課標(biāo)專用5年高考3年模擬A版2024高考數(shù)學(xué)第五章平面向量2平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用試題文

PAGEPAGE12平面對量的數(shù)量積及平面對量的應(yīng)用挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)料熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)平面對量的數(shù)量積①理解平面對量數(shù)量積的含義及其物理意義;②駕馭向量夾角概念及其范圍,駕馭向量長度的表示;③了解平面對量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系;④駕馭數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會進(jìn)行平面對量數(shù)量積的運(yùn)算;⑤理解數(shù)量積的性質(zhì),并能運(yùn)用2024課標(biāo)全國Ⅱ,4,5分平面對量的數(shù)量積模長★★★2024課標(biāo)Ⅱ,4,5分平面對量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算平面對量數(shù)量積的應(yīng)用①能運(yùn)用數(shù)量積解決兩向量的夾角問題和長度問題;②會用數(shù)量積推斷兩個向量的平行、垂直關(guān)系;③會用向量方法解決某些簡潔的平面幾何問題、力學(xué)問題與一些實(shí)際問題2024課標(biāo)全國Ⅰ,13,5分兩向量垂直的充要條件坐標(biāo)運(yùn)算★★☆2024課標(biāo)全國Ⅲ,13,5分兩向量垂直的充要條件坐標(biāo)運(yùn)算2024課標(biāo)全國Ⅲ,3,5分平面對量的夾角平面對量的數(shù)量積、坐標(biāo)運(yùn)算分析解讀從近幾年的高考試題來看,高考對本節(jié)內(nèi)容的考查以選擇題和填空題為主,考查平面對量的數(shù)量積及其幾何意義以及坐標(biāo)表示,用以解決有關(guān)長度、角度、垂直、推斷三角形形態(tài)等問題;考查形式除小題之外,還可能是與函數(shù)、解析幾何等學(xué)問綜合在一起形成的解答題,主要考查學(xué)生的審題實(shí)力和學(xué)問遷移實(shí)力,難度適中.破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一平面對量的數(shù)量積1.(2025屆湖南長沙雅禮中學(xué)9月月考,4)已知a,b為單位向量,其夾角為60°,則(2a-b)·b=()A.-1 B.0 C.1 D.2答案B2.已知點(diǎn)A,B,C滿意|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,則AB·BC+BC·CA+CA·AB的值為.

答案-253.(2024天津,13,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上,且BE=23BC,DF=16DC,則AE·答案29考點(diǎn)二平面對量數(shù)量積的應(yīng)用1.(2024云南玉溪一中期中,9)在△ABC中,若動點(diǎn)P滿意CA2-CB2+2AB·CP=0,則點(diǎn)P的軌跡A.外心 B.內(nèi)心 C.垂心 D.重心答案A2.(2025屆廣東普寧一中10月月考,14)已知|OA|=2,|OB|=4,OA·OB=4,則以向量OA,OB為鄰邊的平行四邊形的面積為.

答案433.(2025屆湖北黃岡9月調(diào)研,15)已知平面對量m,n的夾角為π6,且|m|=3,|n|=2,在△ABC中,AB=2m+2n,AC=2m-6n,D為BC的中點(diǎn),則|AD|=答案24.(2025屆廣東深圳外國語中學(xué)10月模擬,17)設(shè)向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).(1)若a與b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求|b+c|的最大值.解析(1)∵a與b-2c垂直,∴a·(b-2c)=4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinα·sinβ=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,∴tan(α+β)=2.(2)由b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),得|b+c|=(sinβ+cosβ)當(dāng)且僅當(dāng)sin2β=-1,即β=kπ-π4(k∈Z所以|b+c|的最大值為42.煉技法【方法集訓(xùn)】方法1平面對量模長的求解方法1.(2024河北“五個一名?！甭?lián)盟模擬,4)已知向量a,b滿意:|a|=2,|b|=4,<a,b>=π3,則|3a-2bA.52 B.213 C.15 D.23答案B2.(2025屆湖南湖北八市十二校第一次調(diào)研,2)已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),則|a-2b|等于()A.1 B.3 C.4 D.5答案D3.已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c滿意c與b的夾角為120°,c·(4a+b)=5,則|c|=()A.1 B.5 C.2 D.25答案D方法2平面對量夾角的求解方法1.(2024課標(biāo)全國Ⅲ,3,5分)已知向量BA=12,32,A.30° B.45° C.60° D.120°答案A2.(2024江西七校聯(lián)考,13)已知向量a=(1,3),b=(3,m),且b在a的方向上的投影為-3,則向量a與b的夾角為.

答案233.(2024吉林九校聯(lián)考,14)已知e1,e2是夾角為120°的單位向量,a=e1+e2,b=2e1+xe2,且b在a方向上的投影為-1,向量a與b的夾角為θ,則cosθ=.

答案-7方法3用向量法解決平面幾何問題1.(2024四川成都七中期中)在△ABC中,BC=5,G,O分別為△ABC的重心和外心,且OG·BC=5,則△ABC的形態(tài)是()A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.上述三種狀況都有可能答案B2.(2025屆江西臨川一中9月月考,17)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量m=22,-22,(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m與n的夾角為π3解析(1)因?yàn)閙=22,-22,n=(sinx,cosx),m⊥n,所以m·n=0,即所以tanx=1.(2)由已知得|m|=|n|=1,所以m·n=|m|·|n|cosπ3=12,即22sinx-22cosx=12,所以sinx-π4=12.因?yàn)?<x<π2,所以-π4過專題【五年高考】A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組考點(diǎn)一平面對量的數(shù)量積1.(2024課標(biāo)全國Ⅱ,4,5分)已知向量a,b滿意|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)=()A.4 B.3 C.2 D.0答案B2.(2024課標(biāo)Ⅱ,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)·a=()A.-1 B.0 C.1 D.2答案C考點(diǎn)二平面對量數(shù)量積的應(yīng)用1.(2024課標(biāo)全國Ⅰ,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直,則m=.

答案72.(2024課標(biāo)全國Ⅲ,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,則m=.

答案23.(2024課標(biāo)全國Ⅰ,13,5分)設(shè)向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,則x=.

答案-2B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一平面對量的數(shù)量積1.(2024天津,8,5分)在如圖的平面圖形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM=2MA,CN=2NA,則BC·OM的值為()A.-15 B.-9 C.-6 D.0答案C2.(2024天津,7,5分)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則AF·BC的值為()A.-58 B.18 C.1答案B3.(2024北京,6,5分)設(shè)a,b是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件答案A4.(2024上海,8,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-1,0)、B(2,0),E、F是y軸上的兩個動點(diǎn),且|EF|=2,則AE·BF的最小值為.

答案-3考點(diǎn)二平面對量數(shù)量積的應(yīng)用1.(2024北京,9,5分)設(shè)向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),則m=.

答案-12.(2024北京,9,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,1),則a與b夾角的大小為.

答案π3.(2024浙江,13,4分)已知e1,e2是平面單位向量,且e1·e2=12.若平面對量b滿意b·e1=b·e2=1,則|b|=答案24.(2024北京,12,5分)已知點(diǎn)P在圓x2+y2=1上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),O為原點(diǎn),則AO·AP的最大值為.

答案65.(2024天津,14,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,則λ的值為.

答案36.(2024江蘇,12,5分)如圖,在同一個平面內(nèi),向量OA,OB,OC的模分別為1,1,2,OA與OC的夾角為α,且tanα=7,OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),則m+n=.

答案37.(2024安徽,15,5分)△ABC是邊長為2的等邊三角形,已知向量a,b滿意AB=2a,AC=2a+b,則下列結(jié)論中正確的是.(寫出全部正確結(jié)論的編號)

①a為單位向量;②b為單位向量;③a⊥b;④b∥BC; ⑤(4a+b)⊥BC.答案①④⑤8.(2024天津,13,5分)已知菱形ABCD的邊長為2,∠BAD=120°,點(diǎn)E,F分別在邊BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF.若AE·AF=1,則λ的值為.

答案2C組老師專用題組考點(diǎn)一平面對量的數(shù)量積1.(2024浙江,10,4分)如圖,已知平面四邊形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點(diǎn)O.記I1=OA·OB,I2=OB·OC,I3=OC·OD,則()A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2 C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I3答案C2.(2010全國Ⅰ,11,5分)已知圓O的半徑為1,PA,PB為該圓的兩條切線,A,B為兩切點(diǎn),則PA·PB的最小值為()A.-4+2 B.-3+2C.-4+22 D.-3+22答案D3.(2024湖北,11,5分)已知向量OA⊥AB,|OA|=3,則OA·OB=.

答案94.(2024重慶,12,5分)已知向量a與b的夾角為60°,且a=(-2,-6),|b|=10,則a·b=.

答案105.(2024江蘇,13,5分)如圖,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E,F是AD上的兩個三等分點(diǎn),BA·CA=4,BF·CF=-1,則BE·CE的值是.

答案76.(2013課標(biāo)Ⅱ,14,5分)已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點(diǎn),則AE·BD=.

答案2考點(diǎn)二平面對量數(shù)量積的應(yīng)用1.(2024重慶,7,5分)已知非零向量a,b滿意|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),則a與b的夾角為()A.π3 B.π2 C.2π答案C2.(2024陜西,8,5分)對隨意平面對量a,b,下列關(guān)系式中不恒成立····A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案B3.(2024湖南,9,5分)已知點(diǎn)A,B,C在圓x2+y2=1上運(yùn)動,且AB⊥BC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),則|PA+PB+PC|的最大值為()A.6 B.7 C.8 D.9答案B4.(2024山東,7,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,m).若向量a,b的夾角為π6A.23 B.3 C.0 D.-3答案B5.(2011全國,3,5分)設(shè)向量a,b滿意|a|=|b|=1,a·b=-12,則|a+2bA.2 B.3 C.5 D.7答案B6.(2024湖南,10,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),A(-1,0),B(0,3),C(3,0),動點(diǎn)D滿意|CD|=1,則|OA+OB+OD|的取值范圍是()A.[4,6] B.[19-1,19+1]C.[23,27] D.[7-1,7+1]答案D7.(2024浙江,9,4分)已知a,b,e是平面對量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為π3,向量b滿意b2-4e·b+3=0,則|a-bA.3-1 B.3+1 C.2 D.2-3答案A8.(2024安徽,10,5分)設(shè)a,b為非零向量,|b|=2|a|,兩組向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2個a和2個b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4全部可能取值中的最小值為4|a|2,則a與b的夾角為()A.2π3 B.π3 C.答案B9.(2024四川,14,5分)平面對量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m=.

答案210.(2024江西,12,5分)已知單位向量e1,e2的夾角為α,且cosα=13,若向量a=3e1-2e2,則|a|=答案311.(2024湖北,12,5分)若向量OA=(1,-3),|OA|=|OB|,OA·OB=0,則|AB|=.

答案2512.(2012課標(biāo)全國,15,5分)已知向量a,b夾角為45°,且|a|=1,|2a-b|=10,則|b|=.

答案3213.(2024江蘇,12,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A為直線l:y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn),B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D.若AB·CD=0,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.

答案314.(2013課標(biāo)Ⅰ,13,5分)已知兩個單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,則t=.

答案2【三年模擬】時間:50分鐘分值:70分一、選擇題(每小題5分,共40分)1.(2025屆湖南八校9月聯(lián)考,8)已知a=(2sin13°,2sin77°),|a-b|=1,a與a-b的夾角為π3,則a·bA.2 B.3 C.4 D.5答案B2.(2024湖南永州二模,4)已知非零向量a,b的夾角為60°,且|b|=1,|2a-b|=1,則|a|=()A.12 B.1 C.2答案A3.(2025屆湖北襄陽重點(diǎn)中學(xué)9月聯(lián)考,4)已知非零向量a=(x,2x),b=(x,-2),則x<0或x>4是向量a與b的夾角為銳角的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案B4.(2025屆四川高校附中10月月考,11)△ABC中,角A,B,C的對邊分別記為a,b,c,若b=5,c=6,BC邊上的中線AD=3,則AB·AC=()A.15 B.-15 C.252 D.-答案D5.(2024湖北宜昌二模,7)已知△ABC中,∠A=120°,且AB=3,AC=4,若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,則實(shí)數(shù)λ的值為()A.2215 B.103 C.6答案A6.(2024安徽師大附中二模,7)在△ABC中,AB=2AC=6,BA·BC=BA2,點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),則當(dāng)PA2+PB2+PC2取得最小值時,A.272 B.-272答案D7.(2024河北石家莊調(diào)研,10)在平行四邊形ABCD中,|AB|=12,|AD|=8.若點(diǎn)M,N滿意BM=3MC,DN=2NC,則AM·NM=()A.20 B.15 C.36 D.6答案C8.(2025屆四川頂級名校其次次聯(lián)考,11)向量a,b,c滿意:a=(4,0),b=(4,4),(a-c)·(b-c)=0,則b·c的最大值是()A.24 B.24-82C.24+82 D.82答案C二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2025屆山東臨沂摸底考試,14)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),若|OB-OC|=|OB+OC-2OA|,則△ABC的形態(tài)為.

答案直角三角形10.(2024豫東、豫北十校聯(lián)考(三),15)如圖,在等腰梯形ABCD中,AD=BC=AB=12DC=2,點(diǎn)E,F分別為線段AD,BC的三等分點(diǎn),O為DC的中點(diǎn),則FE·OF=答案-14三、解答題(共20分)11.(2024河南中原