)和光刻膠，某風(fēng)險(xiǎn)投資公司準(zhǔn)備投資芯片領(lǐng)域，若投資光刻機(jī)項(xiàng)目，據(jù)預(yù)期，每年的收益率為30％的概率為，收益率為％的概率為；若投資光刻膠項(xiàng)目，據(jù)預(yù)期，每年的收益率為30％的概率為0.4，收益率為％的概率為0.1，收益率為零的概率為0.5．（1）已知投資以上兩個(gè)項(xiàng)目，獲利的期望是一樣的，請(qǐng)你從風(fēng)險(xiǎn)角度考慮為該公司選擇一個(gè)較穩(wěn)妥的項(xiàng)目；（2）若該風(fēng)險(xiǎn)投資公司準(zhǔn)備對(duì)以上你認(rèn)為較穩(wěn)妥的項(xiàng)目進(jìn)行投資，4年累計(jì)投資數(shù)據(jù)如下表：年份x20182019202020211234累計(jì)投資金額y（單位：億元）2356請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)到哪一年年末，該公司在芯片領(lǐng)域的投資收益預(yù)期能達(dá)到0.75億元．附：收益＝投入的資金×獲利的期望；線性回歸中，，．21．設(shè)橢圓為左右焦點(diǎn),為短軸端點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為,且,的面積為.(Ⅰ)求橢圓的方程(Ⅱ)設(shè)動(dòng)直線橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),且與直線相交于點(diǎn).試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)?若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由.22．已知函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且恒成立（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.高三年級(jí)第二次數(shù)學(xué)答案1.【答案】B【詳解】解：由題得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：B2.【答案】A【詳解】故選：A3.【答案】A【詳解】由題意可知，，，，若，則，或1（舍去），若，，或13，故“”是“”的充分不必要條件．故選：A．4.【答案】B【詳解】8個(gè)開放洞窟中有3個(gè)最值得參觀，所求概率為．故選：B．5.【答案】B【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，由題知，即因?yàn)椋运?，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.故選：B6.【答案】A【詳解】由已知，為奇函數(shù)，排除BD；又時(shí)，，時(shí)，，，即時(shí)，，所以恒成立，排除C．故選：A．7.【答案】C【詳解】球O的半徑為R，則，解得：，由已知可得：，其中球心O到平面ABC的距離為，故三棱錐的高的最大值為3，體積最大值為．故選：C．8.【答案】B【詳解】記橢圓中的幾何量為a，b，c，雙曲線中的幾何量為，，則由橢圓和雙曲線定義可得…①，…②，兩式平方相減整理得，記，則由余弦定理得…③①2-③得…④由面積公式可得，即，代入④整理得，因?yàn)?，所以，所以，得，所以，即，所以，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：B9.【答案】BD【詳解】1月到9月中，最高氣溫與最低氣溫相差最大的是1月，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；1月到9月的最高氣溫與月份具有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，故B選項(xiàng)正確；最高氣溫與最低氣溫的差不穩(wěn)定，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；最低氣溫的極差超過(guò)35℃，最高氣溫的極差約為25℃，故D選項(xiàng)正確．故選：BD．10.【答案】BD【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)，與相交時(shí)，，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，線面垂直與線面平行性質(zhì)知當(dāng)，則，正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若是異面直線，則與相交或，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)線面垂直的判定定理得：若，則，故正確.故選：BD11.【答案】ABC【詳解】A.代入點(diǎn)得恒成立，A正確；B.，即兩圓心距離等于兩圓半徑差，B正確；C.直線被圓所截得弦長(zhǎng)為，，即直線被圓所截得弦長(zhǎng)的最大值為，C正確；D.圓心到直線的距離，故圓和直線相切或相交，D錯(cuò)誤；故選：ABC.12.【答案】ACD【詳解】由是遞增數(shù)列，得；又，所以，所以，所以，故選項(xiàng)A正確；，故B不正確；由是遞增數(shù)列，得，又，所以，所以，所以，故選項(xiàng)C正確；所以，所以，又，所以，而，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，可驗(yàn)證，所以對(duì)于任意的，，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD．13.【答案】240【詳解】的展開式的通項(xiàng)為：，當(dāng)，即時(shí)，展開式x的系數(shù)為：.當(dāng)顯然不成立；故答案為：24014.【答案】8【詳解】由題意圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓的圓心為，半徑為，弦長(zhǎng)為6，則弦為直徑，已知直線過(guò)圓心，所以，即，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立．故答案為：8．15.【答案】【詳解】由對(duì)稱性不妨設(shè)P在x軸上方，設(shè)，，∴當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，∵直線l上存在點(diǎn)P滿足∴即，∴，即，所以，故橢圓離心率的最大值為.故答案為：.16.【答案】；.【詳解】解：已知矩形中，，在矩形中，連接和交于點(diǎn)，，，可知點(diǎn)是四面體外接球的球心，則外接球的半徑，所以該四面體外接球的體積；在四面體中，作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，再作交于點(diǎn)，則，所以二面角的平面角為，則，在矩形中，可知，，所以是等邊三角形，，，由四面體可知，，，則，，而即，所以當(dāng)在內(nèi)變化時(shí)，，則，即的范圍為.故答案為：；.17.【答案】（1）（2）．【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由題意，，解得，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1），所以，易知是遞增的且，不等式對(duì)任意的都成立，則，所以．18.【答案】（1）（2）答案見解析【小問(wèn)1詳解】∵，則由正弦定理可得，∴，∵，∴，，∴，解得．【小問(wèn)2詳解】若選擇（1），由（1）可得，即則，解得，則由余弦定理可得BC邊上的中線的長(zhǎng)度為：．若選擇（2）：由（1）可得，設(shè)的外接圓半徑為R，則由正弦定理可得，，則周長(zhǎng)，解得，則，，由余弦定理可得BC邊上的中線的長(zhǎng)度為：19.【答案】(1)證明見解析；(2).(1)在等腰梯形中，，，取中點(diǎn)N，連結(jié)，，如圖，因M為棱的中點(diǎn)，則，且，即四邊形為平行四邊形，則，而平面，平面，所以平面.(2)取中點(diǎn)Q，中點(diǎn)O，連結(jié)，，，，有，且，四邊形是平行四邊形，則，則有，且，正中，，而，因此，，且，而，平面，則平面，平面，有平面平面，由，得，在平面內(nèi)作，平面平面，即有平面，以O(shè)為原點(diǎn)，射線OB，OD，Oz分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，有，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.20.【答案】（1）該風(fēng)投公司投資光刻膠項(xiàng)目；（2）；2022年年末．【小問(wèn)1詳解】若投資光刻機(jī)項(xiàng)目，設(shè)收益率為，則的分布列為0.3Pp所以．若投資光刻膠項(xiàng)目，設(shè)收益率為，則的分布列為0.30P0.40.10.5所以．因?yàn)橥顿Y以上兩個(gè)項(xiàng)目，獲利的期望是一樣的，所以，所以．因?yàn)椋?，所以，，這說(shuō)明光刻機(jī)項(xiàng)目和光刻膠項(xiàng)目獲利相等，但光刻膠項(xiàng)目更穩(wěn)妥．綜上所述，建議該風(fēng)投公司投資光刻膠項(xiàng)目．【小問(wèn)2詳解】，，，，則，，故線性回歸方程為．設(shè)該公司在芯片領(lǐng)域的投資收益為Y，則，解得，故在2022年年末該投資公司在芯片領(lǐng)域的投資收益可以超過(guò)0.75億元．21.【答案】（1）（2）存在定點(diǎn)P(1,0)【詳解】(1)由題意知，解得：，故橢圓C的方程是．(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化簡(jiǎn)得4k2－m2＋3＝0.(*)此時(shí)x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以M(－由得N(4,4k＋m)．假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)P滿足條件，由圖形對(duì)稱性知，點(diǎn)P必在x軸上．設(shè)P(x1,0)，則對(duì)滿足(*)式的m、k恒成立．因?yàn)椋?－，＝(4－x1,4k＋m)，由，得-＋－4x1＋x＋＋3＝0，整理，得(4x1－4)