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文檔簡介
寧夏回族自治區(qū)石嘴山市三中2025年高三線上測試數(shù)學試題試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.己知函數(shù)若函數(shù)的圖象上關于原點對稱的點有2對,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.3.觀察下列各式:,,,,,,,,根據(jù)以上規(guī)律,則()A. B. C. D.4.是拋物線上一點,是圓關于直線的對稱圓上的一點,則最小值是()A. B. C. D.5.盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”,其中只有2張“刮刮卡”有獎,現(xiàn)甲從盒中隨機取出2張,則至少有一張有獎的概率為()A. B. C. D.6.已知是的共軛復數(shù),則()A. B. C. D.7.已知函數(shù),當時,的取值范圍為,則實數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D.8.設復數(shù)滿足,在復平面內(nèi)對應的點的坐標為則()A. B.C. D.9.若θ是第二象限角且sinθ=,則=A. B. C. D.10.函數(shù)在的圖象大致為()A. B.C. D.11.向量,,且,則()A. B. C. D.12.已知是等差數(shù)列的前項和,,,則()A.85 B. C.35 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知橢圓的左焦點為,點在橢圓上且在軸的上方,若線段的中點在以原點為圓心,為半徑的圓上,則直線的斜率是_______.14.已知多項式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,則a4=________,a5=________.15.在矩形中,,為的中點,將和分別沿,翻折,使點與重合于點.若,則三棱錐的外接球的表面積為_____.16.如果拋物線上一點到準線的距離是6,那么______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、,滿足.有三個條件:①;②;③.其中三個條件中僅有兩個正確,請選出正確的條件完成下面兩個問題:(1)求;(2)設為邊上一點,且,求的面積.18.(12分)已知橢圓的右焦點為,過作軸的垂線交橢圓于點(點在軸上方),斜率為的直線交橢圓于兩點,過點作直線交橢圓于點,且,直線交軸于點.(1)設橢圓的離心率為,當點為橢圓的右頂點時,的坐標為,求的值.(2)若橢圓的方程為,且,是否存在使得成立?如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由.19.(12分)已知,,為正數(shù),且,證明:(1);(2).20.(12分)如圖所示,三棱柱中,平面,點,分別在線段,上,且,,是線段的中點.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若,,,求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=4,.(1)求A的余弦值;(2)求△ABC面積的最大值.22.(10分)為了保障全國第四次經(jīng)濟普查順利進行,國家統(tǒng)計局從東部選擇江蘇,從中部選擇河北、湖北,從西部選擇寧夏,從直轄市中選擇重慶作為國家綜合試點地區(qū),然后再逐級確定普查區(qū)域,直到基層的普查小區(qū),在普查過程中首先要進行宣傳培訓,然后確定對象,最后入戶登記,由于種種情況可能會導致入戶登記不夠順利,這為正式普查提供了寶貴的試點經(jīng)驗,在某普查小區(qū),共有50家企事業(yè)單位,150家個體經(jīng)營戶,普查情況如下表所示:普查對象類別順利不順利合計企事業(yè)單位401050個體經(jīng)營戶10050150合計14060200(1)寫出選擇5個國家綜合試點地區(qū)采用的抽樣方法;(2)根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為“此普查小區(qū)的入戶登記是否順利與普查對象的類別有關”;(3)以該小區(qū)的個體經(jīng)營戶為樣本,頻率作為概率,從全國個體經(jīng)營戶中隨機選擇3家作為普查對象,入戶登記順利的對象數(shù)記為,寫出的分布列,并求的期望值.附:0.100.0100.0012.7066.63510.828
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
試題分析:由題意可得:.共軛復數(shù)為,故選A.考點:1.復數(shù)的除法運算;2.以及復平面上的點與復數(shù)的關系2.B【解析】
考慮當時,有兩個不同的實數(shù)解,令,則有兩個不同的零點,利用導數(shù)和零點存在定理可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為的圖象上關于原點對稱的點有2對,所以時,有兩個不同的實數(shù)解.令,則在有兩個不同的零點.又,當時,,故在上為增函數(shù),在上至多一個零點,舍.當時,若,則,在上為增函數(shù);若,則,在上為減函數(shù);故,因為有兩個不同的零點,所以,解得.又當時,且,故在上存在一個零點.又,其中.令,則,當時,,故為減函數(shù),所以即.因為,所以在上也存在一個零點.綜上,當時,有兩個不同的零點.故選:B.本題考查函數(shù)的零點,一般地,較為復雜的函數(shù)的零點,必須先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,再結合零點存在定理說明零點的存在性,本題屬于難題.3.B【解析】
每個式子的值依次構成一個數(shù)列,然后歸納出數(shù)列的遞推關系后再計算.【詳解】以及數(shù)列的應用根據(jù)題設條件,設數(shù)字,,,,,,,構成一個數(shù)列,可得數(shù)列滿足,則,,.故選:B.本題主要考查歸納推理,解題關鍵是通過數(shù)列的項歸納出遞推關系,從而可確定數(shù)列的一些項.4.C【解析】
求出點關于直線的對稱點的坐標,進而可得出圓關于直線的對稱圓的方程,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最小值,由此可得出,即可得解.【詳解】如下圖所示:設點關于直線的對稱點為點,則,整理得,解得,即點,所以,圓關于直線的對稱圓的方程為,設點,則,當時,取最小值,因此,.故選:C.本題考查拋物線上一點到圓上一點最值的計算,同時也考查了兩圓關于直線對稱性的應用,考查計算能力,屬于中等題.5.C【解析】
先計算出總的基本事件的個數(shù),再計算出兩張都沒獲獎的個數(shù),根據(jù)古典概型的概率,求出兩張都沒有獎的概率,由對立事件的概率關系,即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機取出2張,共有種情況,2張均沒有獎的情況有(種),故所求概率為.故選:C.本題考查古典概型的概率、對立事件的概率關系,意在考查數(shù)學建模、數(shù)學計算能力,屬于基礎題.6.A【解析】
先利用復數(shù)的除法運算法則求出的值,再利用共軛復數(shù)的定義求出a+bi,從而確定a,b的值,求出a+b.【詳解】i,∴a+bi=﹣i,∴a=0,b=﹣1,∴a+b=﹣1,故選:A.本題主要考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了共軛復數(shù)的概念,是基礎題.7.C【解析】
求導分析函數(shù)在時的單調(diào)性、極值,可得時,滿足題意,再在時,求解的x的范圍,綜合可得結果.【詳解】當時,,令,則;,則,∴函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.∴函數(shù)在處取得極大值為,∴時,的取值范圍為,∴又當時,令,則,即,∴綜上所述,的取值范圍為.故選C.本題考查了利用導數(shù)分析函數(shù)值域的方法,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),屬于難題.8.B【解析】
根據(jù)共軛復數(shù)定義及復數(shù)模的求法,代入化簡即可求解.【詳解】在復平面內(nèi)對應的點的坐標為,則,,∵,代入可得,解得.故選:B.本題考查復數(shù)對應點坐標的幾何意義,復數(shù)模的求法及共軛復數(shù)的概念,屬于基礎題.9.B【解析】由θ是第二象限角且sinθ=知:,.所以.10.C【解析】
先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B,再根據(jù)函數(shù)極值排除A;結合特殊值即可排除D,即可得解.【詳解】函數(shù),則,所以為奇函數(shù),排除B選項;當時,,所以排除A選項;當時,,排除D選項;綜上可知,C為正確選項,故選:C.本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖像,注意奇偶性、單調(diào)性、極值與特殊值的使用,屬于基礎題.11.D【解析】
根據(jù)向量平行的坐標運算以及誘導公式,即可得出答案.【詳解】故選:D本題主要考查了由向量平行求參數(shù)以及誘導公式的應用,屬于中檔題.12.B【解析】
將已知條件轉化為的形式,求得,由此求得.【詳解】設公差為,則,所以,,,.故選:B本小題主要考查等差數(shù)列通項公式的基本量計算,考查等差數(shù)列前項和的計算,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
結合圖形可以發(fā)現(xiàn),利用三角形中位線定理,將線段長度用坐標表示成圓的方程,與橢圓方程聯(lián)立可進一步求解.利用焦半徑及三角形中位線定理,則更為簡潔.【詳解】方法1:由題意可知,由中位線定理可得,設可得,聯(lián)立方程可解得(舍),點在橢圓上且在軸的上方,求得,所以方法2:焦半徑公式應用解析1:由題意可知,由中位線定理可得,即求得,所以.本題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關系,利用數(shù)形結合思想,是解答解析幾何問題的重要途徑.14.164【解析】
只需令x=0,易得a5,再由(x+1)3(x+2)2=(x+1)5+2(x+1)4+(x+1)3,可得a4=+2+.【詳解】令x=0,得a5=(0+1)3(0+2)2=4,而(x+1)3(x+2)2=(x+1)3[(x+1)2+2(x+1)+1]=(x+1)5+2(x+1)4+(x+1)3;則a4=+2+=5+8+3=16.故答案為:16,4.本題主要考查了多項式展開中的特定項的求解,可以用賦值法也可以用二項展開的通項公式求解,屬于中檔題.15..【解析】
計算外接圓的半徑,并假設外接球的半徑為R,可得球心在過外接圓圓心且垂直圓面的垂線上,然后根據(jù)面,即可得解.【詳解】由題意可知,,所以可得面,設外接圓的半徑為,由正弦定理可得,即,,設三棱錐外接球的半徑,因為外接球的球心為過底面圓心垂直于底面的直線與中截面的交點,則,所以外接球的表面積為.故答案為:.本題考查三棱錐的外接球的應用,屬于中檔題.16.【解析】
先求出拋物線的準線方程,然后根據(jù)點到準線的距離為6,列出,直接求出結果.【詳解】拋物線的準線方程為,由題意得,解得.∵點在拋物線上,∴,∴,故答案為:.本小題主要考查拋物線的定義,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】
(1)先求出角,進而可得出,則①②中有且只有一個正確,③正確,然后分①③正確和②③正確兩種情況討論,結合三角形的面積公式和余弦定理可求得的值;(2)計算出和,計算出,可得出,進而可求得的面積.【詳解】(1)因為,所以,得,,,為鈍角,與矛盾,故①②中僅有一個正確,③正確.顯然,得.當①③正確時,由,得(無解);當②③正確時,由于,,得;(2)如圖,因為,,則,則,.本題考查解三角形綜合應用,涉及三角形面積公式和余弦定理的應用,考查計算能力,屬于中等題.18.(1);(2)不存在,理由見解析【解析】
(1)寫出,根據(jù),斜率乘積為-1,建立等量關系求解離心率;(2)寫出直線AB的方程,根據(jù)韋達定理求出點B的坐標,計算出弦長,根據(jù)垂直關系同理可得,利用等式即可得解.【詳解】(1)由題可得,過點作直線交橢圓于點,且,直線交軸于點.點為橢圓的右頂點時,的坐標為,即,,化簡得:,即,解得或(舍去),所以;(2)橢圓的方程為,由(1)可得,聯(lián)立得:,設B的橫坐標,根據(jù)韋達定理,即,,所以,同理可得若存在使得成立,則,化簡得:,,此方程無解,所以不存在使得成立.此題考查求橢圓離心率,根據(jù)直線與橢圓的位置關系解決弦長問題,關鍵在于熟練掌握解析幾何常用方法,尤其是韋達定理在解決解析幾何問題中的應用.19.(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】
(1)利用均值不等式即可求證;(2)利用,結合,即可證明.【詳解】(1)∵,同理有,,∴.(2)∵,∴.同理有,.∴.本題考查利用均值不等式證明不等式,涉及的妙用,屬綜合性中檔題.20.(Ⅰ)證明見詳解;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)取中點為,根據(jù)幾何關系,求證四邊形為平行四邊形,即可由線線平行推證線面平行;(Ⅱ)以為坐標原點,建立空間直角坐標系,求得直線的方向向量和平面的法向量,即可求得線面角的正弦值.【詳解】(Ⅰ)取的中點,連接,.如下圖所示:因為,分別是線段和的中點,所以是梯形的中位線,所以.又,所以.因為,,所以四邊形為平行四邊形,所以.所以,.所以四邊形為平行四邊形,所以.又平面,平面,所以平面.(Ⅱ)因為,且平面,故可以為原點,的方向為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,如下圖所示:不妨設,則,所以,,,,.所以,,.設平面的法向量為,則所以可取.設直線與平面所成的角為,則.故可得直線與平面所成的角的正弦值為.本題考查由線線平行推證線面平行,以及用向量法求解線面角,屬綜合中檔題.21.(1);(2)【解析】
(1)根據(jù)正弦定理化簡得到,故,得到答案.(2)計算,再利用面積公式計算得到答案.【詳解】(1),則,即,故,,故.(2),故,故.當時等號成立.,故,,故△ABC面積的最大值為.本題考查了正弦定理,面積公式,均值不等式,意在考查學生的綜合應用能力.22.(1)分層抽樣,簡單隨機抽樣(抽簽亦可)(2)有(3)分布列見解析,【解析】
(1)根據(jù)題
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